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Prof. Calogero Contrino
GONIOMETRIA
funzioni goniometriche di angoli qualsiasi
Corso multimediale di matematica
25/09/2014
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goniometria:
funzioni goniometriche di angoli qualsiasi
Si estenda il concetto di angolo fin qui formulato .
Fig.1
Per ampliare il dominio delle funzioni goniometriche è necessario che:
Nell’ottica del primo punto si introduce nel seguito il concetto di angolo improprio.
venga associato agli angoli un sistema di coordinate cartesiane.
Si consideri a tal scopo di voler determinare l’ampiezza dell’angolo somma degli angoli ,
riportati nella figura 1 .
25/09/2014
’
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Pertanto i punti di tale parte di piano vengono considerati due volte una volta come
appartenenti a ed una volta come appartenenti a ’ . G
In generale può accadere che l’angolo somma sia costituito da punti che appartengono
contemporaneamente a più di un angolo giro e ad un angolo minore di . G
goniometria:
funzioni goniometriche di angoli qualsiasi
Fig.1
Alla luce di questo fatto è necessario formulare un nuovo e più ampio concetto di angolo . Si
parlerà in questi casi di angolo improprio .
Eseguita la somma si noterà che l’angolo supera l’angolo giro dell’angolo ’ .
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goniometria:
angolo improprio : definizione
definizione Si dà pertanto la seguente
Dicesi angolo improprio l’insieme dei punti del piano appartenenti all’angolo somma di un
multiplo di angolo giro e di un angolo proprio , in simboli = n + ’ , con angolo
improprio ed ’ angolo proprio . G
Esempio : = 2 + ’ G
’ ’
G G
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goniometria:
angoli impropri : considerazioni
E’ opportuna a questo punto una considerazione .
L’angolo proprio caso particolare di angolo improprio
’
dalla definizione di angolo improprio discende che gli angoli propri sono un sottoinsieme di
quelli impropri . Infatti posto n = 0 si ha : = n + ’ G = 0 + ’ = ’ G
Alla luce di tutto ciò d’ora in avanti si parlerà semplicemente di angoli, intendendo riferirsi a
quelli impropri .
= 0 + ’ = ’ G
= =
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goniometria:
circonferenza goniometrica
Esaminiamo ora qual è il modo più opportuno di associare agli angoli di un dato piano un
sistema di assi coordinati .
Circonferenza goniometrica
A tale scopo viene data la seguente
definizione
Dicesi circonferenza goniometrica una circonferenza di raggio unitario associata ad un
sistema di assi cartesiani avente origine nel centro della stessa circonferenza
nella circonferenza goniometrica così definita si
considerino i seguenti enti geometrici :
Il punto O origine degli assi e centro ;
Il semiasse positivo delle ascisse ;
Il punto A intersezione della circonferenza con il
semiasse positivo delle ascisse .
A questo punto, fissato un orientamento in senso
antiorario per angoli positivi, si può pensare di riferire un
generico angolo orientato al sistema così costituito ,
secondo opportuni criteri che ora esaminiamo
O A
y
x
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ed il secondo lato in un punto P, che dipende dall’ampiezza
dell’angolo.
, si faccia coincidere il vertice V con l’origine O del sistema
di riferimento ed il suo primo lato a con il semiasse positivo delle ascisse .
goniometria:
circonferenza goniometrica
Dato il generico angolo aVb =
a
b
V
a
V
b
a
V
b
il primo lato nel punto A
precedentemente menzionato
Operando in tal modo l’angolo diventa un generico angolo al centro della circonferenza
goniometrica, pertanto i suoi lati la intersecheranno in due punti,
A
P
O
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Si osservi che :
goniometria:
circonferenza goniometrica
a
b
V
a
V
b
A
P
O
I punti A e P individuano sulla circonferenza un arco AP in cui l’estremo A è fissato (origine
degli archi ) mentre l’estremo P è variabile in funzione dell’ampiezza dell’angolo (estremo
libero dell’arco ) .
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goniometria:
circonferenza goniometrica
a
b
V
a
V
b
Vale a dire angoli ed archi su cui insistono gli angoli se i sono misurati in radianti hanno la
stessa misura.
A
P
O
Inoltre se l’angolo è misurato in radianti si può scrivere , per quanto detto in precedenza,
essendo l la lunghezza dell’arco AP ed R il raggio unitario della circonferenza :
R ∙ l = = 1∙ =
Pertanto si può parlare , in tale contesto , indifferentemente di misura di angoli o di archi.
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funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica
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a
b
Si ha, per le definizioni precedenti : sen = H’P’
Si consideri il triangolo rettangolo
O’H’P’ con l’ ipotenusa O’P’ = 1 e l’angolo in O’ .
Sia dato un angolo .
goniometria:
funzione seno
Si hanno ora gli elementi per poter estendere il concetto di funzione goniometrica ad angoli di
ampiezza qualsiasi . Analizzeremo per prima la funzione seno , procedendo come di seguito.
A
P
O
V a
b
O
P’
O’ H’
Sulla circonferenza goniometrica si consideri un punto
P(xP;yP) , estremo libero dell’ arco su cui insiste un angolo
al centro congruente ad ed avente il primo lato
coincidente col semiasse positivo delle ascisse .
La misura assoluta HP coinciderà con quella algebrica HP,
essendo P nel primo quadrante, pertanto si potrà scrivere :
Per il punto P si conduca la perpendicolare all’asse delle
ascisse il cui piede è il punto H.
I due triangoli OHP e O’H’P’ risultano congruenti ( 2°
criterio ) e si ha : sen = H’P’ = HP
y
x
sen = H’P’ = HP = HP = yP - yH = yP - 0 = yP
H
yP
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Si può a questo punto formulare la nuova
goniometria:
funzione seno
A
P
O
V a
b
O
P’
O’ H’
a
b
y
x
La relazione ricavata per misure assolute ( valide nel caso angoli acuti ) conduce
ad una nuova definizione della funzione seno se si passa a misure di tipo algebrico, con
conseguente estensione del suo dominio ad angoli di ampiezza qualsiasi .
sen = yP
Il seno di un angolo (arco) assegnato ( in riferimento alla
circonferenza goniometrica) e’ l’ordinata del punto P estremo
libero dell’arco intercettato sulla circonferenza dall’angolo .
Si tenga presente che, ormai svincolati dalla limitazione
agli angoli acuti, si possono verificare diversi casi che
andiamo ad esaminare .
Definizione
Immediata conseguenza della nuova definizione è che si
può calcolare il seno sia dell’angolo nullo che di quello retto,
impossibile in precedenza perché in tali situazioni i triangoli
divenivano degeneri (ipotenusa e cateto paralleli)
Da sen = yP si ha infatti : sen 0 yP = = 0
yP
sen yP
2 = = 1
2
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a
il triangolo rettangolo con ipotenusa
unitaria O’H’P’ può essere costruito su .
Anche in questo caso tra le due definizioni esiste
un legame.
goniometria:
funzione seno
O
O’
y
x
H’
P’
c a
V
b quindi si consideri il punto P(xP;yP) ,
estremo libero dell’ arco su cui insiste l’ angolo al centro
congruente ad e che ha il primo lato coincidente col
semiasse positivo delle ascisse .
Il piede della perpendicolare all’asse delle ascisse per il
punto P è il punto H di ascissa xP.
I due triangoli OHP e O’H’P’ risultano congruenti e si ha :
Infatti, detto l’angolo supplementare di ,
Con la vecchia definizione che fa riferimento ai
triangoli rettangoli si ha : sen = H’P’
Si esamina ora la situazione con .
2 < <
2 < <
H
A
P yP
Operando come in precedenza, sia data la circonferenza
goniometrica,
HP = H’P’ e quindi : HP = sen
Si consideri ora la nuova definizione di sen che fa
riferimento alla circonferenza goniometrica . A tale scopo
bisogna considerare l’ angolo al centro posizionato con il
suo primo lato sul semiasse positivo delle ascisse.
xP
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goniometria:
funzione seno
O
O’
y
x
H’
P’
c a
V
b
H
P”
A
P yP = yP” yP
Dalla nuova definizione riferita alla circonferenza goniometrica si ha :
sen = yP = H’P’ = sen = yP – 0 = yP – yH = HP = HP
= H”P” sen = yP”
Inoltre essendo i triangoli OH’P’ , OHP e OH”P”
congruenti si ha:
H”P” = H’P’ = HP
Pertanto si potrà scrivere :
Anche in questo caso, viene confermato il legame tra la
definizione riferita ai triangoli rettangoli e quella riferita alla
circonferenza goniometrica .
Inoltre si è riscontrata una importante relazione valida per
qualsiasi coppia di angoli supplementari :
+ = sen = sen
Per l’ angolo al centro , l’ estremo libero dell’ arco su cui insiste é il punto P”(xP” ; yP” ),
mentre il piede della perpendicolare all’asse delle ascisse condotta per esso è il punto H”.
H”
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e H il punto di ascissa xP , piede
della perpendicolare all’asse delle ascisse per il punto P .
goniometria:
funzione seno
O
y
x
considerato l’angolo
al centro congruente ad , sia P(xP;yP) l’ estremo libero dell’
arco su cui insiste l’angolo
I due triangoli OHP e O’H’P’ risultano congruenti e si ha :
In questo caso il triangolo rettangolo O’H’P’ può
essere costruito su , angolo antisupplementare di .
H
A
P yP
E, data la circonferenza goniometrica,
HP = H’P’ e quindi : HP = sen
Si consideri ancora la nuova definizione di sen che fa
riferimento alla circonferenza goniometrica ,con l’ angolo al
centro posizionato con il suo primo lato sul semiasse
positivo delle ascisse. xP
Si procede analogamente con . 3
2 < <
Con la vecchia definizione che fa riferimento ai triangoli rettangoli si ha ancora: sen = H’P’ .
O’
H’
P’
V
a
b
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goniometria:
funzione seno
O
O’
y
x
H’
P’
H
P”
A
P
yP”
yP
Dalla definizione riferita alla circonferenza goniometrica si ha :
sen = yP = – H’P’ = – sen = yP – 0 = yP – yH = HP = – HP
= H”P” sen = yP”
Inoltre essendo i triangoli OH’P’ , OHP e OH”P”
congruenti si ha:
Pertanto si potrà scrivere :
Anche in questo caso, viene confermato il legame tra la
definizione riferita ai triangoli rettangoli e quella riferita alla
circonferenza goniometrica .
Inoltre si è riscontrata una importante relazione valida per
qualsiasi coppia di angoli antisupplementari :
– = sen = – sen
I punti P” e H sono rispettivamente l’ estremo libero dell’ arco su cui insiste l’ angolo ed il
piede della perpendicolare all’asse delle ascisse condotta per esso.
H”
V
a
b
c
H”P” = H’P’ = HP = - HP
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e H il punto di ascissa xP , piede
della perpendicolare all’asse delle ascisse per il punto P .
goniometria:
funzione seno
y
x
considerato l’angolo
al centro congruente ad , sia P(xP;yP) l’ estremo libero dell’
arco su cui insiste l’angolo
I due triangoli OHP e O’H’P’ risultano congruenti e si ha :
In questo caso il triangolo rettangolo O’H’P’
può essere costruito su , angolo esplementare di .
H A
P yP
E, data la circonferenza goniometrica,
HP = H’P’ e quindi : HP = sen
Si consideri ancora la nuova definizione di sen che fa
riferimento alla circonferenza goniometrica, con l’ angolo al
centro posizionato con il suo primo lato sul semiasse
positivo delle ascisse.
Si procede analogamente con . 3 2
< < 2
Con la vecchia definizione che fa riferimento ai triangoli rettangoli si ha ancora: sen = H’P’ .
P’
H’ O’
a
b
V
xP
O
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goniometria:
funzione seno
Dalla definizione riferita alla circonferenza goniometrica si ha :
sen = yP = – H’P’ = – sen = yP – 0 = yP – yH = HP = – HP
= H”P” sen = yP”
Inoltre essendo i triangoli OH’P’ , OHP e OH”P”
congruenti si ha:
Pertanto si potrà scrivere :
Anche in questo caso, viene confermato il legame tra la
definizione riferita ai triangoli rettangoli e quella riferita alla
circonferenza goniometrica .
Inoltre si è riscontrata una importante relazione valida per
qualsiasi coppia di angoli esplementari :
+ = 2 sen = – sen
I punti P” e H sono rispettivamente l’ estremo libero dell’ arco su cui insiste l’ angolo ed il
piede della perpendicolare all’asse delle ascisse condotta per esso.
H”P” = H’P’ = HP = - HP
y
x
A
P yP
P’
H’ O’
O
a
b
V
yP” P”
H H”
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a
b
Si ha, per le definizioni precedenti : cos = O’ H’
Si consideri il triangolo rettangolo
O’H’P’ con l’ ipotenusa O’P’ = 1 e l’angolo in O’ .
Sia dato un angolo .
goniometria:
funzione coseno
Analizziamo ora la funzione coseno, procedendo con le stesse modalità impiegate per
studiare la funzione seno .
A
P
O
V a
b
O
P’
O’ H’
Sulla circonferenza goniometrica si consideri un punto
P(xP;yP) , estremo libero dell’ arco su cui insiste un angolo
al centro congruente ad ed avente il primo lato
coincidente col semiasse positivo delle ascisse .
La misura assoluta OH coinciderà con quella algebrica OH,
essendo P nel primo quadrante, pertanto si potrà scrivere :
Per il punto P si conduca la perpendicolare all’asse delle
ascisse il cui piede è il punto H.
I due triangoli OHP e O’H’P’ risultano congruenti ( 2°
criterio ) e si ha : cos = O’H’ = OH
y
x
cos = O’H’ = OH = OH = xH - xO = xH - 0 = xH =
H xP
xP
xH
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xP
Si può a questo punto formulare la nuova
goniometria:
funzione coseno
A
P
O
V a
b
O
P’
O’ H’
y
x
La relazione ricavata per misure assolute ( valide nel caso angoli acuti ) conduce
ad una nuova definizione della funzione coseno se si passa a misure di tipo algebrico, con
conseguente estensione del suo dominio ad angoli di ampiezza qualsiasi .
cos = xP
Il coseno di un angolo (arco) assegnato ( in riferimento alla
circonferenza goniometrica) e’ l’ascissa del punto P estremo
libero dell’arco intercettato sulla circonferenza dall’angolo .
Si tenga presente che, ormai svincolati dalla limitazione
agli angoli acuti, si possono verificare diversi casi che
andiamo ad esaminare .
Definizione
Immediata conseguenza della nuova definizione è che si
può calcolare sia il coseno dell’angolo nullo che dell’angolo
retto, impossibile in precedenza perché tale situazione
portava ad un triangolo degenere (ipotenusa e cateto
paralleli)
Da cos = xP si ha infatti : cos
2 = cos0 = 1 ; 0
a
b
2
2
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xP
goniometria:
funzione coseno
O
O’
y
x
H’
P’
c a
V
b
H
P”
A
P
xP”
Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
cos = xP
= – O’H’ = – cos
= xH – 0 = xH – xO = OH = – OH =
= – OH”
Si ha quindi la seguente relazione valida per qualsiasi
coppia di angoli supplementari :
+ = cos = – cos
H”
= xH
Si esaminano ora le diverse situazioni con angoli non acuti . .
2 < <
= – xP”
1° caso :
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Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
goniometria:
funzione coseno
O
O’
y
x
H’
P’
H
P”
A
P
yP”
yP
cos = xP = – OH =
= – cos
= xH = xH – xO = OH
= – OH” = − xP”
Si ha la seguente relazione valida per qualsiasi coppia di
angoli antisupplementari :
– = cos = – cos
H”
V
a
b
c
xP”
3
2 < < 2° caso :
xP
= – O’H’ =
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goniometria:
funzione coseno
y
x
A
P yP
HP = H’P’ e quindi : HP = sen
3 2
< < 2
P’
H’ O’
a
b
V
O
3° caso :
Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
cos = xP O’H’ =
= cos
= xH = xH – xO = OH = OH =
= xP”
P”
Si ha la seguente relazione valida per qualsiasi coppia di
angoli esplementari :
+ =2 cos = cos
xP”
xP H
OH” =
yP”
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e risultano simili al
triangolo OAT , pertanto si ha:
Si consideri il punto T intersezione della
retta t con il prolungamento del raggio vettore OP.
t è invece la retta parallela
all’asse delle ordinate condotta per il punto A , origine della
misura degli archi.
a
b
Si ha, per le definizioni precedenti :
Si consideri il triangolo rettangolo
O’H’P’ con l’ ipotenusa O’P’ = 1 e l’angolo in O’ .
Sia dato un angolo .
goniometria:
funzione tangente
Analizziamo ora la funzione tangente, procedendo con le modalità precedenti.
A
P
O
V a
b
O
P’
O’ H’ Sulla circonferenza goniometrica si consideri il punto
P(xP;yP) , estremo libero dell’ arco su cui insiste un angolo
al centro congruente ad ed avente il primo lato
coincidente col semiasse positivo delle ascisse .
I triangoli OH’P’ e OHP sono congruenti
Sia H il piede della perpendicolare all’asse delle ascisse
condotta per il punto P,
y
x
H
Si consideri il triangolo rettangolo
O’H’P’ con l’ ipotenusa O’P’ = 1 e l’angolo in O’ .
O’H’ H’P’ tg =
OH HP ∙ OA AT = Da cui segue :
OH HP ∙ 1 =
OH HP =
O’H’ H’P’ = = tg
t
T T
AT : HP = OA : OH
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V a
b
La relazione trovata consente di formulare una nuova
goniometria:
funzione tangente
A
P
O
O
P’
O’ H’
y
x
H
yT
La tangente di un angolo (arco) assegnato ( in riferimento alla
circonferenza goniometrica) e’ l’ordinata del punto T
intersezione del prolungamento del raggio vettore passante
per il punto P, estremo libero dell’arco intercettato sulla
circonferenza dall’angolo, con la retta parallela all’asse delle
ordinate condotta per il punto A origine della misura degli
archi.
Definizione
La nuova definizione, come nei casi precedenti, consente di
svincolarsi dagli angoli acuti estendendo il dominio della
funzione a tutto R ad eccezione dei valori 2 = k +
Infatti per tali valori i prolungamenti dei raggi vettore OP
divengono paralleli alla retta t .
Ed infine : tg = AT = yT – yA = yT – 0 = yT
T
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Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
T
= OH” H”P”
− =
O’H’ H’P’ = −
goniometria
funzione tangente: archi supplementari
O
O’
y
x
H’
P’
c a
V
b
H
A
P
+ = tg = − tg
H”
tg ≜ yT yT – 0 yT – yA AT = = – AT” =
– tg
=
=
t T”
= – yT”
P”
Si esaminano ora le diverse situazioni con angoli non acuti . .
2 < < 1° caso :
Si ha quindi la seguente relazione valida per qualsiasi
coppia di angoli supplementari :
yT
yT”
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goniometria
funzione tangente: angoli antisupplementari
O
O’
y
x
P’
H’
H
P”
A
P – = tg = tg
H”
V
a
b
c
TT”
= =
O’H’ H’P’ =
tg ≜ yT yT – 0 yT – yA AT = = AT = AT” =
tg
OH” H”P” =
= = yT”
3
2 < < 2° caso :
Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
Si ha la seguente relazione valida per qualsiasi coppia di
angoli antisupplementari :
T yT yT yT"
t
25/09/2014
28/8
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goniometria
funzione tangente: archi esplementari
y
x
A
P yT
P’
H’ O’
O
a
b
V
yT” P”
H H”
3 2
< < 2 3° caso :
Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
Si ha la seguente relazione valida per qualsiasi coppia di
angoli esplementari :
+ =2 tg = − tg
= OH” H”P”
− =
O’H’ H’P’ = −
tg ≜ yT yT – 0 yT – yA AT = = – AT” =
– tg
=
= = – yT”
T
t T”
25/09/2014
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V a
b
Si consideri il punto C intersezione della retta c con il
prolungamento del raggio vettore OP. I triangoli O’H’P’, e
OHP sono congruenti e risultano simili al triangolo OHC , a
sua volta congruente al triangolo OBC , pertanto si ha:
mentre c è la
retta parallela all’asse delle ascisse condotta per il punto B,
intersezione della circonferenza con l’asse delle ordinate.
Si ha, per le definizioni precedenti :
Si consideri il triangolo rettangolo
O’H’P’ con l’ ipotenusa O’P’ = 1 e l’angolo in O’ .
Sia dato un angolo .
goniometria
funzione cotangente
Analizziamo ora la funzione cotangente, procedendo con le modalità precedenti.
A
P
O
O
P’
O’ H’ Sulla circonferenza goniometrica il punto P(xP;yP) è
l’estremo libero dell’ arco su cui insiste l’ angolo al centro
congruente ad . Il punto H è il piede della perpendicolare
all’asse delle ascisse condotta per il punto P,
y
x
H
Si consideri il triangolo rettangolo
O’H’P’ con l’ ipotenusa O’P’ = 1 e l’angolo in O’ .
H’P’ O’H’ ctg =
HP OH ∙ OB BC = Da cui segue :
HP OH ∙ 1 =
HP OH =
HP OH = = ctg
c C
BC : OH = OB : HP
B
H
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La nuova definizione, come nei casi precedenti, consente di
svincolarsi dagli angoli acuti estendendo il dominio della
funzione a tutto R ad eccezione dei valori
V a
b
La relazione trovata consente di formulare una nuova
goniometria:
funzione cotangente
A
P
O
O
P’
O’ H’
y
x
H xC
La cotangente di un angolo (arco) assegnato ( in riferimento
alla circonferenza goniometrica) è l’ascissa del punto C
intersezione del prolungamento del raggio vettore passante
per il punto P, estremo libero dell’arco intercettato sulla
circonferenza dall’angolo, con la retta parallela all’asse delle
ascisse condotta per il punto B intersezione della
circonferenza goniometrica con l’asse delle ordinate.
Definizione
= k
Infatti per tali valori i prolungamenti dei raggi vettore OP
divengono paralleli alla retta c .
Ed infine : ctg = BC = xC – xB = xC – 0 = xC
C B c
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Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
– BC” = =
H’P’ O’H’ = −
goniometria
funzione cotangente: archi supplementari
O
O’
y
x
H’
P’
c a
V
b
H
A
P
+ = ctg = − ctg
H”
ctg ≜ xC xC – 0 xC – xB BC = = =
– ctg
H”P” OH”
− =
=
c C”
= – xC”
P”
Si esaminano ora le diverse situazioni con angoli non acuti . .
2 < < 1° caso :
Si ha quindi la seguente relazione valida per qualsiasi
coppia di angoli supplementari :
B
xC xC”
C
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B C C”
goniometria
funzione cotangente: angoli antisupplementari
O
O’
y
x
P’
H
P”
A
P
xC xC"
– = ctg = ctg
H”
V
a
b
c
=
= H’P’ O’H’
ctg ≜ xC xC – 0 xC – xB BC = = = = H”P” OH” =
ctg = = xC”
3
2 < < 2° caso :
Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
Si ha la seguente relazione valida per qualsiasi coppia di
angoli antisupplementari :
BC BC” =
O’
H’
P’
V
a
b
c
C
xC
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goniometria
funzione cotangente: archi esplementari
y
x
A
P
xC
P’
H’ O’
O
a
b
V
xC”
P”
H H”
3 2
< < 2 3° caso :
Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
Si ha la seguente relazione valida per qualsiasi coppia di
angoli esplementari :
+ =2 ctg = − ctg
=
H’P’ O’H’ = −
ctg ≜ xC xC – 0 xC – xB BC = = – BC” =
– ctg
= H”P” OH”
− =
= = – xC”
c
C” C B
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V a
b
e
risultano simili al triangolo OPC , pertanto si ha:
Si consideri il punto C intersezione della retta c con l’asse
delle ordinate . I triangoli O’H’P’, e OHP sono congruenti
mentre c è
la retta condotta per il punto P e perpendicolare al raggio
OP.
Si ha, per le definizioni precedenti :
Si consideri il triangolo rettangolo
O’H’P’ con l’ ipotenusa O’P’ = 1 e l’angolo in O’ .
Sia dato un angolo .
goniometria
funzione cosecante
Analizziamo la funzione cosecante, in modo analogo alle funzioni precedenti.
A
P
O
O
P’
O’ H’ Sulla circonferenza goniometrica il punto P(xP;yP) è
l’estremo libero dell’ arco su cui insiste l’ angolo al centro
congruente ad . Il punto H è il piede della perpendicolare
all’asse delle ascisse condotta per il punto P, y
x
H
HP OP ∙ OP OC = Da cui segue :
HP 1
= H’P’
1 =
H’P’ 1 cosec =
c
C
HP : OP = OP : OC
cosec =
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La nuova definizione, come nei casi precedenti, consente di
svincolarsi dagli angoli acuti estendendo il dominio della
funzione a tutto R ad eccezione dei valori
V a
b
La relazione trovata consente di formulare una nuova
goniometria:
funzione cosecante
O
P’
O’ H’
La cosecante di un angolo (arco) assegnato ( in riferimento
alla circonferenza goniometrica) è l’ordinata del punto C
intersezione della retta perpendicolare al raggio vettore
passante per il punto P, estremo libero dell’arco
intercettato sulla circonferenza dall’angolo, con l’asse delle
ordinate.
Definizione
= k
Infatti per tali valori la retta c e l’asse delle ordinate
divengono paralleli.
Ed infine : cosec = OC = yC – yO = yC – 0 = yC
A
P
O
y
x
H
c
C yC
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yC yC”
Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
= =
H’P’ O’P’ =
goniometria
funzione cosecante: archi supplementari
O
O’
y
x
H’
P’
c a
V
b
H
A
P
+ = cosec = cosec
H”
cosec ≜ yC yC – 0 yC – yO OC = = OC” =
cosec
H”P” OP” =
= = yC”
P”
Si esaminano ora le diverse situazioni con angoli non acuti . .
2 < < 1° caso :
Si ha quindi la seguente relazione valida per qualsiasi
coppia di angoli supplementari :
C C” C
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− OC − OC” =
goniometria
funzione cosecante: angoli antisupplementari
O
O’
y
x
H’
P’
H
P”
A
P
– = cosec = – cosec
H”
V
a
b
c
=
= – cosec = = – yC”
3
2 < < 2° caso :
Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
Si ha la seguente relazione valida per qualsiasi coppia di
angoli antisupplementari :
yC
yC” C”
C
= cosec ≜ yC yC – 0 yC – yO OC = = =
H’P’ O’H’ – =
H”P” OH” –
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H’P’ O’P’ = −
H”P” OP”
−
Si ha la seguente relazione valida per qualsiasi coppia di
angoli esplementari :
P”
goniometria
funzione cosecante: archi esplementari
y
x A
P
P’
H’ O’
O
a
b
V
H H”
3 2
< < 2 3° caso :
Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
+ =2 cosec = − cosec
= = yC – 0 yC – yO OC = = – OC” =
– cosec = = – yC”
yC
yC” C”
C
cosec ≜ yC
=
= – OC
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a
b
V a
b
e
risultano simili al triangolo OPS , pertanto si ha:
Si consideri il punto S intersezione della retta s con l’asse
delle ascisse . I triangoli O’H’P’, e OHP sono congruenti
mentre s è
la retta condotta per il punto P e perpendicolare al raggio
OP.
Si ha, per le definizioni precedenti :
Si consideri il triangolo rettangolo
O’H’P’ con l’ ipotenusa O’P’ = 1 e l’angolo in O’ .
Sia dato un angolo .
goniometria
funzione secante
Analizziamo la funzione secante, in modo analogo alle funzioni precedenti.
A
P
O
O
P’
O’ H’ Sulla circonferenza goniometrica il punto P(xP;yP) è
l’estremo libero dell’ arco su cui insiste l’ angolo al centro
congruente ad . Il punto H è il piede della perpendicolare
all’asse delle ascisse condotta per il punto P,
x
H
OH OP ∙ OP OS = Da cui segue :
OH 1
= O’H’
1 =
O’H’ 1 sec =
s
OH : OP = OP : OS
sec =
y
S
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La nuova definizione, come nei casi precedenti, consente di
svincolarsi dagli angoli acuti estendendo il dominio della
funzione a tutto R ad eccezione dei valori
V a
b
La relazione trovata consente di formulare una nuova
goniometria:
funzione secante
O
P’
O’ H’
La secante di un angolo (arco) assegnato ( in riferimento alla
circonferenza goniometrica) è l’ascissa del punto S
intersezione della retta perpendicolare al raggio vettore
passante per il punto P, estremo libero dell’arco
intercettato sulla circonferenza dall’angolo, con l’asse delle
ascisse.
Definizione
2 = k + =
Infatti per tali valori la retta s e l’asse delle ascisse
divengono paralleli.
Ed infine : sec = OS = xS – xO = xS – 0 = xS
A
P
O
y
H
s
S
xS
x
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xS xS”
Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
= =
goniometria
funzione secante: archi supplementari
O
O’
y
x
H’
P’
c a
V
b
H
A
P
+ = sec = − sec
H”
sec ≜ xs xS – 0 xS – xO OS = = − OS” =
= − xS”
P”
Si esaminano ora le diverse situazioni con angoli non acuti . .
2 < < 1° caso :
Si ha quindi la seguente relazione valida per qualsiasi
coppia di angoli supplementari :
S” S
OH” OP” = −
sec = − O’H’ O’P’ = −
25/09/2014
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goniometria
funzione secante: angoli antisupplementari
O
O’
y
x
H’
P’
H
P”
A
P
– = sec = − sec
H”
V
a
b
c
=
= − sec = = − xS”
3
2 < < 2° caso :
Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
Si ha la seguente relazione valida per qualsiasi coppia di
angoli antisupplementari :
xS xS”
S” S
= sec ≜ xS xS – 0 xS – xO OS = = − OS − OS” = =
= O”H” OP” −
O’H’ O’P’ −
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P”
goniometria
funzione secante: archi esplementari
y
x A
P
P’
H’ O’
O
a
b
V
H H”
3 2
< < 2 3° caso :
Con riferimento alla figura, ragionando come in
precedenza si ha :
Si ha la seguente relazione valida per qualsiasi coppia di
angoli esplementari :
+ =2 sec = sec
= =
O’H’ O’P’ =
xS – 0 xS – xO OS = = OS” =
sec = = xS”
S” S
sec ≜ xS
O”H” OP”
=
= OS
xS xSxS”