Scalari e Vettori - farmacia.uniba.it · Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili...
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VETTORI
Grandezze scalari e vettoriali
Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un’ unità di misura, altre invece sono completamente definite solo quando, oltre ad un numero e alla corrispondente unità di misura, vengono fissati anche direzione e verso
Grandezze Fisiche
Scalari : definite da
numero e unità di misura
Vettoriali : definite da
Modulo (valore numerico e
unità di misura)
direzione
verso
I VETTORI
Un vettore viene indicato con la notazione:
v (lettera che individua la grandezza vettoriale in
grassetto)
oppure
v (lettera che individua la grandezza vettoriale con
una freccia sopra)
Il modulo di un vettore, cioè il suo valore numerico (o
intensità) viene invece indicato con |v| oppure |v|
oppure semplicemente v
I VETTORI
Rappresentazione grafica di una grandezza vettoriale:
Freccia la cui lunghezza indica l’intensità o modulo e
la cui direzione e verso (individuato dalla punta della
freccia) coincidano con quelli della grandezza vettoriale
che rappresenta
direzione
modulo
verso
Esempi di scalari e vettori
Modulo di V = |V|=OP
Vy = yP
Vx = xP
P(xp,yp)
x
y
Rappresentazione dei VETTORI nel PIANO
O
V
Vy
Vx xP
yP
Rappresentazione dei VETTORI nello spazio
y
x
z
V
O
P 0 (0,0,0)
P (xP, yP, zP)
Modulo di V = lunghezza del segmento OP
xP
yP
zP
Rappresentazione dei VETTORI nello spazio
y
x
z
V
Vz = zP
Vy = yP
Vx = xP
V (Vx,Vy,Vz)
Vx
Vz
Vy
Componenti di V lungo i tre assi cartesiani
=
Proiezioni di OP sui tre assi cartesiani
VETTORI NEL PIANO
Modulo di V = OP
Vy = yP
Vx = xP
P
x
y
Per esprimere un vettore in termini di componenti nei
piano facciamo un breve richiamo di trigonometria….
10
Sin, Cos, Tan
R
sα s R
a
RICHIAMO
P (xP,yP)
P
P
P
P
x
y
R
x
R
y
a
a
a
tan
cos
sin yP
xP
11
22 bac
a cosca
a sincba
a
a tan
cos
sin
a
b
a tanab
RICHIAMO
122 aa sencos
VETTORI NEL PIANO
Modulo di V = OP
Componenti di V:
Vy = yP
Vx = xP
P
x
y
Equivalentemente
Vx = V cosa Vx = V sinb
Vy = V sina Vy = V cosb
b
a
Vx xP
yP
Vy
V Vy
VETTORI NEL PIANO : -V
Il vettore U=-V ha
stesso modulo di V,
stessa direzione, ma
verso opposto.
Da cui segue :
Uy = -yP
Ux = -xP
P
x
y
V
P
x
y
U= -V
xp
-xp
yp
-yp
I vettori sono enti che hanno delle specifiche
operazioni di somma e prodotto.
Si definiranno :
- Somma (e differenza) tra vettori
- Prodotto tra un vettore ed uno scalare
- Prodotto scalare tra vettori
- Prodotto vettoriale
OPERAZIONI TRA VETTORI
1. Somma tra vettori
2. Prodotto tra un vettore ed uno scalare
3. Prodotto scalare tra vettori
4. Prodotto vettoriale
Somma tra vettori
Metodo 1
Metodo 2:
Per determinare il vettore
somma di a e b si possono
usare due metodi :
Metodo 1 : Costruire un parallelogramma
Il vettore somma c = a+ b
giace sulla diagonale maggiore
Metodo 2 :
Unire la punta di un vettore con
la coda dell’ altro
Unire la coda libera del primo
con la punta libera del secondo
a
b
a b
b
SOMMA DI DUE VETTORI A e B
A (AX, A
Y, A
Z) B (B
X, B
Y, B
Z)
C = A + B di componenti C (CX, C
Y, C
Z )
CX = A
X + B
X
CY = A
Y + B
Y
CZ = A
Z + B
Z
Si definisce il vettore somma C:
CX
C A
B
Y
X O
C= A+B = vettore somma =
diagonale del parallelogramma
avente per lati i vettori A e B
BX AX
AY
In un piano XY
A
B
A+B
Somma di due vettori: componenti nel
piano cartesiano
A
A1
A4
A3
A2
A = A1+ A2+ A3+…. AN vettore che congiunge
il primo estremo di A1 con il secondo estremo di AN
A1 A2 A3
A4
SOMMA DI N VETTORI A1, A
2, A
3,… A
N
somma dei vettori A e B A
B B
A A B
A+B
A
B AB
DIFFERENZA DI DUE VETTORI A e B:
OPERAZIONI TRA VETTORI
1. Somma tra vettori
2. Prodotto tra un vettore ed uno scalare
3. Prodotto scalare tra vettori
4. Prodotto vettoriale
PRODOTTO DI UNO SCALARE PER UN VETTORE
Sia A un vettore ed m uno scalare. Si definisce B come
prodotto di m per A
RAPPRESENTAZIONE DI UN VETTORE TRAMITE VERSORE
Un vettore nello spazio lo si può scrivere come multiplo
di un vettore di modulo unitario, chiamato versore
direzione
Modulo = 1
verso
Versore u
v = m u
ALTRA RAPPRESENTAZIONE DEI VETTORI NEL
PIANO
P
x
y
vx
vy
P
x
y
i
j
yx vvv
v
ji
yx vvv
vx
vy
i j k versori
degli assi coordinati
k j
i
i (1,0,0 ) j (0,1,0 ) k (0,0,1)
Versore = vettore di lunghezza unitaria
Rappresentazione tramite versori
A
Z
X
Y AXi AYj
AZk
A = AX i + AY j + AZ k
Scomposizione lungo gli assi cartesiani
RAPPRESENTAZIONE DEI VETTORI NEL PIANO
P
x
y
A = AX i + AY j
i j
Ax
Ay
SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE LUNGO
DUE DIREZIONI ORIENTATE r ED s
determinazione di due vettori
paralleli a r ed s la cui somma è A
A
r
s As Ar
A = Ar + A
s
OPERAZIONI TRA VETTORI
1. Somma tra vettori
2. Prodotto tra un vettore ed uno scalare
3. Prodotto scalare tra vettori
4. Prodotto vettoriale
PRODOTTO SCALARE
Il risultato è uno SCALARE
a A
B
A B = 0
A 0
B = 0
A B
A A = A A cos 0 =A2
i i = 1 j j = 1 k k = 1
i j = 0 j k = 0 i k = 0
proprietà commutativa
A B = B A
proprietà distributiva
A ( B + C) = A B + A C
Proprietà del prodotto scalare
A B = (AX i + AY j + AZ k) (BX i + BY j + BZ k) =
= AX BX + AY BY + AZ BZ
A A = A2 = AX2 + AY
2 + AZ2
Prodotto scalare in componenti cartesiane
OPERAZIONI TRA VETTORI
1. Somma tra vettori
2. Prodotto tra un vettore ed uno scalare
3. Prodotto scalare tra vettori
4. Prodotto vettoriale
C = A B
A
B C
modulo di C : C = A B sen
direzione di C : perpendicolare al piano definito da A e B
verso di C : definito dalla regola della vite destrorsa
o dalla regola della mano destra
oppure C = A B
A B
C
B A
C
C vettore
Prodotto vettoriale di due vettori
a
b
Regola della vite : direzione perpendicolare
al piano e verso pari allo spostamento della
vite se ruotata da a a b
Regola della mano destra
1. Supponete che la vostra mano
destra sia il piano in cui sono
disegnati i vettori;
2. Considerate le prime 3 dita
della mano destra: pollice, indice
e medio;
3. Orientate l’indice secondo la
direzione di a e il medio secondo
la direzione di b;
4. Orientare il pollice in modo che
sia perpendicolare al piano
formato dalle altre 2 dita
5. La direzione e il verso deI
vettore prodotto sono quelli del
pollice;
Regole per determinare il verso di C=AxB
a x b
proprietà anticommutativa
A B = B A
proprietà distributiva
A ( B + C ) = A B + A C
i i = 0 j j = 0 k k = 0
Proprietà del prodotto vettoriale
ESERCIZI
Richiamo trigonometria 38
Sin, Cos, Tan
R
sα s R
a
P (xP,yP)
P
P
P
P
x
y
R
x
R
y
a
a
a
tan
cos
sin yP
xP
Richiamo trigonometria 39
22 bac
a cosca
a sincba
a
a tan
cos
sin
a
b
a tanab
122 aa sencos
Richiamo trigonometria
090
2
160
2
245
2
330
10
cos
cos
cos
cos
cos
190
2
360
2
245
2
130
00
sen
sen
sen
sen
sen
90
360
145
3
130
00
tg
tg
tg
tg
tg
Richiamo di trigonometria
Noto il valore di sen, cos o tg di un angolo, possiamo
determinare l’angolo tramite le funzioni inverse
(i.e. la funzione inversa del seno sen-1arcsen, analogamente
cos-1 arccos, tg-1 arctg)) :
)arctg(tg
)arcsen(sen
)arccos(cos
bb
aa
Esercizio 1
Scomporre un vettore di modulo 100 in due
componenti ad angolo retto, una delle quali forma un
angolo di 30° con la direzione del vettore. Risolvere
graficamente e con il calcolo
Soluzione
Esercizio 2
Dati i due vettori scritti in forma cartesiana
a = (4.0 ) i – (3.0) j e b = (6.0 ) i + (8.0) j
determinare:
1) modulo e direzione di a (rispetto ad i);
2) modulo e direzione di b;
3) modulo e direzione di a+b;
4) modulo e direzione di b-a;
5) modulo e direzione di a-b;
6) l’angolo fra la direzione di b-a e a-b
Risposta ad 1) e 2)
Risposta 3)
Risposta 4)
Risposta 5)
Risposta 6)
Esercizio 3
Un automobilista percorre 5 miglia verso Ovest,
quindi 4 miglia in direzione Nord-Est e infine 3
miglia verso Nord.
Qual è lo spostamento risultante? Quanto cioè si è
allontanato dal punto di partenza?
Esercizio 4
Prodotti tra vettori
Scalare
Vettoriale
Esercizio 5
Esercizio 6
Il vettore a ha modulo 8.08 e punta verso l’asse x
negativo. Il vettore b ha modulo 4.51 e punta a +45°
rispetto all’asse x positivo.
o Determinare le componenti x ed y di ciascun vettore.
o La somma dei 2 vettori in modulo, direzione e verso;
o Il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale.
Esercizio 6
Sono dati 3 vettori:
o a di modulo 66.0 che forma un angolo di 28° rispetto al
semiasse positivo delle x;
o b di modulo 40.0 che forma un angolo di 124° rispetto al
semiasse positivo delle x;
o c di modulo 46.8 che punta verso l’asse negativo delle y .
Determinare :
le componenti dei tre vettori;
Il vettore risultante a+b+c in modulo, direzione e verso
Esercizio 7
Un uomo si sposta di 24 metri nella direzione 30°
nord rispetto ad est, poi di 28 metri nella direzione
37° nord rispetto a est, infine di 20 metri nelle
direzione 50° sud rispetto a ovest.
Determinare il vettore spostamento totale in
modulo, direzione e verso.
Esercizio 8
Un aereo viaggia alla velocità di vr = 400 Km/h
verso Est, poi si trova in una zona in cui spira un
forte vento da Nord, con velocità vv = 80 Km/h .
Calcolare quale velocità ( in modulo e direzione)
dovrà assumere l’aereo in questo caso per non
perdere la rotta.
Esercizio 9
Un motoscafo da corsa si muove in direzione E 30º N
alla velocità di 25 miglia/h in un corso d’acqua in cui
la corrente è tale che il moto risultante avviene nella
direzione E 50º N alla velocità di 30 miglia/h.
Trovare la velocità della corrente (in modulo e
direzione).
Esercizio 10
Un vagoncino delle montagne russe parte e si muove
di 60 m orizzontalmente. Poi sale di 40 m secondo
una direzione inclinata di 30° rispetto all’orizzontale
e quindi sale ancora di 25 m secondo una direzione
inclinata di 45°.
1. Determinare lo spostamento totale del carrello.
2. Quanto distante in orizzontale si trova il carrello
rispetto alla partenza? Ed in verticale?
Esercizio 11
Un’imbarcazione si sposta per 50 miglia verso Nord,
poi percorre altre 50 miglia verso Ovest e infine 25
miglia verso Sud. Che angolo, misurato dalla
direzione Est, avrebbe dovuto seguire l’imbarcazione
alla partenza per raggiungere direttamente la
destinazione?
Esercizio 12
Durante una partita di calcio, il portiere P, dal centro della propria porta, rilancia la palla al terzino T che si trova ad una distanza d = 30m dalla sua linea di fondo e s = 20m dalla sua sinistra. Il terzino poi passa la palla all’attaccante A che si trova a una distanza h = 80m dalla linea di fondo ed a 15m a destra del proprio portiere:
1. Quale direzione e verso deve imprimere alla palla l’attaccante per centrare la porta avversaria se il campo di calcio è lungo 100m?
2. Quale spostamento ha compiuto la palla nel momento in cui entra nella porta avversaria? E quanto spazio ha percorso?