G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La quantità di moto La quantità di moto di un sistema di...
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
La quantità di moto
• La quantità di moto di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le quantità di moto di ciascun punto materiale
z
y
x
P2
P1
P3
r
r 1
r
r 3
r
r 2
r
r 2
v1
v2
v3
r
r CM
r
r 2
r P = mi
r v i
i=1
n
∑• Ricordando l’espressione della velocità
del centro di massa
r v CM =
mir v i
i=1
n
∑M tot
⇒ r P =Mtot
r v CM
• La quantità di moto di un sistema di punto materiali è proprio uguale alla quantità di moto del Centro di Massa
– Centro di massa: • massa pari alla massa totale del sistema
• velocità uguale alla velocità del centro di massa
Per quanto riguarda la quantità di moto, il centro di massa rappresenta completamente il sistema di particelle.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
z
y
x
P2
P1
P3
r
r 1
r
r 3
r
r 2
r
r 2
v1
v2
v3
r
r CM
r
r 2
I equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali
• La derivata della quantità di moto di un sistema di punti materiali
• è uguale alla risultante delle sole forze esterne
• È equivalente al teorema del centro di massa
dr P
dt=
r R (e)
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La conservazione della quantità di moto• Se la risultante delle forze esterne è nulla
• la quantità di moto delle singole particelle agenti sul sistema possono variare, ma la quantità di moto totale del sistema rimane costante in modulo, direzione e verso.
• Un sistema isolato è un sistema molto lontano da altri corpi e quindi non soggetto a forze esterne: la quantità di moto di un sistema isolato si conserva.
• La conservazione della quantità di moto è equivalente alla terza legge di Newton
dr P
dt=0 ⇒
r P =costante
dr P
dt=
dr p 1dt
+dr p 2dt
=0 ⇒ dr p 1dt
=−dr p 2dt
⇒ r f 12 =-
r f 21
Noi abbiamo ricavato la conservazione della quantità di moto dalle leggi di Netwon: in realtà il principio di conservazione della quantità di moto è un principio più generale: vale anche al di fuori della meccanica classica.
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Applicazione
• Un’astronave di massa totale M staviaggiando nelle profondità dello spazio con una velocità vi=2100km/h rispetto al sole.
Espelle uno stadio posteriore di massa 0.20M alla velocità relativa u=500km/h rispetto all’astronave, diretta lungo l’asse x.
Quanto diventa la velocità dell’astronave rispetto al sole?
Indichiamo con U la velocità dello stadio posteriore rispetto al sole.
Siamo molto lontani da qualsiasi altro corpo, quindi le forze esterne sono nulle.La quantità di moto si conserva.
dr P
dt=0 ⇒
r P =costante
r P i =
r P f
La quantità di moto iniziale è diretta lungo l’asse xLa quantità di moto finale dello stadio posteriore è anch’essa diretta lungo l’asse xAnche la quantità di moto del resto dell’astronave sarà diretta lungo l’asse x
Pix =Pfx ⇒ Mvi =0.20M ×U +0.80M ×vf v =v'+vO' U =−u+vf
Mvi =0.20M × vf −u( ) +0.80M ×vf ⇒ Mvi =Mvf −0.20Mu
vf =vi +0.20u=2100kmh +0.20×500km
h =2200kmh
Consideriamo il sole come un sistema di riferimento inerziale
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La conservazione parziale della quantità di moto
• La I equazione cardinale della dinamica dei sistemi è una relazione vettoriale
• Se il sistema non è isolato, allora la risultante non sarà nulla– È possibile che alcune delle componenti della risultante siano nulli
– Allora si conservano le corrispondenti componenti della quantità di moto
dr P
dt=
r R (e)
dr P
dt=
r R (e) ⇒
dPx
dt=Rx
(e)
dPy
dt=Ry
(e)
dPz
dt=Rz
(e)
⇒
Rx(e) =0 ⇒ Px =costante
Ry(e) =0 ⇒ Py =costante
Rz(e) =0 ⇒ Pz =costante
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Dai moti relativi
Applicazione
• Nella figura si vede un vagone ferroviario a pianale basso di massa M che è libero di muoversi senza attrito su un binario rettilineo orizzontale.
All’inizio un uomo di massa m sta fermo sul vagone che viaggia verso destra con velocità vo. Quale sarà la variazione di velocità del vagone se l’uomo si metterà a correre verso sinistra con una velocità vrel rispetto al vagone?
Si assuma vo=1m/s, vrel=5m/s, m=70kg, M=1000kg.
Il sistema di riferimento è quello dei binari (inerziale).
In questo caso le forze esterne non sono nulle: peso del vagone, peso dell’unomo, reazione vincolare del binario (solo componente normale).Però le forze sono tutte verticaliSi conserva la quantità di moto orizzontale, in particolare quella diretta secondo i binari.
dPx
dt=Rx
est=0 ⇒ Px =costante
Pix =Pfx ⇒ M +m( )vi =mvu +Mvf
v =v'+vO' vu =−vrel +vf
M +m( )vi =m× vf −vrel( )+M ×vf ⇒ M +m( )vi = M +m( )vf −mvrel
vf =m+Mm+M
vi +m
m+Mvrel =1m
s +70
10705m
s =11401070
ms =1.07m
s
x
vu velocità dell’uomo rispetto ai binari
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L’energia cinetica di un sistema di punto materiali
• Come già visto nel caso della quantità di moto:
• L’energia di un sistema di punti materiali è la somma dell’energia cinetica dei singoli punti materiali.
K =12
mivi2
i=1
n
∑z
y
x
P2
P1
P3
r
r 1
r
r 3
r
r 2
r
r 2
v1
v2
v3
r
r CM
r
r 2
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Il sistema di riferimento del centro di massa
• Il sistema di riferimento del CM è un sistema di riferimento avente– Origine nel Centro di Massa CM
– Assi paralleli a quelli del sistema inerziale in cui si studia il moto del sistema.
z
y
x
P2
P1
P3
r
r 1
r
r 3
r
r 2
r
r 2
v1
v2
v3
r
r CM
r
r 2
y'
z'
x'
r v i =
r v CM +
r v i
'
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Il I teorema di Konig• L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale
all’energia cinetica del centro di massa più l’energia cinetica del sistema di particelle misurata nel sistema di riferimento del CM.
• Dimostrazione:z
y
x
P2
P1
P3
r
r 1
r
r 3
r
r 2
r
r 2
v1
v2
v3
r
r CM
r
r 2
y'
z'
x'
K =12
MvCM2 +
12
miv'i2
i=1
n
∑
K =12
mivi2 =
i=1
n
∑ 12
mir v i ⋅
r v i =
i=1
n
∑
=12
mir v CM +r v
i'
( )⋅r v CM +r v
i'
( ) =i=1
n
∑
=12
mi vCM2 +v' i
2+2r v CM ⋅
r v ' i( )=
i=1
n
∑
=12
mivCM2 +
12
miv'i2
i=1
n
∑i=1
n
∑ + mir v CM ⋅r v ' i
i=1
n
∑ =
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Il I teorema di Konig
• Per quanto riguarda l’energia cinetica, il CM non rappresenta completamente il sistema di particelle, occorre aggiungere l’energia cinetica del moto relativo al centro di massa.
z
y
x
P2
P1
P3
r
r 1
r
r 3
r
r 2
r
r 2
v1
v2
v3
r
r CM
r
r 2
y'
z'
x'
=
12
mivCM2 +
12
miv' i2
i=1
n
∑i=1
n
∑ +r v CM ⋅ mi
r v ' i
i=1
n
∑ =
=12
mi
i=1
n
∑⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ vCM
2 +12
miv' i2
i=1
n
∑ +r v CM ⋅M
r v 'CM↓=0
=
=12
M totvCM2 +
12
miv' i2
i=1
n
∑ =12
MtotvCM2 +K'
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Estensione del teorema delle forze vive ai sistemi di punti materiali
• Per ogni particella del sistema
ΔK i =K ifin −K i
iniz =WR i= WFi
∑somma dei lavori compiutida tutte le forze, sia interne cheesterne, agenti sulla particella i
1 2 4 4 4 3 4 4 4 i =1,2,....,n
ΔK = ΔK i
i=1
n
∑ = K ifin
i=1
n
∑ − K iiniz
i=1
n
∑Kfin−Kiniz=ΔK
1 2 4 4 4 3 4 4 4
= WRii=1
n
∑ = WFi ∑
i=1
n
∑somma dei lavori compiutida tutte le forze, sia interne cheesterne, agenti sulle n particelle
1 2 4 4 4 4 3 4 4 4 4
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Il lavoro delle forze interne
• Abbiamo già osservato che le forze interne esistono a coppie.
• Consideriamo le particelle i e j
• Facciamo vedere che il lavoro complessivo fatto delle forze interne tra le particelle i e j è nullo se la distanza tra le due particelle resta costante!
i
j
r
F ij
r
F ji
d
r
r i
d
r
r j
r
r i
r
r j
O
Wij =r F ij ⋅d
r r i +
r F ji ⋅d
r r j =
r F ij ⋅d
r r i −
r F ij ⋅d
r r i
dr r j =d
r r i
r F ji =−
r F ij
1 2 4 4 3 4 4 =0Spostamenti uguali
i
j
r
F ij
r
F ji
d
r
r j
r
r i
r
r j
O
i ferma, j moto circolare attorno a i
Wij =r F ij ⋅d
r r i
=0 perchè dr r i =0
1 2 3 +
r F ji ⋅d
r r j
=0 perchè dr r j è
perpendicolare a r F ji
1 2 3 =0
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Il lavoro delle forze interne
• Il lavoro complessivo fatto delle forze interne di un sistema di particelle è nullo se le distanze tra le particelle restano costanti!
i
j
r
F ij
r
F ji
d
r
r j
r
r i
r
r j
O
r
r ji
d
r
r ji
r
r ji
'
dθ
• Per valutare il lavoro fatto dalle forze interno consideriamo la particella i ferma e la particella j che si sposta facendo variare la distanza tra le due particella
r' ji cosdθ( ) =rji +drji Poiché dθ ≈0
cosdθ( ) ≈1 r' ji −rji =drji
Wij =r F ij ⋅d
r r i
=0 perchè dr r i =0
1 2 3 +
r F ji ⋅d
r r j = Fijdrji
Fij =Fjidrji = componente dello spostamentonella direzione di
r F ij , corrisponde alla
variazione di lunghezza di r r ji
1 2 3
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Estensione della conservazione dell’energia ai sistemi di punti materiali
• Se tutte le forze interne ed esterne sono conservative
• Allora si può definire una funzione energia potenziale relativa a tutto il sistema ed è uguale alla somma delle energie potenziali dei singoli punti materiali
U = Ui
tutteleparticelle∑ Ui è la somma delle energie potenziali della particella i
– In altri termini la somma va estesa a tutte le forze interne ed esterne agenti sulla particella i
• Poiché per ogni particella vale la conservazione dell’energia, allora essa vale anche per tutto il sistema.
• Se tutte le forze sono conservative, l’energia meccanica totale del sistema rimane costante durante il moto. E =K +U =costante
• Se, alcune delle forze agenti, siano esse interne od esterne, sono non conservative, allora vale la relazione lavoro-energia: ΔE =Wnc
• Wnc è il lavoro di tutte le forze non conservative.
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L’energia potenziale della forza peso
• L’energia potenziale è uguale al prodotto della massa totale del sistema di particelle per l’accelerazione di gravità per la quota del CM.
r P i =mi
r g i =1,2,.....,n
U i =mighi i =1,2,.....,n
U = U i
i=1
n
∑ = mighi
i=1
n
∑
U = U i
i=1
n
∑ = mighi
i=1
n
∑ =g mihi
i=1
n
∑g compare in tutti i termini dellasommatoria e si può mettere in evidenza
1 2 4 4 4 4 3 4 4 4 4
= gMhCM
dalla definizione di Centrodi Massa, la quota hCM sarà
data da hCM =
mihi
i=1
n
∑M
1 2 4 3 4
U =MghCM
• Per ciascuna particella:
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Applicazione
• Un bastone assimilabile ad una sbarretta omogenea di massa m0.5kg e lunghezza L=1m. Inizialmente il bastone ha n estremo a contatto con il pavimento e viene lasciato cadere partendo da una posizione pressoché verticale. Determinare il lavoro fatto dalla forza peso.
Posizione iniziale
WP =−ΔUP ⇒ WP =−UPf −UPi( ) =UPi −UPf
x
Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo
y
Posizione finale
WP =UPi −UPf
UPi =mgL2
UPf =0
⇒ WP =UPi −UPf =mgL2
=0.5kg×9.81m
s2 ×0.5m=2.45J
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Posizione finaleIl pendolo poi prosegue oltre questa posizione (in assenza di attriti raggiunge la posizione simmetrica a quella di partenza rispetto all’asse di rotazione e poi ritorna indietro e oscilla tra la posizione iniziale e quella simmetrica rispetto all’asse di rotazione)
WP =−ΔUP ⇒ WP =−UPf −UPi( ) =UPi −UPf
x
Applicazione
• L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro.
Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale
Posizione inizialey
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Ricordando il calcolo della posizione del CM già fatto nella lezione precedente d1=.22m
WP =−ΔUP ⇒ WP =−UPf −UPi( ) =UPi −UPf
x
Applicazione
• L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro.
Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale
Posizione inizialey
WP =UPi −UPf
UPi =0
UPf =− ms +md( )gd2
⇒
WP =UPi −UPf =0− −ms +md( )gd2( ) =1.5kg×9.81m
s2×0.48m=7.06J
Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo
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WP =−ΔUP ⇒ WP =−UPf −UPi( ) =UPi −UPf = UPsi +UPdi( )− UPsf +UPdf( )
x
Applicazione
• Una maniera alternativa per arrivare allo stesso risultato parte dall’osservazione che l’energia potenziale di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le energie potenziali delle singole particelle:
Che, a parte errori di arrotondamento, è uguale al valore trovato con l’altro metodo.
y UPsi =0
UPsf =−msgL2
UPdi =0
UPdf =−msg L +R( )
WP = UPsi +UPdi( )− UPsf +UPdf( ) =0− −msgL2
−mdg L +R( )⎛ ⎝
⎞ ⎠ =
=0.5kg×9.81m
s2 ×0.25m+1.0kg×9.81m
s2×0.60m=
=9.810.5×0.25+1.0×0.60( )J =9.810.5×0.25+1.0×0.60( )=9.810.725( )J =7.11J
WP =UPi −UPf
UPi =0
UPf =− ms +md( )gd2
⇒
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Momento della quantità di moto, o momento angolare, di un sistema di punti materiali
• Per ciascuna particella
r l Oi =
r r i ×mi
r v i i =1,2,...,n
r L O =
r l iO
i=1
n
∑ =r r i ×mi
r v i
i=1
n
∑
• Il momento della quantità di moto o momento angolare dell’intero sistema rispetto al polo O, è dato da:
z
y
x
P2
P1
P3
r
r 1
r
r 3
r
r 2
r
r 2
v1
v2
v3
r
r CM
r
r 2
O
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Cambiamento di polo
• Naturalmente possimo calcolare il momento della quantità di moto rispetto a qualsiasi punto, non necessariamente l’origine!
z
y
x
P2
P1
P3
r
r 1
'
r
r 3
'
r
r 2
'
r
r 2
v1
v2
v3
r
r CM
r
r 2
O'
O
r L O' =
r l iO'
i=1
n
∑ =r r ' i ×mi
r v i
i=1
n
∑
r L O =
r r i ×mi
r v i
i=1
n
∑ =r r ' i +OO'
→⎛ ⎝
⎞ ⎠ ×mi
r v i
i=1
n
∑ =
=r r ' i ×mi
r v i +i=1
n
∑ OO'→
× mir v i =
r L O'
i=1
n
∑ +OO'→
×r P
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Il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa
• Se O’ coincide con il centro di massa CM
r L O' =
r l iO'
i=1
n
∑ =r r ' i ×mi
r v i
i=1
n
∑
r L O =
r L O' +OO'
→×
r P
r L CM =
r l iCM
i=1
n
∑ =r r 'i ×mi
r v i
i=1
n
∑
r L O =
r L CM +
r r CM ×
r P
r L O =
r r CM ×M
r v CM +
r L CM
• Il momento della quantità di moto rispetto al polo O è uguale al momento della quantità di moto del centro di massa rispetto al polo O + il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa (II teorema di Konig)
• Il CM non rappresenta del tutto il sistema
z
y
x
P2
P1
P3
r
r '1
r
r '3
r
r '2
r
r 2
v1
v2
v3
r
r CM
r
r 2
y'
z'
x'
• Il momento della quantità di moto valutato rispetto al centro di massa assume lo stesso valore sia se viene calcolato nel sistema Oxyz che nel sistema di riferimento del CM.
r L CM =
r r ' i ×mi
r v i
i=1
n
∑ =r r 'i ×mi
r v 'i
i=1
n
∑ =r L 'CM
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Teorema del momento angolare II equazione cardinale della dinamica
• Se le particelle del sistema sono in moto, variano le loro posizioni e potrebbe anche variare la loro velocità.
• Il momento della quantità di moto rispetto al polo O varia.
• Valutiamo la rapidità con cui varia.
dr L Odt
=
dr r i ×mi
r v ii=1
n
∑⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
dt=
dr r idt
×mir v i
i=1
n
∑Poichè
dr r idt
=r v i , questo
termine è nullo in quantociascun termine della sommaè nullo poichè prodottovettoriale di due vettoriparalleli
1 2 4 4 3 4 4
+r r i ×mi
dr v idt
i=1
n
∑ =r r i ×mi
r a i
i=1
n
∑
mir a i =
r F i
est+r F i
int i =1,2,...,n
dr L Odt
=r r i ×mi
r a i
i=1
n
∑ =r r i ×
r F i
est+r F i
int( )
i=1
n
∑ =r M iO
est
i=1
n
∑ +r M iO
int
i=1
n
∑ =r M O
est+r M O
int
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II equazione cardinale della dinamica dei sistemi
• Il momento risultante delle forze interne è nullo:
O
r
r i
r
r j
r
r ij
r
f ij
r
f ji
j
i
r M O
int =....+r r i ×
r f ij +....+
r r j ×
r f ji +....
r f ji =−
r f ij
1 2 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 =.....+
r r i ×
r f ij +....−
r r j ×
r f ij +....=....+
r r i −
r r j( )×
r f ij
=0 perchè r f ij é
parallela a r r i −
r r j=
r r ij
1 2 4 3 4 +....=0
dr L Odt
=r M O
est
• Pertanto la variazione del momento della quantità di moto di un sistema di punti è uguale al momento risultante delle sole forze esterne
• Mentre nel caso del punto materiale questa equazione è equivalente alla II legge della dinamica
• Nel caso dei sistemi di punti, la I e la II equazione cardinale, sono indipendenti e quindi forniscono informazioni complementari.
• O = origine del sist. Rif
• O = punto fisso
• O = CM (SRI o SCM)
• O punto mobile ma con velocità parallela a vCM
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Possibile uso della seconda equazione cardinale
• Si consideri una carrucola il cui asse è ancorato al soffitto, su cui è avvolta una corda.
• Applichiamo all’estremo libero della corda una forza F.
• La prima equazione cardinale della dinamica non ci da alcuna informazione sul moto della carrucola, ci permette solo di determinare l’intensità della reazione vincolare.
CM
r
P
r
F
r
R v
r P +
r F +
r R v =M
r a CM =0
• La seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi non è banalmente soddisfatta
r R v =−
r P −
r F
dr L CM
dt=
r M CM
est =r r ×
r F ≠0
• Questa equazione ci può dare informazioni sul moto di rotazione della carrucola attorno all’asse passante per il centro di massa.