1. Due blocchi di massa M e 3M si trovano inizialmente fermi su un piano orizzontale senza attrito.Una molla di massa trascurabile è fissata a uno di essi, e i due blocchi vengono spinti l’uno contro l’altro, con la molla in mezzo. La fune che li tiene uniti viene bruciata, ed il blocco di massa 3M si muove verso destra con velocità 2.00 m/s.

a) quale è la velocità del blocco di massa M?b) Trovare l’energia potenziale elastica originaria della molla se M=0.350 kg.

idea chiave:• conservazione quantità di moto• conservazione energia meccanica

[sistema isolato, forze conservative]

)(/00.6

)/00.2)(3(0

sinistraversomotosmv

smMMvpp

M

M

fi

-=

+=

=!!a)

b)

JvMMvkx

vMMvkx

UKKUKKEE

MM

MM

fefMfMieiMiM

fmeccimecc

40.8)3(21

21

21

0)3(21

21

2100

23

22

23

22

,,3,,,3,

,,

=+=

++=++

++=++

=

Problemi: quantità di moto - impulso

2. In un test d’urto, un’auto di massa m=1500 kg urta contro un muro. La velocità iniziale è vi = -15.0 i m/s e quella finale è vf = 2.60 i m/s. Se la durata dell’urto è 0.150 s, determinare l’impulso dovuto all’urto e la forza media esercitata sull’auto.

smkgi

smkgismkgipppI

smkgiismkgvmpsmkgiismkgvmp

if

ff

ii

/1064.2

)/1025.2()/1039.0(

/1039.0)/6.2)(1500(/1025.2)/0.15)(1500(

4

44

4

4

!

!!!!!

!!!!

!!!!

=

--=-=D=

===

-=-==

Forza media esercitata sull’auto:

Nis

smkgitpF

!!!

54

1076.1150.0

/1064.2=

×=

DD

=

3. Nel gioco del softball una palla da 0.200 kg attraversa la rete a 15.0 m/sa un angolo di 450 al di sotto dell’orizzontale. La palla viene colpita a 40 m/scon un angolo di 300 al di sopra dell’orizzontale.

a) qual è . l’impulso applicato alla palla ?b) se la forza sulla palla aumenta linearmente per Dt1= 4.00 ms, rimane costante perDt2= 20.0 ms, e poi decresce fino a 0 linearmente in altri Dt3 = 4.00 ms, trovare la massima forza sulla palla. rete

450

xiv!

if pppI!!!!

-=D=

sNsmkgsmkg

mvmv

ppIsN

smkgsmkg

mvmvI

ppI

if

iyfyy

ifx

ixfxx

12.6)45sin()/0.15)(200.0()30sin()/0.40)(200.0(

))45sin(()30sin(

05.9)45cos()/0.15)(200.0()30cos()/0.40)(200.0(

))45cos(()30cos(

00

00

,,

00

00

,,

=+=

--

-==

+=

--=

-=

a)

NsjijIiII yx )12.605.9(!!!!!

+=+=

b)

NjiF

NsjiFs

m

m

)255377(

)12.605.9(104.2 3!!!

!!!

+=

+=× -

)00.4(21)00.20()00.4(

21

21

21

321

321

msFmsFmsF

tFtFtF

IIII

mmm

mmm

!!!

!!!

!!!!

++=

D+D+D=

++=

1I 2I 3It1tD 2tD 3tD

FmF

4. Due sfere metalliche sono sospese a cavetti verticali e sono inizialmente a contatto.La sfera 1, di massa m1 = 30 g , viene lasciata libera dopo essere stata tirataverso sinistra fino all’altezza h1 = 8.0 cm. Ritornata, cadendo, alla posizioneiniziale subisce un urto elastico contro la sfera 2, di massa m2 = 75 g. Quale è la velocità v1f della sfera 1 subito dopo l’urto ?

idea chiave: divido il problema in due parti1) discesa sfera 12) urto fra le due sfere

1) applico principio di conservazione energia meccanicaper il sistema sfera 1 – Terra, mentre la sfera cade[N.B. la tensione T della corda non compie lavoro essendo sempre

perpendicolare al moto]

2) considero urto come unidimensionale: durante urto i moti delle due sfere sono orizzontaliil sistema è isolato, data la brevità dell’urto Þ si conserva quantità di moto

totale, energia cinetica

0210 21111

,1,1,1,1

,,

+=+

+=+

=

vmghm

UKUKEE

ffii

fmeccimecc

Problemi: urti in UNA dimensione

smmsmghv i /252.1)080.0)(/8.9(222

1,1 ===

smsmkgkgkgkgv

mmmmv if /537.0/252.1075.0030.0

075.0030.0,1

21

21,1 -=+

-=

+-

=

ffii vmvmvmvm ,22,11,22,11 +=+2,22

2,11

2,22

2,11 2

121

21

21

ffii vmvmvmvm +=+sfera 1 torna indietro dopo urto

Soluzione del sistema di due equazioni in due incognite, precedente

5. Un proiettile di massa m1=12.0 g viene sparato su un blocco di legno di m2=100 g, fermo su una superficie orizzontale. Dopo l’urto il blocco scivola per L=7.50 mprima di fermarsi.Se il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e superficie è µd= 0.650, quale è la velocità del proiettile prima dell’urto ?

idea chiave: urto completamente anelasticosi conserva quantità di moto

22111 )( vmmvm +=

Durate lo scivolamento la variazione di energia cinetica viene dissipata per attrito:

gLmmNLvmm

Lfvmm

LfLfvmm

LK

dd

d

dd

attrito

)()(21

)(21

)180cos()(210

212221

2221

02221

+==+

-=+-

=×=+-

=D

µµ

!!

smsmmLgv d /77.9)/8.9)(50.7)(650.0(222

2 === µ

da cui ricavo v2:

ricavo v1 dalla conservazione della q. di moto (1) :

(1)

smsmggv

mmmv /2.91/77.9

0.12112

21

211 ==

+=

teorema energia cinetica

6. Un esperto di karate picchia un pugno di massa m1=0.70 kg e spezza un’asse di legno di massa 0.14 kg. Poi spezza una mattonella di calcestruzzo di massa 3.2 kg. Le costanti elastiche di flessione sono rispettivamente 4.1 104 N/m e 2.6 106 N/m. La rottura avviene quando l’inarcamento e` pari a d=16mm per l’asse e 1.1 mm per la mattonella.a) immediatamente prima della rottura, quanta energia viene immagazzinata nei due casi ?b) che velocita` v1 del pugno e` richiesta per rompere l’asse e la mattonella ?

[assumere la conservazione dell’energia meccanica]

a) energia immagazzinata prima della rottura:

idee chiave: a) tratto la flessione come la compressionedi una molla per cui vale la legge di Hooke.

b) tratto l’urto come completamente anelastico:traformo energia cinetica in energia potenzialeelastica

JJmmNkdU legno 2.5248.5)016.0)(/101.4(21

21 242 »=×==

JJmmNkdU mattone 6.1537.1)0011.0)(/106.2(21

21 262 »=×==

b) nell’urto completamente anelastico di conserva solola quantita` di moto:

)(

)(

21

11

2111

mmvmv

vmmvm

+=

+= m1=massa pugnom2=massa tavola

applico la conservazione dell’energia meccanica[trascuro variazione di energia potenziale gravitazionale data la distanza minima percorsa nella flessione]

Uvmm =+ 221 )(21 energia cinetica deve eguagliare energia potenziale

al termine della flessione

cementolegno

smsm

mmUm

v/0.5/2.4

)(21 211

1 =+=

ho bisogno di maggior energi aper spezzare il legno !!

ho bisogno di maggior velocita` per spezzare il cemento !!!Aumentando la massa del bersaglio riduco la velocita` v assorbita e quindi la frazione di energia trasferita nell’urto.

7. Due auto di massa uguale si avvicinano ad un incrocio. Un veicolo viaggia a velocità13.0 m/s verso est, l’altro verso nord a velocità v2i. I veicoli si urtano all’incrocio e rimangono incastrati, lasciano delle strisce parallelesull’asfalto ad un angolo di 550 a nord-est. Il conducente che procedeva verso nord sostiene di avere rispettato il limite di velocità di 35 mi/h.è vero?

idea chiave: urto completamente anelasticosi conserva quantità di moto

mmmvmvmvmvmmvmvm

fii

fii

===+

+=+

2121

212211

2)(

!!!

!!!

asse x:asse y:

Problemi: urti in DUE dimensioni

)55sin(20

)55cos(200

2

01

fi

fi

vmmv

vmmv

=+

=+

hmi

hmi

hkm

hkmsm

tgsmtgvv

tgvv

ii

i

i

6.416214.096.66

96.663600/1106.18/6.18

)55()/0.13()55(

)55(

3

0012

0

1

2

==

===

==

=

-

divido le due equazioni:

Il conducente mentiva!!!

8. Un protone che si muove con velocità vi i urta elasticamente un altro protone inizialmente fermo. Dopo l’urto entrambi i protoni hanno la stessa velocità. Calcolare:a) la velocità di ciascun protone dopo l’urto in funzione di vi .b) la direzione dei vettori velocità dopo l’urto.

idea chiave: urto elasticosi conserva quantità di motosi conserva energia cinetica

yfyi

xfxi

fi

pppppp

=

=

=!!

asse xasse y

fqfq

-=-= sinsin

dalla eq. asse y ottengo:

fqfq

sinsin0coscos

mvmvmvmvmvi

+=+=

impongo la conservazione dell’energia:

2

21

21

21

21

22

222

i

i

i

vv

mvmv

mvmvmv

=

=

+=

utilizzo ora eq. asse x e ottengo:

2cos2)cos(

2cos2

qqq iiiivvvv =-+=

00 45,4522cos -==Þ= fqq

9. La molecola d’acqua è fatta di un atomo di ossigeno e due atomi di idrogenoad esso legati. L’angolo fra i due legami è 1060. Se i legami hanno una lunghezza di 0.100 nm, dove si trova il centro di massa della molecola ?

Problemi: centro di massa

x

y0.100nm

0.100nm

10. Un sistema di 3 particelle, inizialmente a riposo, è soggetto alle forze F1=6.0 N, F2=12 N ed F3=14 N , come mostrato in figura. Quale è l’accelerazione del CM ed in che direzione si muove ?

idea chiave: 4tratto il CM come

particella reale di massa M=16 kg (massa totale)

4applico tutte le forze esterne al CM

MFFFa

aMFFF

aMF

CM

CM

CMnet

321

321!!!

!

!!!!

!!

++=

=++

=

determino componenti x ed y della acc. CM:

20

,3,2,1, /03.116

)14()45cos()12(0.6 smkg

NNNM

FFFa xxxxCM =

++-=

++=

20

,3,2,1, /530.016

0)45sin()12(0 smkg

NM

FFFa yyyyCM =

++=

++=

determino modulo e direzione accelerazione CM:

0

,

,

222,

2,

27arctan

/2.1/16.1)()(

==

»=+=

xCM

yCM

yCMxCMCM

aa

smsmaaa

q

CM si muove nella stessa direzione delle forza netta agente sul sistema