Il Movimento

Cinematica

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Il Movimento

• Il Moto

• Sistemi di Riferimento

• Spostamento

• Velocità

• Accelerazione

• Classificazione del Moto

• Moto Rettilineo Uniforme

• Moto Uniformemente Accelerato

• Moto Circolare Uniforme

• Approfondimenti:• Moto Uniformemente Accelerato: Spazio di Frenata

• Moto Uniformemente Accelerato: La Caduta dei Gravi

• Moto Circolare Uniforme: Moto Armonico

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Il Moto

Il moto è il cambiamento di posizione di un corpo, inrelazione al tempo, misurato da un osservatore rispetto adun determinato sistema di riferimento.

Lo studio del moto deicorpi, in fisica, è chiamatoCINEMATICA.

Per facilitare lo studio delmoto si semplifica ilproblema considerando ilcorpo come se fosse unPUNTO MATERIALE, cioèun punto dotato di massama senza dimensioni.

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Il Sistema di Riferimento

Poiché i corpi si muovono nello spazio,per poterne descrivere il moto, ènecessario disporre di un sistema diriferimento in cui siano riportate le3 direzioni, ciò può essere fattoutilizzando un sistema cartesiano 3D.

L’insieme dei punti dellospazio occupati da un corpo(punto materiale) al variaredel tempo si definisceTRAIETTORIA.

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Il Sistema di Riferimento

È da sottolineare che ciò che è in moto o in quiete in unsistema di riferimento potrebbe non esserlo considerandoun altro sistema di riferimento.

Osservato dall’interno deltreno, il passeggero sisposta verso Milano.

Osservato da un viadotto,il passeggero si muoveverso Bologna.

Moto e quiete non sono mai assoluti, ma relativi al sistemadi riferimento adottato!

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Spostamento

Definiamo SPOSTAMENTO il vettore che congiungedue posizioni del punto materiale in movimento in dueistanti diversi:

12 sss

In generale il vettore spostamento non coincide con latraiettoria del corpo.

2s

s

1s1P

2P

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Velocità

Definiamo VELOCITÀ il rapporto tra lo spazio percorsoed il tempo impiegato a percorrerlo:

12

12

tt

ss

t

sv

Nel S.I. l’unità di misura della velocità è il sm

La velocità è un vettore, per il quale direzione e versocoincidono con quelle del vettore spostamento e il cuimodulo è dato dal modulo dello spostamento divisol’intervallo di tempo.

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Velocità

Se consideriamo spazi percorsi abbastanza estesi puòcapitare che la velocità non sia sempre la stessa in tutto iltratto considerato, ciò vuol dire che quella che abbiamodefinito prima è in realtà una VELOCITÀ MEDIA.

tsvm

Se nella formula precedente consideriamo intervalli ditempo sempre più piccoli, e quindi spazi sempre più ridotti,la velocità che individueremo sarà sempre più vicina aquella che il corpo ha in un determinato istante, abbiamocosì definito la VELOCITÀ ISTANTANEA.

Se la velocità si mantiene costante in tutto lo spazioconsiderato, allora velocità istantanea e velocità mediacoincidono.

9

Velocità

VELOCITÀ MEDIA VELOCITÀ ISTANTANEA

Vediamo due strumenti per la verifica delle velocità che sibasano sui concetti di VELOCITÀ MEDIA e VELOCITÀISTANTANEA:

TUTOR AUTOVELOX

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Velocità

s

m

s

m

h

km

1

1

6,3

1

3600

1000

1

1

Come abbiamo visto la velocità è un rapporto tra spazio etempo e quindi l’unità di misura sono i m/s.

Nella vita quotidiana, però, si usano molto piùfrequentemente i km/h, vediamo come effettuare laconversione:

Quindi:: 3,6

x 3,6

km/h m/s

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Accelerazione

Definiamo ACCELERAZIONE il rapporto tra lavariazione di velocità e l’intervallo di tempo in cui èavvenuta tale variazione:

12

12

tt

vv

t

va

Nel S.I. l’unità di misura dell’accelerazione è il2sm

L’accelerazione è un vettore, per il quale direzione everso coincidono con quelle del vettore velocità e il cuimodulo è dato dal modulo della velocità diviso l’intervallodi tempo.

12

Accelerazione

Così come per la velocità, se consideriamo tempiabbastanza estesi può capitare che l’accelerazione non siasempre la stessa in tutto il tratto considerato, ciò vuoldire che quella che abbiamo definito prima è in realtà unaACCELERAZIONE MEDIA.

tvam

Se nella formula precedente consideriamo intervalli ditempo sempre più piccoli l’accelerazione che individueremosarà sempre più vicina a quella che il corpo ha in undeterminato istante, che possiamo definireACCELERAZIONE ISTANTANEA.

Se l’accelerazione si mantiene costante in tutto lo spazioconsiderato, allora accelerazione istantanea eaccelerazione media coincidono.

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PARAMETRI CINEMATICI (velocità v, accelerazione a)

UNIFORME

UNIFORMEMENTE ACCELERATO

VARIO

TRAIETTORIA

RETTILINEO

CIRCOLARE

CURVILINEO

Classificazione dei Moti

cost.;v

;cost.

cost.;

a

v

;cost.

cost.;

a

v

I moti si classificano in base a: Traiettoria Parametri Cinematici (velocità e accelerazione)

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Moto Rettilineo Uniforme

Un moto si definisce RETTILINEO UNIFORME se sonoverificate le seguenti condizioni:

La traiettoria è una retta

La velocità è costante (e quindi l’accelerazione è

nulla).

La legge oraria, cioè l’equazione matematica che legaspazio e tempo, del moto rettilineo uniforme è:

tvss 0

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Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato

Un moto si definisce RETTILINEO UNIFORMEMENTEACCELERATO se sono verificate le seguenti condizioni:

La traiettoria è una retta

L’accelerazione è costante

La legge oraria, cioè l’equazione matematica che legaspazio e tempo, del moto rettilineo uniformementeaccelerato è:

tavv

tatvss

0

2

002

1

Approfondimenti: Spazio di Frenata; Caduta dei Gravi

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Moto Circolare Uniforme

Un moto si definisce CIRCOLARE UNIFORME se sonoverificate le seguenti condizioni: La traiettoria è una circonferenza La velocità è costante in modulo

R

v

ac v

v

v

Il vettore velocità, parallelo al vettorespostamento, ha una direzione che cambia istanteper istante ed è in ogni punto tangente allacirconferenza. Per tale motivo nei moti circolari siha una VELOCITÀ TANGENZIALE.

Poiché il vettore velocità cambia istante peristante (in direzione) si ha una accelerazioneistantanea non nulla, detta ACCELERAZIONECENTRIPETA, che è costante in modulo ed èsempre diretta verso il centro.

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Moto Circolare Uniforme Periodo

Poiché il moto avviene su una linea chiusa, con una velocità costante inmodulo, dopo un certo intervallo di tempo il punto materiale, avendopercorso l’intera circonferenza, rioccuperà la posizione che avevaall’inizio del moto avendo ancora la stessa velocità (in modulo,direzione e verso).La stessa cosa accadrà per tutti i multipli di tale intervallo di tempo.

Si definisce PERIODO (T) l’intervallo di tempo impiegato a percorrere

un giro completo. Nel S.I. l’unità di misura del periodo è il secondo (s).

2

22 4;

2

T

R

R

v

t

va

T

R

t

sv

17

Poiché la lunghezza di una circonferenza di raggio R è 2 R , e quindi

2R è lo spazio s percorso nel periodo T, la velocità tangenziale el’accelerazione centripeta sono date da:

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Moto Circolare Uniforme Frequenza

In un moto periodico, come il moto circolare uniforme, è importanteanche definire un’altra grandezza fisica, la frequenza, datadall’inverso del periodo:

In termini di frequenza la velocità e l’accelerazione sono:

Si definisce FREQUENZA ( f ) il numero di giri percorsi nell’unità di

tempo. La frequenza f è l’inverso del periodo T.

Nel S.I. l’unità di misura della frequenza è l’Hertz (Hz = s-1).

11 1;1 ffTTTf

22

2

22

44

;22

frT

r

r

v

t

vaafr

T

r

t

svv imim

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Moto Circolare UniformeVelocità Angolare (Pulsazione)

Nel moto circolare uniforme, poiché il moto avviene su unacirconferenza in un periodo T, considerando che, in radianti, l’angolosotteso dall’intera circonferenza è 2, otteniamo:

fTt

22

VELOCITÀ ANGOLARE(MOTO CIRCOLARE UNIFORME)

Nel moto circolare uniforme, in intervalli di tempo uguali, sonopercorsi archi di circonferenza di uguale lunghezza.Pertanto il vettore descrive angoli uguali in tempi uguali.

Definiamo quindi velocità angolare media il rapportofra l'angolo spazzato da un vettore che ruota edil tempo impiegato a compiere questa rotazione.

La Velocità Angolare si misura, nel S.I., in rad/s.

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Moto Circolare UniformeFormule

Dalle definizioni di velocità angolare, velocità tangenziale eaccelerazione centripeta seguono, per il moto circolare uniforme, leseguenti relazioni:

rv

r

v

frv

f

2

2

22

2

2

22

44

rfT

ra

ra

rv

r

va

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Velocità Tangenziale

Velocità Angolare

Accelerazione Centripeta

;;22

rvfrT

rv

;;22

r

vf

T

Tf 1

;;44 222

2

22

rafrT

r

r

va

Il Moto Circolare Uniforme è alla base del MOTO ARMONICO.

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Formulario

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Velocità Tangenziale

Velocità Angolare

Accelerazione Centripeta

;;22

rvfrT

rv

;;22

r

vf

T

;;44 222

2

22

rafrT

r

r

va

MOTO RETTILINEO UNIFORME

Legge Oraria tvss 0

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

Legge Oraria

tavv

tatvss

0

2

002

1

Approfondimenti

• Moto Uniformemente Accelerato: – Spazio di Frenata

– La Caduta dei Gravi

• Moto Circolare Uniforme: – Spostamento

– Velocità Tangenziale

– Accelerazione Centripeta

– Moto Armonico

22

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Spazio di Frenata

Il calcolo dello spazio di frenata rientra nel caso di motorettilineo uniformemente decelerato (accelerazionenegativa).

Vedremo che lo spazio di frenata varia in funzione delquadrato della velocità iniziale:

;0;0

;;0

0

0

f

f

vv

sss

tavv

tatvss

0

2

002

1

tav

tatvs f

0

2

02

1

a

v

a

v

a

vs

a

va

a

vvs

a

vt

f

f

2

0

2

0

2

02

000

0

2

1

2

1

2

1

TORNA

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Caduta dei Gravi

Un caso particolarmente interessante di moto rettilineouniformemente accelerato è la caduta dei gravi, cioè dicorpi attratti dalla forza di gravità (forza peso).

L’accelerazione costante con cui i corpi cadono èl’accelerazione di gravità g = 9,8m/s2.

La caduta dei gravi fu studiata da Galileo Galilei, loscienziato pisano mostrò che i corpi materiali cadono,nel vuoto (escludendo quindi qualunque effettodi attrito), tutti con la stessa accelerazione,indipendentemente dalla loro massa.

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Caduta dei Gravi

tgv

tgh

tavv

tatvss 2

0

2

002

1

2

1

h

;;0

;;0

0

0

gav

hss

ghg

hgv

g

ht

tgv

tgh

22

2

2

1 2

Come si può notare tempo e velocità di caduta NON dipendono dallamassa!!!

Condizioni Iniziali

TORNA

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Moto Circolare UniformeSpostamento

Sino ad ora abbiamo considerato moti che avvengono su rette.In tali casi il vettore spostamento è costante in direzione (giace sullaretta su cui avviene il moto) e coincide con lo spazio percorso.

Quando, invece, il punto si muove sutraiettorie circolari il vettorespostamento non è più costante indirezione e non coincide più con lo spaziopercorso.

s

Allo stesso modo nei modi rettilinei sono costanti in direzione anche ilvettore velocità ed il vettore accelerazione.

Considerando intervalli di tempo semprepiù piccoli la direzione del vettorespostamento tende a disporsiperpendicolarmente al raggio dellacirconferenza.

TORNA

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Moto Circolare UniformeVelocità Tangenziale

Nei moti circolari, inoltre, il vettore velocità, che ha la stessadirezione e verso del vettore spostamento, ha una direzione checambia istante per istante.

Per tale motivo nei moti circolari siparla di VELOCITÀ TANGENZIALE.

Pertanto anche il vettore velocitàistantanea, cioè la velocità definita perintervalli di tempo molto piccoli (allimite tendenti a 0), tende a disporsiperpendicolarmente al raggio dellacirconferenza, cioè assume in ogniistante la direzione tangente allacirconferenza.

Se il moto è uniforme, il modulo dellavelocità tangenziale è costante e levelocità media e istantanea coincidonoin modulo:

tsvv im

TORNA

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Moto Circolare UniformeAccelerazione Centripeta

Nel moto circolare uniforme, quindi, il vettore velocità tangenziale ècostante in modulo ma cambia istante per istante in direzione, diconseguenza la variazione di velocità non è nulla.Ciò comporta che nei moti circolari uniformi sia presente unaaccelerazione.

Considerando intervalli di tempo sempre più piccoli,il vettore v (e quindi il vettore accelerazioneistantanea) tende a diventare perpendicolare alvettore velocità e ad essere quindi diretto verso ilcentro della circonferenza.

Per determinare tale accelerazione consideriamo due vettori velocità esommiamoli con la regola del parallelogramma. Otteniamo così unvettore diretto verso l’interno della circonferenza.

rvtvaa im

2

Quindi nel moto circolare uniforme si ha unaaccelerazione istantanea, detta ACCELERAZIONECENTRIPETA, che è costante in modulo ed è datada:

TORNA

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Moto Armonico

Si definisce MOTO ARMONICO il moto oscillatoriocompiuto dalla proiezione di un punto che si muove lungouna circonferenza a velocità costante, cioè di motocircolare uniforme, sul diametro della circonferenza.

La velocità è massima alcentro, quando passa per ilcentro, e minima (uguale azero) negli estremi, quandoil moto si inverte.Poiché la velocità non ècostante il moto non èuniforme ma accelerato.

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Moto ArmonicoPeriodo, Frequenza e Pulsazione

Si definisce PERIODO (T) del moto armonico la durata diun'oscillazione completa. Tale durata è uguale al periodo Tdel moto circolare uniforme.L’unità di misura nel S.I. è il secondo (s).

Si definisce FREQUENZA (f) del moto armonico il numerodi oscillazioni complete compiute nell’unità di tempo.L’unità di misura nel S.I. è il hertz (Hz).

Si definisce PULSAZIONE () del moto armonico lavelocità angolare del moto circolare uniforme.L’unità di misura nel S.I. è il radianti al secondo (rad/s).

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Moto ArmonicoLegge Oraria, Velocità, Accelerazione

;22

con

;cos

;sin

;cos

22

fT

stra

trv

trs

r

r cos t

L'accelerazione quindi non è costante, è direttamente proporzionaleal quadrato della pulsazione, ed è sempre diretta in verso opposto allospostamento s dalla posizione centrale (se lo spostamento è positivol'accelerazione è negativa e viceversa).L'accelerazione è massima quando lo spostamento s è massimo, e quindiagli estremi; è nulla quando il corpo si trova al centro.

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Moto ArmonicoEsempi

In natura ci sono molti esempi di moti oscillatori armonici, ad esempioil moto di un corpo appeso a una molla, il moto di un'altalena e quellodi un pendolo.

TORNA