Principio di conservazione della quantità di moto

• Impulso & Quantità di moto• Principio della conservazione della quantità di

moto • Esperimenti con il pendolo di Newton

• Fenomeno del rinculo•

Dimostrazione del principio di conservazione della quantità di moto

Impulso & Quantità di moto

L’impulso I di una forza costante F in un intervallo di tempo Δt = t1 – t2 durante il quale la forza agisce su un corpo, è dato dal prodotto della forza per l’intervallo di

tempo: I = F Δt

La quantità di moto di una particella è un vettore p definito come: p = mv

ove m è la massa della particella e v la sua velocità. Essendo m una quantità scalare sempre positiva, la relazione indica che i vettori p e v hanno la stessa

direzione e che la quantità di moto ha per unità di misura nel SI kg ∙ m/s.

Si può facilmente dimostrare che l’azione di un impulso su un corpo determina una variazione della sua quantità di moto e che le due grandezze sono uguali.

Infatti dall’equazione fondamentale della dinamica si ha :

(impulso) F Δt = m a Δt = m Δv (variazione della quantità di moto)

Supponiamo che la risultante delle forze esterne agenti su un sistema di particelle sia zero (il sistema è isolato), e che nessuna particella entri nel sistema o ne esca

(il sistema è chiuso), ossia:

P= costante (sistema chiuso e isolato)

Questo importante risultato, detto legge di conservazione della quantità di moto, si può anche scrivere:

Pi = Pf

Ove gli indici “i” ed “f” si riferiscono all’istante iniziale e un generico istante finale successivo. Le equazioni significano che, se su un sistema di particelle chiuso non

agisce alcuna forza esterna netta, la quantità di moto totale del sistema rimane costante.

Principio della conservazione della quantità di moto

Esperimenti con il pendolo di Newton

Due sfere, A e B, di ugual peso e massa, sospese da cavetti verticali, sono inizialmente a contatto.

La sfera A viene lasciata libera, dopo essere stata tirata verso sinistra.

Ricadendo urta la sfera B: la sfera A ritorna al punto di partenza dopo l’urto; quella B invece si muove con la stessa velocità, con la quale si muoveva la sfera A.

A B

Ciò avviene per il principio della quantità di moto:

Nella figura n. 2 la sfera A ha una velocità v1 mentre la velocità v2 della sfera B

è uguale a zero. Dopo l’urto le velocità si scambiano e si avrà la seguente equazione:

mv1 + mv2 = mv'1 + mv'2 Eliminando i prodotti uguali a zero, notiamo che la velocità della

sfera A è uguale alla velocità della sfera B dopo l’urto:

mv1 = mv'2

Abbiamo due sfere , A e B, di massa e peso uguale, sospese ciascuna mediante due fili, in modo da

restare a contatto su di una stessa linea orizzontale. Se si portano alla stessa altezza, rispettivamente a

destra e a sinistra, e poi le si lasciano libere, si urtano e ritornano alla stessa altezza.

Ciò avviene per il principio della conservazione della quantità di moto:

mv1 + mv2 = mv'1 + mv'2

A B

Essendo le velocità v2 e v'2 della sfera B di verso opposto alle velocità della sfera A, ma di modulo uguale, cioè v1 = - v2, abbiamo la seguente:

mv1 – mv2 = mv’1 – mv’2

Da cui:

m (v1 - v2) = m (v’1 – v’2)

Essendo le velocità uguali, la differenza è zero, e di conseguenza i prodotti si sono nulli:

0 =0

Due sfere, A e B, di massa diversa (MA > mB), sono sospese ciascuna mediante due fili, in modo

da restare a contatto su di una stessa linea orizzontale. Tirata la sfera A verso sinistra, la si

lascia libera di muoversi. Dopo aver urtato la sfera B, si ferma, mentre la sfera più piccola si muove

con velocità maggiore della sfera A.

Ciò avviene nuovamente per il principio di conservazione della quantità di moto:

Mv1 + mv2 = Mv’1 + mv’2

ove M sta per la massa della sfera A e m per quella B. Eliminando i prodotti uguali a zero resta

la seguente:

Mv1 = mv’2

v1 = m/M v’2 v’2 = M/m v1

Da questa si può dedurre che all’aumentare della massa M della sfera A aumenta la velocità della sfera B:

A B

Alcune sfere identiche sono sospese ciascuna mediante due fili, in modo da restare tutte a contatto

su di una stessa linea orizzontale. Se si sposta la prima sfera verso sinistra mantenendo i fili tesi e

lasciandola cadere contro la fila di sfere ferme, essa si ferma, mentre l’ultima della fila si muove verso

destra. Quando l’ultima sfera ricade, urta contro la fila e si ferma, mentre la prima risale. In questa

maniera il moto continua avanti e indietro per molte oscillazioni.

Ciò avviene per il principio della conservazione della quantità di moto:

mv1+mv2+mv3 = mv'1+mv'2+mv'3

Essendo le velocità v2 , v3 , v'1 e v'2 uguali a zero, si annullano i prodotti e si otterrà la seguente:

mv1 = mv'3

Fenomeno del rinculo

Immaginiamo che un cannone di massa mc spari un proiettile di massa mp

a una velocità vp. La quantità di moto del sistema cannone-proietile è nulla, poiché sia il cannone che il proiettile, inizialmente, sono immobili. Dopo lo sparo la quantità di moto dovrà ancora essere nulla. Ma ciò può avvenire solo se il cannone acquista una velocità vc di verso opposto a

quel del proiettile, in modo che valga la seguente relazione:

mpvp + mcvc = 0

da cui:

mpvp = - mcvc

Carrelli di massa uguale (Fase 1) : I due carrelli hanno massa uguale e sono fermi, legati l’uno a l’altro da una molla tenuta compresa da una cordicella. Costituiscono un sistema isolato, in quanto non subiscono l’azione di forze

esterne non equilibrate (la forza peso è bilanciata dalla reazione vincolare del piano d’appoggio). La quantità di moto totale del sistema, data dalla somma

delle quantità di moto relative ai due carrelli, è nulla.

Dimostrazione del principio della quantità di moto

Carrelli di massa uguale (Fase 2): Tagliata la cordicella, la molla si espande e spinge i due carrelli in direzioni opposte. Poiché hanno la stessa massa, i due

carrelli si allontanano con la stessa velocità (stesso modulo, stessa direzione, verso opposto, cosicché la quantità di moto totale risulta ancora

una volta zero, come prescritto dal principio di conservazione.

Carrelli di massa diversa (Fase 1): I due carrelli hanno massa diversa (l’uno doppia dell’altro) e sono fermi, legati l’uno all’altro da una molla tenuta

compressa da una cordicella. Come nel primo caso, costituiscono un sistema isolato, in quanto non subiscono l’azione di forze esterne non equilibrate. La

quantità di moto totale del sistema, data la somma delle singole quantità di moto relative ai due carrelli, è nulla.

Carrelli di massa diversa (Fase 2): Anche in questo caso, tagliata la cordicella, la molla si espande e spinge i due carrelli in direzione opposta. Poiché hanno massa

diversa, questa volta acquistano velocità di modulo diverso: il carrello più pesante si muove con velocità minore di quello più leggero, in modo che la quantità di moto

totale del sistema nulla, come prima all’inizio del moto

Lavoro realizzato da:

Stefano Tozza

I lic. Sez. A