Eventi, rischi e risarcimenti catastrofali Seminario presso lIstituto Italiano degli Attuari Roma 27...

Eventi, rischi e risarcimenti catastrofali

Seminario presso l’Istituto Italiano degli Attuari

Roma 27 ottobre 2008

Relatore: Prof. Augusto Freddi

Augusto Freddi - Eventi, rischi e risarcimenti catastrofali

Contenuto

• Introduzione• I concetti base• I soggetti considerati• Il rischio considerato• Il modello matematico• Le definizioni


Introduzione

Negli ultimi decenni, un gran numero di studi è stato dedicato ad eventi particolarichiamati “catastrofi” naturali o man-made.Ciò è stata la conseguenza del drasticoaumento, nella portata e nella frequenza, ditali eventi che ha determinato una domandaconsistente di assicurazione contro i rischi ad essi associati.


Introduzione

Come risulta da un vasto campione di

espressioni e di definizioni ricavate dalla

letteratura esistente, ci sono modi differenti

di esprimere gli stessi concetti che, al

momento, non sono esplicitamente inseriti

in una struttura logica.


Introduzione

I significati attribuiti al vocabolo “catastrofe” Evento estremo

• Catastrofe Danno estremo• Nel senso di evento estremo il significato associato ad essa è assoluto e, quindi, definito a

priori• Nel senso di danno estremo il significato

associato ad essa è relativo e, quindi, definito a posteriori


Introduzione

Per impostare la struttura logica siamo partiti da:

− due considerazioni;

− una domanda;

− la descrizione del suo ambito temporale.


Introduzione

Considerazioni:− Il termine “catastrofe” è riferito sia

all’evento che al danno da esso causato− Per catastrofe si intende un evento che

coinvolge “un insieme di persone” e non un “singolo individuo”

Domanda:− Un rischio di catastrofe è necessariamente

un rischio catastrofale?


Introduzione

Nell’impostazione della struttura logica, infine,

occorre distinguere tra due ambiti temporali:

• l’ambito casuale (before scenario)

• l’ambito deterministico (after scenario)


I concetti base

• Il soggetto• Il risarcimento (potenzialmente)

catastrofale• L’evento (potenzialmente) catastrofale• Il rischio catastrofalePer il soggetto, il rischio e il risarcimento sono, in tempi diversi, le implicazionidell’evento


I soggetti considerati

• Il singolo individuo (s1)

• La società (s2)

• La compagnia di assicurazione (s3) (contro i danni)

• L’insieme delle c.a. che operano in una ben specificata area geografica (s4) (mercato assicurativo)


Il rischio considerato

Portafoglio di rischi

Esso è espresso da un vettore casuale le

cui n componenti (n >> 1) sono unità di rischio

tra loro indipendenti

Unità di rischio

Essa è espressa da un vettore casuale le

cui m componenti (m 1) sono rischi singoli tra

loro dipendenti


Il modello matematico

La c.a. gestisce un portafoglio di rischi Y per un

orizzonte temporale di un anno, a partire

dall’istante t = 0-, e nessun rischio successivo

viene introdotto nel portafoglio durante l’intervallo

di tempo [0,1] eccetto, al massimo, l’unità di rischio

X che, se viene introdotta, si ipotizza di introdurla

nell’istante t = 0, generando il nuovo portafoglio

Z = Y,X



La c.a.:

incassa un premio annuo puro pari a:

P = (1 + )E[SY],

costituisce una riserva libera pari a:

R = P = (1 + )E[SY]

e, dunque, dispone di un capitale pari a:

C = P + R = (1 + ) (1 + )E[SY] = hE[SY]



La c.a. fissa la massima probabilità di rovina

accettabile per un anno, L’autorità di controllo ritiene adeguata e, per

minimizzare il rischio di insolvenza, impone alla

c.a. una riserva libera minima pari a R* e, dunque,

un capitale pari a:

CS*(Y) = h*E[SY]



L’autorità di controllo stabilisce altresì che:

min

M̂ SCS ,se k,

CSCS

ˆ ˆM S M SCS ,se > k.

k CS

Y

Y Y

YY

Y

YY

Definizioni

Il risarcimento potenzialmente catastrofale

Per s3, sia [0,M(S3,j)], M(S3,j) = max[S3,j] > 0,il supporto della v.c. S3,j e sia:

il valore corrispondente alla massima probabilità annua che s3 approssima allo 0, cioè:

3,j 3,jM̂ S M S

3,j 3,jS 3,j S

ˆF M S max F s 0


Il risarcimento potenzialmente catastrofale

Un risarcimento potenzialmente catastrofale

per s3 è una qualsiasi r.v. S3,j che soddisfa

la seguente condizione:

3,jα,η

M̂ S k max CS α,η; Y

Definizioni


Definizioni

Evento potenzialmente catastrofale

Un evento è potenzialmente catastrofale per

s3 se, e soltanto se, esso è connesso ad un

risarcimento potenzialmente catastrofale per

s3


Definizioni

Rischio ISO/IEC

“The risk is a combination of the probability of an event and its consequence.”

ossia

Rischio ISO/IEC =

evento,probabilità,conseguenze


Definizioni

Rischio catastrofale per s3

Rischio catastrofale =

evento potenzialmente catastrofale,

probabilità,

risarcimento potenzialmente catastrofale


DefinizioniRischio catastrofale per s4

Una unità di rischio X, assicurata in s4, è un rischio catastrofale per s4 se, e soltanto se, qualunque sia stata la suddivisione di X, per fini assicurativi e/o riassicurativi, in m unità di rischio all’interno di s4 e qualunque sia stata l’associazione di ciascuna di esse a ciascuno dei soggetti s3, almeno uno dei soggetti s3 è esposto ad un rischio catastrofale


Definizioni

Rischio di catastrofe

Esso è una unità di rischio formata da un numero

m, in genere molto grande, di componenti, dove m,

per semplificare sta ad indicare anche il numero

dei soggetti coinvolti. Esso è espresso tramite la:

Rischio di catastrofe =

rischio connesso al soggetto k-esimok=1,2…,m

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