Quantità di Moto
r palla su mazza da baseball
r palla subisce grande variazione di velocità in tempo brevissimo (≈0.01 s)⇒ grande accelerazione ⇒ elevata forza media su palla (≈103 N)
r per principio azione e reazione:mazza risente di forza uguale ed opposta⇒ velocità mazza ridotta
a causa della grande massa del bastone
F-F
quando si trattano problemi di urti fra oggettiè utile introdurre il concetto di
massa · velocitàquantità di moto def
=
vmp rr=
=
==
zz
yy
xx
mvp
mvpmvp
r definizionenon relativistica
r grandezza vettoriale
r dimensioni e unità di misura
)( cv <<
smkg
TLMp ⋅⇒⋅=
][][][][
smvkgm
i /0.41.0
==
?=∆pr
orsettoiiiif
iiif
pjskgmjmvjmvjmvppp
pallajskgmjsmkgjmvjmvppp
orsetto
rrrrrrrr
rrrrrrr
∆×==+=−−=−=∆
=×=+=−−=−=∆
2/8.02)(
:/4.0)/0.41.0()(0
:
ivr ivr
0=fvr fvr
prima
dopo
esempio: variazione della quantità di moto
pallasmvorsettosmv
kgm
f
f
/0.4/0
1.0
=
==
Attenzione: è una grandezza vettoriale !!!pr
jr
jr
esempio: pista automobili giocattolo
smvsmv
kgm
f
i
/40.0/50.0
0.2
===
ivr
fvr?=∆pr
smkgjijsmkgismkg
ppp
ismkgp
jsmkgp
if
f
i
/)0.18.0()/50.0)(0.2()/40.0)(0.2(
)/40.0)(0.2(
)/50.0)(0.2(
rr
rr
rrr
rr
rr
+=
−−=
−=∆
=
−=
vmp rr=
p permette di distinguere fra particelle pesanti e leggere
con stessa velocità
esempio:v = 10 m/sm palla-bowling >> m palla-tennis
⇒ ppalla-bowling >> ppalla-tennis
esempio: un camion e una palla da ping-pong si muovono alla stessa velocità v = 2 m/s. Da quale dei due è preferibile essere investiti ?
p descrive la differenzafra i due oggetti in moto !!!
esempio:se una bambina piccola (18 kg) vi corresse incontro, probabilmente la prendereste in braccio: è piccola non può far danni.
se un giocatore di football (100 kg) facesse la stessa cosa, probabilmente vi scansereste velocemente.
se il giocatore vi venisse incontro camminando tranquillamente e vi urtasse, non vi preoccupereste molto.
p descrive la differenza fra i due oggetti in moto
a che velocità dovrebbe andare il giocatore per avere la stessa quantità di moto?
il giocatore dovrebbe andare MOLTO lentamente!
smkgpsmv
kgmbambina
bambina
bambina /54/3
18=
==
scmvmmv
vmvm
pp
kgm
bambinagiocatore
bambinagiocatore
bambinabambinagiocatoregiocatore
bambinagiocatore
giocatore
/54
100
==
=
=
=
Seconda legge di Newton
amF rr=∑sistemi a massa costante
sistemi a massa variabiledtpdFrr
=∑
amdtvdm
dtvmd
dtpdF r
rrrr====∑ )(
N.B. se m = costante ritrovo II legge di Newton
esempio di sistemi a massa variabile:4razzo che espelle combustibile4palla di neve che rotolando si ingrossa4camion che si riempie d’acqua mentre viaggia con la pioggia
la quantità di moto di un sistema si conservase sul sistema non agiscono forze esterne
0=∑Fr
0=dtpdr costantep =
r⇒ ⇒
[ I Legge di Newton – Principio di Inerzia]
esempi: conservazione quantità di moto
un razzo a motori spenti procede nello spazio [lontano da sorgenti gravitazionali]
imponenti petroliere possono percorrere fino a 10 km dopo che i motori sono stati spenti
Sistema di due particelle:conservazione quantità di moto
111 vmp rr=
222 vmp rr=
12Fr
21Fr
r sistema isolato(non ci sono forze esterne al sistema)
r sistema di2 particelle interagenti[es. forza interna = gravità]
2112 FFrr
−= principio di azione e reazionetra forze interne
0)(
0
21
2112
=+
=+=∑
dtppd
FFF
rr
rrr
⇒
fzizfyiyfxix pppppp ===
ffii pppp 2121rrrr
+=+
costanteppptot =+= 21rrr
conservazione della quantità di moto:r la quantità di moto totale
di due particelle isolate interagenti si conservar la quantità di moto totale di un sistema isolato è uguale
in ogni istante alla quantità di moto iniziale
esempi: conservazione quantità di moto
22110 ff
fi
vmvm
pp
+=
=rr
2 pattinatori [su ghiaccio]
21
21 ff v
mmv −=
rinculo [su superficie senza attrito]22110 ff vmvm +=
1
221 m
vmv f
f −=
rinculo del fucile [dopo lo sparo]
smkg
smkgm
vmv
vmvmpp
F
PPF
FFPP
fi
/5.20.5
/62002.0
0
−=×
−=
−=
+=
=rr
smvkgmgm
P
FP
/6200.5,20
===
esempi: conservazione quantità di motoesplosione di una stella
foto da telescopio spaziale Hubble
esplosione violentadi Eta Carinae (1841):
produzione de lobi simmetrici[con dimensioni pari a nostro sistema solare!!!] che emettono materia in versi opposti
⇒ la quantità di moto della stella è rimasta immutata dopo l’esplosione
decadimento di un kaone in quiete
K0
π- π+
+pr−pr
−+ +→ ππ0K
0
0
=+=
==
−+ ppp
pp
f
ifrrr
rr
−+ −= pp rr
propulsione nel vuoto:
come fa un razzo o un astronauta a spostarsi nel vuoto ?[cioè in assenza di attrito]⇒ con la conservazione di p !!!!
M = massa sistema (M+M) V = velocità sistema (V+V)M = massa astronautaV = velocità dell'astronautaM = massa carburante V = velocità dei gas espulsi
motori spenti accendo i motoriMV=0 MV+MV=0
(V=0 e V=0) V ≠ 0 ⇒ V ≠ 0
conservazione quantità di moto
astronauta fermo V=0
astronauta si muovea velocità V
gas espulso a velocità V
seppie, polipi e meduseusano lo stesso
sistema di propulsione !!
propulsione di un razzo[sistema a massa variabile]
durante il moto si conserva la massa del sistema[massa combustibile + massa navetta]
fi pp =
vmMpi )( ∆+=
razzo espelle ∆m in ∆t⇒ velocità aumenta di ∆v
)()( ef vvmvvMp −∆+∆+=ve = velocità combustibile
rispetto al razzov-ve= velocità combustibile rispetto
a sistema di riferimento fisso
e
e
vmvMvvmvvMvmM
∆=∆−∆+∆+=∆+ )()()(
dMdmmedvvtse −=→∆→∆→∆ 0
∫∫ −=
−=f
i
f
i
M
Me
v
v
e
MdMvdv
dMvMdv
f
ie
i
feif M
MvMM
vvv lnln =−=−
per incrementare velocità:r elevata ver massa Mf piccola
esempio: spinta del razzospinta del razzo forza esercitata
dai gas si scarico sul razzo
def=
dtdMv
dtdvMMaF e===
dMvMdv e−=[ ]spinta cresce se:r aumenta velocità di scarico ver aumenta tasso di consumo R = dM/dt
razzo Saturno V:Mrazzo,i = 3.00 106 kgR = dM/dt = 1.50 104 kg/sve = 2.60 103 m/s
spinta del razzo: F = ve dM/dt= (2.60 103 m/s)(1.50 104 kg/s) = 39.0 106 N = 39 MN
accelerazione al momento del lancio:
2
6
266
/20.31000.3
)/8.9)(1000.3()100.39(
smkg
smkgNM
FFa
MaFF
aMFFF
grazzo
grazzo
grazzo
=
××−×
=−
=
=−
=+=∑ rrrr
Impulso e Quantità di Moto
dtpdFrr
=seconda legge di Newton:la quantità di moto varia se sulla particella agisce una forza
∫=−=∆
=f
i
t
tif dtFppp
dtFpdrrrr
rr
∫ ∆==f
i
t
tdef
pdtFI rrrTeorema dell’ impulso:
l’ impulso di una forza(integrale della forza nell’intervallo di tempo)
è pari alla variazione della quantità di moto
]/][[][][ TLMpI ==
IF può variare nel tempoI = area sotto la curva forza-tempo
I∫∆
=f
i
t
tdef
dtFt
Fr1 forza media
stesso impulsoimpresso da forza variabile
tFpI ∆=∆=rr
La forza media permette di calcolare l’impulsosenza descrivere in dettaglio
la variazione della forza in funzione del tempo
esempio:la forza tra due oggetti che urtano ha spesso un andamento complicato e difficilmente descrivibile
Il concetto di impulso è utile quando una delle forze agenti sulla particella agisce
4per breve tempo4con intensità elevata
approssimazione impulsiva:
Forzaimpulsiva
trascuro gli effetti delle altre forze[piccoli durante la breve durata di azione delle forze intense]
forze impulsive sono tipiche dei processi di urto[di durata brevissima]
esempio:palla su mazza da baseball
∆t ≈ 0.01 s<F> ≈ 103 N
Fg =mg ≈ (100 g) (9.8m/s2) = (0.1 kg ) (9.8m/s2) ≈ 1 N
<F> >> Fg ⇒ trascuro ogni variazione di velocità legataa forza di gravità
I
applicazione: air bagvariazione quantità di moto dell’auto
tFp ∆=∆
air-bag:induce variazione quantità di motoin intervallo di tempo più lungo
⇒ riduce picco di intensità dellaforza
⇒ riduce traumi
applicazione: guantoni da pugile
tFp ∆=∆
i guantoni aumentano tempo durante il quale la forzaè applicata alla testa
⇒ riduce picco di intensità dellaforza
⇒ riduco accelerazione del cranio⇒ riduco traumi
N.B. nel XIX secolo di combatteva a pugni nudi : maggiori traumi
esempio: forza su auto durante un urto
In un test d’urto, un’auto di massa m=1500 kg urta contro un muro.
velocità iniziale è vi = -15.0 i m/s velocità finale è vf = 2.60 i m/s.
durata urto ∆t=0.150 s
determinare impulso dovuto all’urto e forza media esercitata sull’auto
smkgi
smkgismkgipppI
smkgiismkgvmp
smkgiismkgvmp
if
ff
ii
/1064.2
)/1025.2()/1039.0(
/1039.0)/6.2)(1500(
/1025.2)/0.15)(1500(
4
44
4
4
r
rrrrr
rrrr
rrrr
=
−−=−=∆=
===
−=−==
Forza media esercitata sull’auto:
Nis
smkgitpF
rrr
54
1076.1150.0
/1064.2=
⋅=
∆∆
=
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