Mo#  con  accelerazione  costante  

Mo#  bidimensionali  

Moto con accelerazione costante

atvvtvva +=

−

−= 0

0 0

( ) ( ) atvvatvvvvv21

21

21

0000 +=++=+=

vtxxtxx

v =−−

−= 0

0 0

20000 2

1 21

attvxxatvtxx ++=!"

#$%

& +=−

ü  Se l’accelerazione è costante vuol dire che la velocità varia in modo lineare nel tempo, cioè per intervalli di tempo uguali si hanno incrementi di velocità eguali.

velo

cità

t o

v

v0

(1)

(2)

In un piano v-t questa equazione rappresenta una retta con coefficiente angolare a

Questa è l’equazione oraria di un moto accelerato

Ricordando

D’altronde dal grafico risulta che, per un moto rettilineo la velocità media può essere scritta

Equazioni del moto con a = cost

•  Il moto con a = cost è descritto da 5 grandezze

•  x-x0, v, v0, a, t. •  Tali grandezze sono conseguenza delle

equazioni 1 e 2 della precedente diapositiva.

•  Il moto con accelerazione costante più comune è il moto di un grave in caduta libera

•  al livello del mare l’accelerazione di gravità media è: g = 9,806 + 0,017 m/s2

( )

( )

20

00

020

2

200

0

21

212

21

atvtxx

tvvxx

xxavv

attvxx

atvv

−+=

++=

−+=

++=

+= x

v

t

a

v0

Caduta  di  un  grave  •  In prossimità della superficie terrestre ogni corpo è soggetto ad una accelerazione costante pari a 9,81 m/s2. Quindi l’equazione oraria y = f(t) di un oggetto lasciato libero di muoversi è: y = -1/2 gt2

•  Il segno meno deriva dall’orientazione del sistema di riferimento che è definito positivo allontanandosi dalla superficie della Terra. •  Se l’oggetto parte da una posizione y0 e se ha una sua velocità iniziale v0 allora l’equazione oraria si completa nel seguente modo

y = y0 + v0t -1/2 gt2

Equazioni  del  moto  in  forma  integrale  

Dalla definizione di accelerazione:

a = dv/dt ovvero dv = adt:

atvvquindi

vctper

catv

dtadv

adtdv

+=

=→=

+=

=

=

∫ ∫∫ ∫

0

00

( )

200

0

20

0

0

21

021

attvxx

quindixct

cattvx

tdtadtvx

dtatvdx

vdtdx

++=

=→=

++=

+=

+=

=

∫ ∫∫ ∫

∫∫

L’altra equazione base si ottiene dalla definizione di v = dx/dt ovvero dx = vdt:

Moto  in  più  dimensioni   I moti in più dimensioni si ottengono sommando vettorialmente i moti lungo ciascun asse ( ) ( ) ( )

kzjyixr

kzzjyyixxr

kzjyixkzjyixr

rrrkzjyixr

Δ+Δ+Δ=Δ

−+−+−=Δ

++−++=Δ

−=Δ⇒++=

121212

111222

12

)()(

( )kvjvivv

kdtdz

jdtdy

idtdx

kzjyixdtd

v

dtrd

vtr

v

zyx ++=

++=++=

=⇒Δ

Δ=〉〈

kajaiaa

kdtdv

jdtdv

idtdv

a

dtvd

atv

a

zyx

zyx

++=

++=

=⇒Δ

Δ=〉〈

Moto  di  un  proie;le  

La vy varia passando da funzione positiva, nulla e negativa, mentre la vx è sempre costante. Un corpo viene lanciato con una velocità iniziale V0 in prossimità della superficie terrestre. Se le cui componenti sono V0x e V0y avremo che: nel suo progredire il proiettile risentirà, solo della forza di gravità che gli imprime una accelerazione pari a g = - 9.81 m/s2

Moto  parabolico  

2000

200

00000

21

21

cos

gttsenvyygttvyy

tvxxtvxx

y

x

−⋅+=−+=

⋅+=+=

θ

θ

gtvvy −= 00 sinθ

§  Il moto orizzontale e quello verticale sono due moti indipendenti e possono essere trattati ciascuno per conto proprio

§  Lungo l’asse x il moto è un moto rettilineo uniforme, mentre lungo l’asse y il moto è uniformemente accelerato.

Se un oggetto cade da fermo, la sua posizione, rispetto al punto da cui cade, aumenta con il quadrato del tempo (y = - ½ gt2), mentre la sua velocità aumenta linearmente con il tempo (vy = - gt)

Traie=oria  di  un  proie;le  §  Ricavando t dalla equazione del

moto rettilineo uniforme, supponendo x0 ed y0 uguali a zero, e sostituendo nell’equazione nel moto uniformemente accelerato si ottiene:

( )( ) xtgx

vg

y

xv

t

cos2

cos1

02

00

00

θθ

θ

+""#

$%%&

'−=

⋅=

Equazione di una parabola nel piano x,y con la concavità rivolta verso il basso y = - ax2 + bx + c

0 10 20 30 400

100

200

300

400

Y (

metr

i)

X (metri)

parabola

Gi=ata  

gvtt

gttsenv

tvR

002

00

00

sin20

sono soluzioni cui le210

)(cos

θθ

θ

=

=〈−=

=

2000

000

21

)(cos

gttsenvyy

tvxx

−=−

=−

θ

θ

•  La gittata è la distanza orizzontale coperta da un proiettile.

•  L’equazione della traiettoria si ricava da:

•  chiamiamo x-x0 = R e poniamo y-y0 = 0

)2sin(cossin2 0

20

00

20 θθθ

g

vR

g

vR =⇒=

R è massima a θ0 = 45°

Moto  circolare  uniforme  

ü  Istante per istante la direzione del vettore velocità cambia, quindi varia e pertanto il moto è soggetto ad una accelerazione. ü  Il modulo di questa accelerazione sarà pari a:

a  =  v2/r  ü  la direzione, istante per istante, perpendicolare al vettore velocità ü  verso diretto al centro della traiettoria

v1 v2 v2

v1

r1

r2 Δs

Δv

rva

rvva

r:tsv:

tv

trsvv

2

11

11

::0tper

Δper dividendo quindi::

=

=

→ΔΔΔ

=ΔΔ

Δ=Δ

!!

!!

!!!!

ü  Il moto è circolare perché la sua traiettoria è una circonferenza, ed è uniforme perché il modulo della sua velocità è costante. ü  E’ costante solo il modulo, non il vettore velocità.