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La quantità di moto

• La quantità di moto di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le quantità di moto di ciascun punto materiale

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

r P = mi

r v i

i=1

n

∑• Ricordando l’espressione della velocità

del centro di massa

r v CM =

mir v i

i=1

n

∑M tot

⇒ r P =Mtot

r v CM

• La quantità di moto di un sistema di punto materiali è proprio uguale alla quantità di moto del Centro di Massa

– Centro di massa: • massa pari alla massa totale del sistema

• velocità uguale alla velocità del centro di massa

Per quanto riguarda la quantità di moto, il centro di massa rappresenta completamente il sistema di particelle.

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z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

I equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali

• La derivata della quantità di moto di un sistema di punti materiali

• è uguale alla risultante delle sole forze esterne

• È equivalente al teorema del centro di massa

dr P

dt=

r R (e)

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La conservazione della quantità di moto• Se la risultante delle forze esterne è nulla

• la quantità di moto delle singole particelle agenti sul sistema possono variare, ma la quantità di moto totale del sistema rimane costante in modulo, direzione e verso.

• Un sistema isolato è un sistema molto lontano da altri corpi e quindi non soggetto a forze esterne: la quantità di moto di un sistema isolato si conserva.

• La conservazione della quantità di moto è equivalente alla terza legge di Newton

dr P

dt=0 ⇒

r P =costante

dr P

dt=

dr p 1dt

+dr p 2dt

=0 ⇒ dr p 1dt

=−dr p 2dt

⇒ r f 12 =-

r f 21

Noi abbiamo ricavato la conservazione della quantità di moto dalle leggi di Netwon: in realtà il principio di conservazione della quantità di moto è un principio più generale: vale anche al di fuori della meccanica classica.

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Applicazione

• Un’astronave di massa totale M staviaggiando nelle profondità dello spazio con una velocità vi=2100km/h rispetto al sole.

Espelle uno stadio posteriore di massa 0.20M alla velocità relativa u=500km/h rispetto all’astronave, diretta lungo l’asse x.

Quanto diventa la velocità dell’astronave rispetto al sole?

Indichiamo con U la velocità dello stadio posteriore rispetto al sole.

Siamo molto lontani da qualsiasi altro corpo, quindi le forze esterne sono nulle.La quantità di moto si conserva.

dr P

dt=0 ⇒

r P =costante

r P i =

r P f

La quantità di moto iniziale è diretta lungo l’asse xLa quantità di moto finale dello stadio posteriore è anch’essa diretta lungo l’asse xAnche la quantità di moto del resto dell’astronave sarà diretta lungo l’asse x

Pix =Pfx ⇒ Mvi =0.20M ×U +0.80M ×vf v =v'+vO' U =−u+vf

Mvi =0.20M × vf −u( ) +0.80M ×vf ⇒ Mvi =Mvf −0.20Mu

vf =vi +0.20u=2100kmh +0.20×500km

h =2200kmh

Consideriamo il sole come un sistema di riferimento inerziale

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La conservazione parziale della quantità di moto

• La I equazione cardinale della dinamica dei sistemi è una relazione vettoriale

• Se il sistema non è isolato, allora la risultante non sarà nulla– È possibile che alcune delle componenti della risultante siano nulli

– Allora si conservano le corrispondenti componenti della quantità di moto

dr P

dt=

r R (e)

dr P

dt=

r R (e) ⇒

dPx

dt=Rx

(e)

dPy

dt=Ry

(e)

dPz

dt=Rz

(e)

⇒

Rx(e) =0 ⇒ Px =costante

Ry(e) =0 ⇒ Py =costante

Rz(e) =0 ⇒ Pz =costante

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Dai moti relativi

Applicazione

• Nella figura si vede un vagone ferroviario a pianale basso di massa M che è libero di muoversi senza attrito su un binario rettilineo orizzontale.

All’inizio un uomo di massa m sta fermo sul vagone che viaggia verso destra con velocità vo. Quale sarà la variazione di velocità del vagone se l’uomo si metterà a correre verso sinistra con una velocità vrel rispetto al vagone?

Si assuma vo=1m/s, vrel=5m/s, m=70kg, M=1000kg.

Il sistema di riferimento è quello dei binari (inerziale).

In questo caso le forze esterne non sono nulle: peso del vagone, peso dell’unomo, reazione vincolare del binario (solo componente normale).Però le forze sono tutte verticaliSi conserva la quantità di moto orizzontale, in particolare quella diretta secondo i binari.

dPx

dt=Rx

est=0 ⇒ Px =costante

Pix =Pfx ⇒ M +m( )vi =mvu +Mvf

v =v'+vO' vu =−vrel +vf

M +m( )vi =m× vf −vrel( )+M ×vf ⇒ M +m( )vi = M +m( )vf −mvrel

vf =m+Mm+M

vi +m

m+Mvrel =1m

s +70

10705m

s =11401070

ms =1.07m

s

x

vu velocità dell’uomo rispetto ai binari

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L’energia cinetica di un sistema di punto materiali

• Come già visto nel caso della quantità di moto:

• L’energia di un sistema di punti materiali è la somma dell’energia cinetica dei singoli punti materiali.

K =12

mivi2

i=1

n

∑z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

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Il sistema di riferimento del centro di massa

• Il sistema di riferimento del CM è un sistema di riferimento avente– Origine nel Centro di Massa CM

– Assi paralleli a quelli del sistema inerziale in cui si studia il moto del sistema.

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

y'

z'

x'

r v i =

r v CM +

r v i

'

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Il I teorema di Konig• L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale

all’energia cinetica del centro di massa più l’energia cinetica del sistema di particelle misurata nel sistema di riferimento del CM.

• Dimostrazione:z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

y'

z'

x'

K =12

MvCM2 +

12

miv'i2

i=1

n

∑

K =12

mivi2 =

i=1

n

∑ 12

mir v i ⋅

r v i =

i=1

n

∑

=12

mir v CM +r v

i'

( )⋅r v CM +r v

i'

( ) =i=1

n

∑

=12

mi vCM2 +v' i

2+2r v CM ⋅

r v ' i( )=

i=1

n

∑

=12

mivCM2 +

12

miv'i2

i=1

n

∑i=1

n

∑ + mir v CM ⋅r v ' i

i=1

n

∑ =

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Il I teorema di Konig

• Per quanto riguarda l’energia cinetica, il CM non rappresenta completamente il sistema di particelle, occorre aggiungere l’energia cinetica del moto relativo al centro di massa.

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

y'

z'

x'

=

12

mivCM2 +

12

miv' i2

i=1

n

∑i=1

n

∑ +r v CM ⋅ mi

r v ' i

i=1

n

∑ =

=12

mi

i=1

n

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ vCM

2 +12

miv' i2

i=1

n

∑ +r v CM ⋅M

r v 'CM↓=0

=

=12

M totvCM2 +

12

miv' i2

i=1

n

∑ =12

MtotvCM2 +K'

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Estensione del teorema delle forze vive ai sistemi di punti materiali

• Per ogni particella del sistema

ΔK i =K ifin −K i

iniz =WR i= WFi

∑somma dei lavori compiutida tutte le forze, sia interne cheesterne, agenti sulla particella i

1 2 4 4 4 3 4 4 4 i =1,2,....,n

ΔK = ΔK i

i=1

n

∑ = K ifin

i=1

n

∑ − K iiniz

i=1

n

∑Kfin−Kiniz=ΔK

1 2 4 4 4 3 4 4 4

= WRii=1

n

∑ = WFi ∑

i=1

n

∑somma dei lavori compiutida tutte le forze, sia interne cheesterne, agenti sulle n particelle

1 2 4 4 4 4 3 4 4 4 4

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Il lavoro delle forze interne

• Abbiamo già osservato che le forze interne esistono a coppie.

• Consideriamo le particelle i e j

• Facciamo vedere che il lavoro complessivo fatto delle forze interne tra le particelle i e j è nullo se la distanza tra le due particelle resta costante!

i

j

r

F ij

r

F ji

d

r

r i

d

r

r j

r

r i

r

r j

O

Wij =r F ij ⋅d

r r i +

r F ji ⋅d

r r j =

r F ij ⋅d

r r i −

r F ij ⋅d

r r i

dr r j =d

r r i

r F ji =−

r F ij

1 2 4 4 3 4 4 =0Spostamenti uguali

i

j

r

F ij

r

F ji

d

r

r j

r

r i

r

r j

O

i ferma, j moto circolare attorno a i

Wij =r F ij ⋅d

r r i

=0 perchè dr r i =0

1 2 3 +

r F ji ⋅d

r r j

=0 perchè dr r j è

perpendicolare a r F ji

1 2 3 =0

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Il lavoro delle forze interne

• Il lavoro complessivo fatto delle forze interne di un sistema di particelle è nullo se le distanze tra le particelle restano costanti!

i

j

r

F ij

r

F ji

d

r

r j

r

r i

r

r j

O

r

r ji

d

r

r ji

r

r ji

'

dθ

• Per valutare il lavoro fatto dalle forze interno consideriamo la particella i ferma e la particella j che si sposta facendo variare la distanza tra le due particella

r' ji cosdθ( ) =rji +drji Poiché dθ ≈0

cosdθ( ) ≈1 r' ji −rji =drji

Wij =r F ij ⋅d

r r i

=0 perchè dr r i =0

1 2 3 +

r F ji ⋅d

r r j = Fijdrji

Fij =Fjidrji = componente dello spostamentonella direzione di

r F ij , corrisponde alla

variazione di lunghezza di r r ji

1 2 3

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Estensione della conservazione dell’energia ai sistemi di punti materiali

• Se tutte le forze interne ed esterne sono conservative

• Allora si può definire una funzione energia potenziale relativa a tutto il sistema ed è uguale alla somma delle energie potenziali dei singoli punti materiali

U = Ui

tutteleparticelle∑ Ui è la somma delle energie potenziali della particella i

– In altri termini la somma va estesa a tutte le forze interne ed esterne agenti sulla particella i

• Poiché per ogni particella vale la conservazione dell’energia, allora essa vale anche per tutto il sistema.

• Se tutte le forze sono conservative, l’energia meccanica totale del sistema rimane costante durante il moto. E =K +U =costante

• Se, alcune delle forze agenti, siano esse interne od esterne, sono non conservative, allora vale la relazione lavoro-energia: ΔE =Wnc

• Wnc è il lavoro di tutte le forze non conservative.

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L’energia potenziale della forza peso

• L’energia potenziale è uguale al prodotto della massa totale del sistema di particelle per l’accelerazione di gravità per la quota del CM.

r P i =mi

r g i =1,2,.....,n

U i =mighi i =1,2,.....,n

U = U i

i=1

n

∑ = mighi

i=1

n

∑

U = U i

i=1

n

∑ = mighi

i=1

n

∑ =g mihi

i=1

n

∑g compare in tutti i termini dellasommatoria e si può mettere in evidenza

1 2 4 4 4 4 3 4 4 4 4

= gMhCM

dalla definizione di Centrodi Massa, la quota hCM sarà

data da hCM =

mihi

i=1

n

∑M

1 2 4 3 4

U =MghCM

• Per ciascuna particella:

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Applicazione

• Un bastone assimilabile ad una sbarretta omogenea di massa m0.5kg e lunghezza L=1m. Inizialmente il bastone ha n estremo a contatto con il pavimento e viene lasciato cadere partendo da una posizione pressoché verticale. Determinare il lavoro fatto dalla forza peso.

Posizione iniziale

WP =−ΔUP ⇒ WP =−UPf −UPi( ) =UPi −UPf

x

Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo

y

Posizione finale

WP =UPi −UPf

UPi =mgL2

UPf =0

⇒ WP =UPi −UPf =mgL2

=0.5kg×9.81m

s2 ×0.5m=2.45J

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Posizione finaleIl pendolo poi prosegue oltre questa posizione (in assenza di attriti raggiunge la posizione simmetrica a quella di partenza rispetto all’asse di rotazione e poi ritorna indietro e oscilla tra la posizione iniziale e quella simmetrica rispetto all’asse di rotazione)

WP =−ΔUP ⇒ WP =−UPf −UPi( ) =UPi −UPf

x

Applicazione

• L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro.

Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale

Posizione inizialey

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Ricordando il calcolo della posizione del CM già fatto nella lezione precedente d1=.22m

WP =−ΔUP ⇒ WP =−UPf −UPi( ) =UPi −UPf

x

Applicazione

• L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro.

Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale

Posizione inizialey

WP =UPi −UPf

UPi =0

UPf =− ms +md( )gd2

⇒

WP =UPi −UPf =0− −ms +md( )gd2( ) =1.5kg×9.81m

s2×0.48m=7.06J

Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo

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WP =−ΔUP ⇒ WP =−UPf −UPi( ) =UPi −UPf = UPsi +UPdi( )− UPsf +UPdf( )

x

Applicazione

• Una maniera alternativa per arrivare allo stesso risultato parte dall’osservazione che l’energia potenziale di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le energie potenziali delle singole particelle:

Che, a parte errori di arrotondamento, è uguale al valore trovato con l’altro metodo.

y UPsi =0

UPsf =−msgL2

UPdi =0

UPdf =−msg L +R( )

WP = UPsi +UPdi( )− UPsf +UPdf( ) =0− −msgL2

−mdg L +R( )⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

=0.5kg×9.81m

s2 ×0.25m+1.0kg×9.81m

s2×0.60m=

=9.810.5×0.25+1.0×0.60( )J =9.810.5×0.25+1.0×0.60( )=9.810.725( )J =7.11J

WP =UPi −UPf

UPi =0

UPf =− ms +md( )gd2

⇒

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Momento della quantità di moto, o momento angolare, di un sistema di punti materiali

• Per ciascuna particella

r l Oi =

r r i ×mi

r v i i =1,2,...,n

r L O =

r l iO

i=1

n

∑ =r r i ×mi

r v i

i=1

n

∑

• Il momento della quantità di moto o momento angolare dell’intero sistema rispetto al polo O, è dato da:

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

O

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Cambiamento di polo

• Naturalmente possimo calcolare il momento della quantità di moto rispetto a qualsiasi punto, non necessariamente l’origine!

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

'

r

r 3

'

r

r 2

'

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

O'

O

r L O' =

r l iO'

i=1

n

∑ =r r ' i ×mi

r v i

i=1

n

∑

r L O =

r r i ×mi

r v i

i=1

n

∑ =r r ' i +OO'

→⎛ ⎝

⎞ ⎠ ×mi

r v i

i=1

n

∑ =

=r r ' i ×mi

r v i +i=1

n

∑ OO'→

× mir v i =

r L O'

i=1

n

∑ +OO'→

×r P

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Il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa

• Se O’ coincide con il centro di massa CM

r L O' =

r l iO'

i=1

n

∑ =r r ' i ×mi

r v i

i=1

n

∑

r L O =

r L O' +OO'

→×

r P

r L CM =

r l iCM

i=1

n

∑ =r r 'i ×mi

r v i

i=1

n

∑

r L O =

r L CM +

r r CM ×

r P

r L O =

r r CM ×M

r v CM +

r L CM

• Il momento della quantità di moto rispetto al polo O è uguale al momento della quantità di moto del centro di massa rispetto al polo O + il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa (II teorema di Konig)

• Il CM non rappresenta del tutto il sistema

z

y

x

P2

P1

P3

r

r '1

r

r '3

r

r '2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

y'

z'

x'

• Il momento della quantità di moto valutato rispetto al centro di massa assume lo stesso valore sia se viene calcolato nel sistema Oxyz che nel sistema di riferimento del CM.

r L CM =

r r ' i ×mi

r v i

i=1

n

∑ =r r 'i ×mi

r v 'i

i=1

n

∑ =r L 'CM

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Teorema del momento angolare II equazione cardinale della dinamica

• Se le particelle del sistema sono in moto, variano le loro posizioni e potrebbe anche variare la loro velocità.

• Il momento della quantità di moto rispetto al polo O varia.

• Valutiamo la rapidità con cui varia.

dr L Odt

=

dr r i ×mi

r v ii=1

n

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

dt=

dr r idt

×mir v i

i=1

n

∑Poichè

dr r idt

=r v i , questo

termine è nullo in quantociascun termine della sommaè nullo poichè prodottovettoriale di due vettoriparalleli

1 2 4 4 3 4 4

+r r i ×mi

dr v idt

i=1

n

∑ =r r i ×mi

r a i

i=1

n

∑

mir a i =

r F i

est+r F i

int i =1,2,...,n

dr L Odt

=r r i ×mi

r a i

i=1

n

∑ =r r i ×

r F i

est+r F i

int( )

i=1

n

∑ =r M iO

est

i=1

n

∑ +r M iO

int

i=1

n

∑ =r M O

est+r M O

int

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II equazione cardinale della dinamica dei sistemi

• Il momento risultante delle forze interne è nullo:

O

r

r i

r

r j

r

r ij

r

f ij

r

f ji

j

i

r M O

int =....+r r i ×

r f ij +....+

r r j ×

r f ji +....

r f ji =−

r f ij

1 2 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 =.....+

r r i ×

r f ij +....−

r r j ×

r f ij +....=....+

r r i −

r r j( )×

r f ij

=0 perchè r f ij é

parallela a r r i −

r r j=

r r ij

1 2 4 3 4 +....=0

dr L Odt

=r M O

est

• Pertanto la variazione del momento della quantità di moto di un sistema di punti è uguale al momento risultante delle sole forze esterne

• Mentre nel caso del punto materiale questa equazione è equivalente alla II legge della dinamica

• Nel caso dei sistemi di punti, la I e la II equazione cardinale, sono indipendenti e quindi forniscono informazioni complementari.

• O = origine del sist. Rif

• O = punto fisso

• O = CM (SRI o SCM)

• O punto mobile ma con velocità parallela a vCM

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Possibile uso della seconda equazione cardinale

• Si consideri una carrucola il cui asse è ancorato al soffitto, su cui è avvolta una corda.

• Applichiamo all’estremo libero della corda una forza F.

• La prima equazione cardinale della dinamica non ci da alcuna informazione sul moto della carrucola, ci permette solo di determinare l’intensità della reazione vincolare.

CM

r

P

r

F

r

R v

r P +

r F +

r R v =M

r a CM =0

• La seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi non è banalmente soddisfatta

r R v =−

r P −

r F

dr L CM

dt=

r M CM

est =r r ×

r F ≠0

• Questa equazione ci può dare informazioni sul moto di rotazione della carrucola attorno all’asse passante per il centro di massa.