G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La quantità di moto Data una particella di massa m che si...

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La quantità di moto

• Data una particella di massa m che si muove con velocità v

• Si definisce quantità di moto la quantità: r p =m

r v

r v

m

r p =m

r v

– È un vettore• Prodotto di uno scalare positivo, m, per un vettore, v.

• Stessa direzione e verso di v,

• Il modulo è m volte quello di v.

– Le dimensioni: [p]=[m][v]=[M][LT-1]

– Nel SI si misurerà in kg m s -1

• Se sul punto materiale agisce una forza, – la sua velocità cambierà,

– ma cambierà anche la sua quantità di moto

dr p dt

=d mr v ( )

dt= per m costante

dr p dt

=d mr v ( )

dt=m

dr v dt

=mr a =

r F

dr p dt

=r F


Il prodotto vettoriale

• Dati i vettori a e b , si definisce prodotto vettoriale r a ×

r b

il vettore c così individuato:– Il modulo del vettore c è dato da:

– La direzione è perpendicolare al piano individuato dai vettori a e b.

– Il verso è determinato con la regola della mano destra:• I formulazione:

– Si dispone il pollice della mano destra lungo il primo vettore

– Si dispone l’indice della mano destra secondo il secondo vettore

– Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale

• II formulazione– Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice

– Si dispone la mano destra in maniera che le dita chiuse a pugno indichino il verso in cui bisogna far ruotare il primo vettore per sovrapporlo al secondo percorrendo l’angolo minore di 180°

– Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale.

c =absenφ

dove l’angolo è l’angolo minore di 180° compreso tra i due vettori


Proprietà del prodotto vettoriale

• Il prodotto vettoriale non è commutativo: r a ×

r b ≠

r b ×

r a

r a ×

r b =−

r b ×

r a • Infatti:

θ

h = b sin θ

rarb

Area = ah = absin θ =

r

a ×

r

b

• Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale

• Il modulo del prodotto vettoriale è uguale all’area del parallelogramma formato con u due vettori.

• Vettori paralleli o antiparalleli hanno un prodotto vettoriale nullo


Ulteriori proprietà del prodotto vettoriale• Prodotto vettoriale attraverso le

componenti cartesiane:

r i ×

r i =0

r i ×

r j =

r k

r i ×

r k =−

r j

r j ×

r j =0

r j ×

r k =

r i

r j ×

r i =−

r k

r k ×

r k =0

r k ×

r i =

r j

r k ×

r j =−

r i

r a ×

r b +

r c ( ) =

r a ×

r b +

r a ×

r c

Proprietà distributiva

r a ×r b =

r i

r j

r k

ax ay az

bx by bz

=

=r i aybz −byaz( )−

r j axbz −bxaz( ) +

r k axby −bxay( )


Il momento di un vettore

• Dato un vettore V qualsiasi ed il punto O, che in questa occasione si chiama “polo”, si definisce momento del vettore V rispetto al polo O la quantità:

r M O =

r r ×

r V r posizione rispetto ad O del punto

di applicazione del vettore V. r V

r r

θ

θ

MO=rVsenθ=V(rsenθ) =bV

Il modulo del momento, MO, è uguale al modulo del vettore V per il braccio del vettore V rispetto al polo O

• Il braccio è la distanza della retta di azione del vettore V dal polo O

• Spostando il vettore V sulla sua retta di azione il momento resta invariato.

x

y

O

È importante l’ordine!Prima r poi V!

b=r senθ


Momento della quantità di moto o momento angolare

• Data la particella di massa m, – la cui posizione è individuata, al tempo t, dal

vettore posizione r,

– che al tempo t si muove con velocità v

– E quindi possiede una quantità di moto p=mv

• Si definisce momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O, la grandezza:

r p

r r

θ

y

O

r l O =

r r ×

r p

Il modulo vale: l O =rmvsenθ=bmv

Le dimensioni: l O[ ] = r[ ] m[ ] v[ ] senθ[ ]= LMLT −1

[ ]= ML2T−1[ ]

Le unità di misura: kgm2s-1

b=rsenθx


Momento della forza

• Data la particella di massa m, – la cui posizione è individuata, al tempo t, dal

vettore posizione r,

– che al tempo t subisce l’azione della forza F

• Si definisce momento della forza F rispetto al polo O, la grandezza:

r F

r r

θ

y

O

r M O =

r r ×

r F

Il modulo vale: MO =rFsenθ =bF

Le dimensioni: MO[ ]= r[ ] F[ ] senθ[ ]= LMLT −2[ ]= ML2T−2

[ ]

Le unità di misura: kgm2s-2

Da non confondere con il lavoro che ha le stesse dimensioni(il lavoro è uno scalare, il momento della forza un vettore: sono due grandezze completamente diverse)

b=rsenθ=rsen180°−θ( )

b

x


Relazione tra il momento della quantità di moto ed il momento della forza

• Durante il moto di una particella, sia la sua posizione r che la sua velocità cambiano con il tempo,– È lecito aspettarsi che anche il momento della quantità di moto della

particella rispetto al polo O vari con il tempo.

– Valutiamo a quanto è uguale la sua variazione (calcoliamo la derivata):

dr l Odt

=d

r r ×

r p ( )

dt=

dr r dt

×r p +

r r ×

dr p dt

• Attenzione a non cambiare il posto dei vettori, il prodotto vettoriale non commuta.

• Il primo termine è nullo: i due vettori sono paralleli

dr r dt

×r p =

r v ×

r p =

r v ×m

r v

dr l Odt

=r r ×

dr p dt

=r r ×

r F =

r M O

• La variazione del momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O è uguale al momento della forza applicata valutato rispetto allo stesso polo! (è una diretta conseguenza della II legge di Newton)


Forze centrali• Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello

spazio con le seguenti proprietà: – per qualunque posizione del punto materiale P che subisce la forza,

– la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello spazio, detto centro della forza centrale,

– e il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal centro stesso.

• Esempio di forza centrale: la forza di gravitazione universale.

r

r

r

F

x

y

O=S

P

r F =−G

mMr2

r u r =−G

mMr2

r r r

• Anche la forza di Coulomb è centrale

r F =

14πεo

q1q2

r2r u r

• Così come la forza elastica r F =−kxi

• Le forze centrali sono conservative


Moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza centrale

• Il momento di una forza centrale valutato rispetto al centro della forza è nullo– La forza ed il vettore posizione sono paralleli o anti

paralleli

dr l odt

=r M o

dr l odt

=0 ⇒r l o =costante

– Verso• La traiettoria viene percorsa sempre nello stesso verso:

orario o antiorario

– Modulo• La velocità areale è costante: il segmento che connette il

centro della forza con il punto materiale spazza aree uguali in tempi uguali.

r F

r r

y

O x

r v

r r (t)

y

O x

r v (t)

r r (t+Δt)

r v t+Δt( )

• Il momento della quantità di moto rispetto al centro della forza deve rimanere costante– in direzione

• Il moto è un moto piano


La velocità areale• Consideriamo l’intervallo di tempo t

– L’area spazzata nell’intervallo t è quella evidenziata in figura

– Approssimativamente uguale all’area del triangolo di lati r(t), r(t+t), r.

– L’eguaglianza approssimata diventa precisa per t che tende a zero.

– L’area del triangolo vale:

Il modulo del momento della quantità di moto rispetto al centro della

forza vale: e quindi: l O =rmvsenφ

dAdt

=12l O

m

r r (t)

y

O x

r v (t)

r r (t+Δt)

r v t+Δt( )

Δr r

r v θ

r v r

φh

ΔA =12 r(t)h

La velocità areale: dAdt

=limΔt→ 0ΔAΔt

=limΔt→ 0

12 r(t)h

Δt=1

2r(t)limΔt→ 0hΔt

Dalla definizione di velocità istantanea ricaviamo che:

r v =limΔt→ 0

Δr r Δt

⇒ vθ =limΔt→ 0hΔt

e quindidAdt

=12 rvθ =1

2rvsenφ

Nel caso di forze centrali, poiché il modulo del momento della quantità di moto è costante, allora la velocità areale è costante


La velocità areale

l O =rmvsenθ=mrvθ =mrrω =mr2ω

• Se indichiamo con θ l’angolo formato tra i vettori posizione all’istante t e t+t

Il momento angolare:

vθ =limΔt→ 0hΔt

=limΔt→ 0r(t+Δt)senΔθ( )

Δt=

=r(t)limΔt→ 0ΔθΔt

=rω r r (t)

y

O x

r v (t)

r r (t+Δt)

r v t+Δt( )

Δr r

r v θ

r v r

φh

θθ

AfelioPiù lento

PerielioPiù veloce

e= 1−b2

a2


Le leggi di Keplero• Le orbite dei pianeti sono delle ellissi. Il sole occupa uno dei fuochi.

• Il segmento che congiunge il pianeta con il sole, spazza aree uguali in tempi uguali: in altre parole la velocità areale (l'area spazzata nell'unità di tempo), è costante.

• Il quadrato del tempo di rivoluzione (T2), è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'ellisse (a3). La costante di proporzionalità è la stessa per tutti i pianeti del sistema solare.

• L’ipotesi che la forza di gravitazione universale sia una forza centrale

• insieme con quella che un sistema di riferimento legato al sole possa essere considerato inerziale

• giustifica le prime due leggi di Keplero ( in realtà la prima solo parzialmente)


Verifica della III legge di Keplero

• Faremo la verifica supponendo che le orbite dei pianeti siano circolari anziché ellittiche.– L’eccentricità per la terra è 0.0167

– a è il semiasse maggiore

– b quello minore

• Se la traiettoria è circolare il moto è uniforme (la velocità areale deve essere costante)

• Il pianeta è soggetto ad un’accelerazione centripeta

• Quindi la forza di gravitazione universale si comporterà da forza centripeta:

e= 1−b2

a2

FG =GmMr2 =man =

mv2

r


Verifica della III legge di Keplero

GmMr2

=mv2

r=

m2πrT

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

r=

m4π2r2

rT2 =m4π2r

T2

Che appunto verifica la III legge di Keplero

GmMr2

=m4π2r

T2 ⇒ T2 =4π2

GMr3

Ma la velocità è legata al periodo dalla relazione: T =2πrv

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