G.M. - Edile A 2002/03

Il prodotto vettoriale

• Dati i vettori a e b , si definisce prodotto vettoriale r a ×

r b

il vettore c così individuato:– Il modulo del vettore c è dato da:

– La direzione è perpendicolare al piano individuato dai vettori a e b.– Il verso è determinato con la regola della mano destra:

• I formulazione:– Si dispone il pollice della mano destra lungo il primo vettore

– Si dispone l’indice della mano destra secondo il secondo vettore

– Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale

• II formulazione– Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice

– Si dispone la mano destra in maniera che le dita chiuse a pugno indichino il verso in cui bisogna far ruotare il primo vettore per sovrapporlo al secondo percorrendo l’angolo minore di 180°

– Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale.

c =absenφ

dove l’angolo è l’angolo minore di 180° compreso tra i due vettori

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Proprietà del prodotto vettoriale

• Il prodotto vettoriale non è commutativo: r a ×

r b ≠

r b ×

r a

r a ×

r b =−

r b ×

r a • Infatti:

θ

h = b sin θ

rarb

Area = ah = absin θ =

r

a ×

r

b

• Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale

• Il modulo del prodotto vettoriale è uguale all’area del parallelogramma formato con u due vettori.

• Vettori paralleli o antiparalleli hanno un prodotto vettoriale nullo

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Ulteriori proprietà del prodotto vettoriale• Prodotto vettoriale attraverso

le componenti cartesiane:

r i ×

r i =0

r i ×

r j =

r k

r i ×

r k =−

r j

r j ×

r j =0

r j ×

r k =

r i

r j ×

r i =−

r k

r k ×

r k =0

r k ×

r i =

r j

r k ×

r j =−

r i

r a ×

r b +

r c ( ) =

r a ×

r b +

r a ×

r c

Proprietà distributiva

r a ×r b =

r i

r j

r k

ax ay az

bx by bz

=

=r i aybz −byaz( )−

r j axbz −bxaz( ) +

r k axby −bxay( )

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Il momento di un vettore

• Dato un vettore V qualsiasi ed il punto O, che in questa occasione si chiama

“polo”, si definisce momento del vettore V rispetto al polo O la quantità:

r M O =

r r ×

r V r posizione rispetto ad O del punto

di applicazione del vettore V. r V

r r

θ

θ

MO=rVsenθ=V(rsenθ) =bV

Il modulo del momento, MO, è uguale al modulo del vettore V per il braccio del vettore V rispetto al polo O

• Il braccio è la distanza della retta di azione del vettore V dal polo O

• Spostando il vettore V sulla sua retta di azione il momento resta invariato.

x

y

O

È importante l’ordine!Prima r poi V!

b=r senθ

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Momento della quantità di moto o momento angolare

• Data la particella di massa m, – la cui posizione è individuata, al tempo t, dal

vettore posizione r,

– che al tempo t si muove con velocità v

– E quindi possiede una quantità di moto p=mv

• Si definisce momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O, la grandezza:

r p

r r

θ

y

O

r l O =

r r ×

r p

Il modulo vale: l O =rmvsenθ=bmv

Le dimensioni: l O[ ] = r[ ] m[ ] v[ ] senθ[ ]= LMLT −1

[ ]= ML2T−1[ ]

Le unità di misura: kgm2s-1

b=rsenθx

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Momento della forza

– Data la particella di massa m, • la cui posizione è individuata, al tempo t,

dal vettore posizione r, • che al tempo t subisce l’azione della forza F

– Si definisce momento della forza F rispetto al polo O, la grandezza:

r F

r r

θ

y

O r M O =

r r ×

r F

Il modulo vale: MO =rFsenθ =bF

Le dimensioni: MO[ ]= r[ ] F[ ] senθ[ ]= LMLT −2[ ]= ML2T−2

[ ]

Le unità di misura: kgm2s-2

Da non confondere con il lavoro che ha le stesse dimensioni(il lavoro è uno scalare, il momento della forza un vettore: sono due grandezze completamente diverse)

b=rsenθ=rsen180°−θ( )

b

x

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Relazione tra il momento della quantità di moto ed il momento della forza

• Durante il moto di una particella, sia la sua posizione r che la sua velocità cambiano con il tempo,

– È lecito aspettarsi che anche il momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O vari con il tempo.

– Valutiamo a quanto è uguale la sua variazione (calcoliamo la derivata):

dr l Odt

=d

r r ×

r p ( )

dt=

dr r dt

×r p +

r r ×

dr p dt

• Attenzione a non cambiare il posto dei vettori, il prodotto vettoriale non commuta.

• Il primo termine è nullo: i due vettori sono paralleli

dr r dt

×r p =

r v ×

r p =

r v ×m

r v

dr l Odt

=r r ×

dr p dt

=r r ×

r F =

r M O

• La variazione del momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O è uguale al momento della forza applicata valutato rispetto allo stesso polo! (è una diretta conseguenza della II legge di Newton)

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Forze centrali• Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello

spazio con le seguenti proprietà: – per qualunque posizione del punto materiale P che subisce la forza,

– la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello spazio, detto centro della forza centrale,

– e il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal centro stesso.

• Esempio di forza centrale: la forza di gravitazione universale.

r

r

r

F

x

y

O=S

P

r F =−G

mMr2

r u r =−G

mMr2

r r r

• Anche la forza di Coulomb è centrale

r F =

14πεo

q1q2

r2r u r

• Così come la forza elastica r F =−kxi

• Le forze centrali sono conservative

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Moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza centrale

• Il momento di una forza centrale valutato rispetto al centro della forza è nullo– La forza ed il vettore posizione sono paralleli o anti

paralleli

dr l odt

=r M o

dr l odt

=0 ⇒r l o =costante

– Verso• La traiettoria viene percorsa sempre nello stesso verso: orario

o antiorario

– Modulo• La velocità areale è costante: il segmento che connette il

centro della forza con il punto materiale spazza aree uguali in tempi uguali.

r F

r r

y

O x

r v

r r (t)

y

O x

r v (t)

r r (t+Δt)

r v t+Δt( )

• Il momento della quantità di moto rispetto al centro della forza deve rimanere costante– in direzione

• Il moto è un moto piano

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La velocità areale• Consideriamo l’intervallo di tempo t

– L’area spazzata nell’intervallo t è quella evidenziata in figura

– Approssimativamente uguale all’area del triangolo di lati r(t), r(t+t), r.

– L’eguaglianza approssimata diventa precisa per t che tende a zero.

– L’area del triangolo vale:

Il modulo del momento della quantità di moto rispetto al centro della

forza vale: e quindi: l O =rmvsenφ

dAdt

=12l O

m

r r (t)

y

O x

r v (t)

r r (t+Δt)

r v t+Δt( )

Δr r

r v θ

r v r

φh

ΔA =12 r(t)h

La velocità areale: dAdt

=limΔt→ 0ΔAΔt

=limΔt→ 0

12 r(t)h

Δt=1

2r(t)limΔt→ 0hΔt

Dalla definizione di velocità istantanea ricaviamo che:

r v =limΔt→ 0

Δr r Δt

⇒ vθ =limΔt→ 0hΔt

e quindidAdt

=12 rvθ =1

2rvsenφ

Nel caso di forze centrali, poiché il modulo del momento della quantità di moto è costante, allora la velocità areale è costante

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La velocità areale

l O =rmvsenθ=mrvθ =mrrω =mr2ω

• Se indichiamo con θ l’angolo formato tra i vettori posizione all’istante t e t+t

Il momento angolare:

vθ =limΔt→ 0hΔt

=limΔt→ 0r(t+Δt)senΔθ( )

Δt=

=r(t)limΔt→ 0ΔθΔt

=rω r r (t)

y

O x

r v (t)

r r (t+Δt)

r v t+Δt( )

Δr r

r v θ

r v r

φh

θθ

AfelioPiù lento

PerielioPiù veloce

e= 1−b2

a2

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Le leggi di Keplero• Le orbite dei pianeti sono delle ellissi. Il sole occupa uno dei fuochi.

• Il segmento che congiunge il pianeta con il sole, spazza aree uguali in tempi uguali: in altre parole la velocità areale (l'area spazzata nell'unità di tempo), è costante.

• Il quadrato del tempo di rivoluzione (T2), è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'ellisse (a3). La costante di proporzionalità è la stessa per tutti i pianeti del sistema solare.

• L’ipotesi che la forza di gravitazione universale sia una forza centrale

• insieme con quella che un sistema di riferimento legato al sole possa essere considerato inerziale

• giustifica le prime due leggi di Keplero ( in realtà la prima solo parzialmente)

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Verifica della III legge di Keplero

• Faremo la verifica supponendo che le orbite dei pianeti siano circolari anziché ellittiche.– L’eccentricità per la terra è 0.0167– a è il semiasse maggiore– b quello minore

• Se la traiettoria è circolare il moto è uniforme (la velocità areale deve essere costante)

• Il pianeta è soggetto ad un’accelerazione centripeta• Quindi la forza di gravitazione universale si comporterà da forza centripeta:

e= 1−b2

a2

FG =GmMr2 =man =

mv2

r

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Verifica della III legge di Keplero

GmMr2

=mv2

r=

m2πrT

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

r=

m4π2r2

rT2 =m4π2r

T2

Che appunto verifica la III legge di Keplero

GmMr2

=m4π2r

T2 ⇒ T2 =4π2

GMr3

Ma la velocità è legata al periodo dalla relazione: T =2πrv

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L’energia potenziale della forza di gravitazione universale - la velocità di fuga

• La forza di gravitazione universale è conservativa

U

r

E<0

E>0

E=0ro

U(r) =−GmM

r

E =12

mv2 −GmMT

RT

• La velocità di fuga dalla terra:

U =−GmMT

RT

12

mvf2 −

GmMT

RT

=0 ⇒ vf =2GMT

RT

• Per la fuga dalla terra, E>=0:

mg=GmMT

RT2 ⇒ vf = 2gRT = 2∗9.81* 6.37*106 = 125.0*106 =11.2*103m

s

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Sistemi di particelle

• Abbiamo mostrato come è possibile determinare il moto di un punto materiale

– Si determinano le forze che agiscono sul punto materiale

– Si applica la seconda legge di Newton

– Si risolvono le tre equazioni differenziali per trovare il moto dei punti proiezione sugli assi (se le equazioni sono indipendenti)

– Altrimenti si risolve il sistema di tre equazioni derivanti alla seconda legge di Newton.

– Si determina così la legge oraria.

• Vediamo ora come si può descrivere il moto di sistemi più complessi che non possono essere rappresentati con un punto materiale.

• Studiamo cioè i Sistemi di punti materiali!

z

y

x

P2

P1

P3

r

F 12

r

F 13

r

F 21

r

F 23

r

F 31

r

F 32

r

R 2

( est )

r

R 1

( est )

r

R 3

( est )

r

r 1

r

r 3

r

r 2

Proviamo ad operare come abbiamo imparato a fare.

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Sistemi di particellez

y

x

P2

P1

P3

r

F 12

r

F 13

r

F 21

r

F 23

r

F 31

r

F 32

r

R 2

( est )

r

R 1

( est )

r

R 3

( est )

r

r 1

r

r 3

r

r 2

Si può scrivere n volte la seconda legge della dinamica,

• una volta per ciascun punto facente parte del sistema

• poi si può risolvere il sistema di 3n equazioni differenziali che viene fuori.

Molto difficile!!

m1d2r r 1dt2

=r R 1

m2d2r r 2dt2

=r R 2

................

mid2r r idt2

=r R i

.................

mnd2r r ndt2

=r R n

r R i =risultante delle forze

agenti sulla particella i

È possibile, rinunciando ad una descrizione dettagliata del moto delle singole particelle, ottenere almeno una descrizione del moto dell’insieme delle particelle?

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Il centro di massa di un sistema di punti materiali

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

r r CM =

mir r i

i=1

n

∑

mi

i=1

n

∑ m1

r r 1 +m2

r r 2 +....+mi

r r i +....+mn

r r n

mi

r r i =

i=1

n

∑

ponendo M = mi

i=1

n

∑ xCM =

mixi

i=1

n

∑M

yCM =

miyi

i=1

n

∑M

r r CM =

mir r i

i=1

n

∑M

zCM =

mizi

i=1

n

∑M

m1 +m2 +....+mi +....+mn =Mmi

i=1

n

∑ =

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xCM = m sxs + m tx tm s + m t

dove d ts = 1.5 1011mm s= 2 1030Kg; m t= 6 1024Kg

Il centro di massa del sistema terra-sole

• Il centro di massa si trova sul segmento che congiunge i due punti materiali

• È più vicino al punto materiale di massa maggiore

x

msmt

xs xtO

xCM =

mixi

i=1

n

∑M

yCM =

miyi

i=1

n

∑M

=0

zCM =

mizi

i=1

n

∑M

=0

xCM =mSxS +mTxT +mTxS −mTxS

mS +mT

=

=xS +mT xT −xS( )

mS +mT

=xS +mT

mS +mT

dT−S

dCM−S =mT

mS +mT

dT−S

dCM−T =mS

mS +mT

dT−S

dCM−S =6x1024

2x1030 +6x10241.5x1011 =4.5x105m

dCM −S

dCM−T

=mT

mS

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Applicazione

• Tre masse uguali sono ai vertici di un triangolo equilatero di lato L. Determinare la posizione del centro di massa

Posso determinare prima il centro di massa delle particelle 1 e 2.

x

y

L

1 2

3

1 (0,0)

2 (L,0)

3 (L cos60°,Lsen60°)

xCM =m1x1 +m2x2 +m3x3

m1 +m2 +m3

=m0+L +L cos60°( )

3m=

1.5×L3

=L2

yCM =m1y1 +m2y2 +m3y3

m1 +m2 +m3

=m0+0+L sen60°( )

3m=

32 ×L

3=

3L6

xCM12=

m1x1 +m2x2

m1 +m2

⇒sem1=m2

xCM12=

x1 +x2

2=

L21 2 x

x

y

1

3

CM12

Calcoliamo ora la posizione del CM della particella 3 e di una particella di massa 2m posta nella posizione del CM delle particelle 1 e 2.

Il centro di massa si troverà sulla congiungente:xCM =

L2

yCM =2m×0+mL 3

2⎛ ⎝

⎞ ⎠

3m=

32 ×L

3=

3L6