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Ripasso: Moto circolare uniforme, moto armonico e forza elasticax= r cos(ωt + φ) e y= r sin (ωt + φ) modulo x2 + y2 = r2 .In coord.polarix= r cos(θ(t)) e y= r sin (θ(t)) da cui θ=ωt + φ. La velocità del moto saràvx= -r sin(θ(t)) dθ(t)/dt = -r ωsin(ωt + φ)vy= r cos (θ(t)) dθ(t)/dt = r ωcos(ωt + φ) da cui θ(t)= ω. Ma vx

2 + vy2 = v2 da cui |v| = r ω con ω costante.

L’accelerazione èax= -r ω2 sin(θ(t)) dθ(t)/dt = -r ωsin(ωt + φ)ay= -r ω2 cos (θ(t)) dθ(t)/dt = r ωcos(ωt + φ) Ma ax

2 + ay2 = a2 da cui |a| = ω2r = v2 /r (costante)

x + ω2 x = 0 equazione del moto armonico con ω2 >0 ω=2πf è chiamata il tal caso pulsazione e la frequenza f è il numero di oscillazioni (complete) del moto.

Forza elastica: F=-kx moto di una massa sospesa ad una molla

x + (k/m) x=0 eq.del moto armonico le cui soluzioni sono x(t)=A cos (ωt+φ) con ω2= k/m pulsazione del motoφ fase iniziale

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In 3 dimensioni la forza elastica si scrive F = - k (r - r0) (isotropa in tutte le direzioni)anche in questo caso si tratta di una forza centrale (rispetto ad r0 ) come nel caso della forza gravitazionale ed elettrostatica.

L’energia potenziale associata al moto armonico è ( U energia elastica)U(t)=½kx2= U=½kA2cos2(ωt + φ)

L’energia cinetica associata al moto armonico èK(t) =½mv2= ½m A2 ω2sin2(ωt + φ)

poiché ω2= k/m K(t) = ½ k A2 sin2(ωt + φ)

l’energia totale K+U= ½ k A2 sin2(ωt + φ)+ ½kA2cos2(ωt + φ)=½ k A2

cioè l’energia totale è costante nel tempo, mentre U e K variano nel tempo e si hatrasferimento dall’una all’altra forma di energia.

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Pendolo sempliceUna massa m appesa ad un filo forma un pendolo semplice. Sulla massa agiscono la forza peso e la tensione del filo. Per la descrizione del moto èpossibile usare l’angolo rispetto alla posizione di equilibrio. Scriviamo le eq.di moto proiettando nella direzione radiale e tangenziale (Fg =mg)r: Fg cos θ - T = - m v2/L= - m ω2 Lt: - Fg sin θ = m at= m L α = m L θper θ>0 forza <0, per θ<0 forza >0→ forza dirichiamo. Il moto è circolare ma non è di tipo armonico L θ + g sin θ = 0per piccole oscillazioni sin θ ≈ θ

___θ+ (g/L) θ = 0 ω2= g/L T= 2 π √L/g

Il moto è armonico solo per piccole oscillazioni. Aumentando l’ampiezza il periodo non è più indipendente dall’ampiezza ma aumenta con essa.

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Pendolo fisicoUn pendolo reale in genere non può essere approssimato da unosemplice. Consideriamo un corpo appeso in O ed utilizziamo la II equaz.

cardinale della dinamica per il corpo che ruota attorno all’asse fisso O proiettata lungo l’asse (z)(r×mg )z= (d L/dt)z-mg h sin θ= Izzα Izz =momento di inerzia

θ + (mg h / Izz) sin θ= 0 e per piccole oscillazioni

θ+ (mg h / Izz) θ= 0 ω2= mg h / Izz .

La forma è identica a quella del pendolo semplice

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con la pulsazione data da ω2= (mg h / Izz) ( per il pendolo semplice L=h e Izz=mL 2, quindi si ritrova il risultato di prima) e quindi per piccole oscillazioni le soluzioni sono sinusoidali.

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Oscillazioni smorzate: Il moto armonico è in genere smorzato a causa dell’attrito con l’aria, l’equazione ma=-kx si modifica nel seguente modo ma=-kx-βv e quindima+ β v+kx=0 x+(β /m)x+(k/m)x=0x+bx+ ω2 x=0cerchiamo una soluzione x=A exp(wt) che sostituita nell’equazione fornisce w2 + b w+ ω2 =0 w=½(-b ± √b2 -4 ω2 )==-½b ± √(b/2)2 - ω2

se il discriminante (b/2)2 - ω2 >0 o =0 le soluzioni sono reali,altrimenti esse sono complesse e la soluzione del moto èx=A exp(-½bt) cos(ωs t + φ) con ωs = √ ω2 - (b/2)2

si ha uno spostamento della frequenza e l’ampiezza decresce in modoesponenziale.

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Anim.beta=? Oscillatore

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Oscillazioni forzate e risonanza

Se al sistema è applicata una forza f(t)=H cos(wt + φ) (forzante) periodica nel tempo l’equazione del moto diviene

ma=-kx +H cos (wt + φ) x + ω2 x = h cos (wt + φ) (h=H/m)

proviamo a cercare una soluzione del tipo x=A cos(wt + φ) (con la stessa frequenza della forzante) che sostituita nell’equazione fornisce-A w 2 + ω2 A = H da cui

A= H/( ω2- w 2 )l’ampiezza ha l’andamento della figura,per w= ω (condizione di risonanza)si ha il massimo e senza nessun effettodissipativo l’ampiezza tenderebbe all’infinito con effetti disastrosisull’oscillatore!

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La fine del Tacoma Narrows Bridge

On November 7, 1940, at approximately 11:00 AM, the first Tacoma Narrows suspension bridge collapsed due to wind-induced vibrations. Situated on the Tacoma Narrows in Puget Sound, near the city of Tacoma, Washington, the bridge had only been open for traffic a few months.

(filmato tacoma.mov)

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Onde: Un corpo in oscillazione è in genere accoppiato ad altri corpi. L’oscillazione perciò si trasmette ai corpi circostanti. Questa perturbazione che si propaga nello spazio fornisce l’idea di onda. Considerando una corda,

l’impulso che si propaga è di tipo trasversale (cioè il movimento (y) è perpendicolare alla direzione di propagazione (x)). Se il moto sull’estremità è armonico, l’onda è y(x,t)=A sin(kx- ωt ) con k= numero d’onda (o vettor d’onda) ω=pulsazione. Queste quantità sono legate al periodo spaziale λ e temporale T dell’onda:preso un punto x0 fisso y= A sin(kx0- ωt ) il punto si muove di moto armonico con ω=2π / T (animazione: ondat) invece se fissiamo il tempo t0

y= A sin(kx- ωt0 ) e il periodo spaziale è λ(lunghezza d’onda) con k= 2π / λ. Quindi

nel caso di propagazione di onde la distanza (nello spazio) fra due massimi (o minimi) della perturbazione si chiama lunghezza d’onda λ.

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Queste particolari onde vengono dette monocromatiche e kx- ωt è detta fase dell’onda. Se poniamo kx- ωt =costante y(x,t)=A sin(costante ) questo seleziona un particolare spostamento trasversale (p.es.punto A). Al passare del tempo per mantenere la costanza della fase anche x varia: k(x+Δx)- ω(t+Δt)= kx- ωt e quindi kΔx- ωΔt= 0da cui Δx/Δt = ω/k velocità di fase dell’onda. In altri termini il profilo si sposta con velocità ω/k. Se si considerava l’onda y(x,t)=A sin(kx + ωt ) si sarebbe ottenuto Δx/Δt = - ω/k Cioè l’onda si propaga nel verso -x

onda progressiva (monocromatica)y(x,t)=A sin(kx - ωt )(o onda p)onda regressiva (monocromatica)y(x,t)=A sin(kx + ωt )(o onda r)Possiamo riscrivere la velocità di fase anche come v=λ/ T (nel tempo Tl’onda avanza di λ) o v=λ f , f=frequenza.

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Polarizzazione: La direzione di vibrazione rispetto alla direzione di propagazione definisce la polarizzazione dell’onda. Oltre alle onde trasversali ci sono anche quelle longitudinali. Per queste ultime la

direzione di vibrazione è parallela alla direzione di propagazione e sono le sole che si propagano entro i fluidi poiché, come vedremo, essi non sopportano sforzi trasversali (*). Come vedremo si hanno onde di pressione in cui si ha una variazione del valore attorno a quello medio Δp=p-p0Δp(x,t)=A sin(kx - ωt ) quindi valgono

le stesse considerazioni fatte per le onde trasversali.In un solido sono possibili sia onde trasversali che longitudinali.(*) Le onde superficiali del mare sono una combinazione di onde trasversali e longitudinali e gli effetti di richiamo sono dovuti alla gravità e non a proprietà del mezzo. Per piccole ampiezze entrano in gioco anche effetti della tensione superficiale che mancano in assenza di una superficie.

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Si può dimostrare che l’equazione che devono verificare le ondeè (∂2w/∂x2)- v-2 ∂2w/∂t2=0 (equazione (omogenea) delle onde)ed il parametro v è la velocità di fase. Sostituendo le soluzioni

w(x,t)= A sin(kx ± ωt )(∂2w/∂x2)= -A k2 sin(kx ± ωt ) e ∂2w/∂t2 =-A ω2 sin(kx ± ωt )→ A k2 sin(kx ± ωt ) - v-2 A ω2 sin(kx ± ωt )=0 → k2 - v-2 ω2 =0v= ± ω/k (in 3D (∂2w/∂x2+ ∂2w/∂y2+ ∂2w/∂z2 )- v-2 ∂2w/∂t2=0 oppure ∇•∇w- v-2 ∂2w/∂t2=0 od anche∇2w- v-2 ∂2w/∂t2=0)L’eq.è lineare (cioè date due soluzioni w e w’dell’eq.anche una loro combinazione linearew”=a w + b w’ , a e b costanti numeriche, èsoluzione) e quindi vale il principio di sovrapposizione. In figura due onde sisovrappongono (si sommano) e continuanonel loro moto indisturbate.

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Approfondiamo l’esempio della corda. Consideriamo una porzione Δxdi essa sottoposta ad una tensione uniforme T(|T’|=|T|) (trascuriamo altre forze che possono agire sulla corda: attriti, forza peso,…). Supponiamo inoltre che duranteil moto trasversale lungo y della cordala densità di massa per unità di lunghezza σ(non si è usato λ per evitare confusione con lalunghezza d’onda) e la tensione T rimangano costanti.

Applichiamo la 2a legge di Newton al tratto Δx.dm a=∑ F che proiettata fornisce x: dm ax=∑ Fx

y: dm ay=∑ Fy,Ma dm= σ Δx, ∑ Fx =-T cos(θ)+T’cos(θ’)=T(cos(θ’)-cos(θ)), ∑ Fy =-T sen(θ)+T’sen(θ’)=T(sen(θ’)-sen(θ)), mentre l’accelerazione del centro di massa in posizione x* (tra x e x+ Δx) vale ax=∂2x/∂t2 (x*,t), ay=∂2y/∂t2 (x*,t) perciò

y

x

T’

Tθ

θ’

Δx

x*

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1) σ Δx ∂2x/∂t2 (x*,t)=T(cos(θ’)-cos(θ)), 2) σ Δx ∂2y/∂t2 (x*,t)=T(sen(θ’)-sen(θ)), per piccole oscillazioni θ≈ sen(θ)≈tg(θ) ( tg(θ)=∂y/∂x pendenza della corda),cos(θ) ≈ cos(θ’) (differiscono solo al 2° ordine) → la 1) fornisce . σ ∂2x/∂t2 (x*,t)= 0 (ovvio, non c’è moto lungo x) mentre la 2) diviene. σ ∂2y/∂t2 (x*,t)= (T (∂y/∂x (x + Δx,t) - ∂y/∂x (x,t))/ Δx, facendo il limite per Δx→0, considerando T costante si ottiene σ ∂2y/∂t2 (x,t)= T ∂2y/∂x2(x,t)ovvero ∂2y/∂t2 - (T/ σ) ∂2y/∂x2=0 equazione delle onde con velocità

v2=T/ σ. Le soluzioni sono y(x,t)=A cos(kx - ωt )+B cos(kx +ωt )o in termini complessi y(x,t)=A Re(exp{i(kx - ωt )})+B Re(exp{i(kx +ωt )}),la condizione di piccole oscillazioni (consideriamo l’onda progressiva)

corrisponde a ∂y/∂x=Re(ik A exp{i(kx -ωt )})=kA<<1, A<<1/k= λ /2πovvero l’ampiezza di oscillazione è molto inferiore alla lunghezza d’onda.

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Energia ed intensità di un’onda:Una massa in movimento possiede energia meccanica (cinetica). Nel caso di una corda vibrante, la sorgente deve fornire energia alla corda per mantenerla in moto. Definiamo intensità dell’onda I l’energia che passa attraverso una sezione della corda nell’unità di tempo e quindi è una potenza e si misura in W (in generale per altri tipi di onde l’energia che passa attraverso una superficie unitaria nell’unità di tempo, si misura in W/m2). Poiché abbiamo visto per un oscillatore che Kmax=Umax=E totale calcoliamo per un tratto dxdella corda e massa dm=σ dx l’energia cinetica massima, y=A sin(kx - ωt ),v’=∂y/∂t=-Aωcos(kx - ωt ), v’max=Aω, dE=½ dm (vmax) 2= ½ σ dx (A ω) 2,Per un’onda che si propaga con velocità v, l’energia che attraversa una sezione di corda nel tempo dt vale ½ σ vdt (A ω) 2, perché nel tempo dtl’onda si sposta di dx=v dt, e per unità di tempo (dividiamo per dt)I=dE/dt=½ σ v ω2 A 2, che dipende dal quadrato dell’ampiezza e dal quadrato della pulsazione. Questa caratteristica è generale per tutte le onde.

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Condizioni inizialiSe la corda è infinita le soluzioni sono A p(x-vt) e B r(x+vt) (funzioni qualunque, non necessariamente sinusoidali) e per t=0 si scelgono A e B opportunamente per verificare la condizione iniziale: i) forma iniziale della corda y(x,0)=f(x) e ii) sua derivata ∂y/∂t(x,0)=g(x)). Dal fatto che derivare rispetto a t o x cambia solo di un fattore v, ∂y/∂t(x,t)=-v ∂p(x,t)/∂x+ v ∂r(x,t)/∂x, per t=0, ∂y/∂t(x,0)= -v ∂p(x,0)/∂x+ v ∂r(x,0)/∂x=g(x) possiamo integrare (∫g(x)dx)/v=G(x) -cost, ottenendo -p(x)+ r(x)+cost=G(x) . Quindi la i) e ii) diventano p(x)+r(x)=f(x) e –p(x)+r(x)+cost=G(x), da cui l’onda progressiva è p(x)=(f(x)-G(x)+cost)/2 e quella regressiva r(x)=(f(x)-G(x)-cost)/2 (la costante si può assumere zero perché si elide sommando p+r). Alla fine si può sostituire x con x±vt. Al passare del tempo le due onde (progressiva e regressiva) si propagheranno indipendentemente l’una dall’altra e saranno distinguibili solo se la f(x) è localizzata nello spazio altrimenti si vedrà solo la loro somma.

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Condizioni al contorno

Se la corda ha un estremo fisso (corda semiinfinita) p.es. in x=0, ad ogni istante y(0,t)=costante=0. Ciò comporta che una qualunque

x onda arrivando a x=0 deve in qualche modo sovrapporsi con la sua opposta per verificare y(0,t)=0 ∀t, fenomeno della riflessione di un’onda.

x

Onda incidente Onda riflessa (oltre l’estremo fisso)

Semispazio dove è presentela corda

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x

Onda riflessa

Nel caso di onde sinusoidali (quindi infinite) si formano onde stazionarie che sono la somma delle onde viaggianti p e r con ampiezza opposta. In particolare, la sovrapposizione fornisce

X

-20 -15 -10 -5 0

Y

-6

-4

-2

0

2

4

6

Y(x,t)=2 A sen(kx) sen(ωt )Onda stazionaria che ha nodi in quiete a distanza λ/2 dall’estremo fisso.Al passare del tempo i ventri si riducono, passano per zero e si invertono (la curva nera diventa quella rossa periodicamente)

λ/2

λ

3λ/2

2λ

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Se gli estremi fissi sono due a distanza L, la corda è tesa fra di essi e si ha riflessione da entrambi gli estremi. Per far si che sia sempre verificata la condizione y(0,t)=y(-L,t)=0 ∀t, vengono selezionate solo quelle onde stazionarie che verificano n λ/2=L, con n intero, k=2π/λ=n (π/L) e ω= kv= n (π/L)(T/ σ)½

X

-20 -15 -10 -5 0

Y

-6

-4

-2

0

2

4

6

Questo giustifica il fatto che gli strumenti a corde (chitarra, pianoforte, violini) hanno un’accordatura fissa basata sulla lunghezza delle corde. Inoltre variando la tensione della corde o la loro dimensione (massa per unitàdi lunghezza σ) si cambia l’accordatura f= ω/(2 π).

L

Per n=1 si dice che la frequenza è quella fondamentale o prima armonica, n=2 seconda armonica, etc.

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Cenno agli sviluppi di Fourier:Essendo l’eq.delle onde lineare, una somma di soluzioni è ancora soluzione. Se l’onda anziché essere di tipo sinusoidale, è una funzione f periodica qualunque di periodo T, allora è possibile scriverla come somma di funzioni periodiche (seno e coseno). Ad es.in un punto possiamo scrivere f(t)=A0+Σ[Ancos(2πnt/T)+ Bnsen(2πnt/T)] quindi f contiene non solo la frequenza fondamentale 2π/T ma anche tutte le armoniche, tale serie si chiama serie di Fourier (An è il valor medio di f e la sommatoria è per n>0). Troncando la serie si ha un polinomio trigonometrico che approx.la funzione.Per un sistema generale (non solo una corda ma anche un circuito elettrico purché lineare) conoscere come risponde in regime sinusoidale (singola frequenza) permette di sapere come risponde in generale ad un segnale periodico poiché si può utilizzare la sovrapposizione degli effetti di ciascuna singola frequenza (cioè applicare il risultato a ciascun termine della serie di Fourier).Es.: sommare in modo approssimato i seguenti casi1)f(t) con An=0, Bn=4/( π n), con n solo dispari (anim:fourierq) f(t)=4*[sen(2πt/T)+sen(2π3t/T)/3+sen(2π5t/T)/5+…]/π2)F(t) con An=0, Bn=-1/( π n), con n>0 (anim:fouriers)

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L’analisi armonica trova applicazioni in:•Acustica•Ottica•Meccanica•Trattazione del segnale•Analisi di immagini

Per esempio in acustica, i suoni degli strumenti si basano su sette diversi suoni, le note DO, RE, MI , FA, SOL, LA e SI (in notazione inglese C, D. E, F, G, A, B). Ad ogni nota corrisponde una frequenza, p.es. al LA centrale 440 Hz. Riportando l’ampiezza assoluta dei coefficienti di Fourier si ottiene lo spettro di quello strumento. Le differenze nelle varie frequenze e ampiezze per lastessa nota fondamentale determina il timbro dello strumento.

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Il principio di sovrapposizione porta anche a fenomeni di interferenza, in cui onde generate dalla stessa sorgente o da sorgenti differenti si sovrappongono e a seconda della relazione di fase fra di esse possono dare interferenza costruttiva (a,d) distruttiva (b,e) in cui l’ampiezza èla somma o la differenza delle loro ampiezze. Per valori intermedi di fase (c,d) l’ampiezza è compresa tra questi due valori.

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Due sorgenti che generano onde di ugual ampiezza e lunghezza d’onda danno luogo alla loro sovrapposizione: se le onde che si sommano sono in fase (condizione di interferenza costruttiva) si un’ampiezza maggiore, se in opposizione di fase (interferenza distruttiva) si ha un’ampiezza minore (nulla se l’ampiezza delle due onde è uguale). I cerchi rappresentano i fronti d’onda, punti che hanno la stessa fase (per esempio massimi di intensità)

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Le onde sferiche generate da una sorgente arrivano su uno schermo con due fenditure che a loro volta si comportano come due sorgenti la cui differenza di fase rimane costante nel tempo perchéprovengono da uno stesso fronte d’onda della prima sorgente (sorgenti coerenti) e quindi la sovrapposizione delle loro onde dàluogo a interferenza con massimi e minimi di intensità.

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Condizione per i massimi d’interferenza

Trascurando effetti di diffrazione (cioè il fronte d’onda è limitato dalle fenditure che causano una modulazione dell’intensità) e utilizzando l’approssimazione di schermo distante così i raggi uscenti sono praticamente paralleli, si ha interferenza costruttiva se la differenza di cammino è un numero intero m di lunghezze d’onda

L’

L

δ=L-L’=nλ≈d sen(θ’) e per angoli piccoli sen (θ’) =tg (θ’) =y/D quindi mλD/d=y con y la posizione su uno schermo a distanza D dalle fenditure misurata dal punto medio fra le fenditure.

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Le onde sebbene non comportino trasporto di materia, trasportanoenergia come abbiamo visto e quantità di moto. Le onde trasversali a polarizzazione ellittica o circolare trasportano momento angolare. Esempi di onde, tutte governate dall’equazione delle onde:

-onde meccaniche: onde che per propagarsi hanno bisogno di un mezzo materialees.: scosse telluriche (permettono di ricavare informazioni sulla struttura

interna della Terra), suono, onde su corde tese, onde marine.-onde elettromagnetiche: onde in cui oscillano i campi elettrici emagnetici, a seconda della frequenza: onde radio, calore (irraggiamento)e luce, ultravioletto, raggi X e raggi γ. Si propagano anche nel vuoto,non c’è bisogno della presenza di un mezzo materiale.-onde associate alle particelle, concetto della meccanica quantistica che sostituisce la meccanica classica (dei corpi macroscopici) che fallisce nella descrizione dei sistemi microscopici.