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Capital budgeting and Value at Risk: un commento critico

F. Cetta

Istituto Italiano degli Attuari 6 giugno 2002

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1. Rischio operativo

Intervento del Comitato di Basilea (2001): Rischio associato a possibili perdite derivanti da

inefficienti procedure interne di monitoraggio e controllo nella gestione del portafoglio.

Nel sistema bancario internazionale: - rischio di credito (50%) - rischio di mercato (15%) - rischio operativo (35%)

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2. Asset allocation risk budgeting Organizzazione di un corretto mapping delle

posizioni aperte sulle singole business units. Individuazione dei fattori di rischio: ponderazione

dei fattori. Calibratura degli asset con diversi coefficienti di

rischio. Profilo di rischio del portafoglio attraverso parametri

di volatilità. Matching tra i risultati di gestione e la stima della

potenziale perdita: analisi di sensibilità dei cash-flow.

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3. VAR (Value at Risk)

Risk Metrics: J.P. Morgan (1995)

VAR: perdita attesa (potenziale) indotta da movimenti avversi del mercato (market risk) su posizioni aperte.

Fissato il periodo di gestione (holding period) “h”:

= P [L > VAR]

1 - = livello di confidenza

= 5% cutoff = 1,645 (distribuzione normale)

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Analisi della volatilità giornaliera:

2h,g= 2

g•h h,g = g • h

Livello di rischio sistematico:

VAR = [2 2(Rm)]1/2 • k • h

k = cutoff nella distribuzione normale

Hp: portafoglio composto da due asset:

E( V) = X11 + X2 2

2(V) = X12 1

2 + X22

22 +2X1X212 12

VAR = - [E( V) - 1,645 ( V)]

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Hp: portafoglio composto da n asset w = aliquota d’impiego = matrice delle varianze-covarianze k = coefficiente di cutoff h = holding period

VAR = ( wT w)1/2 · k · h

Livello di rischio sistematico:

VAR = [p2 2(Rm)]1/2 · k · h

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4. EVT (Extreme Value Theory)

Analisi delle perdite aleatorie mark-to-market connesse ad eventi di bassa frequenza.

Applicazioni in ingegneria idraulica ed in climatologia.

Connessioni con la teoria dell’affidabilità dei sistemi e la Teoria del Rischio.

In ambiente finanziario è considerato un approccio embrionale del risk-management: P.Embrechts (2000), F.Longin (1997).

Modelli peaks-over threshold (POT) basati sulla distribuzione di Pareto generalizzata.

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5. Analisi EVT VAR X = perdita aleatoria mark-to-market F(x) = funzione di ripartizione X - u = eccesso di perdita rispetto al treshold (u) F(x|X>u) = f.d.r. condizionata: probabilità che

l’eccesso di perdita (X-u) sia minore di (x), dato che la perdita superi (u).

1- F(x|X>u) = probabilità condizionata che l’eccesso di perdita (X-u) sia maggiore di (x).

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Posizione asintotica

lim F(x|X>u) u

Convergenza alla distribuzione di Pareto generalizzata

1 - [1+ · x/]-(1/) 0

G(x) =

1 - e-(x/) = 0

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= parametro di inclinazione delle code = parametro di scala

Prima osservazione strutturale

Se > 0 otteniamo la ordinaria distribuzione di Pareto (stima delle perdite rilevanti nelle applicazioni assicurative);

Se = 0 ricaviamo la distribuzione esponenziale

negativa

Se < 0 ricaviamo la distribuzione di Pareto del

2° tipo

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Seconda osservazione strutturale

Sia > 0. Approssimazione:

P[X – u > x|X > u] 1 - G(x) = [1+ ·(x/)]-(1/)

P[X-u > x] = P[X > u]·P [X – u > x|X > u]

P[X > u]· [1+ (x/)]-(1/)

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Enunciato: la distribuzione generalizzata di Pareto fornisce un’approssimazione del VAR

P[X-u > x] = P[X > x+u] x+u = VAR

= P[X > VAR] = P[X > x+u]

= P[X > u] · [1+ (x/)]-(1/)

=P[X > u] · 1+ [(VAR –u)/]-(1/)

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Stima del VAR attraverso EVT

VAR = u + ( /)·{ /[P(X>u)]- -1}

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Bibliografia

N.D.Pearson (2002): “Risk Budgeting”, J. Wiley

M.G.Cruz (2002): “Modeling, measuring and hedging operational risk”, J. Wiley

P.Embrechts (2000): “Extremes and Integrated Risk Management”, Risk Publication, Londra

F.Longin (1997): “From VAR to stress testing: the Extreme Value approach”, Ceressec working paper