G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il problema del moto Conoscendo la legge oraria, ossia...

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il problema del moto• Conoscendo la legge oraria, ossia conoscendo la posizione

del punto materiale ad ogni istante di tempo:– Con una prima derivazione possiamo determinare la funzione

velocità

– Con una seconda derivazione possiamo determinare la funzione accelerazione

ax(t) =dvx(t)

dtax(t) =

d2x(t)dt2

• Il problema che ora ci poniamo è il seguente:– Se conosciamo l’accelerazione ad ogni istante di tempo nell’intervallo di

osservazione del moto, conosciamo cioè la funzione a(t),

– siamo in grado di determinare la legge oraria?

– determinare come varia la posizione in funzione del tempo, la funzione x(t)?

d2x(t)dt2

=ax(t)Si tratta di risolvere la seguente equazione:


L’equazione differenziale

• L’equazione precedente è un’equazione differenziale– Contiene le derivate

– È del secondo ordine (contiene la derivata seconda)

• Cosa vuol dire risolvere una equazione differenziale come quella precedente?– Occorre ricercare tra tutte le possibili funzioni del tempo, quelle la

cui derivata seconda rispetto al tempo coincide con la funzione nota dell’accelerazione a(t).

d2x(t)dt2

=ax(t)


Soluzioni dell’equazione differenziale• Supponiamo di aver trovato una soluzione dell’equazione

differenziale, – di aver trovato cioè una funzione x1(t) la cui derivata seconda è

proprio uguale alla funzione nota a(t).

• La funzione x(t)=k1+k2t+x1(t), con k1 e k2 due costanti reali qualsiasi, è anch’essa soluzione della stessa equazione differenziale.

d2x1(t)dt2

=ax(t)

dx(t)dt

=d k1 +k2t+x1(t)( )

dt=k2 +

dx1(t)dt

d2x(t)dt2

=ddt

dx(t)dt

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

ddt

k2 +dx1(t)

dt⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

ddt

dx1(t)dt

=d2x1(t)

dt2=ax(t)


Soluzione formale dell’equazione differenziale

• Cominciamo con il risolvere un’equazione più semplice:– Supporremo si conoscere la funzione velocità vx(t)

– e di voler determinare la legge oraria x(t)

– L’equazione differenziale in questo caso è del primo ordine.dx(t)dt

=vx(t)

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)

t*

• Fissato un generico istante di tempo t*– si calcola lo spostamento

subito dal punto materiale tra t=0 e t*

• Si ripete il calcolo per tutti gli istanti di tempo– si ottiene così la legge oraria


Soluzione formale dell’equazione differenziale

• Se conoscessimo la velocità media tra t=0 e t*, lo spostamento varrebbe:

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)

t

x(t*) −xo =vmx(t* −0) =vmxt*

• Purtroppo conosciamo la velocità in tutti gli istanti di tempo ma non quella media

• Possiamo fare delle ipotesi:– La velocità media è

uguale a quella a t=0

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)

t*

– a quella a t*/2


Risoluzione formale dell’equazione differenziale

• Possiamo immaginare di suddividere l’intervallo tra 0 e t* in n intervalli più piccoli di ampiezza

• Siano• to = 0

• t1 = to + t

• t2 = to + 2t

• …

• ti = to + it

• …

• tn = to+ nt = t*

gli istanti intermedi.

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)

t0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)

t*

Δt =t*n

x i = vxm,i Δt

Lo spostamento in ciascun t



• Lo spostamento complessivo invece

x(t*) −xo = Δxi

i=1

n

∑ = vxm,iΔti=1

n

∑• Noi però non conosciamo la velocità media vxm,i in ciascuno degli

n intervalli di tempo, – sappiamo solo che essa è compresa tra il valore minimo e quello

massimo assunti dalla funzione vx(t) nell'intervallo tra ti-1 e ti

• Per fare una stima dello spostamento supporremo che la velocità media nell’i-esimo intervallo coincida con la velocità all’inizio dell’intervallo stesso:

x(t*) −xo = Δxi

i=1

n

∑ ≈ vx(ti−1)Δti=1

n

∑La stima dello spostamento nel grafico corrisponde all’area totale dei rettangoli di base t e altezza vx(ti-1).



• L’approssimazione vxm,i=vx(ti-1) è tanto migliore quanto più piccola è l’ampiezza degli intervalli t.– Infatti al diminuire di t diminuisce la differenza tra il valore massimo e

quello minimo della velocità in t.

• Otterremo una stima sempre più precisa dello spostamento man mano che t tende a zero, o, equivalentemente, man mano che n, il numero delle suddivisioni, tende all’infinito.

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)

t* 0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)

t*



• Diremo quindi che lo spostamento tra t=0 e t* del punto materiale è uguale a:

x(t*) −xo =limn→ ∞ vx(ti−1)Δti=1

n

∑• Questo limite si chiama integrale della funzione vx(t) tra t=0 e t, e si

indica:

x(t*) −xo = vx(t)dt

o

t*

∫• Si tratta di un integrale definito, in quanto sono specificati gli estremi di

integrazione (t=0 e t*)




o

t*

∫ =limn→ ∞ vx(ti−1)Δti=1

n

∑• L’integrale definito corrisponde all’area sotto la curva tra t=0 e t*.

– Attenzione l’area deve essere presa con il segno• Positiva nei tratti in cui la funzione è positiva

• Negativa nei tratti in cui la funzione è negativa

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)

t*

x(t*) =xo + vx(t)dt

o

t*

∫Calcolando l’integrale per ogni istante t* si ottiene la legge oraria

x(t) =xo + vx(t)dt

o

t

∫


La velocità media


o

t*

∫• Siamo ora in grado di valutare la velocità media nell’intervallo tra t=0s e t*.

• Applicando la definizione:

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)

t*

vm =

ΔxΔt

=x(t*)−xo

Δt=

vx(t)dto

t*

∫Δt

L’area del rettangolo di base t e altezza vm ha un’ area uguale a quella delimitata dal grafico della curva, l’asse delle ascisse e gli estremi dell’intervallo t=0s e t*

vmΔt = vx(t)dt

o

t*

∫Da cui si ottiene:


L’integrale definito

• Elementi dell’integrale definito

f ( t ) dt

i

f

∫

Limite inferiore

di integrazione

Limite superiore

di integrazione

Funzione

Integranda

Variabile di

integrazione

Integrale

definito

limn→ ∞ vx(ti−1)Δti=1

n

∑ = vx(t)dt0

t*

∫

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 t (s)

v (m/s)

t*t t+dt

f(t)

Il significato


Come si risolve l’integrale definito

• L’integrale è l’operazione inversa della derivata

• Per calcolare l'integrale definito della funzione f(t), – occorre ricercare una qualsiasi funzione della variabile di integrazione, F(t)

• tale che la sua derivata, fatta rispetto alla variabile di integrazione, sia proprio uguale alla funzione integranda:

• La funzione F(t) si chiama “primitiva” della funzione f(t)

• Il valore dell’integrale si ottiene calcolando la differenza tra i valori assunti dalla funzione nell’estremo superiore e nell’estremo inferiore.

• In simboli:

dFtdtft()()=f ( t ) dt

i

f

∫

f(t)dti

f

∫ = F(t)[ ]if =F(tf )−F(ti )


Esempio• Dalla definizione di velocità sappiamo che:

vx(t) =dxdt

⇒ dx=v(t)dt • v(t) è la velocità all’istante t• dt è un intervallo di tempo infinitesimo

che comincia all’istante t• dx è lo spostamento infinitesimo subito

dal punto nell’intervallo infinitesimo dt

questa uguaglianza vale in tutti gli infiniti intervalli infinitesimi in cui ho suddiviso l’intervallo di osservazione del motoL’uguaglianza continuerà a valere se sommo, membro a membro, su tutti gli infiniti intervalli di tempo:

5=3+2 7=5+2

Totale 12=12

dxi

f

∫ = v(t)dti

f

∫Valutiamo

dxi

f

∫• variabile di integrazione x• funzione integranda f(x)=1• primitiva F(x)=x

dxi

f

∫ = x[ ]if =x(tf )−x(ti ) =x(tf )−xo

• usualmente• ti=0s• x(0s)=xo


Proprietà degli integrali• L’integrale altro non è che una somma, con l’unica particolarità che è

fatta su infiniti termini.

• Siccome in una somma il risultato non cambia cambiando l’ordine con cui vengono sommati i vari termini, allora ne deduciamo che – l’integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali

f(t) +g(t)( )dti

f

∫ = f(t)dt+g(t)dt( )i

f

∫ = f(t)dti

f

∫ + g(t)dti

f

∫

kf(t)dti

f

∫ =k f(t)dti

f

∫

• Inoltre, così come in una somma, se tutti i termini hanno un fattore comune, questo può essere messo in evidenza, così nell’integrale, eventuali costanti che moltiplicano i vari elementi infinitesimi da

sommare, possono essere portate fuori del segni di integrale.


Moto uniforme

• Valutiamo ora il secondo membro:– È necessario specificare la funzione vx(t).

– Supponiamo che vx(t) sia costante, moto uniforme, e pari a vxo

x(tf )−xo = vxodt0

tf

∫• variabile di integrazione t• funzione integranda f(t)=vxo

• primitiva F(t)= vxot

vxodt0

tf

∫ = vxot[ ]0tf =vxotf −vxo0=vxotf Si ricava

x(tf )=xo +vxotfQuesta relazione è valida comunque noi scegliamo l’istante tf in cui vogliamo smettere l’osservazione del moto.

Si può sopprimere l’indice fSi ottiene così la legge oraria del moto uniforme:

x(t) =xo +vxot

dxi

f

∫ = v(t)dti

f

∫


Considerazioni• La legge oraria trovata è soluzione dell’equazione differenziale:

x(t) =xo +vxotdxdt

=vxo con vxo costante reale

• è come ce l’aspettavamo, la posizione varia linearmente con il tempo :

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,00 5,00 10,00 15,

x (m

)

xo

tan=vxo

• Osserviamo che per qualunque valore di xo, la funzione precedente è soluzione dell’equazione differenziale.– Ci sono infinito alla uno soluzioni dell’eq. diff.

– Infatti l’equazione differenziale è del primo ordine.

• L’equazione differenziale non determina la costante xo, essa viene determinata dalle condizioni iniziali (nel nostro caso xo è proprio la posizione iniziale, a t=0s).

• L’analisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione dell’equazione differenziale che soddisfa anche le condizioni iniziali– Il numero delle condizioni iniziali pari al grado dell’eq. diff.


Moto uniformemente accelerato• Consideriamo ora il caso in cui l’accelerazione sia costante (axo).• Cominciamo col determinare la velocità in funzione del tempo

• Si tratta di risolvere la seguente equazione differenziale:

dxdt

=vxo con vxo costante reale

dvx

dt=axo con axo costante reale

• Nello studio del moto uniforme noi abbiamo risolto la seguente equazione

• Che ha esattamente la stessa struttura di quella che vogliamo risolvere ora:

• Anche la soluzione avrà la stessa struttura della soluzione trovata in precedenza

soluzione precedente soluzione attuale

x(t) =xo +vxot vx(t) =vxo +axot


Legge oraria del moto uniformemente accelerato

• Abbiamo trovato come varia nel tempo la velocità nel caso in cui l’accelerazione è costante: vx(t) =vxo +axot

• Per arrivare alla legge oraria dobbiamo risolvere la seguente eq. diff.

dxdt

=vxo +axot con vxo e axo costanti reali

• Sappiamo che la soluzione di tale eq. diff. è data da:

x(t) =xo + (vxo +axot)dt0

t

∫ =xo + vxodt0

t

∫ + axotdt0

t

∫ =

=xo +vxo dt0

t

∫ +axo tdt0

t

∫ =xo +vxo t[ ]0t +axo

12t2[ ]0

t=xo +vxot+1

2 axot2

x(t) =xo + vx(t)dt

o

t

∫


La legge oraria del moto uniformemente accelerato

• Come già osservato in precedenza, la legge oraria precedente, per qualunque valore delle costanti xo e vxo è soluzione dell’eq. diff.

– L’equazione differenziale non determina tali costanti:• Esse vanno determinate utilizzando le condizioni iniziali:

– La posizione xo all’istante iniziale t=0

– La velocità vox all’istante iniziale t=0

• L’analisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione dell’eq. diff. che soddisfa anche al problema delle condizioni inziali.

• Le due equazioni in testa alla pagina vanno interpretate come l’integrale generale dell’equazione differenziale del moto uniformemente accelerato e vanno poi adattate al problema specifico inserendo le corrette condizioni iniziali.

x(t) =xo +vxot+12 axot

2

vx(t) =vxo+axotÈ la soluzione della eq. diff.

d2xdt2

=axo con axo costante reale


Grafico orario del moto uniformemente accelerato

• Il grafico orario del moto uniformemente accelerato è un arco di parabola.

• xo è la posizione all’istante t=0s (l’intercetta con l’asse delle ordinate).

• vxo è la velocità iniziale, ossia la pendenza del grafico all’istante iniziale.

• L’andamento della velocità in funzione del tempo è lineare.


2

vx(t) =vxo+axot

Grafico Orario

0

5

10

15

20

25

t (s)

x (m)

0 1 2 3 4 5

xo

tanθ =vxo


Moto uniforme ed uniformemente accelerato

• Il moto uniformemente accelerato, contiene , come caso particolare il moto uniforme, quando cioè l’accelerazione axo è uguale a zero.

moto uniformemente accelerato


2

vx(t) =vxo +axot

moto uniforme

x(t) =xo +vxotvx(t) =vxo


Moto di caduta dei gravi

• Galilei ha determinato che – in vicinanza della superficie terrestre,

– in assenza di aria

• Tutti i corpi cadono verso il basso con accelerazione g– g non dipende dalla natura dei corpi (ferro, alluminio, legno, etc)

– g, all’interno di un volume limitato (il laboratorio), non dipende dalla posizione del corpo.

– g, è quindi anche indipendente dal tempo (costante).

– Se il volume non è limitato• g dipende dalla quota

• g dipende dalla latitudine, è più grande ai poli, ed è più piccola all’equatore

• Alle nostre latitudini g vale circa g=9.81 m/s2


Moto di caduta dei gravi

• Il moto di caduta dei gravi si studia considerando un sistema di riferimento con l’asse y orientato verso l’alto.

• La componente lungo l’asse y dell’accelerazione di gravità è negativa (-g=-9.81m/s2).

• Le leggi del moto di caduta dei gravi sono:

moto di caduta dei gravi

y(t) =yo +vyot−12 gt2

vy(t) =vyo−gt

• Le costanti yo e vyo vanno determinate sulla base delle condizioni iniziali

g=9.81 m/s2


Applicazio

ne

Nel momento in cui il semaforo volge al verde , un’auto parte con accelerazione costante a=2.2 m/s2. Nello stesso istante un autocarro che sopravviene alla velocità costante di 9.5 m/s sorpassa l’auto.a) A quale distanza oltre al semaforo l’auto risorpasserà il camion?b) Quale sarà la velocità dell’auto in quel momento?

a) A quale distanza oltre al semaforo l’auto risorpasserà il camion?Iniziamo a contare il tempo a partire dal momento in cui il semaforo diventa verde (t=0s).Introduciamo un asse di riferimento lungo la strada rettilinea. Fissiamo l’origine nel punto in cui è ferma l’automobile in attesa del verde.Orientiamo l’asse nel verso del moto del camion e dell’automobile.

Con queste scelte le condizioni iniziali sono:

AutoxAo=0 mvAox=0 m/saAox=2.2 m/s2

CamionxCo=0 mvCox=9.5 m/saCox=0 m/s2

xA (t) =12aA xot

2

vAx(t) =aAxot

xC(t)=vCxot

vCx(t)=vCxo

Le rispettive leggi orarie diventano:

O xA C


Applicazio

ne

Ci sarà il risorpasso dell’auto quando le posizioni dell’auto e del camion saranno nuovamente uguali.

xA (t) =xC (t) ⇒ 12 aAxot

2 =vCxot

Calcoliamo l’istante di tempo quando questa situazione si verifica:

12 aAxot

2 =vCxot ⇒ 12aAxot

2 −vCxot=0

12 aAxot

2 −vCxot =0 ⇒ t 12aA xot −vCxo( )=0

⇓

t1 =0 t2 =2vCxo

aA xo

t1 corrisponde all’istante in cui il camion sorpassa l’auto ferma, anche in quel caso infatti le posizioni dei due veicoli coincidevano.L’istante del risorpasso sarà t2. t2 =

2×9.5ms

2.2ms2

=8.64s

La velocità dell’auto in quell’istante sarà:

vAx(t) =aAxot =2.2ms2

×8.64s=19.01ms


Applicazio

ne

La posizione in cui avviene il risorpasso, la possiamo calcolare con una delle due leggi orarie:

xA (t) =12aA xot

2xC(t) xC (t) =122.2m

s28.642s2 =82.1m

xC(t)=vCxot xC(t)=9.5ms8.64s=82.1m

La velocità dell’auto in quell’istante sarà:

vAx(t) =aAxot =2.2ms2

×8.64s=19.01ms

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