Moti - Capitolo 2 e 4 HRW1 MOTI Meccanica: branca della fisica che studia il moto dei corpi e le...

Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 1

MOTI

Meccanica: branca della fisica che studia il moto dei corpi e le forze che lo fanno variare

Cinematica: descrive il moto dei corpi senza fare riferimento esplicito alle forze che agiscono su di essi

Dinamica: è lo studio della relazione esplicita tra le forze ed il loro effetto sul moto

Per descrivere un moto è necessario specificare la posizione del corpo in ogni istante. E’ quindi necessario definire un sistema di coordinate:

Caso Mono-dimensionale

• Coordinate Cartesiane

Origine delle Coordinate(posizione dell’osservatore)

O

Oggetto

Coordinata- spesso indicata con X

Origine delle Coordinate(posizione dell’osservatore)

O

Oggetto

Coordinata- spesso indicata con - X


Caso Bidimensionale


• Ascissa X• Ordinata Y

O x

y

---> (X,Y)

• Coordinate Polari

• Distanza Radiale r• Angolo

O

---> (r, )

r

E’ ovviamente possibile trasformare le coordinate cartesiane in polari e viceversa

)sin(

cos

ry

rx

x

y

yxr

arctan

22


Caso Tridimensionale


• Coordinate Sferiche

• Coordinate Cilindriche

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

zz

ry

rx

sin

cos

yx

z

Coordinate Cartesiane


La Traiettoria è il percorso del corpo nel piano xy (o xyz)

La Traiettoria viene visualizzata in un piano cartesiano con le coordinate (X,Y,Z ……. ) come assi

ATTENZIONE

Attenzione: lo spostamento s nell’intervallo t0,t può non coincidere con la traiettoria

)(tOP


Equazione Oraria

tt

OP

tOP

tempottfOP

y

x

3log37

53

)(

t

sx

t2

s3

s2

s1

t3

t1 t

sy

t2

s2

s1

t1

L’equazione oraria permette di determinare le componenti del vettore posizione del corpo in studio in qualsiasi istante di tempo t


Il Concetto di Diagramma OrarioNota: è cosa ben diversa dalla Traiettoria

Nel Diagramma orario l’asse delle X rappresenta il Tempo, quello delle Y una coordinata

Un moto mono-dimensionale si rappresenta in un Diagramma orario a 2D


Per descrivere un moto è necessario, una volta specificata la posizione del corpo, definire lo spostamento, la velocità e l’accelerazione.

Spostamento: lo spostamento di un corpo è il vettore il cui modulo è la distanza fra la posizione iniziale e la posizione finale del moto misurata lungo la retta che li congiunge. La direzione è quella delle retta che congiunge la posizione iniziale con la posizione finale. Il verso è quello rivolto dalla posizione iniziale alla posizione finale.

Tanto più la posizione iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore spostamento.Per definire lo spostamento è necessario aver definito in precedenza sia l’origine del sistema di coordinate che il sistema di coordinate da usare. Altrimenti non sapremmo da dove far partire il vettore posizione.

A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il vettore spostamento diventa sempre più simile ad un segmento della traiettoria.

Portando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore spostamento infinitesimo ds che descrive lo spostamento tra due posizioni infinitamente vicine

ds Il vettore spostamento infinitesimo risulta quindi essere un segmentino della traiettoria.

La traiettoria risulta essere composta dall’inviluppo di tutti i vettori spostamento

ds dsdsdsds

0101 opops


Per descrivere un moto è necessario, una volta specificato lo spostamento, definire quanto velocemente un corpo si muove

Velocità: La velocità di un corpo è, per definizione, il rapporto fra lo spazio percorso (cioè lo spostamento) e l’intervallo di tempo impiegato per percorrerlo

Poiché ho bisogno del vettore spostamento, anche la velocità dovrà essere un vettore.

Modulo: |vettore spostamento| * 1/intervallo di tempoDirezione: quella del vettore spostamentoVerso: quella del vettore spostamento

Tanto più la posizione iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore velocità

A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il vettore velocità diventa sempre più vicino alla tangente alla traiettoria.

Portando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore velocità istantanea v(t) che dà la velocità di un punto materiale nell’istante t. La velocità istantanea risulta essere tangente alla traiettoria

dt

ds

tt

sv

tt

sv

ttist

12

12

12

12

12

lim s

mv


Diagramma Orario

Curva di Velocità

dt

dsv

ist

Problema svolto 2.2 – pag. 16 – HRW

Moto di una cabina di ascensore


dt

ds

tt

XXv

tt

XXv

bc

bc

ttist

bc

bc

bc

lim

In un Diagramma Orario la velocità istantanea calcolata nel punto generico X rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente la traiettoria nel

punto X

dt

xdsxv

)()( x


Per descrivere un moto è necessario, una volta specificato lo spostamento e la velocità, definire quanto velocemente un corpo cambia la sua velocità

Accelerazione: L’accelerazione di un corpo è, per definizione, il rapporto fra il vettore variazione di velocità istantanea e l’intervallo di tempo associato

Poiché ho bisogno del vettore variazione di velocità, anche la accelerazione dovrà essere un vettore.

Modulo: |vettore variazione di velocità| * 1/intervallo di tempoDirezione: … dipende da caso a casoVerso: … dipende da caso a caso

Tanto più la velocità iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore accelerazione

A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo è possibile definire il vettore accelerazione istantanea a(t) che dà la accelerazione di un punto materiale nell’istante t.

dt

dv

tt

vva

tt

vva

ttist

12

12

12

12

12

lim 2s

ma

Nota:

Lo spostamento infinitesimo è un segmentino di traiettoriaLa velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoriaL’accelerazione può avere un orientamento qualsiasi rispetto alla traiettoria


Analogamente che per lo spostamento….

ttv

v

tempotdt

tfdtgv

y

x

137

3

)()(

2

Permette di conoscere le componenti della velocità di un corpo in qualsiasi tempo t

vx

t

vy

t

Un discorso Analogo vale per l’accellerazione

Accellerazione, Velocita’ e Spostamento sono legate tra loro da relazioni matematiche


aa

atv

atx

2

2

2


dt

dzdt

dydt

dx

dt

dsdt

dsdt

ds

v

v

v

dt

dstv

z

y

x

z

y

x

)(

dtta

dtta

dtta

dtta

dttv

dttv

dttv

dttvts

z

y

x

z

y

x

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

dtta

dtta

dtta

dttatv

z

y

x

)(

)(

)(

)()(

• Spostamento infinitesimo

dzzz

dyyy

dxxx

sds

12

12

12

12

• Velocità istantanea

• Accelerazione istantanea

2

2

2

2

2

2

2

2

dt

sddt

sddt

sd

dt

sd

dt

dvdt

dvdt

dv

dt

dva

z

y

x

z

y

x


Composizione dei moti (moto del proiettile)

Un proiettile di massa m, viene sparato con velocità v = 25 m/s ad un angolo rispetto al suolo. Quale è la traiettoria? Qual è la gittata del cannone? Quale è la massima altezza raggiunta dal proiettile? ……(trascurare l’attrito).

Quale sarebbe l’angolo che massimizza la gittata.

Altri esempi:


Moto Circolare

Coordinate Polari (1D)

)(2

)()(

)()(

2)(

)/(

)(

1

22

2

st

t

st

tT

)(rad/sdt

θd

dt

da

angolareioneaccelleraza

sraddt

dθ

angolarevelocità

rado angolarespostamentθ

θ

θ

vr

)(2

)()(

)()(

2)(

)(

1

22

2

sr

tvt

stv

rtT

ara

)(m/sdt

xd

dt

dva

zialeone tangenaccelerazia

rv

(m/s)dt

dxv

etangenzialvelocitàv

metangenzialospostamentx

rx

t

t

t

tt

t

t

t

t

Nota:Quando è costante prende il nome di pulsazione


Obiettivi generali degli esercizi svolti in aula:

Saper ricavare velocità ed accelerazione, nota la legge oraria;

Saper ricavare il vettore posizione, noto il vettore velocità o il vettore accelerazione. Quando possibile, sapere anche calcolare l’equazione della traiettoria (per esempio: moto del proiettile).

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