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Grandezze scalariSono grandezze caratterizzate soltanto da un numero.Esempi:Massa numero costante che non cambiaTemperatura numero variabile

Grandezze vettorialiSono caratterizzate da:- modulo- direzione- versoEsempi:Vettore spostamento, velocita', accelerazioneVettore forzaQueste grandezze possono essere costanti o variabili

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Esempio di grandezza vettoriale: spostamento rettilineo

La frase “spostamento di 1 metro a partire dal punto O” non e'univoca: il punto di arrivo puo' essere un qualsiasi punto dellacirconferenza di centro O e raggio un metro.

1m1m

1m

Ci sono infinite soluzioni

Se oltre al modulo “1 m” si precisa la direzione si hanno due soluzioni:

O

O

Se si precisa anche il verso si ha una sola soluzione: O

Solo cosi' e' chiaro da dove si parte e dove si arriva

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Rappresentazione di un vettore

Un vettore e' rappresentato da un segmento orientatoe/o da una lettera con una freccia sopra e/o una lettera in grassetto v

v

Vettore unitario: versore

Il vettore di modulo unitario o individua una direzione orientata, cioe' una direzione e un verso e il modulo di , indicato come o , e' uguale a 1 ( =1 )

u

v

uu ∣u∣ ∣u∣

u

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Rappresentazione Cartesiana di un vettore

ux

u y

vv y

v x

θ

v=v x+ v y=v x ux+v y u y

sono i vettori componenti v x v y

v x v ye sono le componenti cartesiane del vettore

v

Dal grafico si ricava:

v x=v cosθ v y=v sinθv=√v x2+v y2

tan (θ)=v yv x

Esempio: se e forma un angolo con asse x: v=3 u θ=60o

v x=3cos(60)=1.5 v y=3sin(60)=2.6v=3v=v x+ v y=v x ux+v y u y=1.5 u x+2.6 u y

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Operazioni con i vettori

Somma e differenza di vettori

Dati due vettori e si definisce somma dei due vettori la diagonale del parallelogramma formato dai vettori e

Dati due vettori qualsiasi

Si riportano alla stessa origine

Si costruisce il parallelogramma

ba aba b

ab

ab

a

bab

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-

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Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

ha la stessa direzione di , verso uguale o opposto ad a seconda del segno di m, ha modulo uguale al prodotto delmodulo di per il modulo di m. Se m=-1 si ritrova il vettore opposto.Questo implica che si puo' sempre scrivere:

b=ma

b=±bu

b a a

a

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Prodotto scalare

Dati due vettori e si definisce prodotto scalare a b

)a

bθ

a⋅b=abcos(θ)=acos(θ)b=b⋅a

Questo puo' anche essere visto come modulo del primo vettore perla componente scalare del secondo lungo la direzione del primo

)a

bθ

bcos(θ)

Se θ=0 a⋅b=ab Se θ=90o => due vettori sono ortogonali a⋅b=0

a⋅b

In rappresentazione cartesiana: a=ax u x , a y u y b=(bx ux , b y u y)

a⋅b=a xbxa yb y Il prodotto scalare e' la somma dei prodotti delle componenti

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Prodotto vettorialeDati due vettori e si definisce prodotto vettoriale tra e il vettore ortogonale sia ad che a tale che dove θ (θ<π) e' l'angolo tra e mentre e' il versore che determina la direzione del prodotto vettoriale che e' ortogonale sia ad che a . Il verso del vettore e' tale che e

a b

c=a×b=u ab sin (θ)ac

a b

a b u

a b

a

b

c

)

a

bθ

c

c

b

a b c

formano una terna levogira, cioe' rispetto ad un osservatore disposto secondo il vettore si sovrappone a ruotando in senso antiorario di un angolo θ<π

c a b

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Prodotto vettoriale in coordinate cartesiane

Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli e' nullo in particolare

c=∣u x u y uza xa y azb xb y bz

∣=ux (a yb z−az b y)−u y (ax bz−az bx)+u z(ax b y−a y bx)In coordinate cartesiane si ottiene come determinante della matrice:

Proprieta' algebrichea×b=−b×ak a×b=k a×b=a×k b

ac ×b=a×bc×b

a×a=0

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Dato il vettore quale e' la sua componente lungo P=2 u x ,1 u yQ=1 ux ,3 u y

Esercizi:

Si determini m in modo tale che il vettore siaperpendicolare al vettore

A=m u x ,2 u yB=8 u x ,12 u y

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