Capitolo II : Geometria vettoriale

Liceo Lugano 1, 2011-2012 2E (Luca Rovelli)

Capitolo II : Geometria vettoriale

1. Grandezze vettoriali

Iniziamo con due esempi.

Esempio 1: percorro 3 km in direzione est e in seguito 5 km in direzione nord-ovest.A che distanza dal punto di partenza mi trovo?

Siano A, B e C i punti toccati dal percorso. Grazie al Teoremadel coseno ricaviamo immediatamente

|AC| =√|AB|2 + |BC|2 − 2 |AB| |BC| cos 45◦

=

√32 + 52 − 2 · 3 · 5 ·

√2

2=

√34− 15

√2 ∼= 3, 58 [km] .

Osservazione: per risolvere il problema, abbiamo effettuato un’addizione vettoriale:

|AC| = ‖−→AC‖ e il modulo del vettore

−→AC =

−→AB +

−−→BC. In particolare, per conoscere la

distanza tra A e C le distanze tra A e B e tra B e C non sono sufficienti: occorre ancheconoscere direzione e verso degli spostamenti.

Esempio 2: nella situazione rappresentata, quanto vale l’intensita della forza totale ap-plicata al corpo C?

Ricaviamo immediatamente α = 360◦−2·34◦

2= 146◦,

e con il Teorema del coseno

F =√

222 + 132 − 2 · 13 · 22 · cos 146◦ ∼= 33, 57 [N] .

Osservazione: abbiamo nuovamente fatto ricorso ad un’addizione vettoriale, volta a de-terminare l’intensita della forza risultante (cioe il modulo del vettore che la descrive).Nota che tale intensita non e sufficiente per descrivere l’azione della forza sul corpo C:occorre conoscerne direzione e verso.

Forza e spostamento sono due esempi tipici di grandezze vettoriali, descritte cioe daun modulo, una direzione e un verso. Altri esempi sono la velocita e l’accelerazione.Tali grandezze si distinguono dalle cosiddette grandezze scalari (la temperatura, adesempio), che possono essere descritte completamente per mezzo di un numero reale1.

1”scalare” e appunto sinonimo di ”numero reale”

Vettori (V1.0) 38 LiLu1, 2E (Luca Rovelli)

2. Segmenti orientati e vettori geometrici del piano

Definizione 1 (Segmento orientato)Una coppia ordinata (A,B) di punti del piano definisce un segmento orientato,

denotato con−→AB.

Illustrazione:

−→AB,

−−→CD e

−→EF sono segmenti ori-

entati. L’orientamento e indicatodal senso della freccia.

Nota che vale−→AB 6=

−→BA (dal momento che un segmento orientato e dato da una coppia

ordinata di punti).

Nel caso particolare in cui gli elementi della coppia di punti coincidono (ad es.−→AA), si

parla di segmento nullo.

Definizione 2 (Modulo, direzione, verso)

Di un segmento orientato−→AB (con A 6= B) si definiscono:

• il modulo, indicato con ‖−→AB‖; si tratta della distanza tra i punti A e B;

• la direzione; si tratta della direzione di una (qualsiasi) retta parallela alsegmento AB;

• il verso (o senso), indicato dalla direzione della freccia.

Nel caso particolare di un segmento nullo, il modulo e pari a zero e direzione e versonon si definiscono.

Un segmento orientato−→AB definisce una particolare trasformazione del piano, detta

traslazione

τ−→AB

: P 7−→ P ′ = τ−→AB

(P )

dove P ′ = τ−→AB

(P ) se

• i segmenti AB e PP ′ sono paralleli

• le distanze |AB| e |PP ′| sono le stesse

• (A,B) e (P, P ′) hanno lo stesso orientamento

(graficamente, e sufficiente ”riprodurre” AB facendo corrispondere P con A e quindi Bcon P ′).


Osservazione: la stessa traslazione puo essere definita da piu segmenti orientati; in

particolare, e facile vedere che due segmenti orientati−→AB e

−−→CD definiscono la stessa

traslazione se

• ‖−→AB‖ = ‖

−−→CD‖ (i due segmenti orientati sono isometrici);

•−→AB e

−−→CD sono paralleli ad una stessa retta (sono cioe collineari);

•−→AB e

−−→CD hanno lo stesso verso (sono equiorientati).

Definizione 3 (Equipollenza)Due segmenti orientati isometrici, collineari ed equiorientati sono detti equivalentio anche equipollenti.

Per semplicita, scriveremo semplicemente−→AB =

−−→CD per indicare l’equipollenza tra due

segmenti orientati−→AB e

−−→CD.

Illustrazione:

•−→AB =

−−→KL

•−−→CD =

−→EF =

−→OP

•−−→GH 6=

−→IJ

•−−→CD 6=

−−→NM ,

ma−−→CD =

−−→MN

La relazione di equipollenza2 suddivide l’insieme dei segmenti orientati del piano infamiglie di segmenti tutti equivalenti tra loro, dette classi di equipollenza.

Definizione 4 (Vettore geometrico)

La classe di tutti i segmenti orientati equipollenti ad un dato segmento−→AB e un

vettore geometrico del piano.

Indicheremo con lettere minuscole (~a, ~b, ~v, ~w, ...) i vettori. La classe dei segmenti nulli eil cosiddetto vettore nullo, e si indica con ~o.

2come tutte le cosiddette ”relazioni di equivalenza”


Un segmento orientato−→AB appartenente ad una determinata classe ~v e detto rappre-

sentante del vettore geometrico ~v. In questo caso scriveremo semplicemente−→AB = ~v.

Indicheremo inoltre con V2 l’insieme dei vettori geometrici del piano.

Definizione 5 (Modulo, direzione, verso)Sia ~v ∈ V2. Il modulo (indicato con ‖~v‖), la direzione e il verso di ~v sono ilmodulo, la direzione e il verso di un suo rappresentante qualsiasi.

Cio ha senso proprio perche gli elementi della ”famiglia” ~v sono tutti isometrici, collinearied equiorientati!

Osservazioni:

(i) La relazione di equipollenza esclude la ”localizzazione” di un vettore: ~v possiedeun’infinita di rappresentanti tutti diversi, e quindi non ha una posizione fissa nelpiano. In fisica, ad esempio, una forza viene espressa da intensita (il modulo),direzione e verso ma non dal suo punto d’applicazione.

(ii) Come abbiamo visto, segmenti orientati equipollenti definiscono la stessa traslazionedel piano. Ha quindi senso parlare di traslazione τ~v di vettore ~v. In particolare, adogni traslazione del piano corrisponde un vettore geometrico, e viceversa: l’insiemeV2 puo quindi essere identificato con l’insieme delle traslazioni del piano3.

3. Lo spazio vettoriale V2

In questo paragrafo ci proponiamo di introdurre e studiare due operazioni definite suivettori di V2, l’addizione e la moltiplicazione con uno scalare. Per la prima delle duesfrutteremo nuovamente l’identificazione di V2 con l’insieme delle traslazioni del piano.

Ricorda: ad ogni vettore ~v ∈ V2 appartiene una traslazione

τ~v : P 7−→ P ′ = τ~v(P ) .

Considera quindi, per due vettori~v e ~w, la composizione

τ~w ◦ τ~v : P 7−→ τ~w (τ~v(P )) .

~w

~v

P

τ~v(P )

τ~w (τ~v(P ))

3un vettore trasporta, quindi, i punti del piano (il termine vettore deriva proprio dal verbo latinovehere, traducibile in portare). Il termine ”vettore” quale ”trasportatore” e presente anche nel linguaggiocomune, si pensi al vettore di contagio di una data infezione (ad es. la zanzara anofele per la malaria) oal razzo vettore per il trasporto di satelliti in orbita.


Dal momento che τ~w ◦ τ~v e anch’essa una traslazione, ad essa apparterra in manieraunivoca un vettore di V2, che chiameremo ~v + ~w. L’addizione vettoriale e quindi definitaformalmente dalla relazione

τ~v+~w = τ~w ◦ τ~v .

Cio conduce immediatamente alla regola della poligonale: siano ~v e ~w vettori di V2;allora

• scelgo un rappresentante−→AB di ~v ;

• scelgo il rappresentante−−→BC di ~w ;

• il segmento orientato−→AC e un rappresentante del vettore ~v + ~w.

Illustrazione:

~v

~w

~v + ~w

A

BC

~v + ~w =−→AB +

−−→BC =

−→AC

Osservazione: a volte, l’addizione viene espressa (inmodo equivalente) per mezzo della cosiddetta regola delparallelogrammo.

~v

~w

~v + ~w

La regola della poligonale puo essere agevolmente estesa a piu di 2 vettori, ad esempio:

A

B

C

D

E~a

~b ~c ~d

~a+~b+ ~c+ ~d =−→AB +

−−→BC +

−−→CD +

−−→DE =

−→AE

Se la poligonale e chiusa, allora la somma e data dal vettore nullo:

A

B

C

D

E

~a

~b ~c

~d

~e

~a+~b+ ~c+ ~d+ ~e =−→AB +

−−→BC +

−−→CD +

−−→DE +

−→EA =

−→AA = ~o


Elenchiamo ora alcune importanti proprieta dell’addizione vettoriale

+ : V2 × V2 −→ V2

(~v, ~w) 7−→ ~v + ~w .

(A1) L’addizione e associativa:

~u ~v

~u+ ~v

~v + ~w

~w (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w) ∀ ~u,~v, ~w ∈ V2 .

(A2) L’addizione ammette l’elemento neutro, il vettore nullo ~o :

A

B~v

~v + ~o︸︷︷︸−→AB+

−−→BB

= ~o+ ~v︸︷︷︸−→AA+

−→AB

= ~v︸︷︷︸−→AB

∀ ~v ∈ V2 .

(A3) Ogni ~v ∈ V2 possiede l’elemento opposto (o simmetrico), denotato con −~v :

A

B~v

−~v

Se ~v =−→AB, poniamo −~v =

−→BA :

~a+ (−~a)︸︷︷︸−→AB+

−→BA=

−→AA

= (−~a) + ~a︸︷︷︸−→BA+

−→AB=

−−→BB

= ~o .

(A4) L’addizione e commutativa:

~v ~v

~w

~w

~v + ~w = ~w + ~v ∀ ~v, ~w ∈ V2 .

Quindi, l’addizione in V2 si comporta come l’addizione numerica (da qui il suo nome). Leproprieta (A1)-(A4) si riassumono dicendo che (V2,+) ha la struttura di gruppo com-mutativo.

Osservazioni:

(i) Le proprieta (A1) e (A2) permettono di tralasciare le parentesi e permutare apiacimento i termini di una somma vettoriale,

ad esempio ~a+~b+ ~c+ ~d = ~d+ ~c+~b+ ~a = ~b+ ~a+ ~d+ ~c = . . .

(ii) La proprieta (A4) permette di definire una sottrazione vettoriale

~v − ~w := ~v + (−~w) .


Illustrazione:

~v

~v + ~w

~w−~w

~v − ~w~v − ~wNota che nel parallelogrammouna diagonale rappresenta lasomma e l’altra la differenza.

Definiamo ora la moltiplicazione di un vettore con uno scalare4: sono dati dati unvettore ~v ∈ V2 e un numero reale λ;

� se λ = 0, si definisce 0 · ~v = ~o ;

� se λ 6= 0, λ · ~v (o, piu brevemente, λ~v) e il vettore tale che

• (modulo) ‖λ~v‖ = |λ| · ‖~v‖ ;

• (direzione) λ~v e ~v sono collineari ;

• (verso)

{se λ > 0, λ~v e ~v sono equiorientati ;

se λ < 0, λ~v e ~v hanno versi opposti .

In sintesi: ~v viene dilatato o compresso di un fattore |λ|, e se λ < 0 il suo verso vieneinvertito.

La moltiplicazione

· : R× V2 −→ V2

(λ,~v) 7−→ λ · ~v .

gode delle seguenti, importanti proprieta algebriche:

(M1) 1 · ~v = ~v ∀ ~v ∈ V2 ;

(M2) λ · (µ · ~v) = (λµ) · ~v ∀~v ∈ V2 , ∀λ, µ ∈ R ;

(M3) (λ+ µ) · ~v = λ · ~v + µ · ~v ∀~v ∈ V2 , ∀λ, µ ∈ R ;

(M4) λ · (~v + ~w) = λ · ~v + λ · ~w ∀~v , ~w ∈ V2 , ∀λ ∈ R .

Osservazione: le prime tre proprieta sono immediatamente verificabili, e la quarta eequivalente al teorema di Talete:

~v + ~w

~v

λ~v

~w λ~w

λ(~v + ~w) = λ~v + λ~w

4da non confondere con il prodotto scalare, che introdurremo piu avanti


Le proprieta algebriche (A1)-(A4) e (M1)-(M4) sono gli assiomi di spazio vetto-riale. Un insieme provvisto di un’addizione (interna) e di una moltiplicazione scalare chele soddisfano e detto spazio vettoriale. Gli spazi vettoriali sono alla base della cosiddettaalgebra lineare, una branca fondamentale della matematica dalle molteplici applicazioni,che vanno ben oltre l’ambito geometrico: essa permette, ad esempio, di formalizzare inmodo elegante le proprieta degli spazi di funzioni.

Gli assiomi di spazio vettoriale traducono nel linguaggio algebrico le proprieta dei vettori,e permettono quindi di definire un vero e proprio calcolo vettoriale, indipendente dallarappresentazione grafica.

Esempio: siano ~a , ~b due vettori di V2; allora, con ~v = ~a+~b e ~w = ~a−~b , vale

~a =1

2(~v + ~w) e ~b =

1

2(~v − ~w) .

La dimostrazione algebrica e immediata:

1

2(~v + ~w) =

1

2

(~a+ ��~b+ ~a− ��~b

)=

1

2· 2~a = ~a ,

1

2(~v − ~w) =

1

2

(�~a+~b− �~a+~b

)=

1

2· 2~b = ~b ,

e qualsiasi scelta di ~a e ~b confermera quanto ottenuto:

~a

~b ~v = ~a+~b

~w = ~a−~b

~b

~a

~v

~w

~a = 12 (~v + ~w)

~b = 12 (~v − ~w)

Introduciamo ora un concetto fondamentale della geometria vettoriale:

Definizione 6 (Combinazione lineare)Siano ~v1, ~v2, . . . , ~vn vettori di V2 e λ1, λ2, . . . , λn numeri reali. Il vettore

~v = λ1~v1 + λ2~v2 + . . .+ λn~vn

e una combinazione lineare di ~v1, ~v2, . . . , ~vn.

Illustrazione:

~v1

~v2

~v3

~v4

32~v1

23~v2

2~v3

−~v4~v

~v = 32~v1 + 2

3~v2 + 2~v3 − ~v4

e una combinazione lineare di~v1, ~v2, ~v3, ~v4 con

λ1 = 32, λ2 = 2

3, λ3 = 2, λ4 = −1 .


Teorema 1 (Scomposizione di un vettore in V2)

Siano ~a e ~b due vettori non collineari di V2. Allora ogni vettore ~v ∈ V2 si lasciascrivere in un unico modo come combinazione lineare

~v = λ~a+ µ~b .

Dimostrazione/illustrazione: e sufficiente notare che, dati ~a e ~b, ogni vettore ~v ∈ V2

puo essere rappresentato dalla diagonale di un parallelogrammo di lati collineari ad ~a e ~b:

~a

~b

λ~a

µ~b

~v λ~a

µ~b

~v

Definizione 7 (Base)

Una coppia{~a,~b}

di vettori non collineari del piano costituisce una base di V2.

Quindi: ogni vettore di V2 si puo scrivere in un unico modo come combinazione linearedegli elementi di una base.

Esempio: siano ABCD un quadrato, M il suo centro

e P , Q i punti medi dei lati CD risp. AD. Scrivi−−→BC,−→

AQ,−→PQ,

−−→BD,

−−→QB e

−→PA come combinazione lineare di

~a =−→AB e ~b =

−−→AM .

~a

~b

Si ottiene

•−−→BC =

−→BA+ 2

−−→AM = −~a+ 2~b ;

•−→AQ = 1

2

−−→AD = 1

2

−−→BC = −1

2~a+~b ;

•−→PQ =

−−→MA = −

−−→AM = −~b ;

•−−→BD =

−−→BC +

−−→CD = −~a+ 2~b− ~a = −2~a+ 2~b ;

•−−→QB =

−→QA+

−→AB = −

−→AQ+

−→AB = 1

2~a−~b+ ~a = 3

2~a−~b ;

•−→PA =

−→PC +

−→CA = 1

2~a− 2~b .


4. Vettori aritmetici del piano

Esempio introduttivo: costruisci geometricamente lasomma ~v dei vettori rappresentati. Esprimili poi comecombinazione lineare di~i e ~j e verifica algebricamente ilrisultato.

Per costruire geometricamente la somma, e sufficiente rappresentarli rispettandone ilverso:

~v

Esprimiamo ora i vettori come combinazione lineare di ~i e ~j :

•−→IH = 2~i+ 2~j

•−−→GH = 3~i−~j

•−→GF = 5~i+ 2~j

•−→FE = −2~j

•−−→ED =~i−~j

•−−→CD = 2~i+~j

•−−→CB = −~i

•−→AB = −3~i+ 2~j

Algebricamente, otteniamo

−→IH+

−−→GH+

−−→GF+

−−→FE+

−−→ED+

−−→CD+

−−→CB+

−−→AB = (2+3+5+1+2−1−3)~i+(2−1+2−2−1+1+2)~j = 9~i+3~j

confermando quanto ottenuto graficamente.

L’esempio mostra che, scelta una volta per tutte una base di V2, ogni vettore ~v del pianopuo essere identificato grazie ad una coppia di numeri reali. Per comodita, la base vienescelta come segue:

Definizione 8 (Base ortonormata)Una coppia {~e1, ~e2} di vettori del piano costituisce una base ortonormata di V2

(orientata positivamente), se

• ‖~e1‖ = ‖~e2‖ = 1 ;

• ^ (~e1, ~e2) =π

2.


In altre parole: i vettori ~e1 e ~e2 sono unitari, e ~e2 puoessere ottenuto ruotando ~e1 di 90◦ in senso antiorario.

~e1

~e2

+90◦

Sia quindi {~e1, ~e2} una base ortonormata di V2; ogni vettore ~v si puo quindi scrivere comecombinazione lineare

~v = v1 · ~e1 + v2 · ~e2 ,

e le componenti scalari (o semplicemente componenti) v1, v2 ∈ R identificano ~v in modounivoco. La legge

~v = v1 · ~e1 + v2 · ~e2 7−→ ~v =

(v1

v2

)permette quindi di identificare l’insieme V2 dei vettori geometrici del piano con l’insieme{(

xy

)∣∣∣∣ x, y ∈ R}

dei vettori aritmetici del piano, denotato anch’esso con V2.

Illustrazione:

~e1

~e2

−4~e1 + 5~e2 7→(−4

5

)5~e1 + 4~e2 7→

(54

)

2~e1 − 5~e2 7→(

2−5

)L’addizione e la moltiplicazione con uno scalare nello spazio vettoriale geometrico in-ducono operazioni analoghe nell’insieme dei vettori aritmetici:

• dato che per ~v = v1~e1 + v2~e1 e ~w = w1~e1 + w2~e2 vale

~v + ~w = (v1 + w1)~e1 + (v2 + w2)~e2 ,

definiremo (v1

v2

)+

(w1

w2

)=

(v1 + w1

v2 + w2

);


• dato che per ~v = v1~e1 + v2~e1 ∈ V2 e λ ∈ R vale

λ~v = λv1 ~e1 + λv2 ~e2 ,

definiremo

λ

(v1

v2

)=

(λ v1

λ v2

).

L’insieme V2 dei vettori aritmetici del piano soddisfa per costruzione gli assiomi di spaziovettoriale. In particolare, in esso ha nuovamente senso la nozione di combinazione lineare.Per due vettori, ad esempio, vale

λ~v + µ · ~w = λ

(v1

v2

)+ µ

(w1

w2

)=

(λv1 + µw1

λv2 + µw2

).

Esempio: dati ~a =

(−10

6

), ~b =

(31

), ~c =

(2−4

), determina ~v = 1

2~a− 3~b+ 2~c .

Calcoliamo

1

2~a− 3~b+ 2~c =

1

2

(−10

6

)− 3

(31

)+ 2

(2−4

)=

(12· (−10)− 3 · 3 + 2 · 2

12· 6− 3 · 1 + 2 · (−4)

)=

(−10−8

).

Nota che vale (v1

v2

)= v1

(10

)+ v2

(01

);

in particolare, alla base ortonormata {~e1, ~e2} corrisponde la base standard

{(10

),

(01

)}.

Applicazioni: questo nuovo approccio permette di tradurre nel linguaggio algebrico iproblemi del calcolo vettoriale, ad esempio:

1) Condizione di collinearita tra due vettori ~v =

(v1

v2

)e ~w =

(w1

w2

):

i vettori ~v e ~w sono collineari ⇐⇒ ∃λ ∈ R con ~w = λ~v

⇐⇒ ∃λ ∈ R con

(v1

v2

)= λ

(w1

w2

)⇐⇒ ∃λ ∈ R con

{w1 = λ v1

w2 = λ v2

.

I vettori sono quindi collineari se le rispettive componenti sono proporzionali.

Esempi:

(i) ~v =

(3−7

)e ~w =

(−614

)sono collineari: ~w = (−2)~v, dato che

{−6 = (−2) · 314 = (−2) · (−7)

;

(ii) ~v =

(03

)e ~w =

(0√2

)sono collineari: ~w =

√2

3~v, dato che

{0 =

√2

3 · 0√2 =

√2

3 · 3;

(iii) ~v =

(23

)e ~w =

(62

)non sono collineari, dato che 6 = 3 · 2 ma 2 6= 3 · 3.


2) Scomposizione di un vettore ~a =

(a1

a2

)come comb. lineare di 2 vettori ~v =

(v1

v2

)e

~w =

(w1

w2

)non collineari: basta trovare λ, µ ∈ R tali che

~a = λ~v + µ~w ⇐⇒(a1

a2

)= λ

(v1

v2

)+ µ

(w1

w2

)⇐⇒

{a1 = λv1 + µw1

a2 = λv2 + µw2

.

Si tratta quindi di risolvere un sistema di 2 equazioni nelle incognite λ e µ.

Esempio: ~a =

(81

), ~v =

(1−1

), ~w =

(21

).

~a = λ~v + µ~w ⇐⇒(

81

)= λ

(1−1

)+ µ

(21

)⇐⇒

{8 = λ+ 2µ

1 = −λ+ µ;

sommando le 2 equazioni otteniamo 9 = 3µ, e quindi µ = 3 e λ = 8− 2µ = 2. Valequindi

~a = 2~v + 3~w .

3) Modulo di un vettore ~v =

(v1

v2

): la scelta di due

vettori unitari ed ortogonali quale base permettedi applicare il teorema di Pitagora, ottenendo

‖~v‖ =

∥∥∥∥(v1

v2

)∥∥∥∥ =√v2

1 + v22 .

~e1

~e2

~v2 = v1~e1 + v2~e2

v1

v2

Esempi:

(i)

∥∥∥∥( 512

)∥∥∥∥ =√

52 + 122 =√

169 = 13 ;

(ii)

∥∥∥∥(−63

)∥∥∥∥ =√

(−6)2 + 32 =√

45 = 3√

5 .

5. Il prodotto scalare nel piano

Definizione 9 (Prodotto scalare)Siano ~v, ~w due vettori geometrici di V2; il loro prodotto scalare ~v · ~w e il numeroreale definito come segue:

• se ~v = ~o oppure ~w = ~o, allora ~v · ~w = 0 ;

• se ~v 6= ~o e ~w 6= ~o, allora si definisce

~v · ~w = ‖~v‖ · ‖~w‖ · cosα ,

dove α e l’angolo positivo e convesso tra due rappresentanti di ~v e ~w uscentida uno stesso punto del piano.


Illustrazione: sia ~wp la componente di ~w collineare a ~v; allora

‖~w‖ · cosα = ±‖~wp‖ ;

~v~v

~w~w

αα

~wp~wp

quindi, vale ~v · ~w = ‖~v‖ · ‖~wp‖ se α e acuto e ~v · ~w = −‖~v‖ · ‖~wp‖ se α e ottuso.

Osservazioni:

(i) Per convenzione, si indica con α l’angolo positivo e convesso tra i due vettori; nonvi e comunque rischio di far confusione, visto che vale

cosα = cos(−α) = cos(2π − α) .

(ii) Occorre definire separatamente il prodotto scalare con un vettore nullo, poiche intal caso l’angolo non e definito.

(iii) Se ~vp e la componente di ~v collineare a ~w, vale anche ~v · ~w = ±‖~vp‖ · ‖~w‖ .

Applicazione: in fisica, il lavoro effettuato da una forza ~F lungo uno spostamento ∆~s edefinito come il prodotto di ‖∆~s‖ con il modulo della forza; in altre parole si tratta delprodotto scalare

L = ± ~F ·∆~s .

Proprieta geometriche del prodotto scalare (le dimostrazioni sono lasciate per esercizio):

1) ~v · ~w = ~w · ~v ∀ ~v, ~w ∈ V2 ;

2) (λ~v) · ~w = ~v · (λ~w) = λ(~v · ~w) ∀ ~v, ~w ∈ V2 , λ ∈ R ;

3) ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w ∀ ~u,~v, ~w ∈ V2 ;

4) Utilizzando l’abbreviazione ~a2 = ~a · ~a, vale ~a2 = ‖~a‖ · ‖~a‖ · cos 0 = ‖~a‖2,

e quindi ‖~a‖ =√~a2 =

√~a · ~a .

5) ~v, ~w sono collineari ⇐⇒ α = 0 oppure α = π ⇐⇒ cosα = ±1 ⇐⇒ ~v · ~w =±‖~v‖ · ‖~w‖ (”+” se sono equiorientati, ”-” se hanno versi opposti).

6) ~v ⊥ ~w ⇐⇒ α = π2⇐⇒ cosα = 0 ⇐⇒ ~v · ~w = 0 (si tratta, come vedremo, di un

utilissimo criterio per l’ortogonalita di due vettori).


A fini teorici, il prodotto scalare puo essere utilizzato per dimostrare teoremi di geome-tria piana. Utilizziamolo, ad esempio, per dimostrare il Teorema del cateto (o PrimoTeorema di Euclide):

Siano ABC un triangolo rettangolo con angolo retto in B eH il piede dell’altezza relativa all’ipotenusa. Allora vale

|AB|2 = |AH| · |AC| .

La dimostrazione viene condotta come segue: dal momento che−−→AH e

−→AC sono collineari

ed equiorientati, vale

|AH| · |AC| = ‖−−→AH‖ · ‖

−→AC‖ =

−−→AH ·

−→AC = (

−→AB +

−−→BH) · (

−→AB +

−−→BC)

=−→AB2 +

−→AB ·

−−→BC︸︷︷︸

0 , perche−→AB ⊥

−−→BC

+−−→BH · (

−→AB +

−−→BC)︸︷︷︸

−→AC︸︷︷︸

0 , perche−−→BH ⊥

−→AC

=−→AB2 = ‖

−→AB‖2 = |AB|2 �

Nello spazio dei vettori aritmetici, il prodotto scalare assume una forma molto semplice:

Teorema 2 (Prodotto scalare in V2)Siano ~v e ~w due vettori aritmetici del piano. Allora vale

~v · ~w =

(v1

v2

)·(w1

w2

)= v1w1 + v2w2 .

Dimostrazione: per il teorema del coseno, vale

‖~w − ~v‖2 = ‖~v‖2 + ‖~w‖2 − 2 ‖~v‖ ‖~w‖ cosα︸︷︷︸~v·~w

e quindi ~v · ~w = 12

(‖~v‖2 + ‖~w‖2 − ‖~w − ~v‖2) . ~v

~w ~w − ~v

α

In componenti, ricordando che ‖v‖2 = v21 + v2

2 e ~w − ~v =

(w1 − v1

w2 − v2

),

~v · ~w =1

2

(v2

1 + v22 + w2

1 + w22 −

((w1 − v1)2 + (w2 − v2)2

))=

1

2

(��v21 + ��v

22 +��w

21 +��w

22��−w2

1 + 2v1w1��−v2

1��−w2

2 + 2v2w2��−v2

2

)= v1w1 + v2w2 �


Esempi: calcola ~u · ~v , ~u · ~w e ~v · ~w, con ~u =

(57

), ~v =

(4−6

)e ~w =

(32

).

• ~u · ~v =

(57

)·(

4−6

)= 5 · 4 + 7 · (−6) = 20− 42 = −22 ;

• ~u · ~w =

(57

)·(

32

)= 5 · 3 + 7 · 2 = 15 + 14 = 29 ;

• ~v · ~w =

(4−6

)·(

32

)= 4 · 3 + (−6) · 2 = 12− 12 = 0 .

Applicazioni: il prodotto scalare permette di operare in componenti sugli angoli travettori;

1) Angolo tra due vettori: dalla definizione ~v · ~w = ‖~v‖ · ‖~w‖ · cosα segue immedia-tamente

cosα =~v · ~w‖~v‖ · ‖~w‖

.

Esempio: determina l’ampiezza dell’angolo α tra ~v =

(21

)e ~w =

(43

).

Calcoliamo innanzitutto

cosα =

(21

)·(

43

)∥∥∥∥(2

1

)∥∥∥∥ · ∥∥∥∥(43

)∥∥∥∥ =2 · 4 + 1 · 3√

22 + 12 ·√

42 + 32=

11√125

e quindi α = arccos(

11√125

)∼= 10, 30◦ .

2) Condizione di ortogonalita: siano ~v e ~w due vettori non nulli; come abbiamo gianotato, vale

~v ⊥ ~w ⇐⇒ ~v · ~w = 0 .

Ad esempio, ~v =

(123

)e ~w =

(−5

53

)sono ortogonali, perche

~v · ~w =

(12

3

)·(−5

56

)=

1

2· (−5) + 3 · 5

6= −5

2+

5

2= 0 .


6. Il determinante e la regola di Cramer

Calcoliamo l’area A di un parallelogrammo delimitato da ~v =

(v1

v2

)e ~w =

(w1

w2

):

valeA = ‖~v‖ · h = ‖~v‖ · ‖~w‖ · sinα ;

elevando al quadrato, e ricordando che

sin2 α + cos2 α = 1 ,

otteniamo~v

~w Ah

α

A2 = (‖~v‖ · ‖~w‖ · sinα)2 = ‖~v‖2‖~w‖2 sin2 α = ‖~v‖2‖~w‖2(1− cos2 α)

= ‖~v‖2‖~w‖2 − ‖~v‖2‖~w‖2 cos2 α = (‖~v‖ · ‖~w‖)2 − (~v · ~w)2 ,

e quindi

A =

√(‖~v‖ · ‖~w‖)2 − (~v · ~w)2 .

Si tratta gia di una relazione interessante, ma essa puo essere ancora semplificata conl’ausilio delle componenti:

A2 = (‖~v‖ · ‖~w‖)2 − (~v · ~w)2

= (v21 + v2

2) · (w21 + w2

2)− (v1w1 + v2w2)2 =

= ��v2

1w21 + v2

1w22 + v2

2w21 +��

�v22w

22 ��

��−v21w

21 − 2v1v2w1w2��

��−v22w

22 =

= (v1w2)2 − 2 · v1w2 · v2w1 + (v2w1)2 = (v1w2 − v2w1)2

e quindi

A = |v1w2 − v2w1| .

Esempio: determina l’area di un parallelogrammo avente lati collineari ai vettori

~v =

(21

)e ~w =

(43

).

Basta calcolareA = |2 · 3− 1 · 4| = |2| = 2 unita2 .

Il numero reale

det(~v, ~w) =

∣∣∣∣ v1 w1

v2 w2

∣∣∣∣︸︷︷︸notazioni

= v1w2 − v2w1

e detto determinante di ~v e ~w. Si tratta di una grandezza utile nell’ambito della geome-tria vettoriale; ad esempio, e facile verificare che esso e nullo se e soltanto se due vettorisono collineari (basta notare che essi delimitano un parallelogrammo di area pari a zerounita!), e quindi che vale

det(~v, ~w) 6= 0 ⇐⇒ ~v e ~w sono linearmente indipendenti.


L’utilita del determinante si rivela inoltre nella cosiddetta regola di Cramer: conside-riamo il sistema di equazioni lineari{

a1x+ b1y = c1

a2x+ b2y = c2

⇐⇒ x · ~a+ y ·~b = ~c

con ~a =

(a1

a2

), ~b =

(b1

b2

), ~c =

(c1

c2

). Come abbiamo gia osservato, se vale

D = det(~a,~b) =

∣∣∣∣ a1 b1

a2 b2

∣∣∣∣ 6= 0

i vettori ~a e ~b formano una base di V2, e quindi il sistema ha certamente una soluzione. Ildeterminante permette anche di ricavarla: ponendo

D1 = det(~c,~b) =

∣∣∣∣ c1 b1

c2 b2

∣∣∣∣ , D2 = det(~a,~c) =

∣∣∣∣ a1 c1

a2 c2

∣∣∣∣allora vale

x =D1

D, y =

D2

D.

La dimostrazione piu immediata di questo fatto (per quanto riguarda sistemi di dueequazioni in due incognite) consiste in una verifica esplicita. Verifichiamo quindi che vale{

a1D1

D+ b1

D2

D= c1

a2D1

D+ b2

D2

D= c2

.

Per la prima equazione calcoliamo:

a1D1

D+ b1

D2

D= a1

c1b2 − c2b1a1b2 − a2b1

+ b1a1c2 − a2c1

a1b2 − a2b1=a1b2c1��

�−a1b1c2��

+a1b1c2 − a2b1c1

a1b2 − a2b1=c1((((

((((a1b2 − a2b1)

((((((a1b2 − a2b1

= c1,

e per la seconda:

a2D1

D+ b2

D2

D= a2

c1b2 − c2b1a1b2 − a2b1

+ b2a1c2 − a2c1

a1b2 − a2b1=��

��a2b2c1 − a2b1c2 + a1b2c2��−a2b2c1

a1b2 − a2b1=c2(((

(((((a1b2 − a2b1)

((((((a1b2 − a2b1

= c2.

Esempio: risolvi il sistema di equazioni{3x− 2y = 12

4x+ 5y = −7 .

Con D =

∣∣∣∣ 3 −24 5

∣∣∣∣ = 15+8 = 23, D1 =

∣∣∣∣ 12 −2−7 5

∣∣∣∣ = 60−14 = 46, D2 =

∣∣∣∣ 3 124 −7

∣∣∣∣ = −21−48 = −69

vale x =D1

D=

46

23= 2, y =

D2

D=−69

23= −3 e quindi S = {2,−3}.


Capitolo II : Geometria vettoriale

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