Fabio Semprini C. Costanzo - A. Guerrera Quattro A. De Chiara - L ... volume 3.pdf · Primo...

Fabio Semprini

Quattro x Quattro - 3

cod. 196

COD. 196

€ 7,70

Quattro x Quattro - 3ISBN 978-88-98111-38-1

w w w . a i r o n e e d i t o r e . i t

Questo volume, sprovvisto del talloncino a fronte (o oppor-tunamente punzonato o altrimenti contrassegnato) è daconsiderarsi copia di SAGGIO-CAMPIONE GRATUITO,fuori commercio (vendita vietata). Esente da I.V.A. (D.P.R.26.10.1972, n. 633, art. 2, lett. d). Esente da bolla di accom-pagnamento (D.P.R. 6.10.1978, n. 627, art. 4 n. 6).

per la secondaria di primo grado Airone

3

Quattro

Quattrox

La matematica in vacanza

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Annarita De Chiara

AironePROVE DI PREPARAZIONE

allʼEsame di Stato e secondo la metodologia KET e INVALSI

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cop 4per4 3:Layout 1 03/04/15 15.18 Pagina 1

Indice

Numeri relativiNumeri relativi pag. 4Somma algebrica 7Proprietà commutativa delle somme algebriche 8Somme algebriche tra frazioni 9Espressioni con le parentesi 10Moltiplicazioni e divisioni con numeri relativi 12Potenze di numeri relativi 15Proprietà delle potenze 17… e se è l’esponente ad essere negativo? 19Lettura – L’uomo che sapeva contare 20

Calcolo letteraleMonomi 22Grado di un monomio 23Monomi simili – Somma di monomi 25Polinomi 25Grado di un polinomio 26Somma algebrica di polinomi 28Moltiplicazione fra due monomi 30Moltiplicazione fra un monomio e un polinomio 31Moltiplicazione di un polinomio per un altro polinomio 31Divisione fra due monomi 33Potenza di monomio 34Lettura – Mamma ti voglio bene! 36

CerchioCirconferenza e cerchio 38Numeri con π 39Lunghezza di un arco 43Area di un settore circolare 43Area di un settore circolare 2 45Angoli al centro e angoli alla circonferenza 46Corde e loro distanza dal centro 48Quadrato inscritto 50Quadrato circoscritto 51Esagono inscritto 52Lettura – Eratostene e la misura della Terra 54

NEW 7 Bello 3:Layout 1 01/04/15 12.03 Pagina 2

Prodotti notevoli – EquazioniProdotti notevoli 56Prodotti notevoli: quadrato di un binomio 58Identità ed equazioni 60Grado di un’equazione, forma normale 61Primo principio di equivalenza 62Secondo principio di equivalenza 63Due casi particolari: equazioni impossibili ed equazioni indeterminate 66Equazioni più complesse 67Risolvere problemi usando equazioni 69Lettura – Un matrimonio ben riuscito 72

Piano cartesianoPiano cartesiano 74Punto medio di un segmento 77Distanza tra due punti 78Carta millimetrata 80Equazione di una retta 82Rette parallele agli assi 84Lettura – Archimede e il Pi Greco 86

InsiemiInsiemi 88Sottoinsiemi 90Triangoli 91Due operazioni con gli insiemi: intersezione e unione 92Insiemi numerici 96Regola di previsione 97Numeri irrazionali 98Lettura – I sette ponti di Könisberg 102

Di tutto un po’Verifica di un’equazione 104Lettura – I numeri triangolari 116

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 118SOLUZIONI DEI GIOCHI 122

TAVOLE dei quadrati e delle radici quadrate dei primi mille numeri naturali 123


Numeri relativi

Sono numeri relativi, cioè numeri preceduti da segno + (numeri positivi) o da segno –(numeri negativi). Vengono impiegati in particolari condizioni, per esempio per indicarele temperature, le altezze delle montagne (+) contrapposte alle profondità dei mari (–), iguadagni (+) e le spese (–) nelle contabilità, ecc. Mentre il segno meno deve sempreessere indicato in posizione iniziale, il + può essere tralasciato.

Ogni numero relativo è quindi formato da un segno e da una parte numerica; quest’ultimaviene chiamata valore assoluto o modulo.Per indicare il valore assoluto di un numero relativo lo si racchiude fra due lineette ver-ticali.

Esempi: | – 9 | = 9 | + 0,54 | = 0,54 | – 5/8 | = 5/8 ecc.

Il numero zero non è né positivo né negativo, ma fa da confine fra gli uni e gli altri.

I numeri relativi possono essere rappresentati su una retta chiamata “retta orientata”, chesi può immaginare come un termometro messo orizzontalmente e infinitamente lungo.

Per convenzione, i numeri positivi vengono posti a destra dello zero, quelli negativi a sinistra.

Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno, discordi se hanno segnodiverso. Due numeri relativi discordi che hanno lo stesso valore assoluto si dicono opposti(si trovano alla stessa distanza dallo zero).

– 3; + 0,54; – 5 ; 15.320,3; – √7 8

MINIRIPASSO

Prima settimana Numeri relativi

Es. 1 Posiziona sulla retta orientata i seguenti numeri relativi.

– 3, + 8, – 14, + 14, 0, – 21, + 19

–20 –15 –10 –5 0 5 10 15 20

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6


5Prima settimana

Es. 2 Scrivi negli spazi gli opportuni numeri relativi.

Es. 3 Metti il segno > o < tra i seguenti numeri relativi.

a) 3 … 0 c) + 5 … – 5 e) – 5 … – 6 g) – 3 … 0

b) – 8 … + 8 d) – 2,3 … 2,4 f) – 67 … – 66 h) – 3,5 … – 3,7

Es. 6 Scrivi:

a) una coppia di numeri relativi concordi ……………. .

b) una coppia di numeri relativi discordi ……………. .

c) una coppia di numeri relativi opposti ……………. .

d) una coppia di numeri relativi con lo stesso valore assoluto ……………. .

e) una coppia di numeri relativi concordi ed entrambi > 0 ……………. .

f) una coppia di numeri relativi concordi ed entrambi < 0 ……………. .

–20 –15 –10 –5 0 5 10 15 20

+2,5 ……………… ………… …… …………

[a) >; b) <; c) >; d) <; e) >; f) <; g) <; h) >]

Es. 5 Completa con valori assoluti o numeri relativi mancanti.

a) | – 12 | = … c) | – 5 | = … e) | ……. | = 7

b) | + 1 | = … d) | – 89 | = … f) | ……. | = 7

[a) = 12; b) = 1; c) = 5; d) = 89; e) | + 7 |; f) | – 7 | ]

Es. 4 Riscrivi in ordine crescente (dal più piccolo al più grande). Fra l’uno e l’altrova messo il segno <.

a) – 120; + 3; – 90; + 10; 0; 100; – 30 ………………………………………………

b) 0,7; – 0,5; 2; – 2,8; – 1,8; 1,1; – 1,1 ………………………………………………

[a) – 120 < – 90 < – 30 < 0 < + 3 < + 10 < 100; b)– 2,8 < – 1,8 < – 1,1 < – 0,5 < 0,7 < 1,1 < 2]


[b) – √5 < – 1< 0 < √3 < √8 < √5 ]

6 Prima settimana

ENIGMI

Abbiamo messo alcune frasi in un frullatore e abbiamo ottenuto una serie di sillabe senza senso.Riesci a rimetterle in ordine in modo da formare una frase compiuta?

1. SONO ARO COLR ADEN IPO NSIF ‘ ……………………………………………

FRASI IN COCCI

Vedi soluzione a pag. 122Es. 7 Riscrivi in ordine crescente. Fra l’uno e l’altro va messo il segno <.

Es. 8 Vero o Falso?

Es. 9 Vero o Falso?

a) – 3 ; + 5 ; – 1; 18; – 24; – 8 …………………………………………..……………………4 2 3 4 3

c) – √2, + 1 , – 2 , √2, – 1 , 1 …………………………………………..……………………2 3 3 3 [c) – √2 < – 2 < – 1 < 1 < + 1 < √2 ]

3 3 3 2

[a) – 24<– 8 <– 1 <– 3 < + 5 < 18]4 3 4 2 3

Regola pratica: se occorre, per confrontare numeri relativi espressi in forme diverse(frazioni, potenze, radici, ecc.) si possono ridurre tutti nella loro forma decimale.

b) – √5; √3; √5; – 1; 0; √8 …………………………………………..……………………3

3

V F V F V F

a) | – 3,5 | = 3,5 q q c) | – 8 | = 23 q q e) | – 1 | = – 0,52

q q

b) | + 3,5 | = – 3,5 q q d) | 1 | = 0,52

q q f) | – 6 | = 23

q q

[a) V; b) F; c) V; d) V; e) F; f) V]

Due numeri relativi possono essere: V F

a) contemporaneamente opposti e concordi. q q

b) contemporaneamente opposti e discordi. q q

c) concordi ed avere lo stesso valore assoluto. q q

d) discordi ed avere lo stesso valore assoluto. q q

e) concordi ed essere entrambi > 5. q q

f) opposti e avere lo stesso valore assoluto. q q

[a) F; b) V; c) F; d) V; e) V; f) V]


7Prima settimana

Somma algebrica

Un’espressione come questa viene chiamata somma algebrica. Si devono eseguire leoperazioni di addizione e sottrazione una dopo l’altra. Naturalmente i risultati parziali oquello finale possono essere anche negativi. Nell’esempio il risultato finale infatti è – 1.

In una somma algebrica i calcoli possono essere visti come spostamenti sulla rettaorientata: si inizia dalla posizione + 2, ci si sposta di 5 posizioni verso sinistra (verso ilsegno meno) e si giunge alla posizione – 3. Da lì ci si sposta di 7 posizioni verso de-stra (verso il segno più) e si giunge alla posizione + 4, e così via. Alla fine ci si trova inposizione – 1, che è il risultato finale.

2 – 5 + 7 – 3 – 2 =

MINIRIPASSO

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

Es. 10 Esegui le seguenti somme algebriche, aiutandoti con la retta orientata.

–20 –15 –10 –5 0 5 10 15 20

a) 3 – 5 = …. c) – 18 + 14 = … e) 2 + 7 – 9 = …

b) – 10 + 2 = … d) – 7 – 9 = … f) – 2 + 5 – 1 = …

a) 20 – 23 = … c) – 18 + 10 = … e) – 30 + 20 – 5 = …

b) – 35 + 40 = … d) – 15 – 15 = … f) 17 – 25 + 4 = …

Es. 11 Esegui i calcoli con successivi spostamenti sulla retta orientata e scrivi il ri-sultato finale.

Es. 12 Esegui i calcoli senza l’aiuto della retta orientata.

–20 –15 –10 –5 0 5 10 15 20

a) – 3 + 5 + 2 – 6 = ……

b) 10 – 12 + 6 – 4 = ……

c) 18 – 7 – 20 + 14 = ……

[a) – 2; b) – 8; c) – 4; d) – 16; e) 0; f) + 2]

[a) – 2; b) 0; c) + 5]

[a) – 3; b) + 5; c) – 8; d) – 30; e) – 15; f) – 4]


8 Prima settimana

Proprietà commutativa delle somme algebriche

Hai certamente imparato che, nelle addizioni, si può variare l’ordine degli addendi, sitratta della proprietà commutativa.Esempio: 6 + 3 + 11 = 20 il risultato rimane invariato se diventa 3 + 11 + 6 = 20.La stessa cosa non è possibile nelle sottrazioni:10 – 4 = 6 non è certo la stessa cosa di 4 – 10 = (il risultato qui sarebbe – 6!).

Le somme algebriche godono della proprietà commutativa: è sempre possibile variarel’ordine degli addendi, a patto che ogni numero venga spostato assieme al segno + o alsegno – che lo precede. In questo caso l’ultima operazione diventa – 4 + 10 = 6 (il risul-tato è invariato).Esempio: + 8 – 3 – 7 + 4 = + 2 può diventare + 8 + 4 – 3 – 7 = + 2

In questo modo si può dire che non esistono più le sottrazioni perché sono diventate

somme di numeri negativi.

Regola pratica: se in una somma algebrica è conveniente, la proprietà commutativa consente di raggruppare da una parte tutti numeri positivi ed eseguire la loro somma, dall’altra tutti i negativi ed eseguire la loro somma, infine eseguire la somma algebrica dei due risultati parziali.Esempio:

4 – 7 + 12 – 3 – 15 + 8 = può diventare 4 + 12 + 8 – 7 – 3 – 15 =4 + 12 + 8 = + 247 – 3 – 15 = – 25e infine + 24 – 25 = – 1

MINIRIPASSO

Es. 13 Esegui le seguenti somme algebriche. Se ti sembra conveniente, applica laproprietà commutativa.

a) – 5 – 3 + 19 – 12 + 11 = ..………………………………………………………………………

b) 15 + 0 – 28 + 9 – 1 = ……………………………………………………………………………

c) 150 – 120 – 80 + 150 = …………………………………………………………………………

d) 230 – 62 + 75 + 5 – 18 – 22 = …………………………………………………………………

e) – 110 + 310 – 272 + 70 – 8 = ..…………………………………………………………………

Es. 14 Somma algebriche da eseguire a mente.

a) + 2 – 1 – 1 + 2 – 3 = ……… c) – 5 + 4 + 3 – 2 + 6 = …………

b) – 3 + 2 – 1 + 3 – 2 + 1 = ……….. d) 0 – 8 + 18 – 20 = ……….

[a) + 10; b) – 5; c) + 100; d) + 208; e) – 10]

[a) – 1; b) 0; c) + 6; d) – 10]


9Prima settimana

Somme algebriche tra frazioniSai bene che, per sommare delle frazioni, è necessario che abbiano tutte lo stesso de-nominatore; con frazioni precedute da segno + o segno – la riduzione allo stesso deno-minatore si fa come di consueto. A questo punto i segni delle frazioni riguardano i solinumeratori, con i quali si esegue la somma algebrica.Esempio:

MINIRIPASSO

Es. 15 Vero o Falso? V Fa) La somma algebrica di due numeri opposti è sempre = 0. q q

b) La somma algebrica di due numeri negativi è sempre un numero positivo. q q

c) La somma algebrica di due numeri positivi è sempre un numero positivo. q q

d) La somma algebrica di due numeri concordi è sempre un numero positivo. q q

e) La somma algebrica di due numeri discordi è sempre un numero negativo. q q

f) La somma algebrica di due numeri discordi può essere un numero positivo. q q

Es. 16 Esegui le seguenti somme.

1 6

– 1 4

– 3 2

– a); b); c)[]

17 12

– 1 6

+ 11 8

– a); b); c)[]

a) 5 6

+ =– 1

[a) V; b) F; c) V; d) F; e) F; f) V]

c) 1 2

+ =– 2b) 3 4

=– 1

Es. 17 Esegui le seguenti somme.

a) 3 4

1 3

+ + 5 2

– =

c) 1 2

5 8

1 4

––– =

b) 2 3

+ 3 2

=– 2

3 4

– 5 6

– =+ 1 9 12

– 9 + 12 – 10 12

– 7 12

– 12 12

+ 10 12

– = =

Denominatorecomune: 12

Si scrive direttamente

così

La somma algebricariguarda i numeratori


10 Prima settimana

Espressioni con le parentesi

In un’espressione come questa, per prima cosa bisogna eseguire i calcoli dentro le pa-rentesi. L’espressione quindi diventa:

Regola pratica: quando le parentesi sono precedute da segno + o da segno – si possono togliere assieme al segno che le precede; se quest’ultimo è +, i segni all’interno delle parentesi devono restare invariati, se invece è – tutti i segni all’interno delle parentesi devono cambiare.

nel nostro esempio sarà:

Vale la pena di analizzare il significato di questa regola pratica che, se ricordi, sarà anchela stessa che stabilisce il segno dei risultati di moltiplicazioni e divisioni.Prendiamo + (+ 5). Se si pensa per esempio che si tratti di un conteggio di danaro, signi-fica aggiungere (il primo +) un guadagno (il secondo +) di 5 euro. Possiamo dire quindi:+ (+ 5) = + 5 euro.

+ (– 5) significa invece aggiungere (il primo +) una spesa (il –) di 5 euro; in pratica unaspesa di 5 euro. Possiamo dire quindi: + (– 5) = – 5 euro.

– (+ 5) significa togliere (il primo –) un guadagno (il +) di 5 euro; in pratica una perditadi 5 euro. Possiamo dire quindi: – (+ 5) = – 5 euro.

– (– 5) significa togliere (il primo –) una spesa (il secondo –), ma eliminare una spesaequivale ad un guadagno. Possiamo dire quindi: – (– 5) = + 5 euro.

– (3 + 7) + (– 4 + 6 – 7) – (8 – 10) + 9 =

– (+ 10) + (– 5) – (– 2) + 9 =

– 10 – 5 + 2 + 9 = – 4

MINIRIPASSO

Es. 19 Risolvi la seguente espressione.

– (– 2 + 9) + 8 – [1 – (5 – 7) + (8 – 12 + 1)] + (18 – 13) – 3 =

[+ 2]

[+ 3]


18 – (8 + 3 – 12) – 1 + (5 – 18) – (8 – 5) =


11Prima settimana

Es. 20 Risolvi la seguente espressione. Ricorda di semplificare le frazioni ogni volta che è possibile!

Es. 21 Risolvi la seguente espressione. Ricorda di semplificare le frazioni ogni volta che è possibile!

5 7

2 7

1 5

3 10

1 2

5 14

+ – – – – 3 2

–[ ]( ) =

5 6

5 6

1 3

5 9

3 4

+– 3 4

–– 1 – 1 – – + –[{ }]( – 1() ) =

– 3 7] [

– 4 9] [


12 Prima settimana

Moltiplicazioni e divisioni con numeri relativi

Quando una parentesi non è preceduta da segno + o – ci troviamo davanti ad un’ope-razione di moltiplicazione (o di divisione se compare il segno : ) fra numeri relativi.

Regola pratica: in una moltiplicazione (o divisione) fra due numeri relativi, conviene prima stabilire quale sarà il segno del risultato, secondo la nota regola dei segni:

(+) x (+) = (+) e parimenti (+) : (+) = (+)(+) x (–) = (–) e parimenti (+) : (–) = (–)(–) x (+) = (–) e parimenti (–) : (+) = (–)(–) x (–) = (+) e parimenti (–) : (–) = (+)

poi si esegue la moltiplicazione (o la divisione) fra i valori assoluti, come di consueto.

La regola dei segni si può enunciare anche in maniera molto più semplice: moltiplicazione(o divisione) fra due numeri concordi dà risultato positivo, fra due numeri discordi dà ri-sultato negativo.Esempi: 3 (– 6) = – 18 – 35 : (– 7) = + 5

Regola pratica: nel caso vi siano più moltiplicazioni e/o divisioni una dopo l’altra.Siccome due segni meno si annullano l’un l’altro dando un segno più, se i termini negativi sono presenti in numero pari il risultato complessivo sarà positivo; se sono presenti in numero dispari il risultato complessivo sarà negativo.Esempi: + 2 (– 5) (– 3) : (+ 6) =

(i meno sono in numero pari, il risultato sarà positivo) = + 5

– 2 (– 5) (– 3) : (+ 6) = (i meno sono in numero dispari, il risultato sarà negativo) = – 5

3 (– 11) = ; (– 5) (+ 4) = ; + 18 : (– 6) =

MINIRIPASSO

Es. 23 24 Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni.a) 3 (– 2) (5) = …… f) – 6 (– 8) : (– 12) = ……

b) – 10 : (2) (– 3) = …… g) 7 : (– 1) (+ 1) (– 2) = ……

c) 8 (– 2) (5) = …… h) (– 1) (+ 1) : (– 1) (– 1) (+ 1) = ……

d) (– 2) (+ 14) (– 7) = …… i) (– 1) (– 1) (+ 1) : (– 1) : (– 1) = ……

e) 13 (– 1) (– 2) : (– 1) = ……

Es. 22 Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni.

a) (+ 3) (– 2) = ….. c) 15 : (+ 3) = ….. e) – 15 : (– 5) = …..

b) (+ 10) (– 3) = ….. d) – 15 (– 2) = ….. f) (– 100) : (+ 25) = …..

[a) – 6; b) – 30; c) + 5; d) + 30; e) + 3; f) – 4]

[a) – 30; b) + 15; c) – 80; d) + 196; e) – 26;f) – 4; g) + 14; h) – 1; i) + 1]


13Prima settimana



–++ a); b); c) 1 4

– 3; d)–; e)– 8 2 3

1 3

; f) 1 16] [

+ a); b); c) 1 3

+ 1 2

; d)–– 1 ; e)– 1 – 1 1 3

; f)] [

1 6

3 2

a) –( () ) =

1 9

b) – 3 –( )= )=

1 2

4 3

a) –( () ) 1 2

–( ) =

1 6

1 3

c) ( ) 1 2

–– 2 ( ) =

1 8( )( ) =b) – 432 :

:

1 6

d) –– 3 ( ) 2 3

– 1( ) ( ) =

1 8

f) ( ) ( ) – 4– 2– 1 ( ) =

3 4( ) 4

7( ) =e) – : 16 21( )– –:

2 3

c) 2 : –( )= )=

3 4

d) : 1 2

– ( ) =

100 9

18 25

e) –(

f) : – 2 1 8

– (

Es. 26 Vero o Falso? V Fa) La moltiplicazione fra due numeri positivi dà sempre un numero positivo. q q

b) La divisione fra due numeri positivi dà sempre un numero negativo. q q

c) La moltiplicazione fra due numeri opposti dà sempre un numero negativo. q q

d) La moltiplicazione fra due numeri opposti può dare un numero positivo. q q

e) La moltiplicazione di un numero negativo per 0 dà sempre un numero positivo. q q

f) La moltiplicazione di un numero negativo per 0 dà sempre 0. q q

[a) V; b) F; c) V; d) F; e) F; f) V]

ENIGMI

1. Quale di questi NON È unʼISOLA DEL MEDITERRANEO?q Capri q Capraia q Caprettina q Caprera

2. Quale di queste NON È una MALATTIA?q Rinite q Ematite q Congiuntivite q Colite

3. Quale di questi NON È un PITTORE?q Miró q Manet q Monet q Marat

QUALE NON È

Vedi soluzione a pag. 122


14 Prima settimana


(– 30 + 6) (8 – 3 – 7) : (– 8) =


(8 – 10) (– 2 – 3) – (5 – 2) (– 1 + 11 – 7) =


5 14

7 6

4 3

+ 4 – – 1( () ) 1 4

: ( ) =


1 10

5 2

2 3

1 4

– – – +( () ) 1 4

3 8

+ +( ) 1 4

1 5

–( ) 5 2

5 –( ) 2 15

1 3

+ 5 6( ) =

– 3 7] [

+ 1 16] [

[– 6]

[+1]


15Prima settimana

Es. 31 Risolvi.

a) (– 2)3 = …… c) (+ 7)2 = …… e) (– 1)3 = ……

b) (+ 3)3 = …… d) (– 11)0 = …… f) (– 1)4 = ……

Es. 32 Risolvi.

Es. 33 Risolvi.

[a) – 8; b) + 27; c) + 49; d) + 1; e) – 1; f) + 1]

++ 1+ a); b); c) 9 25

+ 1 32

; d)–; e) 5 14

– 1 8

; f) 1 10.000] [

+ 9 25] [

3 5

2a) –( ) =

2 5

2+– 1( ) =

1 4

0+( ) =

1 2

3–( ) =

1 10

4–( ) =

1 2

5( ) =

5 14

1–( ) =b)

c)

d)

e)

f)

Potenze di numeri relativi

Queste sono operazioni di potenza di numeri relativi.Se la base della potenza è un numero positivo il risultato è sempre positivo.ATTENZIONE! Se la base è negativa invece il risultato può essere sia positivo che ne-gativo: sarà positivo quando l’esponente è un numero pari, negativo quando l’esponenteè un numero dispari.Il valore assoluto del risultato si calcola, come di consueto, elevando a potenza il valoreassoluto della base.I risultati negli esempi qui sopra saranno quindi:

Ricorda che le potenze con esponente 0 hanno sempre risultato 1 (precisamente + 1);questo vale anche con i numeri relativi, infatti 0 è un numero pari. Ricorda anche che lapotenza 00 non ha significato.

(+ 3)5 ; (– 2)3 ; (– 5 )2; (– 1)7

4

(+ 3)5 = + 243 ; (– 2)3 = – 8 ; (– 5 )2= + 25 ; (– 1)7 = – 1

4 16

MINIRIPASSO


16 Prima settimana

Es. 34 Risolvi.

1 3

1 2

– ]( ) 3 4

3 –( ) =2

Es. 35 Risolvi.

2 3 ]) – 3(– 1 +( ) 1

3 ][ )– 3 – + :( 1 3

+ 1 2 )( =

2 2 2 1 2

–– 1 3 )(

23 4

+ 9 64] [

+ 2 3] [

ENIGMI

Prova a rifare il disegno senza mai staccare la matitadal foglio e senza passare una seconda volta su unalinea già tracciata.

PERCORSI EULERIANI

Per la soluzione leggi le pagg. 102 e 103.


17Prima settimana

Es. 36 Risolvi.

a) (– 3)3 (– 3)2 = …… c) (– 2)2 (– 2)2 (– 2)3 = ……

b) (– 6)5 : (– 6)3 = …… d) (– 7)6 : (– 7)5 (– 7) = ……

Es. 37 Risolvi.

[a) – 243; b) + 36; c) – 128; d) + 49]

a) [(– 2)2]4 = …… c) [(5)2]0 = ……

b) [(– 1)3]7 = …… d) [(– 1)4]5 = ……

[a) + 256; b) – 1; c) + 1; d) + 1]

+ a); b); c) 6 5

1 256

; d) – 27 8

+ 5 8] [

6 5

7a) ( ) 6

5

6( ): =

1 4

3–( ) 1

4–( ) =

3 2

2( )– 3 2( )– =

5 8

9( ) 5 8

3( ) 5 8

11( ) =:b)

c)

d)

Es. 38 Risolvi.

Proprietà delle potenze

Ricordiamo alcune proprietà delle potenze che hanno un impiego più frequente nell’ab-breviare certi calcoli.

1) La moltiplicazione di due potenze che hanno la stessa base può avere per risultatouna potenza che ha per base la stessa base ed esponente la somma dei due esponenti.

2) La divisione di due potenze che hanno la stessa base può avere per risultato unapotenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza dei due espo-nenti.

3) La potenza di un’altra potenza può avere per risultato una potenza che ha per basela stessa base e per esponente la moltiplicazione tra i due esponenti.

(+ 3)2 (+ 3) = (+ 3)3

(– 12 )/: (– 12 )5

= (– 12 )2

5 5 5

[(– 2)4]2 = (– 2)8

MINIRIPASSO


18 Prima settimana

Es. 39 Risolvi lasciando il risultato finale sotto forma di potenza.

3 4

28

a) ([ ]) 3 4

6

6 []

6 7

16

16 []

:– 3 4

52

([ ])– =

6 7

5([ ) :– 6 7

7( )– 6 7

42

( ])– =b)

Es. 40 Risolvi applicando le proprietà delle potenze.

10 12 7([ ])

3 2 12 7( ) ::

8 12 7([ ])

5 12 7( ) =

Es. 41 Risolvi applicando le proprietà delle potenze.

5 9 11([ ) 9

11( )–4 9

11([ )–7 9

11( )–– ] ]3

=:

12 7 []

9 11 []

–


19Prima settimana

Es. 42 Risolvi.

+ a); b); c) 1 16

+ 1 27

+ 16 9

+ 8 7

+ 1 9

7 8

; d)–; e); h) + 16; i) – + 25; g) 1 32

; f)] [

a) 4 – 2 =

3 4

c) ( )– 2

=

b) 3 – 3 =

d) (– 2)– 5 =

1 5

f) ( )– 2

– =

7 8( ) =e)

– 1

g) 9 – 1 =

8 7

i) ( )– 1

– =

1 2( ) =h)

– 4

… e se è l’esponente ad essere negativo?

In questa operazione di potenza l’esponente è un numero negativo.Per capire che significato ha una potenza con esponente negativo conviene ripensarealla seconda delle proprietà delle potenze illustrate sopra, cioè la divisione di due potenzedi base uguale (vedi pag. 17), per esempio:se la divisione è 63 : 65, la regola ci suggerisce che il risultato può essere 6 – 2, cioè unapotenza con esponente negativo.Ma lo stesso calcolo può essere svolto anche in questo modo:

Quindi: 6 – 2 =

Regola pratica: una potenza con esponente negativo si può trasformare in una potenza analoga con esponete positivo che abbia per base l’inverso della base. ATTENZIONE! Il segno della base deve restare immutato!

6 –2 = ……

MINIRIPASSO

63 : 65 = = =6 x 6 x 6

6 x 6 x 6 x 6 x 6

1

6 x 6

1

62

5 – 2 = =1 1

5 252=–

3– 3

4

1 6

2

(

( ) =–4

3

3–

64

27( ) =–

2– 4

3( ) =–

34

2+

81

16( )

)ogni fattore 6 al numeratore si semplifica con uno al denominatore

il segno ‘meno’ della base non cambia

il segno ‘meno’ della base non cambia

il segno del risultato di-venta ‘più’ perché l’esponente è pari


L’uomo che sapeva contare

20 LETTURA

Il brano che segue è tratto dal libro L’uomo che sapeva contare scritto da un famoso mate-matico brasiliano che, per l’occasione, si firma Malba Tahan. Si tratta del racconto fantasticodelle imprese di Beremiz Samir, che è appunto l’uomo che sapeva contare, abilissimo a gio-strarsi con i numeri ed in grado di risolvere rapidamente tanti problemi matematici. Il libro èambientato in un antico Islam, popolato da sceicchi, visir, mercanti, viaggiatori… tutti interessatialle meraviglie dell’aritmetica. Per capire come mai il racconto si svolga in questo ambientebisogna ricordare che buona parte della nostra cultura matematica, a partire dai numeri de-cimali fino all’algebra, è arrivata in Europa proprio dal mondo arabo, durante il Medio Evo.

Beremiz era interessato ad un elegante turbante blu, che un gobbo mercante siriano vendevaper quattro dìnari. La sua bottega era anch’essa assai originale, perché tutto ciò che conteneva– turbanti, scatole, pugnali, braccialetti e così via – costava sempre quattro dìnari. Vi era un’in-segna con scritto a grandi lettere:

I Quattro QuattroVedendo che Beremiz voleva acquistare il turbante, gli dissi: “Questo capriccio mi sembrauna follia. Abbiamo pochi soldi e dobbiamo ancora pagare l’affitto”.“Non è il turbante che mi interessa” rispose Beremiz. “Non hai visto che questa bottega sichiama ‘I Quattro Quattro’? È una coincidenza di grande importanza”.“Una coincidenza? Perché mai?”.“Questo nome mi ricorda una delle meraviglie dell’aritmetica: usando quattro 4 si possonoottenere tutte le cifre del nostro sistema decimale”. E prima che potessi chiedere chiarimentisu questo mistero, Beremiz cominciò la sua spiegazione scrivendo sulla fine sabbia sparsasul pavimento.

“Vogliamo ottenere lo zero? Semplicissimo! Basta scrivere:

44 – 44

Ci sono quattro 4 e l’espressione equivale a zero. E per il numero 1? Il modo più semplice èquesto:

44 44

La frazione rappresenta infatti il quoziente di 44 diviso per 44, cioè 1”.“Vuoi ottenere il numero 2? È facile utilizzare in questo modo i quattro 4:

4 + 4 4 4


21LETTURA

La somma delle due frazioni fa esattamente 2. Il tre è ancora più facile. Basta scrivere l’espres-sione

4 + 4 + 4 4

dove il dividendo vale 12 che, diviso per 4, fa 3. Vedi che anche questo numero può esserecostruito con quattro 4”.“E in che modo si ottiene il numero 4?”“Nulla di più facile” Spiegò Beremiz “Ci puoi arrivare in diversi modi, per esempio questo:

4 + 4 – 4 4

La frazione è uguale a zero e il valore di tutta l’espressione è 4; essa è infatti equivalente a 4+ 0, cioè 4”.Mi avvidi che il mercante siriano ascoltava attentamente le spiegazioni di Beremiz, affascinatodalle combinazioni dei quattro 4.Beremiz continuò: “Nessun problema poi per ottenere il numero 5. Possiamo scrivere:

(4 x 4) + 4 4

La frazione indica 20 diviso 4, e il quoziente è 5. Abbiamo così scritto il 5 utilizzando semprequattro 4”.“Adesso passiamo al 6, per il quale vi è questa elegante formula:

4 + 4 + 4 4

Cambiando un poco l’espressione otteniamo il 7:

44 – 4 4

Rappresentare il numero 8 è assai facile:

4 + 4 + 4 – 4

Anche la formula del 9 è interessante:

4 + 4 + 4 4

Le varie maniere di ottenere tutte le cifre del nostro sistema di numerazione usando quattro4 è indubbiamente affascinante, ma lo si può fare solo con il quattro? O ci si può riuscireanche con qualche altro numero? Vuoi provare anche tu?Come hai visto, si deve adoperare sempre e solo quattro volte la stessa cifra, le quattro ope-razioni, frazioni e parentesi a piacere. È sicuramente possibile riuscirci con il 3 ed anche conil 7. Buon lavoro!


Fabio Semprini C. Costanzo - A. Guerrera Quattro A. De Chiara - L ... volume 3.pdf · Primo...

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