G.M. - Edile A 2002/03

Consigli per la risoluzione dei problemi

• Individuare il punto o i punti materiali di cui si vuole studiare il moto

• Introdurre un sistema di riferimento inerziale

• Individuare tutte le forze agenti sul punto materiale o sui punti materiali

– Ricercare i corpi dell’ambiente circostante che possono esercitare forze

• Tener presente che alcune forze agiscono a distanza

• Altre agiscono per contatto– Attenzione ai corpi a contatto

• Costruirsi il diagramma del corpo libero

• Scrivere la seconda legge in forma vettoriale

• Ottenere le tre equazioni scalari corrispondenti– Attenzione alla scelta delle direzioni su cui proiettare

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Consigli per la risoluzione dei problemi

• Utilizzare tutte le ulteriori condizioni presenti nel problema se due corpi sono connessi da una corda ideale, di lunghezza costante, è

possibile scrivere delle relazioni tra i loro spostamenti e quindi tra le loro velocità e le loro accelerazioni.

Se un corpo è fermo (x,y e z costanti), tutte e tre le componenti dell’accelerazione sono nulle.

In alcuni casi solo alcune delle coordinate del punto materiale sono costanti, ne deriva le corrispondenti componenti dell’accelerazione sono nulle.

• Se la traiettoria percorsa è curva, cioè non rettilinea, allora la componente normale dell’accelerazione vale (v=modulo della velocità, r raggio di curvatura della traiettoria).

Alcune delle forze possono avere lo stesso modulo:– .Coppia di forze di azione e reazione, in base alla terza legge.– .Forze esercitate su oggetti diversi dallo stesso tratto di corda.

Etc.

an =v2

r

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Consigli per la risoluzione dei problemi

• Determinare le componenti dell’accelerazione

• Dedurre dall’accelerazione trovata il moto del punto materiale.– Accelerazione costante: moto uniformemente accelerato

– Proporzionale all’opposto della velocità: moto smorzato

– Proporzionale all’opposto della posizione:moto armonico

• Scrivere le leggi orarie tenendo conto delle condizioni iniziali

• Determinare le eventuali forze mancanti.

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Applicazione

Si consideri un corpo di massa m appoggiato su un piano inclinato rispetto al piano orizzontale con inclinazione variabile con continuità da zero a 90°. Sperimentalmente si osserva che quando l'angolo raggiunge il valore s=30° il corpo inizia a muoversi. Se, una volta che il corpo di massa m si è messo in moto, si mantiene costante l'angolo al valore s=30°, si osserva che il corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Se, invece, subito dopo aver messo in moto il corpo, l'inclinazione viene rapidamente diminuita e portata al valore d=25°, il moto risulta essere rettilineo uniforme. Determinare i valori dei coefficienti di attrito statico e dinamico s e d tra il piano inclinato e il corpo di massa m e l’accelerazione nel caso in cui l’inclinazione del piano viene mantenuta uguale a s=30°.

m

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Applicazione

Innanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale.Conviene prendere l’asse y perpendicolare al piano inclinato e l’asse x parallelo al piano in modo che il piano xy sia verticaleFissiamo l’origine nella posizione iniziale del punto materiale.

y

x

Determiniamo le forze agenti • La forza peso• La reazione vincolare esercitata dal piano

inclinato• Componente Normale• Forza di attrito

P

N

Fas

Possiamo anche predire la direzione e il verso della forza di attrito:

• È opposta alla componente della forza peso parallela al piano

P

N

Fa

y

x

Costruiamo il diagramma del corpo libero

Scriviamo la seconda legge di Newton r P +

r N +

r F a =m

r a

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Applicazione

Si ottiene:

Per < s il corpo rimane fermo:

r P +

r N +

r F as =m

r a Scriviamo la seconda legge di Newton

Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati.

x mgsenθ−Fa =max

y N −mgcosθ =may

z 0 =maz

y

xP

N

Fas

ax =0 ay =0

θ ≅θs ⇒ax =0

Fa =Fsmax

Famax=mgsenθs N =mgcosθs

Fsmax=μsN

μs =Fa

max

N=

mgsenθs

mgcosθs

=senθs

cosθs

=tanθs

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Applicazione

Si ottiene:

Durante il moto il corpo rimane sempre appoggiato al piano inclinato

r P +

r N +

r F ad =m

r a Se l’angolo viene mantenuto a s

Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati.

x mgsenθ−Fad =maxy N −mgcosθ=may

z 0=maz

y

xP

N

Fas

y(t) =0 ⇒ vy =ay =0

N =mgcosθs Fad =μdN =μdmgcosθs

Fad =μdN

ax =mgsenθs −Fad

m=

mgsenθs −μcmgcosθs

m=g senθs −μc cosθs( )

L’accelerazione è costante: il moto sarà uniformemente accelerato

x(t) =xo +vxot+12

axt2

xo =0 vxo =0

x(t) =12

g(senθ−μd cosθ)t2

Se il piano è liscio, d=0 ax =gsenθ x(t)=12

gsenθt2

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Applicazione

Si ottiene:

Per = c il corpo si muove lungo l’asse x a velocità costante

r P +

r N +

r F ad =m

r a Se l’angolo viene ridotto a c

Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati.

x mgsenθ−Fad =maxy N −mgcosθ=may

z 0=maz

y

xP

N

Fad

ax =0 ay =0

θ≅θc ⇒ax =0

Fa =Fad

Fad =mgsenθc N =mgcosθc

Fad =μdN

μd =Fad

N=

mgsenθc

mgcosθc

=senθc

cosθc

=tanθc

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Applicazione

Un punto materiale di massa m=1 kg può muoversi lungo una guida orizzontale rettilinea priva di attrito. Il corpo è attaccato ad una molla di costante elastica k=400 N/m, il secondo estremo della molla è connesso ad una parete verticale, come mostrato in figura.Inizialmente il corpo viene spostato in maniera da allungare la molla di un tratto di 10 cm e lasciato da questa posizione con velocità nulla. Determinare la legge oraria, mostrare che il moto è periodico e determinarne il periodo. rFelInnanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale.

• Conviene prendere l’asse y verticale e l’asse x orizzontale coincidente con l’asse della molla

• Scegliamo l’origine nella posizione in cui si trova il punto materiale quando la molla non è deformata

• Questo semplifica l’espressione della forza elastica

Determiniamo le forze agenti • La forza peso• La forza elastica• La reazione vincolare esercitata dal piano inclinato

• solo la Componente Normale O

asse x

x

rFelasse y

r N r N

r P

Felx =−kx

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Applicazione

L’accelerazione lungo l’asse x vale:

Scriviamo la seconda legge di Newton

Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati.

ax =−km

x

O

asse x

x

rFelasse y

r N r N

r P

r P +

r N +

r F el =mv a

x

y

z

Felx =maxN −mg=may0=maz

Durante il moto il corpo rimane sempre appoggiato al piano orizzontale y(t) =0 ⇒ vy =ay =0

N =mg

Felx =−kx

L’accelerazione è proporzionale all’opposto della posizione: il moto è un moto armonico.

d2xdt2

=−km

x

x =Acos(ωpt+ϕ) ωp =km

A e vanno determinate sulla base delle condizioni iniziali.

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Pulsazione angolare Legge oraria

Applicazione

La soluzione =0 è l’unica che da un’ampiezza positiva, pari a A=0.1 m.

O

asse x

x

rFelasse y

r N r N

r P

Le condizioni iniziali:xo =10cm=0.1m

vxo =0 m/s

x =Acos(ωpt+ϕ) ωp =km

A e vanno determinate sulla base delle condizioni iniziali.

vx =−Aωpsen(ωpt+ϕ)

xo =Acosϕo( )0 =−Aωpsenϕo( )

dalla secondaϕo1 =0

ϕo2 =π

ωp =km

=4001

=20s−1 x =0.1mcos(20t)

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Applicazione

Un disco di massa m sta al di sopra di un tavolo orizzontale privo di attrito ed è collegato con una massa M appesa ad una fune che passa attraverso un foro al centro del tavolo, come illustrato in figura. Si determini la velocità del disco lungo la circonferenza di raggio r in grado di mantenere fermo il cilindro. Si assuma m=0.5 kg, M=0.3 kg, r=50 cm.

Innanzitutto poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton.

Determiniamo le forze agenti su ciascuno dei corpi

Corpo di massa m• La forza peso• La tensione della fune• La reazione vincolare esercitata dal

piano• solo la Componente Normale

Corpo di massa M• La forza peso• La tensione della fune

r m

vN

P1T1

T2

P2

M

Il diagramma del corpo libero

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Applicazione

Scriviamo la seconda legge di Newton per i due corpi.

r P 1 +

r N +

r T 1 =m

r a 1

r P 2 +

r T 2 =M

r a 2

r m

vN

P1T1 un

jut

Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale.Non siamo tenuti a scegliere gli assi coordinati: qualunque direzione noi scegliamo, la relazione tra le componenti lungo la direzione fissata deve essre simile all’equazione vettoriale.Nel caso del corpo di massa m conviene utilizzare le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari:

r u nr u tr j

T1 =man =mv2

r0=mat

N −mg=ma1y

a1y =0 N =mg

y : T2 −Mg =Ma2y

Per il corpo di massa M l’unica equazione non banale è quella lungo l’asse verticale y:

a2y =0 T2 =Mg T2 =T1 Mg=mv2

r

v =Mm

gr =0.3kg0.5kg

9.81ms2 0.5m= 2.93

ms

=1.71ms

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Applicazione

Un’automobile di massa m=1000 kg percorre una curva piana di raggio costante r=80 m con una velocità costante di 60 km/h. Determinare il minimo coefficiente di attrito statico tra asfalto e ruote dell’automobile necessario perché l’automobile si mantenga la traiettoria curva.

Determiniamo le forze agenti sull’automobile

• La forza peso• La reazione vincolare esercitata

dalla strada• La Componente Normale• La forza di attrito (statico)

• La parte di ruota a contatto con la strada è ferma rispetto alla strada.

Il diagramma del corpo libero

Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton.

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Applicazione

Scriviamo la seconda legge di Newton per l’automobile.

r m

vN

PFs un

jut

Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale.Come nel caso precedente utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari:

r u nr u tr j

Fsn =man =mv2

rFst =mat

N −mg=may

at =0 Fst =0Poiché il modulo della velocità è costante

r P +

r N +Fs =m

r a

Poiché l’automobile rimane attaccata alla strada ay =0 N =mg

La forza di attrito statica necessaria a mantenere l’automobile in traiettoria è: Fs =Fsn =man =m

v2

r

La forza di attrito statico è limitata superiormente

Fs ≤μsN mv2

r≤μsN =≤μsmg

Da cui ricaviamo μs ≥v2

rg=

16.72m2

s2

80m×9.81ms2

=.35

v =60×1000m

3600s=

1006

ms

=16.7ms

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Applicazione

Un’automobile di massa m=1000 kg percorre una curva di raggio costante r=80 m con una velocità di 60 km/h. Determinare l’angolo di cui deve essere sopraelevato l’esterno della curva rispetto all’interno perché l’automobile si mantenga sulla traiettoria curva senza far ricorso alla forza

di attrito. Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton.

Determiniamo le forze agenti sull’automobile

• La forza peso• La reazione vincolare esercitata

dalla strada• Solo la Componente

Normale

V

N

P

un

jut

Il diagramma del corpo libero

Scriviamo la seconda legge di Newton per l’automobile.

r P +

r N =m

r a

r m

vN

PFs un

jut

Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale. Come nei casi precedenti utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari:

r u nr u tr j

Nsenθ=man =mv2

r0=mat

N cosθ−mg=may

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Applicazione

Nsenθ=mv2

R⇒

mgcosθ

senθ =mv2

R⇒ tanθ =

v2

gR=

16.72

9.81*80=.35

θ =arcotan0.35( ) =19.2°

N cosθ=mg ⇒ N =mg

cosθ

r u nr u tr j

Nsenθ=man =mv2

r0=mat

N cosθ−mg=may

Poiché l’automobile si muove su una traiettoria orizzontale

ay =0

L’accelerazione tangenziale è nulla:Il moto avviene con velocità di modulo costanteDalla prima ottenaimo:

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Applicazione

Due parallelepipedi di masse m1 ed m2 sono posti uno sopra l’altro. Il coefficiente di attrito tra m1 ed il piano è 1 mentre quello tra i due corpi è 2. Studiare il moto del sistema quando ad m1 è applicata una forza orizzontale.

m1

m2

F m1

Fm2

P1

NN21

Fa21

P2

Fa12

N12

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Applicazione

I due blocchi della figura, di massa m=16 kg e M=88 kg, non sono collegati tra loro. Il coefficiente di attrito tra i blocchi è s=0,38, mentre la superficie su cui appoggia M è priva di attrito. Qual è l’intensità minima della forza orizzontale F necessaria per mantenere m contro M?

F M

m

FPm

NmMFamM

NMm

NM

PM

FamM