VETTORI

Grandezze scalari e vettoriali

Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre invece sono completamente definite solo quando, oltre ad un numero e alla corrispondente unità di misura, vengono fissati anche direzione e verso

Grandezze Fisiche

Scalari : definite da

numero e unità di misura

Vettoriali : definite da

Modulo (valore numerico e

unità di misura)

direzione

verso

I VETTORI

Un vettore viene indicato con la notazione:

v (lettera che individua la grandezza vettoriale in

grassetto)

oppure

v (lettera che individua la grandezza vettoriale con

una freccia sopra)

Il modulo di un vettore, cioè il suo valore numerico (o

intensità) viene invece indicato con |v| oppure |v|

oppure semplicemente v

I VETTORI

Rappresentazione grafica di una grandezza vettoriale:

Freccia la cui lunghezza indica l’intensità o modulo e

la cui direzione e verso (individuato dalla punta della

freccia) coincidano con quelli della grandezza vettoriale

che rappresenta

direzione

modulo

verso

Esempi di scalari e vettori

Modulo di V = |V|=OP

Vy = yP

Vx = xP

P(xp,yp)

x

y

Rappresentazione dei VETTORI nel PIANO

O

V

Vy

Vx xP

yP

Rappresentazione dei VETTORI nello spazio

y

x

z

V

O

P 0 (0,0,0)

P (xP, yP, zP)

Modulo di V = lunghezza del segmento OP

xP

yP

zP

Rappresentazione dei VETTORI nello spazio

y

x

z

V

Vz = zP

Vy = yP

Vx = xP

V (Vx,Vy,Vz)

Vx

Vz

Vy

Componenti di V lungo i tre assi cartesiani

=

Proiezioni di OP sui tre assi cartesiani

VETTORI NEL PIANO

Modulo di V = OP

Vy = yP

Vx = xP

P

x

y

Per esprimere un vettore in termini di componenti nei

piano facciamo un breve richiamo di trigonometria….

10

Sin, Cos, Tan

R

sα s R

a

RICHIAMO

P (xP,yP)

P

P

P

P

x

y

R

x

R

y

a

a

a

tan

cos

sin yP

xP

11

22 bac

a cosca

a sincba

a

a tan

cos

sin

a

b

a tanab

RICHIAMO

122 aa sencos

VETTORI NEL PIANO

Modulo di V = OP

Componenti di V:

Vy = yP

Vx = xP

P

x

y

Equivalentemente

Vx = V cosa Vx = V sinb

Vy = V sina Vy = V cosb

b

a

Vx xP

yP

Vy

V Vy

VETTORI NEL PIANO : -V

Il vettore U=-V ha

stesso modulo di V,

stessa direzione, ma

verso opposto.

Da cui segue :

Uy = -yP

Ux = -xP

P

x

y

V

P

x

y

U= -V

xp

-xp

yp

-yp

I vettori sono enti che hanno delle specifiche

operazioni di somma e prodotto.

Si definiranno :

- Somma (e differenza) tra vettori

- Prodotto tra un vettore ed uno scalare

- Prodotto scalare tra vettori

- Prodotto vettoriale

OPERAZIONI TRA VETTORI

1. Somma tra vettori

2. Prodotto tra un vettore ed uno scalare

3. Prodotto scalare tra vettori

4. Prodotto vettoriale

Somma tra vettori

Metodo 1

Metodo 2:

Per determinare il vettore

somma di a e b si possono

usare due metodi :

Metodo 1 : Costruire un parallelogramma

Il vettore somma c = a+ b

giace sulla diagonale maggiore

Metodo 2 :

Unire la punta di un vettore con

la coda dell’ altro

Unire la coda libera del primo

con la punta libera del secondo

a

b

a b

b

SOMMA DI DUE VETTORI A e B

A (AX, A

Y, A

Z) B (B

X, B

Y, B

Z)

C = A + B di componenti C (CX, C

Y, C

Z )

CX = A

X + B

X

CY = A

Y + B

Y

CZ = A

Z + B

Z

Si definisce il vettore somma C:

CX

C A

B

Y

X O

C= A+B = vettore somma =

diagonale del parallelogramma

avente per lati i vettori A e B

BX AX

AY

In un piano XY

A

B

A+B

Somma di due vettori: componenti nel

piano cartesiano

A

A1

A4

A3

A2

A = A1+ A2+ A3+…. AN vettore che congiunge

il primo estremo di A1 con il secondo estremo di AN

A1 A2 A3

A4

SOMMA DI N VETTORI A1, A

2, A

3,… A

N

somma dei vettori A e B A

B B

A A B

A+B

A

B AB

DIFFERENZA DI DUE VETTORI A e B:

OPERAZIONI TRA VETTORI

1. Somma tra vettori

2. Prodotto tra un vettore ed uno scalare

3. Prodotto scalare tra vettori

4. Prodotto vettoriale

PRODOTTO DI UNO SCALARE PER UN VETTORE

Sia A un vettore ed m uno scalare. Si definisce B come

prodotto di m per A

RAPPRESENTAZIONE DI UN VETTORE TRAMITE VERSORE

Un vettore nello spazio lo si può scrivere come multiplo

di un vettore di modulo unitario, chiamato versore

direzione

Modulo = 1

verso

Versore u

v = m u

ALTRA RAPPRESENTAZIONE DEI VETTORI NEL

PIANO

P

x

y

vx

vy

P

x

y

i

j

yx vvv

v

ji

yx vvv

vx

vy

i j k versori

degli assi coordinati

k j

i

i (1,0,0 ) j (0,1,0 ) k (0,0,1)

Versore = vettore di lunghezza unitaria

Rappresentazione tramite versori

A

Z

X

Y AXi AYj

AZk

A = AX i + AY j + AZ k

Scomposizione lungo gli assi cartesiani

RAPPRESENTAZIONE DEI VETTORI NEL PIANO

P

x

y

A = AX i + AY j

i j

Ax

Ay

SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE LUNGO

DUE DIREZIONI ORIENTATE r ED s

determinazione di due vettori

paralleli a r ed s la cui somma è A

A

r

s As Ar

A = Ar + A

s

OPERAZIONI TRA VETTORI

1. Somma tra vettori

2. Prodotto tra un vettore ed uno scalare

3. Prodotto scalare tra vettori

4. Prodotto vettoriale

PRODOTTO SCALARE

Il risultato è uno SCALARE

a A

B

A B = 0

A 0

B = 0

A B

A A = A A cos 0 =A2

i i = 1 j j = 1 k k = 1

i j = 0 j k = 0 i k = 0

proprietà commutativa

A B = B A

proprietà distributiva

A ( B + C) = A B + A C

Proprietà del prodotto scalare

A B = (AX i + AY j + AZ k) (BX i + BY j + BZ k) =

= AX BX + AY BY + AZ BZ

A A = A2 = AX2 + AY

2 + AZ2

Prodotto scalare in componenti cartesiane

OPERAZIONI TRA VETTORI

1. Somma tra vettori

2. Prodotto tra un vettore ed uno scalare

3. Prodotto scalare tra vettori

4. Prodotto vettoriale

C = A B

A

B C

modulo di C : C = A B sen

direzione di C : perpendicolare al piano definito da A e B

verso di C : definito dalla regola della vite destrorsa

o dalla regola della mano destra

oppure C = A B

A B

C

B A

C

C vettore

Prodotto vettoriale di due vettori

a

b

Regola della vite : direzione perpendicolare

al piano e verso pari allo spostamento della

vite se ruotata da a a b

Regola della mano destra

1. Supponete che la vostra mano

destra sia il piano in cui sono

disegnati i vettori;

2. Considerate le prime 3 dita

della mano destra: pollice, indice

e medio;

3. Orientate l’indice secondo la

direzione di a e il medio secondo

la direzione di b;

4. Orientare il pollice in modo che

sia perpendicolare al piano

formato dalle altre 2 dita

5. La direzione e il verso deI

vettore prodotto sono quelli del

pollice;

Regole per determinare il verso di C=AxB

a x b

proprietà anticommutativa

A B = B A

proprietà distributiva

A ( B + C ) = A B + A C

i i = 0 j j = 0 k k = 0

Proprietà del prodotto vettoriale

ESERCIZI

Richiamo trigonometria 38

Sin, Cos, Tan

R

sα s R

a

P (xP,yP)

P

P

P

P

x

y

R

x

R

y

a

a

a

tan

cos

sin yP

xP

Richiamo trigonometria 39

22 bac

a cosca

a sincba

a

a tan

cos

sin

a

b

a tanab

122 aa sencos

Richiamo trigonometria

090

2

160

2

245

2

330

10

cos

cos

cos

cos

cos

190

2

360

2

245

2

130

00

sen

sen

sen

sen

sen

90

360

145

3

130

00

tg

tg

tg

tg

tg

Richiamo di trigonometria

Noto il valore di sen, cos o tg di un angolo, possiamo

determinare l’angolo tramite le funzioni inverse

(i.e. la funzione inversa del seno sen-1arcsen, analogamente

cos-1 arccos, tg-1 arctg)) :

)arctg(tg

)arcsen(sen

)arccos(cos

bb

aa

Esercizio 1

Scomporre un vettore di modulo 100 in due

componenti ad angolo retto, una delle quali forma un

angolo di 30° con la direzione del vettore. Risolvere

graficamente e con il calcolo

Soluzione

Esercizio 2

Dati i due vettori scritti in forma cartesiana

a = (4.0 ) i – (3.0) j e b = (6.0 ) i + (8.0) j

determinare:

1) modulo e direzione di a (rispetto ad i);

2) modulo e direzione di b;

3) modulo e direzione di a+b;

4) modulo e direzione di b-a;

5) modulo e direzione di a-b;

6) l’angolo fra la direzione di b-a e a-b

Risposta ad 1) e 2)

Risposta 3)

Risposta 4)

Risposta 5)

Risposta 6)

Esercizio 3

Un automobilista percorre 5 miglia verso Ovest,

quindi 4 miglia in direzione Nord-Est e infine 3

miglia verso Nord.

Qual è lo spostamento risultante? Quanto cioè si è

allontanato dal punto di partenza?

Esercizio 4

Prodotti tra vettori

Scalare

Vettoriale

Esercizio 5

Esercizio 6

Il vettore a ha modulo 8.08 e punta verso l’asse x

negativo. Il vettore b ha modulo 4.51 e punta a +45°

rispetto all’asse x positivo.

o Determinare le componenti x ed y di ciascun vettore.

o La somma dei 2 vettori in modulo, direzione e verso;

o Il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale.

Esercizio 6

Sono dati 3 vettori:

o a di modulo 66.0 che forma un angolo di 28° rispetto al

semiasse positivo delle x;

o b di modulo 40.0 che forma un angolo di 124° rispetto al

semiasse positivo delle x;

o c di modulo 46.8 che punta verso l’asse negativo delle y .

Determinare :

le componenti dei tre vettori;

Il vettore risultante a+b+c in modulo, direzione e verso

Esercizio 7

Un uomo si sposta di 24 metri nella direzione 30°

nord rispetto ad est, poi di 28 metri nella direzione

37° nord rispetto a est, infine di 20 metri nelle

direzione 50° sud rispetto a ovest.

Determinare il vettore spostamento totale in

modulo, direzione e verso.

Esercizio 8

Un aereo viaggia alla velocità di vr = 400 Km/h

verso Est, poi si trova in una zona in cui spira un

forte vento da Nord, con velocità vv = 80 Km/h .

Calcolare quale velocità ( in modulo e direzione)

dovrà assumere l’aereo in questo caso per non

perdere la rotta.

Esercizio 9

Un motoscafo da corsa si muove in direzione E 30º N

alla velocità di 25 miglia/h in un corso d’acqua in cui

la corrente è tale che il moto risultante avviene nella

direzione E 50º N alla velocità di 30 miglia/h.

Trovare la velocità della corrente (in modulo e

direzione).

Esercizio 10

Un vagoncino delle montagne russe parte e si muove

di 60 m orizzontalmente. Poi sale di 40 m secondo

una direzione inclinata di 30° rispetto all’orizzontale

e quindi sale ancora di 25 m secondo una direzione

inclinata di 45°.

1. Determinare lo spostamento totale del carrello.

2. Quanto distante in orizzontale si trova il carrello

rispetto alla partenza? Ed in verticale?

Esercizio 11

Un’imbarcazione si sposta per 50 miglia verso Nord,

poi percorre altre 50 miglia verso Ovest e infine 25

miglia verso Sud. Che angolo, misurato dalla

direzione Est, avrebbe dovuto seguire l’imbarcazione

alla partenza per raggiungere direttamente la

destinazione?

Esercizio 12

Durante una partita di calcio, il portiere P, dal centro della propria porta, rilancia la palla al terzino T che si trova ad una distanza d = 30m dalla sua linea di fondo e s = 20m dalla sua sinistra. Il terzino poi passa la palla all’attaccante A che si trova a una distanza h = 80m dalla linea di fondo ed a 15m a destra del proprio portiere:

1. Quale direzione e verso deve imprimere alla palla l’attaccante per centrare la porta avversaria se il campo di calcio è lungo 100m?

2. Quale spostamento ha compiuto la palla nel momento in cui entra nella porta avversaria? E quanto spazio ha percorso?