G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Grandezze scalari e vettoriali Massa Tempo Temperatura Pressione...

G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Grandezze scalari e vettoriali

• Massa

• Tempo

• Temperatura

• Pressione

• Posizione lungo un asse (linea)

• Volume

• Lavoro

• Energia

• Spostamento

• Posizione

• Velocità

• Accelerazione

• Forza

• Quantità di moto

• Impulso

• Momento della quantità di moto

• Mentre per rappresentare una grandezza scalare è sufficiente un numero ( con le relative unità di misura), per rappresentare una grandezza vettoriale sono necessari tre parametri:

– il modulo– la direzione – ed il verso


I vettori

• Quando si ha a che fare con un problema in fisica conviene sempre fare un disegno, uno schizzo.

• Un vettore si rappresenta con una freccia per indicare la direzione ed il verso del vettore. La lunghezza della freccia rappresenta invece il modulo del vettore.

• Vettori paralleli (stesso verso e stessa direzione) e con lo stesso modulo sono uguali.

Il vettore spostamento• Lo spostamento è l’esempio più immediato di grandezza vettoriale

• Consideriamo un punto materiale in moto su un piano– All’istante iniziale to il punto di trova in Po. all’istante t1 nel punto P1

– Lo spostamento subito dal punto materiale nell’intervallo tra to e t1 è rappresentato dal segmento orientato PoP1( )

– Come appare dalla figura: lo spostamento è caratterizzato da• un modulo : la distanza tra Po e P1

• una direzione: quella della reta passante per Po e P1

• un verso: quello da Po a P1

• Tutti i vettori, non solo lo spostamento possono essere rappresentati con un segmento orientato.


Po

P1

Il vettore spostamento• Due vettori saranno uguali se e solo se

– hanno lo stesso modulo

– la stessa direzione

– lo stesso verso

• Tutti i segmenti orientati paralleli al segmento PoP1 di pari lunghezza rappresentano lo stesso vettore

• In alcuni casi si parla di punto di applicazione del vettore: è il punto da cui inizia il segmento orientato. • Nel caso dello spostamento il punto di applicazione può essere fatto coincidere con il punto di partenza Po


Po

P1

Il vettore spostamento• Supponiamo ora che all’istante di tempo tempo t2. successivo a t1, il punto materiale abbia raggiunto P2.

• Lo spostamento nell’intervallo tra t1 e t2 sarà rappresentato dal segmento orientato P1P2 ( )

• Lo spostamento complessivo nell’intervallo tra to e t2 sarà rappresentato dal segmento orientato PoP2 ( )

• Il vettore è la somma di due vettori e


Po

P1

P2


Somma di due vettoriRegola del parallelogramma

• Si riporta a partire da un punto Po il primo vettore ( ), dalla punta del primo vettore si riporta il secondo vettore ( ), il vettore somma si ottiene collegando il punto iniziale del primo vettore con il punto finale del secondo vettore

• Ma posso fare anche il contrario: a partire da Po riporto il secondo vettore ( )e poi dal suo estremo riporto il primo vettore ( ). Il vettore somma si ottiene collegando il punto iniziale con il punto finale.

• La somma dei due vettori coincide con la diagonale del parallelogramma costruito coni due vettori.

Po

P1

P2

Po

P1

P2


Somma di due vettori

x

• Regola del parallelogramma

• Si riporta il primo vettore, a partire dalla fine del primo vettore si riporta il secondo.

• Il vettore somma si ottiene congiungendo il punto iniziale del primo vettore con quello finale del secondo vettore

y

La somma è commutativa, posso invertire il ruolo del primo vettore conil secondo

La somma di più vettori

• Se si devono sommare più di due vettori…. a partire da un punto scelto arbitrariamente Po si riporta il primo vettore, dall’estremo del primo vettore si riporta il secondo, dall’estremo del secondo si riporta il terzo, e così di seguito. Il vettore somma sarà rappresentato dal segmento orientato che parte dal punto iniziale del primo vettore, Po ,e finisce nel punto finale dell’ultimo vettore.

• La somma di vettori gode della proprietà associativa e distributiva


Po

Prodotto di un vettore per uno scalare

• Il risultato del prodotto di un vettore, , per uno scalare k

• è– Un vettore , di

• Modulo pari a valore assoluto di k volte il modulo del vettore

• Direzione quella del vettore

• Verso: quello di se k è positivo, quello opposto se k è negativo


Differenza tra vettori

• La differenza tra vettori

• Si definisce come la somma tra

• La differenza tra due vettori è la seconda delle due diagonali del parallelogramma costriuto con i due vettori.


Po

P1

P2


Versori

• Sono vettori di modulo unitario• I versori non hanno dimensioni


Vettori componenti di un vettore

• Qualunque vettore può essere pensato come somma di due vettori e , il primo parallelo all’asse x, il secondo all’asse y

• e sono i vettori componenti di .

N.B. Nello spazio i vettori componenti sono tre: , e

x

y


Le componenti cartesiane• Definizione delle componenti cartesiane attraverso i vettori

componenti

x

y


Somma di vettori usando le componenti

Ax

Bx


Significato di una relazione vettoriale

Due vettori sono uguali se sono uguali le componenti

Un’equazione vettoriale corrisponde a due (nel piano),tre (nello spazio) equazioni scalari


Applicazione

Un’automobile viaggia verso est per 50 km, poi verso nord per 30 km e infine in direzione di 30° a est rispetto al nord per 25 km.Si disegni il diagramma dei vettori e si determini lo spostamento totale dell’auto dal punto di partenza.


Applicazione

La lancetta dei minuti di un orologio a parete misura 10 cm dall’asse alla punta. Qual è il vettore spostamento della punta - dal quarto d’ora alla mezz’ora- durante la mezz’ora successiva- durante l’ora successiva


Applicazione

Il vettore B sommato al vettore A da per risultato 6.0i+1.0j. Se si sottrae B da A il risultato è -4.0i+7.0j. Quant’è il modulo il modulo di A.


Applicazione

Sono date le componenti di 4 vettori a,b,c,d. Determinare per ciascuno di essi l’angolo formato con l’asse delle x:1) ax=3 ay=32) bx=-3 by=-33) cx=-3 cy=34) dx=3 dy=-3


Moto in tre dimensioni• Traiettoria: luogo di punti via via occupati

dal punto materiale

• La posizione del punto materiale viene individuato dal vettore posizione

• Il vettore posizione rappresenta lo spostamento a partire dall’origine per raggiungere la posizione del punto materiale

• Legge oraria: posizione in funzione del tempo.

Equaz. parametriche della traiettor

ia

• Le componenti cartesiane del vettore posizione sono le coordinate del punto materiale

• Il moto nello spazio è la composizione di tre moti rettilinei dei punti proiezione sugli assi coordinati


La velocità vettoriale istantanea• Si fissa l’istante t

• Si fissa un intervallo t maggiore di zero

• Si calcola la velocità media nell’intervallo t

• La velocità media è un vettore perché prodotto di uno scalare per un vettore

• Si definisce la velocità istantanea come

• La velocità vettoriale tende ad assumere la direzione tangente alla traiettoria nel punto P(t).

• Il verso è quello del moto.

• La velocità vettoriale è la derivata del vettore posizione valutata all’istante t.

Attenzione è la derivata di un vettore


La velocità riferita alla traiettoria

• Indichiamo con s il percorso effettuato sulla traiettoria dal punto materiale. • Osserviamo che per • La velocità media può essere scritta:

• Il limite per t che tende a zero ci darà la velocità scalare istantanea.

• Supponiamo di poter calcolare il limite del rapporto incrementale nel seguente modo:


La velocità riferita alla traiettoria

• Osserviamo che

• Abbiamo già osservato che lo spostamento, per t che tende a zero, si dispone lungo la direzione della tangente alla traiettoria nel punto considerato nel verso del moto.

• Quindi possiamo porre

• La lunghezza dell’arco, per t, o s che tende a zero diventa uguale alla lunghezza della corda

• La velocità istantanea può essere scritta:

Le componenti cartesiane della velocità

• Abbiamo definito la velocità come

• Come tutti i vettori la velocità può essere scritta utilizzando le sue componenti cartesiane come

• Ricordiamo che

• Calcoliamo la derivata prima di


Componenti cartesiane della velocita

• Confrontando l’ultima espressione con quella della velocità espressa in termini delle sue componenti cartesiane si ottiene

• La componente x della velocità dipende solo dalla coordinata x della posizione, la componente y dalla coordinata y e la componente z dalla coordinata z.

• Le componenti non si mischiano


Le componenti della velocità nella rappresentazione polare

• La rappresentazione polare viene usata per individuare la posizione di un punto in un piano, quindi si applica ai moti piani


x

y

La velocità angolare

• Sia (t) l’angolo formato dal vettore posizione con l’asse x all’istante t e (t+t) lo stesso angolo all’istante t+t

• Nell’intervallo t l’angolo è variato di (t+t)-(t)

• Si definisce velocità angolare media nell’intervallo t

• La velocità angolare istantanea si ottiene passando al limite per t che tende a zero

•

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y

L’accelerazione angolare

• Sia (t) la velocità angolare all’istante t

e(t+t) quella all’istante t+t

• Nell’intervallo t la velocità angolare è variata di (t+t)-(t)

• Si definisce accelerazione angolare media nell’intervallo t

• L’accelerazione angolare istantanea si ottiene passando al limite per t che tende a zero

•

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y

La velocità angolare e l’accelerazione angolare

• Le definizioni della velocità angolare e dell’accelerazione angolare sono del tutto simili a quelle della velocità ed accelerazione in moto rettilineo uniforme

• Anche le soluzioni saranno simili:


Calcolo della derivata del versore


x

y

Le componenti della velocità nella rappresentazione polare

• Tornando al calcolo delle componenti della velocità nella rappresentazione polare


x

y

L’accelerazione

• Nell’intervallo t la velocità è cambiata sicuramente in direzione ma anche in intensità

• L’accelerazione media nell’intervallo t è data da

• L’accelerazione media è un vettore

• Notare che l’accelerazione è diretta verso la concavità della curva

• L’accelerazione istantanea all’istante t si ottiene con il passaggio al limite per t che tende a zero

• Ripetendo il limite per tutti gli istanti di tempo


x

y

Le componenti cartesiane della accelerazione


• Come tutti i vettori la velocità può essere scritta utilizzando le sue componenti cartesiane come

• Ricordiamo che

• Calcoliamo la derivata prima di


Componenti cartesiane della accelerazione

• Confrontando le due espressioni

• La componente x della accelerazione dipende solo dalla componente x della velocità, la componente y della accelerazione dalla componente y della velocità e analogamente per la componente z.

• Le componenti non si mischiano



Velocità ed accelerazione



Applicazione

Un cannone lancia un proiettile con una velocità iniziale vo=60m/s ad un angolo di 60° rispetto all’orizzontale. Determinare, trascurando la resistenza dell’aria,

la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata). la velocità di impatto al suolola durata del motol’altezza massima raggiunta dal proiettile. il tempo impiegato per raggiungerla.il valore dell’angolo per il quale la gittata è massima ed il valore della gittata. la gittata quando l’angolo è di 30°.

• Introdurre il sistema di riferimento– Asse x orizzontale

– Asse y verticale

– vo contenuta nel piano xy

– Origine nel punto di lancio

• Il corpo sarà soggetto all’accelerazione di gravità

60°

x

y

vo

Condizioni iniziali


Applicazione

• Il moto avviene nel piano xy

• Le equazioni parametriche della traiettoria:

60°

x

y

vo

Per ottenere l’equazione della traiettoria y(x) bisogna eliminare

il tempo


Applicazione


Applicazione

la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata).

G è massima quandosen2o è massimo:

2o=90° o=45°


Applicazione

La durata del moto

Troviamo gli istanti di tempo in cui il proiettile è al suolo y=0

La velocità all’impatto t=t2

La componente y della velocità ha cambiato di segnoIl modulo della velocità di impatto è vo


Applicazione

l’altezza massima raggiunta dal proiettile ed il tempo necessario per raggiungerla.

Quando il punto si trova nel punto più alto della traiettoria vy=0

La gittata massima

La gittata per o=30°


Applicazione

Moto del proiettile


La velocità angolare

• Supponiamo che il punto materiale si muova con velocità costante sulla retta x=a

• L’angolo formato dal vettore posizione con l’asse delle x varia nel tempo

• ci possiamo calcolare la velocità angolare

x

y

vo

a

media

istantanea

• Se varia nel tempo ci possiamo calcolare l’accelerazione angolare

media istantanea

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