Appunti a cura del Prof. Michele Giugliano

Grandezze fisiche.

N.1. - Grandezze e loro misura.

1. - Classe di grandezze.

È un insieme di enti, omogenei fra di loro, per i quali si possano stabilire le relazioni di uguaglianza, di disuguaglianza e l’operazione di addizione. Ad esempio: una classe di segmenti, oppure di angoli. Quando ciò sia possibile, si dice anche che gli enti in oggetto sono misurabili.

2. - Definizione operativa delle grandezze.

Precisiamo subito, però, che quando affermiamo che le grandezze sono enti misurabili, non dobbiamo limitarci ad immaginare un procedimento qualsiasi, mediante il quale ciò sia possibile, solo in linea di principio, ma dobbiamo indicare le operazioni che consentano di misurare effettivamente le grandezze in esame.

3. - Unità di misura.

É una grandezza campione, omogenea con la grandezza data, scelta in maniera arbitra-ria. Ad esempio: il metro per la misura delle lunghezze.

4. - Misura di una grandezza.

É il numero reale ottenuto dal rapporto fra la grandezza data e la sua unità di misura. Esso rappresenta il numero di volte che l’unità di misura è contenuta nella grandezza stessa; e può essere razionale o irrazionale, a seconda che la grandezza data e la sua unità di misura siano commensurabili o incommensurabili fra di loro. Indicando con G la grandezza data, con G la sua misura e con [G] la sua unità di mi-sura, si ha:

G =][G

G

da cui

G = G [G].

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Esempio. Se AB è un segmento dato, m (metro) una sua unità di misura e 10 la sua misura (cioè il rapporto fra il segmento AB e il metro), allora:

mAB = 10;

oppure: AB = 10 m.

5. - Osservazioni.

Il rigore formale della fisica non è così accentuato come quello della matematica, tut-tavia alcuni chiarimenti sull’uso di certi termini può servire ad evitare confusioni. Abbiamo appena detto che la misura di una grandezza è un numero reale e non una grandezza, tuttavia spesso con tale termine si intende anche la grandezza stessa. Volendo essere più precisi, dovremmo parlare di misura astratta di una grandezza, che è il numero reale sopra definito e di misura concreta, che è il prodotto dell’unità di misura della grandezza per la sua misura e che, in fisica, si preferisce scrivere indicando prima la misura e poi l’unità. Il pratica, però, questa distinzione non si osserva quasi mai. Nel seguito, quindi, useremo l’espressione “misura di una grandezza”, indifferente-mente, nei due sensi. Il Lettore dovrà intenderne il significato di volta in volta. Tuttavia, eviteremo espressioni del tipo“la grandezza π“ ed altre consimili, che pure alcuni adoperano, a proposito delle “grandezze adimensionate”, cioè le grandezze indivi-duate solo da numeri, come l’indice di rifrazione. 6. - Operazioni con le grandezze. A) Grandezze come monomi. Si conviene di considerare una grandezza fisica come un monomio, in cui la parte nu-merica ne rappresenta la misura, mentre la parte letterale ne indica l’unità di misura. Esempi. 10 m è una grandezza, in cui 10 è la misura ed m ne è l’unità di misura; 34 m2 si interpreta in modo analogo; 12 m / s è una grandezza (velocità) in cui m / s ne è l’unità di misura. B) Le operazioni si eseguono con le stesse regole usate per i monomi. C) Esempi. __________________________ Prof. Michele Giugliano

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4m + 10m − 6m = 8m;

3m ⋅ 5m = 15 m2;

43

43

mm

= ;

16 2m = 4m;

124

3ms

ms

= ;

4

22 2

mss

ms

= .

7. - Notazione scientifica (o esponenziale). A) Problema. Quando la misura di una grandezza è data con molte cifre, spesso con diversi zeri, si usa esprimerla mediante opportune potenze di 10, ad esponente positivo o negativo, a se-conda che si tratti di numeri molto grandi o molto piccoli. Quali convenzioni si osservano per raggiunge questo risultato? B) Risoluzione. Si conviene, in tali circostanze, di spostare la virgola in modo che il numero ottenuto sia minore di 10 (quindi la parte intera è di una sola cifra) e di moltiplicarlo, dopo, per quella potenza di dieci che lasci inalterato il valore iniziale. C) Esempi. Rappresentare in notazione esponenziale i seguenti numeri: a) 12000; b) 0,000012; c) 1234,543;

Applicando la precedente convenzione, si ottiene quanto segue: a) 12000 = 1,2 ⋅ 104 ; b) 0,00012 = 1,2 ⋅ 10 -4 ;

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c) 1234,543 = 1,234543 ⋅ 10 3. 7. - Ordine di grandezza di una misura. A) Problema. Molte volte non interessa riportare la misura esatta di una grandezza, ma solo alcune indicazioni che ne diano l’idea, senza molta precisione. Come si procede ? B) Ordine di grandezza: definizione. Per risolvere il problema, si determina solo l’ordine di grandezza della misura, che corrisponde alla potenza di 10 più prossima alla misura stessa. C) Calcolo dell’ordine di grandezza. A tal fine si procede in questo modo, come facilmente si capisce: a) si scrive il numero in notazione esponenziale; b) si considera il numero che si ottiene eliminando la potenza di 10. Ebbene: se tale numero è minore di 5, allora l’ordine di grandezza è la potenza di 10 del numero stesso; se è maggiore di 5, si considera la potenza di 10 che si ottiene aumentando di un’unità l’esponente; se è proprio uguale a 5, si può procedere nell’uno o nell’altro modo. D) Esempi. Determinare l’ordine di grandezza dei seguenti numeri (già posti in forma esponen-ziale): a) 3,56 ⋅ 10 4 ; b) 7,23 ⋅ 10 5 ; c) 4,3 ⋅ 10−5 ; d) 6,4 ⋅ 10−3 ; Seguendo le regole indicate, si hanno i seguenti risultati: a’) 10 4 b’) 10 6 c’) 10−5 d’) 10−2

N.2. - Sistemi di unità di misura.

1. - Grandezze fondamentali e derivate. A) Premesse. Per poter misurare tutte le grandezze fisiche occorre stabilire un’unità di misura per ciascuna di esse.

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Tale scelta potrebbe farsi, teoricamente, indicando per ciascuna grandezza una propria unità di misura, in modo del tutto indipendente dalla scelta delle altre. Tuttavia, a parte la difficoltà per definire l’unità per alcune di queste, si è visto che è più conveniente fissarne alcune come grandezze fondamentali stabilendone, arbitraria-mente, le rispettive unità di misura e poi determinare, per tutte le altre, dette grandezze de-rivate, le rispettive unità di misura, ricavandole dalle relazioni matematiche che le legano alle precedenti. B) Quante grandezze fondamentali? Il numero delle grandezze fondamentali è arbitrario; addirittura si potrebbe ridurre ad uno. In altre parole, sarebbe sufficiente stabilire l’unità di misura di una sola grandezza fon-damentale per poter dedurre, poi, le unità di misura di tutte le altre grandezze fisiche. Un esame approfondito del problema ha suggerito la scelta di poche ed opportune grandezze fondamentali, in modo che tutte le altre grandezze si possano esprimere agevol-mente in funzione di queste. 2. - Sistemi di unità di misura. A) Definizioni. L’insieme delle unità di misura fondamentali e di quelle derivate costituisce un siste-ma di unità di misura. Un sistema di unità si dice coerente, quando tutte le unità sono derivate solo da quelle fondamentali, come nel caso in esame. Il sistema, poi, si dice assoluto se le unità stabilite per le grandezze si conservano rigo-rosamente costanti nel tempo e non dipendono dal luogo. B) Vari sistemi di unità. Esistono diversi sistemi di unità di misura, che differiscono sia per la scelta delle gran-dezze fondamentali che delle rispettive unità. In pratica però, almeno recentemente, sono pochi i sistemi adottati dai Paesi più civili. Fra questi, il sistema assoluto (CGS), il Sistema Tecnico (non assoluto) e, soprattutto, il Sistema Internazionale SI, anch’esso assoluto. 3. - Sistema internazionale SI. A) Grandezze fondamentali e supplementari. La maggior parte delle nazioni civili si sono accordate su un unico sistema, assoluto e coerente, di unità di misura: il sistema Internazionale, denotato con la sigla SI. Nel sistema SI le grandezze fondamentali sono sette: 1) lunghezza, __________________________ Prof. Michele Giugliano

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2) massa, 3) tempo, 4) intervallo di temperatura, 5) intensità luminosa, 6) intensità elettrica, 7) quantità di materia. A queste bisogna aggiungerne altre due, dette supplementari, che sono: 8) unità di misura degli angoli piani ; 9) unità di misura degli angoli solidi. Quindi, complessivamente, le grandezze fondamentali diventano nove. B) Unità fondamentali di misura. Occorre, adesso, definire le unità di misura di queste nove grandezze, in modo che siano tutte indipendenti fra di loro e ricavare, poi, le unità di misura di tutte le grandezze derivate. Cominciamo con l’unità di lunghezza. 1) - Unità di lunghezza. É il metro, indicato col simbolo m. La Conferenza generale di Pesi e Misure, tenuta a Parigi nel 1889, adottò la seguente definizione per l’unità di lunghezza. Il metro è la distanza, alla temperatura di 0 °C, tra due tratti paralleli incisi sopra un regolo campione di platino-iridio, conservato nell’ Archivio Internazionale di Pesi e Misure di Sèvres, presso Parigi. Osservazioni. Il regolo fu realizzato in platino-iridio, perché questa lega (90% di platino e 10% di i-ridio, in peso) si conserva inalterata nel tempo. La temperatura deve essere precisata e mantenuta costante, perché la lunghezza dei metalli, come vedremo, varia con essa. La forma della sezione è simile alla X, per limitare le possibili deformazioni dovute al-la flessione. Nota storica. Il metro doveva corrispondere, secondo la primitiva definizione (Parigi,1799), alla quarantamilionesima parte del meridiano terrestre. Successivamente risultò, da misure più precise del meridiano terrestre, di circa 0,2 mm più corto. Tuttavia, esso non fu modificato per non dover riprodurre anche tutte le copie fornite ai vari Paesi che l’avevano adottato come unità di misura delle lunghezze. Da quel momento però il metro non fu più considerato come unità naturale, ma con-venzionale. __________________________ Prof. Michele Giugliano

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Nuova definizione del metro. In tempi più recenti, sono state date nuove definizioni del metro, che lo riconducono ad unità naturale. L’ultima, decisa dalla XV Conferenza Generale dei Pesi e Misure, nel 1975 a Parigi, è la seguente. Il metro è la lunghezza uguale a 1.650.763,73 lunghezze d’onda nel vuoto della ra-diazione corrispondente alla transizione tra i livelli 2p10 e 5d5 dell’atomo di cripto 86. 2) - Unità di massa. É il kilogrammo-massa, indicato col simbolo kg. Il kilogrammo-massa è la massa di un cilindretto campione, di platino-iridio (in peso, 90% di platino e 10% di iridio), conservato alla temperatura di 0 °C, nell’ Ar-chivio Internazionale di Pesi e Misure di Sèvres, presso Parigi. Il kg ha la massa di 5,0188 ⋅10 25 atomi dell’isotopo 12 C. Nota storica. Il kilogrammo-massa, secondo la primitiva definizione, doveva corrispondere alla mas-sa di un decimetro cubo di acqua distillata, sotto la temperatura di 4°C e alla pressione normale di un’atmosfera, ma risultò più grande di circa 27 milligrammi. Anche in questo caso non fu apportata alcuna modifica, ma pure questa unità di misura si deve considerare convenzionale e non naturale. 3) - Unità di tempo. É il secondo, simbolo s. Il secondo è la 86.400-ma parte del giorno solare medio, dell’anno 1900. La più recente definizione del secondo è la seguente, data dalla XV Conferenza Gene-rale dei Pesi e Misure, nel 1975: Il secondo è l’intervallo di tempo che contiene 9.192.631,770 periodi della radia-zione corrispondente alla transizione tra i due livelli iperfini dello stato fondamentale dell’atomo di cesio 133. Le definizioni che seguono, relative alle altre unità di misura del sistema SI, sono an-cora quelle date dalla XV Conferenza del 1975, di cui sopra. 4) - Unità di intervallo di temperatura. É il kelvin, simbolo K . Il kelvin è la frazione di 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto tri-plo dell’acqua. 5) - Unità di intensità luminosa. É la candela, simbolo cd. La candela è l’intensità luminosa di una superficie di area 1/600.000 m2 del corpo nero alla temperatura di solidificazione del platino, emessa nella direzione perpendi-colare alla superficie stessa, alla pressione di 101.325 Pa. 6) - Unità di intensità di corrente elettrica. É l’ampere, simbolo A.

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L’ampere è l’intensità di corrente elettrica che, mantenuta costante in due con-duttori rettilinei, paralleli, di lunghezza infinita, di sezione circolare trascurabile e po-sti alla distanza di 1 m l’uno dall’altro, nel vuoto, produce tra i due conduttori la forza di 2 ⋅10 −7 N per ogni metro di lunghezza. 7) - Unità di quantità di materia. É la mole, simbolo mol. La mole è la quantità di sostanza di un sistema che contiene tante entità elementa-ri quanti sono gli atomi in 0,012 kg di carbonio 12. 8) - Unità di angolo piano. É il radiante, simbolo rad. Il radiante è l’angolo al centro di una circonferenza, a cui corrisponde un arco di lunghezza uguale al raggio. 9) - Unità di angolo solido. É lo steradiante, simbolo sr. Lo steradiante è l’angolo solido di un cono avente il vertice nel centro di una su-perficie sferica, a cui corrisponde una calotta la cui area è uguale a quella del quadra-to avente per lato il raggio della superficie sferica.

.

4. - Osservazioni.

Per ragione di completezza ho riportato tutte le definizioni vecchie e le ultime nuove, delle unità di misura del sistema SI. Naturalmente le dovute spiegazioni saranno date, durante il corso, al momento oppor-tuno. Comunque, per il tema riguardante la Meccanica alcune di queste (le unità di temperatura, di intensità luminosa e quella elettrica) non servono ancora. Sintesi delle unità fondamentali di misura del Sistema Internazionale SI

• metro m

• kilogrammo massa kg

• secondo s

• kelvin K

• candela cd

• ampere A

• mole mol

• radiante rad

• steradiante sr

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5. - Multipli e sottomultipli. A) Problema. Le unità di misura così ottenute, talvolta sono troppo piccole o troppo grandi per rap-presentare le misure di certe grandezze, nel senso che queste sarebbero espresse da numeri molto grandi o molto piccoli e, quindi, scomodi per i calcoli e per gli usi pratici. Ad esempio, è chiaro come non convenga esprimere in metri la distanza fra due città, oppure lo spessore di un foglio di quaderno. Nel primo caso, la distanza sarebbe espressa da un numero molto grande, nel secondo da uno molto piccolo. B) Risoluzione. Per ovviare a questi inconvenienti, sono stati adottati degli opportuni multipli e sot-tomultipli delle unità sopra considerate, molti dei quali già noti a tutti. Tali multipli e sottomultipli si ottengono facendo precedere le unità fondamentali da opportuni prefissi, i quali indicano certe potenze di 10 In tal modo l’unità, preceduta da uno di tali prefissi, si deve considerare moltiplicata per la corrispondente potenza di 10. Esempio. Siccome il prefisso da, che si legge deca, rappresenta proprio 10, allora l’unità prece-duta da questo prefisso si deve considerare moltiplicata per 10. Pertanto, dam = 10 m. La lettura si effettua leggendo, così come è scritto, prima il prefisso e poi l’unità. Quindi dam si legge: deca-metro.

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Prefissi

Simboli

Rapporto con l’unità

yotta Y 1024 zetta Z 1021 exa E 1018 peta P 1015 tera T 1012 giga G 109 mega M 106 kilo k 103 etto h 102 deca da 101 ----- unità 100 deci d 10-1 centi c 10-2 milli m 10-3 micro µ 10-6 nano n 10-9 pico p 10-12

femto f 10-15 atto a 10-18 zepto z 10-21 yocto y 10-24

Tabella dei prefissi.

C) Osservazioni. Per la verità, questi prefissi non hanno avuto molto successo, poiché sono pochi quelli che vengono veramente usati. Bisogna anche essere attenti nel farne uso, perché talvolta è necessario servirsi di pa-rentesi, per non generare confusioni. Esempio.

dam2 = 10 m2, secondo la convenzione, mentre con tale simbolo si vuole, generalmente, intendere il

(dam)2 = (10 m)2 = 100 m2.

N.3. - Equazioni dimensionali. 1. - Equazioni fra grandezze.

Abbiamo detto che per definire, in maniera più semplice, le grandezze fisiche conviene fissarne alcune come fondamentali e dedurre le altre, ossia quelle derivate, dalle prime. Tutto ciò presuppone che fra le grandezze derivate e quelle fondamentale esistano delle relazioni che consentano effettivamente di esprimere le prime mediante le seconde. Tali relazioni fra grandezze vengono chiamate equazioni fisiche fra grandezze. Esse servono per definire le grandezze derivate e per esprimere, in termini matematici, le leggi fisiche quantitative. Esempio. Per definire la velocità di un punto che si muove di moto uniforme, scriviamo

v = st

Dal punto di visto matematico, una tale espressione sarebbe completamente priva di si-gnificato.

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Tuttavia, notando che per calcolare la misura di quella grandezza, chiamata velocità, dobbiamo eseguire proprio il rapporto fra la misura dell’arco di traiettoria percorso (detto con termine improprio, spazio) e la misura del tempo impiegato, siamo indotti a considerare tale rapporto per definire la nuova grandezza, ossia la velocità, derivata da quelle di spa-zio e di tempo. Osservazione. Le operazioni che si eseguono con questi simboli, che indicano grandezze fisiche, so-no, per convenzione, quelle del calcolo algebrico con monomi. 2. - Equazioni fra le misure delle grandezze.

La scrittura precedente v = s / t è un’equazione fra grandezze, ma se consideriamo le misure delle grandezze spazio e tempo otteniamo anche un’equazione fra le misure di quel-le grandezze. Anzi, logicamente, una tale relazione fra le misure è stabilita anche prima. Quindi, ogni volta che si considera un’equazione fisica fra grandezze, ad essa viene sempre associata un’altra fra le misure delle grandezze stesse dell’equazione (e anche, co-me vedremo, un’altra fra le unità di misura). Esempio.

24 m + 16 m − 10 m = 30 m è un’equazione fisica fra grandezze; mentre 24 + 16 − 10 = 30 è la corrispondente equazione fra le misure delle grandezze stesse. Qui “equazione” ha il significato di uguaglianza. 3. - Equazioni dimensionali (o equazioni fra le unità di misura delle grandezze). A) Definizione. Sono le equazioni fisiche che legano le grandezze derivate a quelle fondamentali, pre-scindendo dagli eventuali coefficienti numerici.

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Se G è una grandezza derivata essa, in generale, si può esprimere mediante una fun-zione del tipo

G = f(G1,G2,...,Gn), essendo G1, G2,...,Gn le grandezze fondamentali da cui dipende. Solitamente, però, tale funzione viene espressa mediante potenze, con esponenti reali (positivi, negativi e anche nulli), delle grandezze fondamentali, come segue: (1) G nd

nddd GGGGk ⋅⋅⋅⋅⋅= ...321321

in cui k è un coefficiente numerico. Inoltre, se si pone k = 1, e si sostituiscono alle grandezze dell’equazione le relative uni-tà di misura, essa assume un aspetto del tipo (2) [ nd

nddd GGGGG ][...][][][] 321

321 ⋅⋅⋅⋅=

che si può scrivere più semplicemente così (3) [ ]...[] 321

321nd

nddd GGGGG ⋅⋅⋅⋅=

Equazione dimensionale della grandezza G

essendo d1,d2,..., dn dei numeri reali, detti dimensioni delle grandezze G1, G2, G3,...,Gn, ri-spettivamente e [G], [G1], [G2],...,[Gn] le unità di misura delle grandezze in esame. B) Equazione dimensionale della grandezza G.

L’ultima uguaglianza è, quindi, un’equazione fra le unità di misura delle grandezze e viene denominata equazione dimensionale della grandezza G. Ne vedremo la grande importanza per la determinazione delle unità di misura delle grandezze derivate. É chiaro, infatti, che si può definire l’unità di misura della grandezza derivata G, in un qualsiasi sistema di unità, assumendo, al secondo membro, le unità di misura stabilite come fondamentali in quel sistema. Ora vediamo, attraverso esempi, come si determinano le equazioni dimensionali delle grandezze.

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C) Esempi. Vogliamo determinare le equazioni di dimensioni delle seguenti grandezze fisiche: 1) velocità; 2) accelerazione; 3) forza.

Si tratta, per ora, di grandezze meccaniche, che sono derivate da quelle di lunghezza

(L), di massa (M) e di tempo (T). 1) Velocità. Dobbiamo esprimere la velocità v mediante L, M, e T. Dalla formula

v = ts ,

in cui s è una lunghezza L, t uno spazio T, mentre manca la massa M, segue

[v] = ][][

TL

ossia [v] = [L]1 [T]−1 che può anche scrivere, più semplicemente,

[v] = [L1 T−1]

2) Accelerazione; 3) Forza. Ne determini le equazioni il Lettore studioso.

4. - Applicazioni.

Le equazioni dimensionali servono, fra l’altro, per eseguire il controllo dimensionale delle equazioni fisiche. A) Problema. Durante i vari passaggi relativi al calcolo o alla dimostrazione di formule, si possono commettere degli errori che, mediante il controllo dimensionale, possono essere parzial-mente individuati. B) Principio sulle equazioni dimensionali.

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Per eseguire efficacemente il controllo dimensionale, è necessario verificare il seguen-te principio: Se i due membri di un’equazione fisica hanno le stesse dimensioni, allora essa può essere corretta; se non hanno le stesse dimensioni allora sicuramente è sbagliata. Che significa ciò? C) Per rispondere alla domanda, ricordiamo che esistono: a) grandezze non omogenee fra di loro, aventi dimensioni diverse; b) grandezze non omogenee fra di loro, aventi uguali dimensioni; c) grandezze non omogenee fra di loro, senza dimensioni (adimensionate). Esempio (caso b di sopra). Il momento M di una coppia di forze ed un’energia E, sono due grandezze che hanno uguali dimensioni (quelle di un lavoro), ma sono di tipo diverso (cioè sono non omogenee). Pertanto, tali grandezze non possono essere sommate né essere termini di una stessa equazione. D) Rispondiamo ora al quesito. Affinché un’equazione fisica possa essere corretta, non basta che i suoi due membri abbiano uguali dimensioni, ma è anche necessario che tutti i suoi termini siano grandez-ze dello stesso tipo (cioè siano omogenee). Naturalmente, anche soddisfatte queste condizioni, essa può ancora contenere altri tipi di errori Quindi, il controllo delle dimensioni può far individuare gli errori di dimensioni, ma non quelli sull’impostazione dei termini dell’equazione stessa o quelli relativi ai suoi coef-ficienti numerici. Ora vediamo un esempio di controllo dimensionale. E) Esempio. Supponiamo di avere la seguente equazione fisica (formula): S = 23 m2 + 5 a b c − 34 n2 +15 m n, e di volere eseguirne il controllo dimensionale, nell’ipotesi che le lettere minuscole rappre-sentino segmenti ed S sia una superficie.

Si vede subito che l’equazione non è corretta perché, a parte altri eventuali errori di natura diversa, non tutti i termini dei suoi due membri hanno uguali dimensioni rispetto alla lunghezza. Infatti, il secondo termine del secondo membro ha dimensione tre, mentre per tutti gli altri è due.

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N. 4. - Unità di misura delle grandezze derivate. A) Problema. Bisogna ora stabilire le regole per derivare le unità di misura di tutte le grandezze fi-siche dalle unità stabilite per le grandezze fondamentali. É quel che si fa nei sistemi di unità di misura detti coerenti, come abbiamo già detto al-trove. B) Risoluzione. A tal fine, si segue la seguente procedura. a) si individua un’equazioni fra le grandezze fondamentali, priva di coefficienti nume-rici (ossia con coefficienti numerici uguali ad 1); b) il primo membro di questa equazioni deve contenere solo la grandezza derivata, di cui vogliamo ottenere la relativa unità di misura; c) si attribuiscono alle grandezza, del primo e secondo membro, le relativa unità di mi-sura. Così resta definita l’unità derivata, indicata dal primo membro dell’equazione. C) Esempi. Vogliamo determinare le unità di misura, nel sistema SI, delle grandezze seguenti: 1) superficie; 2) velocità; 3) lavoro. Risolviamo i quesiti. 1) Unità di superficie. Si deve individuare l’equazione, ossia la formula di una superficie. Consideriamo un generico rettangolo avente dimensioni a e b. La sua superficie è espressa dalla formula

S = a ⋅ b. Da questa equazione fra grandezze, passiamo a quella fra le unità di misura delle stes-se, racchiudendole fra parentesi quadre.

[S] = [a]⋅[b] Ora sostituiamo, nel secondo membro, l’unità di lunghezza (cioè 1 m) al posto di a e di b, ottenendo

[S] = m ⋅ m = m2 Conclusione.

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L’unità (derivata) di misura delle superfici [S], nel sistema SI, è il metro quadrato, ossia un quadrato che ha il lato di un metro.

Osservazione. Se avessimo considerato, invece del quadrato di lato L = 1 m, un rettangolo di lati a = 2 m, e b = 3 m, avremmo avuto che [S] = 6 m2, ossia l’unità di misura delle superfici sa-rebbe stata quella di un quadrato di lato 6 m. Di conseguenza, tutte le misure delle super-fici sarebbero affette da scomodi coefficienti numerici. 2) Unità di velocità. L’equazione da usare è

v = st

Per indicare le unità di misura racchiudiamo le grandezze fra parentesi quadre. Poi vi sostituiamo i simboli delle unità di misura.

[v] = [ ][ ]ts ;

[v] = sm .

Quindi, l’unità di misura delle velocità è il metro al secondo (m / s). 3) Unità di lavoro. La formula, con coefficiente numerico k = 1, è la seguente

L = F⋅ s quindi

[L] = [F]⋅[s]

[L] = newton⋅ m Questa unità prende il nome di joule; quindi

joule = newton⋅ m; più sinteticamente, adoperando i simboli delle rispettive unità di misura:

J = N ⋅ m. Pertanto, l’unità di misura del lavoro è il joule, ossia il lavoro eseguito dalla forza di 1 N per spostare il suo punto di applicazione di 1 m, in direzione e verso della forza stessa. Così si procede per tutte le altre unità derivate. __________________________ Prof. Michele Giugliano

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Osservazione. Come vedremo in meccanica, la formula generale del lavoro di una forza è

L = F s cos ϕ, in cui ϕ è l’angolo convesso compreso fra i versi positivi dei due vettori, forza F e sposta-mento r .

r

s Tuttavia, per avere una formula con coefficiente numerico unitario, occorre considera-re il caso che cos ϕ = 1, ossia ϕ = 0 rad, cioè che forza e spostamento abbiano la stessa di-rezione e lo stesso verso.

D) Unità di misura di alcune grandezze derivate.

In generale, per lo studio della Fisica, è necessaria la piena conoscenza delle unità di misura di molte grandezze derivate, del sistema SI.

Per il corso di Fisica dell’ultima classe degli Istituti superiori, ricordiamo le seguenti

unità. • D.1) Elettrologia.

• Unità di misura della carica elettrica: coulomb, simbolo

sAC ⋅= • Unità di misura dell’intensità del campo elettrico: simbolo

CN =

coulombnewton ,

oppure volt al metro, simbolo

mV =

metrovolt .

• Unità di misura della differenza di potenziale: volt, simbolo

CJV = =

coulombjoule .

• Unità di misura della capacità elettrica: farad, simbolo

F = VC =

voltcoulomb .

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• Unità di misura della resistenza elettrica: ohm, simbolo

AV

=Ω = ampere

volt .

• Unità di misura della resistenza specifica: non ha nome, simbolo

Ω · m = ohm · metro.

• Unità di misura del vettore induzione magnetica: tesla, simbolo

metroamperenewton

mANT

⋅=

⋅=

oppure

2mWbT =

• Unità di misura dell’intensità del campo magnetico, simbolo

metroamperspire

mAsp

= .

• Unità di misura del flusso del vettore induzione magnetica: weber, simbolo

sVWb ⋅= .

• Unità di misura dell’induttanza o coefficiente di autoinduzione: henry, simbolo

AWbH = .

• D.2) Meccanica.

Ricordiamo anche le principali unità SI usate in Meccanica. • Unità di misura di superficie: metro quadrato; simbolo m2 • Unità di misura del volume: metro cubo; simbolo m3; • Unità di misura di frequenza: hertz; simbolo ; 111 −= sHz• Unità di misura di massa volumica (o densità): chilogrammo al metro cubo, sim-

bolo 3mkg .

• Unità di misura di velocità: metro al secondo, simbolo sm ;

• Unità di misura di velocità angolare: radiante al secondo, simbolo: s

rad ;

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• Unità di misura di accelerazione: metro al secondo quadrato, simbolo 2sm ;

• Unità di misura di accelerazione angolare: radiante al secondo quadrato, simbo-

lo 2srad ;

• Unità di misura di forza: newton, simbolo 2smkgN ⋅= ;

• Unità di misura di pressione: newton al metro quadrato (si chiama pascal, simbo-

lo Pa); 2mNPa =

• Unità di misura di potenza: watt, simbolo sJW = .

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