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12

1 La quantità di moto

Una nuova grandezzaIn fisica si introducono nuove grandezze quando esse consentono di evidenziare proprie-tà fondamentali dei sistemi fisici. La quantità di moto è una grandezza importante delladinamica perché per essa vale una legge di conservazione.

La quantità di moto di un corpo di massa m che si muove a velocità vv è il vettore

p mv=v v (1)

DENTRO LA FORMULA

O La quantità di moto è il prodotto di uno scalare m e di un vettore vv, quindi è un vettore che ha:

– stessa direzione e stesso verso del vettore velocità vv;

– modulo uguale al prodotto della massa del corpo per il modulo della sua velocità:

p mv=

– l’unità di misura di p è kg m s$ .

O La quantità di moto totale ptotv di un sistema composto da N corpi è la risultante delle quantità di moto di ciascun corpo:

p p p p1 2 3tot f= + + +v v v v

Quantità di moto e secondo principio della dinamicaLa quantità di moto di un corpo cambia quando su di esso agisce una forza totale non nulla.

La quantità di moto

CAPITOLO

Bioraven / Shutterstock

487

12 n La quantità di moto

1 Il motore genera una forza che aumenta la velocità dell’auto e quindi la sua quantità di moto.

F

pi pf

pf

–pip

2 Il pavimento esercita una forza Fv che inverte il moto della palla e ne modifi ca la quan-tità di moto.

Fpi

pf

pf

–pi

p

Come evidenziano i due esempi, la variazione della quantità di moto pTv ha la stessa dire-zione e lo stesso verso della forza totale Fv che la provoca.

Per scoprire la relazione che esiste fra pTv e Fv , consideriamo un corpo di massa m che nell’intervallo di tempo tT passa dalla velocità viv alla velocità vfv . La variazione della sua quantità di moto è

p mv mv m v v m vf i f iT T= - = - =v v v v v v^ h (2)

Se nell’intervallo tT agisce sul corpo una forza costante Fv , per il secondo principio della dinamica si ha F ma=

v v . L’accelerazione del corpo è

atv

T

T=v

v

quindiF m

tv

T

T=

vv

Moltiplicando entrambi i membri per tT si ha:

F t m vT T=v v

Utilizzando la (2) il secondo principio della dinamica diventa:

F t pT T=v v (3)

Questa è proprio la formulazione originale del secondo principio della dinamica data da Newton nei Principia: «un cambiamento della quantità di moto è proporzionale alla forza motrice impressa e ha luogo lungo la linea retta sulla quale la forza agisce».1

Il secondo principio della dinamica per corpi che hanno una massa costante può essere quindi formulato in uno dei due seguenti modi equivalenti:

F ma F t p+ T T= =v v v v

Nel caso di un sistema di corpi, il secondo principio assume la forma:

F t ptot totT T=v v (4)

dove Ftotv è la risultante delle forze che agiscono sul sistema e ptotTv è la variazione della

quantità di moto del sistema.

1 «Lex II. Mutationem mo-tus proportionalem esse vi motrici impressae, et fi eri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur». Come è chiaro dai commenti che fa seguire a questo enunciato, Newton intende per mutatio-nem motus la variazione di quantità di moto.

488

Dinamica

2 L’impulso di una forzaImpulso di una forza costanteNella (3) compare una nuova grandezza: l’impulso di una forza. L’impulso Iv della forza costante Fv è il prodotto di Fv per l’intervallo di tempo in cui essa agisce:

I F tT=v v (5)

L’unità di misura dell’impulso è newton $ secondi N s$^ h ed è la stessa della quantità di moto; infatti:

1 1 1N s kg m s s kg m s2$ $ $ $= =

Quando viene formulata in termini dell’impulso, la (3) è nota come teorema dellÕimpulso:

la variazione della quantità di moto di un corpo è uguale all’impulso della forza che ha agito su di esso:

p IT =vv (6)

QUANTO? LÕimpulso della gravitˆ

Se trascuriamo la resistenza dell’aria, l’unica forza che agisce su un pallone da pallacane-stro in volo è la sua forza peso. La quantità di moto del pallone in volo varia quindi per effetto dell’impulso della gravità mg tTv . Indipendentemente dalla traiettoria, la variazione pTv della quantità di moto del pallone 0,62m kg=^ h nell’unità di tempo 1 s^ h è un vettore

diretto verso il basso (come la forza peso) che ha modulo

6,2 10 9,8 1 6p F t kg m s s kg m s1 2$ $T T= = =-^ ^ ^h h h

Impulso di una forza variabileNelle situazioni quotidiane i corpi sono in genere soggetti a forze che variano nel tempo.

1 Il piede esercita sul pallone una forza che non rimane costante ma che, duran-te il contatto, cambia modulo, direzione e verso.

F

2 Il modulo della forza è nullo all’istante iniziale del contatto tra la palla e il piede, cresce fi no a un valore massimo e poi ritor-na nullo nell’istante del distacco.

t1 t = t2 – t1 t2

F (N)

t (s)

MarFot / ShutterstockD

"

p

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Calcolare l’impulso di una forza variabile richiede una procedura laboriosa, che prevede i passi seguenti.

� Suddividere l’intervallo di tempo in cui agisce la forza in moltissimi intervalli di tempo, tanto piccoli che in ciascuno di essi la forza possa essere considerata costante:

t t t1 2 fT T T= + +

� Calcolare per ogni intervallo l’impulso della forza che agisce durante quell’intervallo:

I F t

I F t1 1 1

2 2 2

g

T

T

=

=

v v

v v

� Sommare tutti i vettori così ottenuti per determinare l’impul-so totale: I I I1 2 f= + +

v v v

Quando l’intervallo di tempo in cui agisce la forza è piccolo, come nel caso molto frequente dell’urto fra due corpi, si possono in genere considerare costanti sia la direzione sia il verso della forza. In questi casi l’impulso totale si calcola con la (4) utilizzando però la forza media Fmv che ha agito nell’intervallo di tempo tT :

I F tm T=v v (7)

I grafici seguenti illustrano il significato fisico di Fm.

1 Nel caso di una forza di modulo costante F, l’area sotto il grafi co del-la forza fra gli istanti t1 e t2 è

F t F ttarea 2 1 T= - =^ h

e ha lo stesso valore dell’impulso della forza I F tT= .

t1 t t2

F (N)

F

area = F

t (s)

t

2 Anche nel caso di una forza va-riabile l’impulso totale ha lo stesso valore dell’area sotto il grafi co della forza fra gli istanti t1 e t2.

t1 t t2

F (N)

area=impulso

t (s)

3 Il valore medio Fm del modulo di Fv durante l’intervallo di tempo tT è quel valore per il quale l’area del rettangolo con base tT e altezza Fm è uguale all’area sotto il grafi co della forza.

Fm

t1 t t2

F (N)

t (s)

In altri termini, Fm è il modulo della forza costante che origina lo stesso impulso totale della forza variabile.

Forze impulsiveDurante gli urti fra corpi agiscono in genere forze impulsive, cioè forze molto intense ma di breve durata. Misurare in modo diretto l’intensità di una forza impulsiva è molto difficile,

490

Dinamica

anche perché l’intensità varia durante l’urto. Le relazioni precedenti consentono però di determinare un’espressione utile per valutare il valore medio di una forza impulsiva. Sosti-tuendo infatti nella relazione (6) l’espressione dell’impulso medio (7), si ha:

p F tmT T=

e quindi

Ftp

mT

T= (8)

Per ottenere una stima del valore medio Fm di una forza impulsiva si può quindi usare la seguente procedura:

O si determina la variazione ;p p pf iT = -

O si stima la durata tT dell’urto;

O si calcola .F p tm T T=

QUANTO? Una respinta coi pugni

Un portiere respinge con i pugni un pallone m 450 g=^ h tirato a 100 km h 28 m s^ h.Il pallone torna indietro a 60 km h .17 m s^ h Durante il contatto pugno-pallone, che ha una durata di 0,1 s, agisce una forza media di intensità

Ftp

tp p

tm m

t

mv v v v im

f i f i f

T

T

T D D= =

-=

-=

-

=^ h

, 1,7 10 2,8 10

1 10

4 5 102 10

s

kg m s m sN

1

1

2

$

$ $ $

$=

- -

=-

-^ ^ ^h h h8 B

Poiché la forza peso che agisce sul pallone è , , 4F 4 5 10 9 8kg m s N1 2p $= =-^ ^h h , si può

osservare che la forza Fm è circa 50 volte la forza Fp.

pipf

3 La conservazione della quantitˆ di motoIn un sistema composto da N corpi, su ogni corpo possono agire:

O forze interne, cioè forze che i corpi del sistema esercitano gli uni sugli altri;

O forze esterne, cioè forze originate dall’interazione con corpi esterni al sistema.

La forza totale Ftotv che agisce sui corpi del sistema è

F F Finttot est= +v v v/ /

491


dove Fintv/ è la risultante delle forze interne e Fest

v/ è la risultante delle forze esterne al sistema.

La variazione della quantità di moto del sistema è data dalla (4) e quindi vale:

p F F tinttot estT T= +v v v_ i/ / (9)

Per il terzo principio della dinamica, le forze interne sono coppie di forze azione/reazione che agiscono sui corpi del sistema. Ognuna di queste coppie è formata da due forze che hanno lo stesso modulo ma verso opposto, per cui la risultante di ciascuna di queste coppie è nulla. La somma delle coppie di forze interne di azione/reazione è quindi nulla:

F 0int =v/

La (9) diventa perciò:

p F ttot estT T=v v/ (10)

La quantità di moto totale di un sistema di corpi può essere modificata solo dall’azione di forze esterne, perché le forze interne al sistema non hanno alcun effetto su di essa.

Quando un sistema è isolato, cioè non è soggetto a forze esterne, o quando la risultante delle forze esterne è nulla, si ha:

F 0est =v/

Dalla (10) deriva che p 0totT =v , cioè la quantità di moto totale del sistema rimane costante. Questo fondamentale risultato è una delle leggi più importanti della fisica ed è noto come legge di conservazione della quantitˆ di moto.

La quantità di moto totale di un sistema isolato si conserva:

p pi tot totf=v v (11)

DENTRO LA LEGGE

O La conservazione della quantità di moto di un sistema isolato è una conseguenza dei princìpi della dinamica. Infatti l’abbiamo dimostrata a partire dal secondo principio nel-la forma:

p F F tinttot estT T= +v v v_ i/ /

notando che, per il terzo principio, si ha:

F 0int =v/

O Per la (11) la grandezza che rimane costante è la quantità di moto dell’intero sistema: le quantità di moto dei componenti del sistema possono cambiare. Nel caso di un sistema di due masse A e B, p p pA Btot = +v v v . Se il sistema è isolato, pAv e pBv possono cambiare mentre la loro risultante ptotv rimane costante.

O La (11) è una relazione vettoriale e quindi vale separatamente per ciascuna componente. Per esempio, nel caso di un proiettile la componente orizzontale x della forza esterna totale è nulla e quindi si conserva la componente x della quantità di moto del proiettile (figura alla pagina seguente):

0 cos cosF p vtante tantex x xest tot& &= = =/

492

Dinamica

mvx

mvx

mvx

mvx

y

x

QUANTO? PerchŽ ti allontani?

Da una barca ferma, un bagnino lancia a un bagnante verso Ovest un salvagente di 5 kg a 3 m s. La quantità di moto totale prima del lancio è nulla: quindi, subito dopo il lancio, il salvagente e il sistema barca + bagnino (massa totale 140 kg) si muovono con quantità di moto psv e pbv , che hanno risultante nulla: p p 0s b+ =v v . Il bagnino si muove verso Est con una velocità vb tale che

m v m vb b s s=

ossia

140 5 31,4 10

1,5 101 10v vkg kg m s

kg

kg m sm s1

b 2b &$

$

$$= = = -^ ^ ^h h h

Est

ps pb

Il lavoro delle forze interneLe forze interne non alterano la quantità di moto totale di un sistema, ma in genere pro-ducono effetti sui singoli corpi che formano il sistema. Consideriamo la situazione vista nell’esempio precedente. La forza Fb s"

v , che il bagnino esercita sul salvagente, e la forza Fs b"v , che il salvagente esercita sul bagnino, sono una coppia di forze di azione e reazione interne al sistema.

1 Il salvagente, che prima era fermo, ac-quista energia cinetica nel lancio perché la forza Fb s"

v , esercitata dal bagnino, compie un lavoro su di esso.

2 La forza di reazione del salvagente Fs b"v compie un lavoro sul sistema bagni-no + barca, che acquista energia cinetica.

Est

Fb s

Ks> 0 Kb> 0

Fs b

493


In generale:

le forze interne a un sistema possono compiere un lavoro che modifica l’energia cinetica totale del sistema.

Sappiamo che l’energia totale di un sistema isolato si conserva. Ogni variazione di energia cinetica del sistema deve quindi corrispondere a una variazione uguale, ma di segno oppo-sto, di altre forme di energia all’interno del sistema stesso. Nell’esempio in esame, l’energia cinetica finale è uguale all’energia chimica convertita dai muscoli del bagnino durante il lancio.

4 Urti e leggi di conservazione

Urti e quantità di motoUn urto è un’interazione fra due corpi che vengono a contatto per un intervallo di tempo molto breve.

Consideriamo la risultante delle forze esterne che agiscono sul sistema formato da due corpi che si urtano. Si danno due possibilità: o F 0est =

v/ oppure .F 0est !v/

1 Il peso di ciascuna biglia è equilibrato dalla reazione vincolare del piano, quindi la risultante delle forze esterne è nulla e il sistema è isolato:

F 0est =v/

FrFr

Fest= 0

mgmg

2 La gravità è una forza esterna che agisce sulla pallina e sulla racchetta senza essere equilibrata, quindi:

F 0est !v/

Durante l’urto le forze esterne forniscono al sistema un im-pulso pari a

F test Tv/

e quindi provocano una variazione della quantità di moto del sistema:

p F testT T=vv/

Fest= 0

Mgmg

Anche nel caso in cui la somma delle forze esterne sia diversa da zero, il sistema può essere considerato isolato: infatti la durata tT di un urto è in genere molto piccola, per cui la varia-zione di quantità di moto del sistema durante l’urto è trascurabile. In ogni caso, il sistema formato da due corpi che urtano può essere considerato come un sistema isolato. Quindi la quantità di moto del sistema si conserva durante l’urto.

494

Dinamica

In altri termini:

la quantità di moto del sistema immediatamente prima dell’urto è uguale alla quantità di moto del sistema immediatamente dopo l’urto.

La conservazione della quantità di moto è uno strumento fondamentale per analizzare la dinamica degli urti, cioè per mettere in relazione le velocità dei corpi prima dell’urto con le loro velocità dopo l’urto.

QUANTO? LÕimpulso della gravitˆ durante lÕurto

In una battuta il contatto fra la pallina 60m g=^ h e la racchetta da tennis dura circa .10 s2- In questo intervallo di tempo la forza peso esercita sulla pallina un impulso verso

il basso di modulo

, 6 10I mg t 6 10 9 8 1 10kg m s s kg m s2 2 2 3$ $ $ $T= = =- - -^ ^ ^h h h

Questo impulso è così piccolo che la conseguente variazione di quantità di moto della pal-lina è trascurabile.

Urti ed energiaCome abbiamo discusso, il sistema formato da due corpi che collidono può essere sempre considerato, con buona approssimazione, un sistema isolato. Per il principio di conservazione dell’energia, la sua energia totale si conserva durante l’urto. Non è detto però che si conservi la sua energia meccanica. In genere, durante l’impatto, compiono lavoro forze dissipative che trasformano l’energia cinetica iniziale in forme di energia non meccanica, provocando defor-mazioni, riscaldamento delle superfici venute a contatto ed emissione di suono.

1 La deformazione delle auto è dovuta a una trasformazione dell’energia cinetica che avevano prima dell’urto.

2 Una buona parte dell’energia cinetica dei piatti si trasforma in suono.

Nei comuni urti fra oggetti «estesi» l’energia cinetica finale del sistema è sempre minore di quella iniziale.

Un urto anelastico è un urto in cui non si conserva l’energia cinetica totale.

Se i corpi rimangono attaccati dopo la collisione si parla di urto completamente anela-stico. Quando l’urto fra due corpi è completamente anelastico si ha la massima perdita di energia cinetica.

495


In molte situazioni la perdita di energia cinetica in un urto è molto piccola e quindi trascu-rabile. Nell’urto l’energia cinetica totale si ripartisce fra i corpi in modo che il suo valore rimanga costante: si parla in questi casi di urto elastico.

Un urto elastico è un urto in cui si conserva l’energia cinetica totale.

1 I paraurti delle automobili sono pro-gettati in modo da non deformarsi in caso di urti con velocità minore di 5 km h: in queste situazioni il loro comportamento è di tipo elastico.

2 Le bocce da biliardo sono fatte di ma-teriale molto rigido: in un urto non si defor-mano in modo permanente e mantengono praticamente invariata l’energia cinetica iniziale (anche se nel contatto una minima parte dell’energia cinetica si trasforma nel caratteristico rumore).

v1

v2

MINDBUILBING A volte le leggi di conservazione non bastano!

Nell’urto fra due corpi, il problema fondamentale è calcolare le due velocità finali v1fv e v2fv

conoscendo le velocità v1iv e v2iv prima dell’urto.

In molti casi di interesse pratico le sole leggi di conservazione non bastano per prevedere gli esiti di un urto. Vediamo, nel caso di urti in una dimensione, quando è possibile calcola-re il valore delle incognite v1fv e v2fv a partire dai dati conosciuti v1iv e v2iv .

Urto in unadimensione

IncognitePrima

equazioneSecondaequazione

Problemadeterminato/indeterminato

Urto anelastico v1f e v2fConservazione dellaquantità di moto

Una equazione con due incognite:il problema è indeterminato

Urto completamenteanelastico

v1f e v2fConservazione dellaquantità di moto

I corpi rimangono incastrati:v v1 2f f=

Due equazioni indipendenti con dueincognite: il problema è determinato

Urto elastico v1f e v2fConservazione dellaquantità di moto

Conservazionedell’energia cinetica

Due equazioni indipendenti con dueincognite: il problema è determinato

Nel caso di urto anelastico, ma non completamente anelastico, non si può prevedere l’esito dell’urto perché è impossibile stabilire a priori la frazione di energia cinetica che sarà dis-sipata o trasformata in deformazioni permanenti dalle forze interne che agiscono durante l’urto. Al contrario, nel caso di urto elastico o di urto completamente anelastico in una dimensione il problema risulta determinato: note le velocità iniziali si possono calcolare le velocità finali.

496

Dinamica

5 Urti anelasticiNel caso di un urto anelastico fra due corpi

O la quantità di moto totale si conserva: ;p pi tot f tot=v v

O l’energia cinetica totale non si conserva: .K Ki tot f tot!

In particolare, se l’urto è completamente anelastico, i due corpi rimangono «incastrati» dopo l’urto e quindi hanno la stessa velocità finale: .v v v1f 2f f= =v v v

Urto anelastico in una direzione

Consideriamo l’urto fra due corpi che si muovono lungo una stessa direzione, come per esempio due carrelli su una rotaia ad aria. Se i carrelli si muovono inizialmente l’uno verso l’altro, urtano in modo anelastico. In genere nell’urto i carrelli non rimangono incastrati, e quindi l’urto non è completamente anelastico. Però durante l’urto si dissipa parte dell’ener-gia iniziale, per esempio sotto forma di suono: il classico rumore dell’urto.

v1f v2f

PRIMA DELL’URTO

DOPO L’URTOm2m1

v1i v2im2m1

La conservazione della quantità di moto impone che

m v m v m v m v1 2 2 1 1 2 21i i f f+ = +v v v v

Lungo la direzione del moto, questa equazione si scrive in forma scalare mediante le com-ponenti:

m v m v m v m v1 2 2 1 1 2 21i i f f+ = +

Nel caso di urto anelastico non esiste un’altra relazione da associare alla precedente, che contiene ben quattro variabili: ,v1i ,v2i v1f e v2f. Bisogna quindi conoscere tre di esse per determinare la quarta: per esempio, note le velocità iniziali e la velocità finale di un corpo, si può calcolare la velocità finale dell’altro corpo.

Massimo Romen

i

497


Urto completamente anelastico in una dimensione

vf

PRIMA DELL’URTO

DOPO L’URTOm2m1

v1i v2im2m1

Come nel caso precedente, la conservazione della quantità di moto porta all’equazione sca-lare

m v m v m v m v1 2 2 1 1 2 21i i f f+ = +

Poiché l’urto è completamente anelastico i due corpi hanno la stessa velocità finale ,vf per cui risulta:

m v m v m m v1 2 2 1 21f f f+ = +^ h

Quindi

m v m v m m v1 2 2 1 21i i f+ = +^ h (12)

Se sono note le velocità iniziali si può calcolare la velocità finale:

v m mm v m v

1 2

1 1 2 2f

i i=

+

+

Supponiamo che il corpo 2 (il bersaglio) sia inizialmente in quiete e venga colpito dal corpo 1 (il proiettile).

PRIMA DELL’URTOv1iv2i= 0

m2m1

La velocità finale del sistema composto dai due corpi incastrati è

v m mm

v1 2

11f i=

+

Si danno due casi interessanti.

1 Proiettile massiccio. La massa del proiettile è molto maggiore di quella del bersaglio m m1 2&^ h, quindi

v m mm

vmm

v mm

v v01 2

11

1

11

1

11 1f i i i i.=

+ += =

La velocità finale è praticamente uguale alla velocità ini-ziale del proiettile.

Massimo Romen

i

498

Dinamica

2 Bersaglio massiccio. La massa del bersaglio è mol-to maggiore di quella del proiettile m m2 1&^ h, quindi

0v m m

mv

mv0 0

21 2

11 1f i i.=

+ +=

La velocità finale è praticamente uguale alla velocità ini-ziale del bersaglio, cioè è nulla.

Urto completamente anelastico in due dimensioniSupponiamo che l’urto avvenga su un piano e indichiamo le due direzioni con gli assi x e y. La conservazione della quantità di moto

m v m v m v m v1 2 2 1 1 2 21i i f f+ = +v v v v

è una relazione vettoriale che dà luogo alle due equazioni scalari:

m v m v m v m v

m v m v m v m vx x x x

y y y y

1 2 2 1 1 2 2

1 2 2 1 1 2 2

1i i f f

1i i f f

+ = +

+ = +(13)

L’urto è completamente anelastico, quindi i due corpi hanno la stessa velocità finale:

v v vx x x1f 2f f= = v v vy y y1f 2f f= =

Sostituendo nelle equazioni (13) otteniamo in definitiva le due equazioni:

m v m v m m v

m v m v m m vx x x

y y y

1 2 2 1 2

1 2 2 1 2

1i i f

1i i f

+ = +

+ = +

^^

hh (14)

che consentono di calcolare le due componenti della velocità finale a partire dalla conoscen-za delle velocità iniziali. Notiamo che ciascuna delle equazioni (14) corrisponde all’equazio-ne (12), valida nel caso di urto in una dimensione.

6 Urti elasticiNel caso di un urto elastico fra due corpi

O la quantità di moto totale si conserva ;p pi tot totf=v v

O l’energia cinetica totale si conserva .K Ki tot f tot=

Notiamo che l’energia cinetica di ciascun corpo può cambiare: quello che rimane costante è la somma delle energie cinetiche dei due corpi.

Urto elastico in una dimensioneLe due leggi di conservazione (della quantità di moto pv e dell’energia cinetica K) danno luogo alle due equazioni seguenti:

m v m v m v m v p

21

21

21

21

conservazione di1 2 2 1 1 2 2

12

2 22

1 12

2 22

1i i f f

1i i f f

+ = +

m v m v m v m v Kconservazione di+ = +

v* (15)

Massimo Romen

i

IN LABORATORIO

Gli urti elastici

Video (1 minuto)• Test (3 domande)•

499


La risoluzione del sistema (15) è piuttosto laboriosa: in funzione dei dati, cioè delle velocità iniziali v1i e ,v2i le velocità finali v1f e v2f sono:

v m m

m mv m m

mv

m mm

m mm m

2

2

i

i

1 2

1 21

1 2

2

21 2

11

1 2

2 1

1f 2i

f 2i

=+

-+

+

+ +

-v v v= +

(16)

Supponiamo che il corpo 2 (il bersaglio) sia inizialmente in quiete e venga colpito dal corpo 1 (il proiettile). Ponendo nelle relazioni (16) v 02i = si ha:

v m m

m mv

m mm2

1

1

1 2

1 2

21 2

1

1f i

f i

=+

-

+v v=

(17)

Si distinguono i seguenti casi.

O Bersaglio massiccio, cioè massa del bersaglio molto maggiore di quella del proiettile m m2 1&^ h:

v m mm m

vmm

v v

m mm

m

00

202 0 0

1 1 1

1 1

1 2

1 2

2

2

21 2

1

2

1f i i i

f i i$

.

.

=+

-

+

-=-

+ +

=v v v=

A seguito dell’urto, il proiettile inverte la velocità v v1f 1i=-^ h mentre il bersaglio rimane praticamente fermo v 02f =^ h.

v1i

v2i= 0

m2

m1

v1f

v2f= 0

m2

m1

O Bersaglio con la stessa massa del proiettile m m m1 2= =^ h:

v m mm m

v m mm m v

m mm

m mm

0

2 2

1 2

1 21 1

21 2

11 1

1f i i

f i 1i i$

=+

-=

+

-=

+ += =v v v v=

Nell’urto il proiettile e il bersaglio si scambiano le velocità: il proiettile si ferma mentre il bersaglio parte con la velocità che il proiettile aveva prima dell’urto.

v1i

v2i= 0

mm

v2f

v1f= 0

mm

500

Dinamica

O Proiettile massiccio, cioè massa del proiettile molto maggiore di quella del bersaglio m m1 2&^ h:

v m mm m

vmm

v v

m mm

mm

00

20

2

1 2

1 21

1

11

21 2

11

1

11 1

1f i i 1i

f i i i

.=+

-

+

-=

+ +v v v v2. .=

Per effetto dell’urto, il proiettile mantiene la sua velocità iniziale mentre il bersaglio acqui-sta una velocità doppia di quella iniziale del proiettile.

v1i

m2

m1v2i

v1f

m2

m1

v2f

Urto elastico in due dimensioni

v1i

m2

m1

x

yPRIMA DELL’URTO DOPO L’URTO

v2i

v1f

v2f

Le due leggi di conservazione (della quantità di moto pv e dell’energia cinetica K) danno luogo alle tre equazioni seguenti:

m v m v m v m v p

m v m v m v m v p

21

21

21

21

conservazione di

conservazione dix x x x x

y y y y y

1 2 2 1 1 2 2

1 2 2 1 1 2 2

12

2 22

1 12

2 22

1i i f f

1i i f f

1i i f f

+ = +

+ = +

m v m v m v m v Kconservazione di+ = +

*Anche conoscendo le quattro componenti delle velocità iniziali ,v 1x i ,v 1y i vx 2i e vy 2i non è possibile determinare con sole tre equazioni le quattro componenti delle velocità finali ,v 1x f

,v 1y f vx 2f e vy 2f . Bisogna avere informazioni ulteriori: per esempio, se è nota la velocità finale di un corpo è possibile calcolare la velocità finale dell’altro.

501


Un caso interessante di urto bidimensionale si ha quando un proiettile colpisce un bersa-glio che ha la sua stessa massa m.

v1i90°

m mx


v1f

v2f

Si dimostra infatti che dopo l’urto le velocità dei due corpi sono sempre perpendicolari fra loro.

Per dimostrare questo risultato utilizziamo il calcolo con i vettori. Scriviamo le leggi di conservazione in notazione vettoriale:

mv

mv mv mv

mv mv

21

21

212 2 2

1i 1f 2f

1i 1f 2f= +

= +v v v

v v v

Semplifichiamo nella prima equazione il termine m e nella seconda il termine 1 2 m^ h :

v v v

v v v2 2 21i 1f 2f

1i 1f 2f

= +

= +

v v v

v v v(18)

Eleviamo al quadrato i due membri della prima equazione:

v v v v v v v v22 2 2 22

21i 1f 2f 1i 1f 1f f 2f& $= + = + +v v v v v v v v^ ^h h

Sostituendo nella seconda equazione (18) otteniamo:

v v v v v v222

2 2 21f 1f f 2f 1f 2f$+ + = +v v v v v v^ h

ossia

v v 02f$ =v v

Il prodotto scalare di due vettori non nulli è uguale a zero quando i due vettori sono perpen-dicolari fra loro. Concludiamo quindi che, dopo l’urto, le velocità dei due corpi sono sempre perpendicolari fra loro. Notiamo però che le direzioni lungo cui si allontanano i corpi dopo l’urto non possono essere calcolate a priori, perché dipendono dalla forma dei corpi e dalle caratteristiche dell’impatto.

MINDBUILDING L’effetto fi onda gravitazionale

Come vedremo nel capitolo 14, il Sole attrae tutti i corpi del Sistema Solare. Per inviare un satellite verso i pianeti esterni, come Marte o Giove, è necessario quindi fornire a esso una grande energia. Non è possibile farlo nel modo più semplice, cioè utilizzando il motore del satellite, perché si dovrebbe lanciare il satellite con una enorme quantità di combustibile al suo interno. La conservazione della quantità di moto permette di aggirare il problema del combustibile e di utilizzare la spinta di un pianeta per aumentare la velocità del satellite.

502

Dinamica

Per semplicità, consideriamo un satellite di massa m e un pianeta di massa M che si muo-vono l’uno verso l’altro con velocità, misurate rispetto al Sole, vi e Vi rispettivamente. La traiettoria iniziale del satellite è scelta in modo tale che esso sorvoli il pianeta senza im-pattare su di esso. Si può parlare ancora di «urto» perché i due corpi entrano in contatto mediante una forza interna al sistema: la forza di attrazione gravitazionale. I dettagli di questa forza non interessano perché è una forza interna e come tale non cambia la quan-tità di moto. Inoltre l’urto è «elastico» perché durante il «contatto» non c’è dissipazione di energia cinetica.

vi

M

m

x

vi

vf

Nel caso in esame le velocità dopo l’urto sono date dalle equazioni (16):

vm Mm M v

m MM V

m Mm v

m MM m VV2 2

f i i f i i=+

-+

+=

++

+

-

La massa del satellite m 10 kg2=^ h è così piccola rispetto a quella del pianeta M 10 kg25=^ hche può essere considerata nulla, quindi:

vMM v

MM V v V V

Mv

MM V V

00

02 2

02 0

00

f i i i i f i i i$

. .+

-+

+=- +

++

+

-=

Come era lecito attendersi, la velocità finale del pianeta è praticamente identica alla sua velocità iniziale. Invece il satellite esce dall’urto con una velocità che ha modulo uguale alla somma del modulo della sua velocità iniziale e del doppio del modulo della velocità del pianeta.

Se consideriamo che la Terra si muove attorno al Sole alla velocità di 30 km s, possiamo capire l’entità dell’effetto fionda. Un satellite che si avvicina alla Terra con ,v 10 km si =-

dopo l’urto se ne allontana con una velocità pari a

2 70 250000v 10 30km s km s km s km hf c=- - + =^ ^h h

7 Il moto del centro di massa

Il centro di massa di un sistema di corpiI corpi estesi possono essere considerati come sistemi di masse puntiformi. Per analizzare il moto di un sistema di masse è utile considerare un particolare punto detto centro di massa del sistema.

503


Il centro di massa di un sistema di n masse puntiformi , , ,m m m2 n1 f disposte nelle posizioni , , ,x x x1 2 nf dell’asse x è il punto di ascissa

x m m mm x m x m x

n

n n

1 2

1 1 2 2CM

f

f=

+ + +

+ + +(19)

xCM

x1

x2

x3

m1 m2CM m3x

La posizione del centro di massa di un sistema dipende dalla grandezza e dalla disposizione delle masse che formano il sistema.

Consideriamo sistemi formati da due masse.

In generale, il centro di massa di un sistema di due corpi puntiformi è tanto più vicino al corpo con massa maggiore quanto più è grande la differenza fra le masse.

QUANTO? Il centro di massa del sistema Terra-Luna

In prima approssimazione il sistema Terra-Luna può essere modellato con due masse pun-tiformi, rispettivamente di 6,0 10 kg24$ e 7,4 10 kg22$ , distanti 3,8 10 km5$ . Fissiamo l’ori-gine dell’asse x nel centro della Terra.

Luna

Terra

1 Il centro di massa di una coppia di masse puntiformi uguali è equidistante dalle due masse:

x m mmx mx

x x211 2

1 2CM =+

+= +^ h

xCM

x1

x2

m

0

mCM x

2 Se una delle due masse è molto maggiore dell’altra, il centro di massa del sistema coincide praticamente con la massa maggiore:

xm M

mx MxMMx

x1 2 22CM .=

+

+=

xCM

x1

x2

m

0 CM

Mx

IN LABORATORIO

Il centro di massa

Video (1 minuto)• Test (3 domande)•

504

Dinamica

L’ascissa del centro di massa Terra-Luna è

, ,

, , ,x

6 0 10 7 4 10

6 0 10 0 7 4 10 3 8 10

kg kg

kg km kg km24 22

24 22 5

CM$ $

$ $ $.=

+

+

^ ^

^ ^ ^ ^

h h

h h h h

5 10 km3$.

Il raggio della Terra è 6,4 10 km3$ : quindi il centro di massa del sistema Terra-Luna è interno alla Terra.

Nel caso di un sistema di masse distribuite nello spazio il centro di massa è definito nel modo seguente:

il centro di massa di un sistema di n masse puntiformi , , ,m m m2 n1 f disposte nelle posizioni , , ,r r r1 2 nfv v v è il punto avente posizione

r m m mm r m r m r

n

n n

1 2

1 1 2 2CM

f

f=

+ + +

+ + +v

v v v(20)

Questa relazione vettoriale corrisponde a tre relazioni scalari analoghe alla (19), una per ogni componente del vettore posizione:

x m m mm x m x m x

n

n n

1 2

1 1 2 2CM

f

f=

+ + +

+ + +

y m m mm y m y m y

n

n n

1 2

1 1 2 2CM

f

f=

+ + +

+ + +

z m m mm z m z m z

n

n n

1 2

1 1 2 2CM

f

f=

+ + +

+ + +

Il calcolo per determinare il centro di massa può essere evitato nel caso di sistemi simme-trici di masse. Infatti il centro di massa di un sistema simmetrico di masse è nel centro di simmetria. Per esempio, il centro di massa di una sfera omogenea o di un pallone da basket è collocato nel centro della sfera.

Il moto del centro di massa di un sistemaLa conservazione della quantità di moto ha un profondo effetto sul moto del centro di mas-sa di un sistema. Infatti

il centro di massa di un sistema si muove come un corpo puntiforme che ha la stessa massa totale del sistema e che è soggetto alla forza esterna risultante che agisce sul sistema stesso.

In particolare:

il centro di massa di un sistema isolato si muove di moto rettilineo uniforme.

Per dimostrare questi importanti risultati, consideriamo un sistema isolato formato da n masse puntiformi in moto. Nell’intervallo di tempo tT , ogni massa esegue uno spostamen-

Robertosch / Vah

e Katrjyn / Cobalt88 / Shutterstock

505

12 La quantità di moto

to: m1 si sposta di ,r1Tv m2 si sposta di r2Tv e così via. Lo spostamento del centro di massa

del sistema è quindi:

rm m m

m r m r m r

n

n n

1 2

1 1 2 2CM

f

fT

T T T=

+ + +

+ + +v

v v v

Dividiamo per tT entrambi i membri:

r

m m m

mt

rm

t

rm

t

r

t

1 2

n

nn

1 2

1 2CM

f

fT T

T

T

T

T

T

T=

+ + +

+ + +v

v v v

Notiamo che

t

rv

CMCM

T

T=

vv

è la velocità del centro di massa;

t

rv

11

T

T=

vv

è la velocità di m1 e così via. Quindi

vm m m

m v m v m v

n

n n

1 2

1 1 2 2CM

f

f=

+ + +

+ + +v

v v v

La somma al numeratore è la quantità di moto totale ptotv del sistema mentre la somma al

denominatore è la massa totale M del sistema, per cui la relazione precedente diventa:

M v pCM tot=v v (21)

Se il sistema è isolato, la sua quantità di moto si conserva: la grandezza M vCMv , e quindi la

velocità vCMv del centro di massa, rimangono costanti durante il moto. Quindi il centro di

massa di un sistema isolato si muove di moto rettilineo uniforme.

Se il sistema non è isolato, ma agisce su di esso nell’intervallo tT una forza esterna, risul-

tante delle forze esterne applicate, allora per la (10) la quantità di moto del sistema cambia

della quantità

p F ttot estT T=v v/

e quindi cambia anche la grandezza M vCMv :

M v F tCM estT T=v v^ h /

Dividendo entrambi i membri per tT otteniamo in definitiva

F Mt

vest

CM

T

T=

vv

/

che è identica al secondo principio della dinamica nel caso di un corpo di massa M soggetto

alla somma delle forze esterne. Concludiamo quindi che il centro di massa di un sistema

si muove come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa del sistema;

è soggetto alla forza esterna risultante che agisce sul sistema.

506

Dinamica

1 Quello in foto è un sistema isolato: il moto della chiave inglese è piuttosto complicato, però il suo centro di massa si muove lungo una retta.

Massimo Romen

i

2 Quello in foto è un sistema non iso-lato perché la forza peso non è equili-brata: il moto del suo centro di massa è quello parabolico di un proiettile.

Massimo Romen

i

Nel caso di urto fra due corpi che formano un sistema isolato il moto del centro di massa è rettilineo uniforme e quindi manifesta una regolarità che non hanno i moti dei due corpi.

1 L’urto cambia le ve-locità dei corpi ma non quella del centro di massa del sistema.

t = –3 s

t = –2 s

t = –1 s

t = +1 s

t = +2 s

t = +3 s

t = 0 s

x = 0 m

2 I corpi e le loro velo-cità cambiano direzione a causa dell’urto ma il cen-tro di massa continua a muoversi lungo la stessa direzione.

v1i

vCM

vCMm2

m1

CM

x


v2i

v1f

v2f

Energia poteziale

Lavoro e differenza di energiapotenziale

LE FORMULE

507

QUANTITÀ DI MOTO E IMPULSO DI UNA FORZA

Quantità di moto Teorema dell’impulso

Centro di massa Moto rettilineo uniforme del centrodi massa di un sistema isolato

Conservazione della quantitàdi moto totale di un sistema isolato

Urti

Urti completamente anelastici

Urti elastici

r m m mm r m r m r

n

n n

1 2

1 1 2 2CM

f

f=

+ + +

+ + +v

v v v

M v pCM tot=v v

p pi tot totf=v v

p pi tot f tot=v v

K Ki tot f tot=

v v v m mm v m v1i 2i

1 21 2

1 2f f f= = =

+

+

Centro di massa di un sistemadi n masse puntiformi

Massa complessivadel sistema

Quantità di motounità: kg $ m/s = N $ s

Impulso di una forzaunità: N $ s

p mv=v v I F t pT T= =v v v

508

ESERCIZIESERCIZI La quantità di moto1

1III

QUANTO? Una pallina di massa 0,5 kg colpisce il pavimento

con una velocità di 2 m s e rimbalza con la stessa velocità verso l’alto.

� Qual è la variazione della quantità di moto?2 10 N s$ $6 @

2III

QUANTO? Un aliscafo di massa 4,0 10 kg4$ viaggia a 21 m s.

� Qual è la quantità di moto dell’aliscafo?,8 4 10 kg m s5$ $6 @

3III

Calcola il modulo della quantità di moto di: � un proiettile di massa 20 g che viaggia alla velo-

cità di 300 m s. � un jogger di massa 80 kg che procede con una

velocità di 3,3 m s. � un’automobile di massa 2,0 t che viaggia a

80 km h.6 ; 2,6 10 ; 4,4 10kg m s kg m s kg m s2 4$ $ $ $ $6 @

direzione con una velocità di 8,0 m s. � Calcola la variazione della quantità di moto.

2,3 kg m s$6 @

8III

Una pallina da tennis di massa 58 g viaggia a 16 m s, urta il terreno con un angolo di 30° e ripar-te in modo simmetrico con uguale velocità in modulo.

� Calcola il modulo della quantità di moto prima e dopo il rimbalzo.

� Calcola la variazione della quantità di moto., , , ; ,0 93 0 93 0 93kg m s kg m s kg m s$ $ $6 @

5III

Un giocatore di rugby che corre a 3,40 m s ha una quantità di moto di 400 kg m s$ .

� Determina la sua massa. 118 kg6 @

6III

Una ragazza di 40 kg si muove con un monopattino a una velocità di 11 km h. La quantità di moto totale del sistema è di 1,3 10 kg m s2$ $ .

� Calcola la massa del monopattino. 2 kg6 @

7III

Una biglia di massa 110 g colpisce una parete con una velocità di 13 m s, arrivando perpendicolar-mente alla parete. La biglia rimbalza nella stessa

4 ESEMPIO III

Nel 2010 la gara finlandese di «corsa con la moglie in spalla» è stata vinta da Taisto Miettinen che, con Kristiina Haapanen, ha percorso i 253 m del tragit-to in 1 5l m. La loro quantità di moto media totaleera di 5,6 10 kg m s2$ $ e la massa di Taisto era 81 kg.� Calcola la massa della moglie.

� RISOLUZIONE

Dalla definizione di quantità di moto totale del sistema marito-moglie ricaviamo la massa della moglie:

p p p

p m v m v m vp m v

tot u d

tot u d dtot u

&

= +

= + =-

v v v

Calcoliamo la velocità v: vts

T

T=

� Risultato numerico

t

s

m

p

1 5 65

253

81

560

s

m

kg

kg m su

tot $

D

D

= =

=

=

=

l m ,

,

,

v65253 3 9

3 9

560 81 3 9

sm m s

m s

kg m s kg m sd

$

= =

-m 62 kg= =

^ ^h h

ANSA

20 test (30 minuti)

TEST INTERATTIVI

509

12 � La quantità di moto

ESERCIZI

� Quanto vale il modulo dell’impulso che agisce sulla palla? 7 10 N s1$ $-6 @

14III

QUANTO? Un’automobile di massa 2 10 kg3$ viaggia alla velo-

cità di 20 m s. � Calcola l’impulso necessario per fermare l’auto-

mobile. 4 10 N s4$ $6 @

15III

Una giocatrice di pallanuoto blocca in 0,20 s una palla di massa 510 g lanciata a 32,0 km h.

� Calcola la forza media esercitata.� Determina l’impulso. ; ,23 4 5N N s$6 @

16III

Una palla da biliardo di massa 3,2 10 g2$ viene lan-ciata perpendicolarmente contro la sponda del ta-volo con una velocità di 3,8 m s. L’impulso eserci-tato dalla sponda sulla palla è di 2,1 N s$ .

� Calcola la velocità di rimbalzo della palla.2,8 m s6 @

17III

Una biglia di 110 g colpisce una parete con una velocità di 13 m s, arrivando perpendicolarmente alla parete. La biglia rimbalza nella stessa direzio-ne con una velocità di 8,0 m s. Il tempo di contatto è di 0,02 s.

� Quanto vale la forza media esercitata dalla pa-rete? 1,2 10 N2$6 @

10III

Un’automobile di 1500 kg passa da 70 km h a90 km h in 3,8 s.

� Qual è la variazione della quantità di moto? � Determina l’intensità della forza motrice.

8,3 10 ; 2,2 10kg m s N3 3$ $ $6 @

11III

Una pallina di 46 g è lanciata verso l’alto con una velocità di 2,1 m s.

� Quanto vale la variazione della quantità di moto nel punto più alto della traiettoria?

� Calcola la variazione della quantità di moto quando ripassa per il punto dal quale è stata lan-ciata. 9,7 10 ; 1,9 10kg m s kg m s2 1$ $ $ $- -6 @

12III

Un’automobile di massa 1,8 10 kg3$ viaggia a velo-cità costante. Affronta un tornante (curva di 180°) e subisce una variazione della quantità di moto di 1,8 10 kg m s4$ $ .

� A quale velocità viaggia l’automobile? � A quale forza è imputabile la variazione della

quantità di moto? 18 km h6 @

L’impulso di una forza2

13III

QUANTO? Durante una schiacciata in una partita di pallavolo,

la mano esercita per 10 ms una forza media di 70 N.

9 ESEMPIO III

Sotto l’azione di una forza costante di 18 N un corpo di 14 kg inizialmente fermo 0v m s0 =^ h raggiunge la velocità 22v m s1 = .� Calcola la variazione della sua quantità di moto.� Calcola per quanto tempo agisce la forza.

� RISOLUZIONE

� La variazione della quantità di moto è p m v mv mv1 0 1T = - =


14

22v

m

m s

kg1

=

=14 22 3,1 10p kg m s kg m s2 $$T = =^ ^h h

� Utilizziamo il secondo principio della dinamica nella sua formulazione originale:

F t p tFp

&T T TT

= =


18F N=18

3,1 1017t

Nkg m s

s2$ $

T = =

510

DinamicaESERCIZI 19

III

Un corpo di 0,60 kg, si muove inizialmente con una velocità di 15 m s. Successivamente viene fermato da una forza costante di 50 N nell’intervallo di tem-po tT .

� Quanto vale l’impulso di questa forza? � Determina l’intervallo di tempo tT .

; ,0 189 N s s$-6 @

18III

Un pallone da calcio di 0,43 kg si allontana dal pie-de del calciatore con una velocità iniziale di 25 m s.

� Calcola l’impulso dato dal calciatore al pallone. Considera che il piede del calciatore sia in contatto

col pallone per 0,0080 s. � Calcola la forza media esercitata dal piede sul

calciatore. 11 ; 1,3N s kN$6 @

20 ESEMPIO III

Una palla di 0,40 kg viene lasciata cadere da una quota di 2,0 m sul pavimento. Essa rimbalza a una quota di 1,5 m.� Calcola l’impulso esercitato dal pavimento sulla palla.� Calcola la forza media esercitata dal pavimento se la palla rimane in contatto con questo per 10 ms.

� RISOLUZIONE

� Scegliamo un asse verticale diretto verso l’alto e dividiamo l’evento in tre momenti distinti: discesa, contatto con il pavimento e risalita (in figura è illustrato il momento in cui la palla tocca il pavimento e quello, subito successivo, in cui inizia la risalita).

v2

v1

s

O Discesa. Si conserva l’energia tra lo stato iniziale di caduta da quota h1 e l’istante in cui arriva a terra con velocità v1:

E E

K U K U

mgh mv v gh21 21 1

21 1

i f

i i f f

&

=

+ = +

= =-

O Contatto con il pavimento. L’energia non si conserva:

E Ei f!

O Risalita. Si conserva l’energia tra l’istante in cui la palla inizia la risalita con velocità v2 e il momento in cui raggiunge la quota h2:

E E

K U K U

mv mgh v gh21 22

22 2 2

i f

i i f f

&

=

+ = +

= =

Per il teorema dell’impulso, lungo la direzione del moto si ha: I m v v m gh gh2 22 1 2 1= - = - -^ _h i8 B


0,40

2,0

1,5

m

h

h

kg

m

m1

2

=

=

=

0,40 , ,

, , ,

I 2 9 8 2 0

2 9 8 1 5 4 7

kg m s m

m s m N s

2

2 $

= +

+ =

^ ^a^ ^

h hh hk

� La forza media che agisce nell’intervallo di tempo tT è

I F t FtI

m m&TT

= =


1 10t s2$T = -,

4,7 10F1 10

4 7

s

N sN

22

m$

$$= =

-

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