Quantità di Moto

r palla su mazza da baseball

r palla subisce grande variazione di velocità in tempo brevissimo (≈0.01 s)⇒ grande accelerazione ⇒ elevata forza media su palla (≈103 N)

r per principio azione e reazione:mazza risente di forza uguale ed opposta⇒ velocità mazza ridotta

a causa della grande massa del bastone

F-F

quando si trattano problemi di urti fra oggettiè utile introdurre il concetto di

massa · velocitàquantità di moto def

=

vmp rr=

=

==

zz

yy

xx

mvp

mvpmvp

r definizionenon relativistica

r grandezza vettoriale

r dimensioni e unità di misura

)( cv <<

smkg

TLMp ⋅⇒⋅=

][][][][

smvkgm

i /0.41.0

==

?=∆pr

orsettoiiiif

iiif

pjskgmjmvjmvjmvppp

pallajskgmjsmkgjmvjmvppp

orsetto

rrrrrrrr

rrrrrrr

∆×==+=−−=−=∆

=×=+=−−=−=∆

2/8.02)(

:/4.0)/0.41.0()(0

:

ivr ivr

0=fvr fvr

prima

dopo

esempio: variazione della quantità di moto

pallasmvorsettosmv

kgm

f

f

/0.4/0

1.0

=

==

Attenzione: è una grandezza vettoriale !!!pr

jr

jr

esempio: pista automobili giocattolo

smvsmv

kgm

f

i

/40.0/50.0

0.2

===

ivr

fvr?=∆pr

smkgjijsmkgismkg

ppp

ismkgp

jsmkgp

if

f

i

/)0.18.0()/50.0)(0.2()/40.0)(0.2(

)/40.0)(0.2(

)/50.0)(0.2(

rr

rr

rrr

rr

rr

+=

−−=

−=∆

=

−=

vmp rr=

p permette di distinguere fra particelle pesanti e leggere

con stessa velocità

esempio:v = 10 m/sm palla-bowling >> m palla-tennis

⇒ ppalla-bowling >> ppalla-tennis

esempio: un camion e una palla da ping-pong si muovono alla stessa velocità v = 2 m/s. Da quale dei due è preferibile essere investiti ?

p descrive la differenzafra i due oggetti in moto !!!

esempio:se una bambina piccola (18 kg) vi corresse incontro, probabilmente la prendereste in braccio: è piccola non può far danni.

se un giocatore di football (100 kg) facesse la stessa cosa, probabilmente vi scansereste velocemente.

se il giocatore vi venisse incontro camminando tranquillamente e vi urtasse, non vi preoccupereste molto.

p descrive la differenza fra i due oggetti in moto

a che velocità dovrebbe andare il giocatore per avere la stessa quantità di moto?

il giocatore dovrebbe andare MOLTO lentamente!

smkgpsmv

kgmbambina

bambina

bambina /54/3

18=

==

scmvmmv

vmvm

pp

kgm

bambinagiocatore

bambinagiocatore

bambinabambinagiocatoregiocatore

bambinagiocatore

giocatore

/54

100

==

=

=

=

Seconda legge di Newton

amF rr=∑sistemi a massa costante

sistemi a massa variabiledtpdFrr

=∑

amdtvdm

dtvmd

dtpdF r

rrrr====∑ )(

N.B. se m = costante ritrovo II legge di Newton

esempio di sistemi a massa variabile:4razzo che espelle combustibile4palla di neve che rotolando si ingrossa4camion che si riempie d’acqua mentre viaggia con la pioggia

la quantità di moto di un sistema si conservase sul sistema non agiscono forze esterne

0=∑Fr

0=dtpdr costantep =

r⇒ ⇒

[ I Legge di Newton – Principio di Inerzia]

esempi: conservazione quantità di moto

un razzo a motori spenti procede nello spazio [lontano da sorgenti gravitazionali]

imponenti petroliere possono percorrere fino a 10 km dopo che i motori sono stati spenti

Sistema di due particelle:conservazione quantità di moto

111 vmp rr=

222 vmp rr=

12Fr

21Fr

r sistema isolato(non ci sono forze esterne al sistema)

r sistema di2 particelle interagenti[es. forza interna = gravità]

2112 FFrr

−= principio di azione e reazionetra forze interne

0)(

0

21

2112

=+

=+=∑

dtppd

FFF

rr

rrr

⇒

fzizfyiyfxix pppppp ===

ffii pppp 2121rrrr

+=+

costanteppptot =+= 21rrr

conservazione della quantità di moto:r la quantità di moto totale

di due particelle isolate interagenti si conservar la quantità di moto totale di un sistema isolato è uguale

in ogni istante alla quantità di moto iniziale

esempi: conservazione quantità di moto

22110 ff

fi

vmvm

pp

+=

=rr

2 pattinatori [su ghiaccio]

21

21 ff v

mmv −=

rinculo [su superficie senza attrito]22110 ff vmvm +=

1

221 m

vmv f

f −=

rinculo del fucile [dopo lo sparo]

smkg

smkgm

vmv

vmvmpp

F

PPF

FFPP

fi

/5.20.5

/62002.0

0

−=×

−=

−=

+=

=rr

smvkgmgm

P

FP

/6200.5,20

===

esempi: conservazione quantità di motoesplosione di una stella

foto da telescopio spaziale Hubble

esplosione violentadi Eta Carinae (1841):

produzione de lobi simmetrici[con dimensioni pari a nostro sistema solare!!!] che emettono materia in versi opposti

⇒ la quantità di moto della stella è rimasta immutata dopo l’esplosione

decadimento di un kaone in quiete

K0

π- π+

+pr−pr

−+ +→ ππ0K

0

0

=+=

==

−+ ppp

pp

f

ifrrr

rr

−+ −= pp rr

propulsione nel vuoto:

come fa un razzo o un astronauta a spostarsi nel vuoto ?[cioè in assenza di attrito]⇒ con la conservazione di p !!!!

M = massa sistema (M+M) V = velocità sistema (V+V)M = massa astronautaV = velocità dell'astronautaM = massa carburante V = velocità dei gas espulsi

motori spenti accendo i motoriMV=0 MV+MV=0

(V=0 e V=0) V ≠ 0 ⇒ V ≠ 0

conservazione quantità di moto

astronauta fermo V=0

astronauta si muovea velocità V

gas espulso a velocità V

seppie, polipi e meduseusano lo stesso

sistema di propulsione !!

propulsione di un razzo[sistema a massa variabile]

durante il moto si conserva la massa del sistema[massa combustibile + massa navetta]

fi pp =

vmMpi )( ∆+=

razzo espelle ∆m in ∆t⇒ velocità aumenta di ∆v

)()( ef vvmvvMp −∆+∆+=ve = velocità combustibile

rispetto al razzov-ve= velocità combustibile rispetto

a sistema di riferimento fisso

e

e

vmvMvvmvvMvmM

∆=∆−∆+∆+=∆+ )()()(

dMdmmedvvtse −=→∆→∆→∆ 0

∫∫ −=

−=f

i

f

i

M

Me

v

v

e

MdMvdv

dMvMdv

f

ie

i

feif M

MvMM

vvv lnln =−=−

per incrementare velocità:r elevata ver massa Mf piccola

esempio: spinta del razzospinta del razzo forza esercitata

dai gas si scarico sul razzo

def=

dtdMv

dtdvMMaF e===

dMvMdv e−=[ ]spinta cresce se:r aumenta velocità di scarico ver aumenta tasso di consumo R = dM/dt

razzo Saturno V:Mrazzo,i = 3.00 106 kgR = dM/dt = 1.50 104 kg/sve = 2.60 103 m/s

spinta del razzo: F = ve dM/dt= (2.60 103 m/s)(1.50 104 kg/s) = 39.0 106 N = 39 MN

accelerazione al momento del lancio:

2

6

266

/20.31000.3

)/8.9)(1000.3()100.39(

smkg

smkgNM

FFa

MaFF

aMFFF

grazzo

grazzo

grazzo

=

××−×

=−

=

=−

=+=∑ rrrr

Impulso e Quantità di Moto

dtpdFrr

=seconda legge di Newton:la quantità di moto varia se sulla particella agisce una forza

∫=−=∆

=f

i

t

tif dtFppp

dtFpdrrrr

rr

∫ ∆==f

i

t

tdef

pdtFI rrrTeorema dell’ impulso:

l’ impulso di una forza(integrale della forza nell’intervallo di tempo)

è pari alla variazione della quantità di moto

]/][[][][ TLMpI ==

IF può variare nel tempoI = area sotto la curva forza-tempo

I∫∆

=f

i

t

tdef

dtFt

Fr1 forza media

stesso impulsoimpresso da forza variabile

tFpI ∆=∆=rr

La forza media permette di calcolare l’impulsosenza descrivere in dettaglio

la variazione della forza in funzione del tempo

esempio:la forza tra due oggetti che urtano ha spesso un andamento complicato e difficilmente descrivibile

Il concetto di impulso è utile quando una delle forze agenti sulla particella agisce

4per breve tempo4con intensità elevata

approssimazione impulsiva:

Forzaimpulsiva

trascuro gli effetti delle altre forze[piccoli durante la breve durata di azione delle forze intense]

forze impulsive sono tipiche dei processi di urto[di durata brevissima]

esempio:palla su mazza da baseball

∆t ≈ 0.01 s<F> ≈ 103 N

Fg =mg ≈ (100 g) (9.8m/s2) = (0.1 kg ) (9.8m/s2) ≈ 1 N

<F> >> Fg ⇒ trascuro ogni variazione di velocità legataa forza di gravità

I

applicazione: air bagvariazione quantità di moto dell’auto

tFp ∆=∆

air-bag:induce variazione quantità di motoin intervallo di tempo più lungo

⇒ riduce picco di intensità dellaforza

⇒ riduce traumi

applicazione: guantoni da pugile

tFp ∆=∆

i guantoni aumentano tempo durante il quale la forzaè applicata alla testa

⇒ riduce picco di intensità dellaforza

⇒ riduco accelerazione del cranio⇒ riduco traumi

N.B. nel XIX secolo di combatteva a pugni nudi : maggiori traumi

esempio: forza su auto durante un urto

In un test d’urto, un’auto di massa m=1500 kg urta contro un muro.

velocità iniziale è vi = -15.0 i m/s velocità finale è vf = 2.60 i m/s.

durata urto ∆t=0.150 s

determinare impulso dovuto all’urto e forza media esercitata sull’auto

smkgi

smkgismkgipppI

smkgiismkgvmp

smkgiismkgvmp

if

ff

ii

/1064.2

)/1025.2()/1039.0(

/1039.0)/6.2)(1500(

/1025.2)/0.15)(1500(

4

44

4

4

r

rrrrr

rrrr

rrrr

=

−−=−=∆=

===

−=−==

Forza media esercitata sull’auto:

Nis

smkgitpF

rrr

54

1076.1150.0

/1064.2=

⋅=

∆∆

=

esercizi quantità di moto