Capitolo 1: Elementi di algebra vettoriale e...

Corso di Laurea in Ingegneria Civile Meccanica dei solidi Prof. C. Borri

1

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensoriale

TENSORE: ente matematico (astratto) che rappresenta quantità fisiche indipendenti dal particolare sistema di riferimento in cui sono espresse.

COMPONENTI DEL TENSORE: quantità necessarie alla scrittura del tensore in un sistema di riferimento.

TRASFORMAZIONE: la legge di trasformazione delle componenti di un tensore viene utilizzata come definizione del tensore stesso. Una volte note le componenti in un sistema di riferimento esse sono note in tutti gli altri.

TENSORI GENERALI TENSORI CARTESIANI

sist. coordinate curvilinee arbitrario

sist. coordinate cartesiane

trasformazioni generali


2


ORDINE DEI TENSORI: SPAZIO EUCLIDEO A 3D

ORDINE ZERO 30=1

1° ORDINE (vettori) 31=3

2° ORDINE (σij, εij) 32=9

3° ORDINE (Eijk) 33=27

4° ORDINE (Cijhk) 34=81

Numero di componenti nello spazio Euclideo

RICHIAMI DI ALGEBRA VETTORIALE

cabba =+=+Somma di vettori

da)b(ba =+−=−Sottrazione di vettori


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Proprietà commutativa (di somma e sottrazione):

fc)ba(c)ba(d)cb(ac)ba(

=−+=−+=++=++

Moltiplicazione per uno scalare:

bmam)ab(m)ba(mbmbnb)mn(b)nm(

)bm(n)b(mn)bn(m

+=+=++=+=+

==

(proprietà associativa e distributiva)

Prodotto scalare (o interno):

θ=⋅=⋅=λ cosab)ab()ba(

se a (o b) = 1, si ottiene la proiezione nella direzione dell'altro


4


Prodotto vettoriale (o esterno):

v)ab(eabsin)ab()ba(v

=×⋅θ=×−=×=

SISTEMI DI COORDINATE

γ=⋅=

β=⋅=α=⋅=

++=

cosvkvv

cosvjvvcosvivv

kvjvivv

z

y

x

zyx

base ortonormale=k,j,i

zyx

zyx

zzyyxx

bbbaaakji

ba

babababa

=×

++=⋅


5


Notazione simbolica

•Coseni direttori: kcosjcosicosvVev γ+β+α==

•Rappresentazione sommatoria:

∑=

=++=3

1iii332211 evevevevV

•Notazione indicialepq

ijkj

iijj

i K,E,F,A,b,a

Dove i,j,k,p,q = indicia,b,A,F,E,K = lettera base o nocciolo i,j,k,p,q=1,…..N indici non ripetuti = indici liberiN = campo di variazione dell’indice

•Convenzione di sommatoria

332211jj

33

22

11

ii

AAAAaaaa

31i

++=++=

= L

Vettori: ai 1 indice libero = 3 comp.Tensori 2° ordine: aij 2 indici liberi = 9 comp.

)a,a,a(a 321i =Quindi: oppure⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

aaa


6


•Scrittura di sistemi lineari:

3332321313

3232221212

3132121111

jiji

yayayaxyayayax

yayayax

3,1j,i yax

++=++=++=

== K

22222221212211212111111122

22122221112212122111112121

22221221211212221111211112

12121212111212121111111111

pqiqipij

DCBDCBDCBDCBADCBDCBDCBDCBADCBDCBDCBDCBA

DCBDCBDCBDCBA

2,1q,p,j,i DCBA

+++=+++=+++=+++=

== K

•Notazione simbolica + sommatoria:

iiijji

jijijjii

ii

bababababa

eebaebeabaevevevevv

=++=

==⋅=⋅=++=

332211

332211

)()(

δ

⎩⎨⎧

≠=

=jiperjiper

cker)Kronedideltadove ij 01

(δ


7


TENSORI: trasformazioni di coordinate (caso generale)

j

i

321ii

xjakobiano.detj

)x,x,x(

∂θ∂

==

θ=θ

allora esiste la trasformazione inversa:

Se 0j 1 ≠−

),,(x)(xx 321iiij θθθ=θ=

Vettore differenziale: equazione prototipo del tensore jj

ii dx

xd

∂θ∂

=θ

Tensore del I ordine contro-variante (b: generica quantità fisica)

jj

ii b

xb ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=θ*Le componenti bi sono componenti di un tensore se:

dove:

bj: componenti del tensore del vecchio sistema di coordinate (xi) b*i: componenti del tensore del nuovo sistema di coordinate (θi)


8


Tensore del II ordine contro-variante (per semplice estensione)

rss

j

r

iij B

xxB

∂∂

∂∂

=θθ*

Tensore co-variante del I ordine

bx = b jj

i'i

θ∂∂

BxxB rss

j

r

i'ij

θ∂∂

θ∂∂=

Tensore co-variante del II ordine

ESEMPIO :Trasformazione di coordinate sferiche

θθθ= cossinx 3211

θθθ= sinsinx 3212

θθ= cosx 213


9


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∂

∂−=∂

∂=∂

∂

=∂

∂=∂

∂=∂

∂

−=∂

∂=∂=∂

∂

0cos

coscos

coscoscos

3

321

2

32

1

1

3213

3321

2

232

1

2

3213

1321

2

132

1

1

θθθ

θθ

θ

θθθθ

θθθθ

θθϑ

θθθθ

θθθδθθθ

ϑ

xsin

xx

sinx

sinx

sinsinx

sinsinxx

sinx

ESEMPIO :Tensore metrico (tensore fondamentale dello spazio)

( ) ii dxdxds =2

( )321 ,, ϑϑϑii xx =

( ) 3,,1,,2K=

∂∂

∂∂

= ljiddxxds jll

i

j

i

ϑϑϑϑ

,jj

ii dxdx ϑ

ϑ∂∂

=

l

i

j

i

jlxxgϑϑ ∂

∂∂∂

= gjl tensore metrico o fondamentale dello spazio

δ jljlg =Per i tensori cartesiani inoltre: (delta di Kronecker)


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SISTEMA DI COORDINATE OMOGENEE

TRASFORMAZIONI ORTOGONALI

TENSORI CARTESIANI

COMPONENTI CONTRO-VARIANTI E COVARIANTICOINCIDONO (solo indici in basso)

TENSORI: trasformazioni di coordinate (tensori cartesiani)

Rotazione:

( )jiij xxa ,cos ′=

3132121111 eaeaeae ++=′

jiji eae =′

Per un generico vettore sia: ( )x jin in

Sostituendo si ha

jj evv = jj evv ′′= ( )jx′

jiji eae =′ jiji eavv ′=

e

da cui per semplice confronto si ottiene la legge di variazione dalle nuove coordinate alle vecchie.


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Tensore cartesiano del I ordine:

a) Trasformazione inversa:

Trasformazione delle componenti di un vettoreiijj vav ′=

Trasformazione dei versori della basejiji eae =′

b) trasformazione inversa :

jiji vav =′

Combinando a) e b) con opportuna scelta degli indici:

jjkikijj vvvaav =⇒=

Per l’arbitrarietà di vj, ne segue:

9 condizioni dette di ortogonalitào ortonormalità

jkikij aa δ= Trasformazioneortogonale

Nota: δij come operatore “sostituzione”

bbbbb iiiijij =++= 332211 δδδδ

FFFFF jkkjkjkjikij =i, j = 1, 2, 3

++= 332211 δδδδ


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Tensore cartesiano del II ordine:

Se si considera il prodotto scalare (diade):( )( ) qpiqipqiqpipii uuaauauavuvu ==′′⇒′⋅′

Risulta immediata la generalizzazione al secondo ordine:

pqjqipij TaaT =′

OPERAZIONI TRA TENSORI

ijkijkijk TBA =+Somma di tensori cartesiani:

ijijjj ABeb λλα ==Moltiplicazione per uno scalare:

Prodotto vettoriale:

Introducendo lo pseudo-tensore (tensore di Ricci) come:ijk∈

cba =×

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→→−

→=∈

1,2,3 di nepermutazio una sononon k j,i, se01,2,3 di dispari nepermutazio una sonok j,i, se1

1,2,3 di pari nepermutazio una sonok j,i, se1

ijk

ikjijk cba =∈Allora:

Pseudo-tensore simbolo di permutazione

ijk⇒∈ si trasforma come un tensore cartesiano

Se det aij = -1 , trasformazione propria ijk⇒∈

ijk∈

Se det aij = 1 , trasformazione propria

si trasforma a meno del segno


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• RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE

• MATRICI RIGA, COLONNA E MATRICI QUADRATE • MATRICE IDENTICA • MATRICE TRASPOSTA • MATRICE SINGOLARE • MATRICE ORTOGONALE IAAAAAA

TTT ==⇒= −1

• PRODOTTO FRA MATRICI (NON COMMUTATIVO)

Prodotto interno:

CBA ikjkij = (riga x colonna)

Scomposizione di un tensore del II ordine

jiij DD =⇒Dij : simmetrico

jiij DD −=⇒Dij : antisimmetrico

( )( ) ( )

( )[ ] [ ]

4342143421ijijjiij DD

ijij

DD

jiijij DDDDD−==

−++= 21

21

tale scomposizione è unica


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VALORI PRINCIPALI (AUTOVALORI) E DIREZIONI PRINCIPALI (AUTOVETTORI) DI TENSORI SIMMETRICI DEL II ORDINE

Definito Tij in un punto, per ogni direzione n viene definito un vettore

jiji nTv =

T opera come “operatore lineare vettoriale”v è il vettore coniugato da T alla direzione n

nnT ijij λ=Se n è tale che:

ossia il coniugato o trasformato di n è parallelo a n stesso allora n è una direzione principale del tensore T

Si può trasformare la precedente come:

0)( =−⇒== jijijjijijij nTnnnT λδλδλ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−++=+−+=++−

0)(0)(0)(

333232131

323222121

313212111

nTnTnTnTnTnTnTnTnT

λλ

λ 3 equazioni

4 incognite

1=iinnInoltre:


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•Il sistema è omogeneo negli nj

•Soluzione banale: nj = 0

•Soluzioni non banali:

00)det( 23 =−+−→=− TTTijij IIIIIIT λλλλδ

equazione caratteristica del tensore

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

−

=

)det(:

)(21:

)(:

ijijT

ijijjjiiT

ijriiT

TTIII

TTTTII

TtTI

1°, 2° e 3° invariante di Tij

valori principali:,, )3()2()1( λλλ

Teorema spettrale:

Ogni tensore simmetrico ammette una terna ortogonale di autovettori con autovalori reali


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Campi vettoriali e tensoriali

),( txiΦ=Φ(a) campo scalare:

),( txvv jii =(b) campo vettoriale:

(c) campo tensoriale: ),( txTT kijij =

Campo tensoriale continuo: le componenti sono continue e derivabili di x e t

Campo tensoriale stazionario: )(xTT ijij =

Operatori simbolici:

(nabla) : iii

i ex

e ∂=∂∂

=∇ ixi

i ,=∂∂

=∂

kijk

iji

i

TxT

x ,, ; =∂

∂Φ=

∂Φ∂

ad esempio:

Operatori differenziali:

ii

ex

grad∂Φ∂

=Φ∇=Φ ii ,Φ=Φ∂o anche

3

3

2

2

1

1, x

vxv

xvvvvvdiv jiii ∂

∂+

∂∂

+∂∂

==∂=⋅∇=

jkijkkjijk vvvvrot ,=∈∂=∈×∇=

iiii ,2 Φ=Φ∂=Φ∇⋅∇=Φ∇


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Teorema di Gauss - Ostrogradski (Teorema della divergenza)

=v campo vettoriale

∫∫∫∫

=⋅

⋅⋅=⋅

s iiv ii

sv

dSnvdVv

dSvndVvdiv

,

:dSvh ⋅ flusso elementare attraverso la superficie che racchiude V

Teorema di Stokes (Teorema della circuitazione)

∫∫

∫∫

⋅∈=

=

×∇⋅=⋅

s jkijkic ii

sc

dSFndxF

xFF

dSFnxdF

,

)(

)(


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Capitolo 2:Stato di tensione

Ipotesi fondamentali del continuo di Cauchy

non esistono forze concentrate0lim0

=∆→∆ nA

Sn

le coppie sono infinitesimi di ordine superiore alle forze. (quando l’area tende a zero la forza è un infinitesimo dello stesso ordine dell’area e passa per il suo baricentro) (eccentricità nulla)

0lim0

=∆

∆→∆

n

n

A AM

n

),(lim0

nPtAS

nn

n

An

=∆∆

→∆

( )nPt n ,dove è il vettore di tensione di Cauchy


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Caratterizzazione delle componenti dello stato di tensione

Chiamando , e i versori relativi ai tre assi coordinati x, y e z del sistema di riferimento assunto, ciascun vettore tensione è rappresentato dalle sue componenti:

i j k

kjit xzxyxxx σσσ ++=

kjit yzyyyxy σσσ ++=

kjit zzzyzxz σσσ ++=

componente del vettore tensione (relativo all’elemento piano di normale ) secondo la direzione

ijσ iti j

Chiamando la matrice delle componenti così definita:Σ

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==Σ

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

σσσσσσσσσ

σ


20


( ) nnPt n ⋅Σ=,Risulta:

Si possono scrivere le componenti del vettore tensione rispetto al sistema di riferimento O(x, y, z) come segue:

nt

( ) ( ) ( ) ++++++=++= yyzyyyxxxzxyxxzzyyxxn nkjinkjintntntnPt σσσσσσ,

( ) ( ) ( ) ++++++=+++ jnnninnnnkji zzyyyyxxyzzxyyxxxxyzzzyzx σσσσσσσσσ

( ) ktjtitknnnzyx nnnzzzyyzxxz ++=+++ σσσ

Le componenti del vettore tensione per esteso risultano:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=++=++=

zzzyyzxxzn

zzyyyyxxyn

zzxyyxxxxn

nnntnnntnnnt

z

y

x

σσσσσσσσσ

Adottando la convenzione di Einstein infine:

iijnj nt σ=


21


Componenti normale e tangenziale dello stato di tensione

Dato un elemento piano di normale è possibile esprimere il vettore tensione relativamente ad un riferimento intrinsecoall’elemento stesso secondo la direzione normale ed una generica appartenente all’elemento piano (dunque tangenziale).

n

nnt

ν

⎩⎨⎧

−===⋅=nt

nnntnt

Nn

jiijjnjnN

στσσ

Equazioni indefinite di equilibrioEquilibrio alla traslazione

0=+ ∫∫ vs n dVgdSt ρ ( ) nnPt n ⋅Σ=,ma

0=+⋅Σ ∫∫ dVgdsnvs

ρallora

quindi:

( ) 0=+Σ=+Σ ∫∫∫ dVbdivdVbdVdivvvv


22


Data l’arbitrarietà del volume V in partenza considerato:

0=+Σ bdiv

Questa scritta in componenti rispetto al solito sistema di riferimento cartesiano ortonormale O(x, y, z) risulta:

0, =+ jiij bσ (equazioni di Cauchy)

Equilibrio alla rotazione (sul piano y-z)

Imponendo l’equilibrio dei momenti si ottiene:

( ) ( )

zyyz

zyyz dzdydxdydzdx

σσ

σσ

=⇓

=

Analogamente imponendo l’equilibrio alla rotazione per le altre giaciture è facile dimostrare la reciprocità delle tensioni, pertanto:

σσ jiij = (simmetria del tensore di Cauchy)


23


Condizioni di equilibrio al contorno

Preso un elemento infinitesimo di superficie dA l’equilibrio richiede che la componente vettoriale di tensione su questa giacitura coincida con la corrispondente forza superficiale applicata

dAfdAt n =

In componenti:

jiij fn =σ

Considerazioni conclusive

•Equazioni di equilibrio del continuo (tre equazioni differenziali)

⎪⎩

⎪⎨⎧

∂=

=+

Vsu

Vsub

jiij

jiij

σσ

σ 0,

•Incognite: sei componenti di ijσ

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==Σ

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

σσσσσσσσσ

σ

• il problema dell'equilibrio punto-punto in un continuo diCauchy è sempre staticamente indeterminato (iperstaticitàdell'equilibrio interno)

• la simmetria dello stato interno di tensione è un fatto intrinseco, dovuto al solo equilibrio e non al tipo di materiale od altro (Cauchy);


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Sforzi principali - Direzioni principali

nnt Lnσ=⋅Σ=

Una direzione si dice principale per lo stato di tensione se n Σ

cioè se è parallelo alla direzione tn n

Per il teorema spettrale, per lo stato di tensione alla Cauchy(essendo un tensore del II° ordine simmetrico reale) esiste almeno una base ortonormale reale di direzioni principali ed una terna di tensioni principali reali ad essa associata

Determinazione delle direzioni e degli sforzi principali

Per la determinazione delle direzioni principali si ricorre direttamente alla definizione scrivendo in componenti:

jLiij nn σσ =

( ) ( ) 0=−=− iijLijijiLiij nnn δσσδσσ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

000

z

y

x

Lzzzyzx

yzLyyyx

xzxyLxx

nnn

σσσσσσσσσσσσ

L’individuazione di tali direzioni principali è stata ricondottaalla soluzione di un sistema lineare omogeneo.

0det =− ijLij δσσ


25


sviluppando il determinante, si ottiene

0322

13 =−+− III LLL σσσ (equazione caratteristica del tensore)

I coefficienti Ii sono detti invarianti del tensore (non dipendono dal sistema di riferimento in cui è scritto σ) e sono:

( ) 3322111 σσσσ ++=Σ== trI iiInvariante lineare:

Invariante quadratico:

Invariante cubico:

( )ijijjjiiI σσσσ −=21

2

( )Σ== det3 ijI σ

Gli invarianti hanno un significato fisico molto importante; ad essi possono essere associati stati di tensione particolarmente importanti ed immediatamente riconoscibili.

ΣComponente sferica e deviatorica del tensoreRisulta conveniente esprimere lo stato di tensione come somma delle seguenti due componenti:

ijijMij s+= δσσ

Componente sferica

Componente deviatorica3

iiMijM dove σσδσ =

ijMijijs δσσ −=

Le direzioni principali del tensore deviatore coincidono con quelle del tensore iniziale, mentre gli sforzi principali deviatorici sono dati da:

MLiLis σσ −=

L'equazione caratteristica del tensore deviatorico è 0323 =−+

DDIsIs

01 =D

Iessendo


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Stato tensionale monoassiale

Uno stato tensionale si dice monoassiale, per definizione, quando una sola delle tre tensioni principali è diversa da zero e le altre due tensioni principali sono nulle:

0== ζη σσe quindi:

ξξσξ

ntn =

tale caso è facilmente riconoscibile dallo studio degli invarianti del tensore degli sforzi. Esso si verificherà quanto:

00 123 ≠== IeII

ξ⊥nNel caso in cui:

Esempio di stato monoassiale


27


Stato tensionale biassiale

Condizione sufficiente e necessaria perché lo stato di tensione possa dirsi biassiale è che si verifichi: I3 = 0. In questo caso l’equazione secolare diviene semplicemente:

( ) 0212 =+−⋅ II LLL σσσ

Da cui le soluzioni:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

ηη

ξξ

ξ

σσ

σ

η

ξ

ntnt

n

n

0

Comunque si faccia variare o ruotare le giacitura la tensione non avrà componente lungo ξ, bensì solo lungo η e ξ; cioè la tensione sta sempre tutta nello stesso piano.

Esempio di stato piano:

Anche se in tutti i punti il piano di tensione non è lo stesso si tratta di stato piano (i piani di tensione sono infiniti e tutti paralleli)


28


Quadrica degli sforzi di Cauchy

Nel sistema ξi , il tensore delle tensioni in P ha componenti σij . L’equazione (k = cost.) rappresenta una famiglia di quadratiche simili aventi centro in P.

2kjiij ±=ζξσ

Per un punto sulla quadrica di vettore posizione le componenti saranno dove è il versore di

rrii nr=ξ in

In P la componente normale σN è data (per la direzione ni) da:

jiijn

in

iN nnntnt σσ =⋅== )()(

Assumendo k2 = σNr2 allora la quadratica risultante, detta quadrica di Cauchy è:

2rNjiij σξξσ ±=


29


Proprietà:

2

2

rk

N ±=σ (σN è inversamente proporzionale a r)

)(nt agente in P su dA (perpendicolare al vettore posizione ) è parallelo alla normale al piano tangente alla quadrica nel punto identificato da r

Massimi e minimi degli sforzi tangenziali

Il vettore tensione sulla faccia normale può essere decomposto nella somma delle sue componenti vettoriali normale alla faccia ( orientato come ) e tangenziale ( ):

nt n

Nσ n τ

⎩⎨⎧

−===⋅=nt

nnntnt

Nn

jiijjnjnN

στσσ

Sviluppando l’espressione di σN e del modulo di supponendo di ordinare le componenti principali del tensore delle tensioni in modo che

τ

IIIIII σσσ >>

222IIIIIIIIIIIIjiijjnjnN nnnnnntnt σσσσσ ++===⋅=

( ) ( ) =−⋅=−⋅−=⋅= 22Nn

tnNnNn

t ttntnt σσστττ

( )2222222222IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII nnnnnn σσσσσσ ++−++=

In sostanza:

( )22222222222IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII nnnnnn σσσσσστ ++−++=


30


Massimi e minimi col metodo dei moltiplicatori di Lagrange:

ii nnF λτ −= 2

Dove ni è la variabile indipendente e F è il funzionale da minimizzare o massimizzare e λ è detto moltiplicatore di Lagrange.

Occorre porre la stazionarietà di questo funzionale F rispetto alle ni, così facendo si ottiene (ricordiamo che le ni sono tali da dare nini = 1):

( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=−−=−−=−−

⇒=∂∂

022022022

022

22

22

λσσλσσλσσ

AnAnAn

nF

IIIIIIIII

IIIIII

III

i

dove con A si indica: 222IIIIIIIIIIII nnnA σσσ ++=

Il sistema è risolvibile; un gruppo di soluzioni è

000

100010001

321

321

321

===

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

±====±====±=

τττ

nnnnnnnnn

Un secondo gruppo di soluzioni è dato da:

⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

==±=

±==±=

±=±==

022

22

220

22

22

220

IIIIII

IIIIII

IIIIII

nnn

nnn

nnn( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

−=

−=

2

2

2

III

IIII

IIIII

σστ

σστ

σστ


31


Le direzioni individuate dalle ni sono ortogonali ad un asse principale e ruotate di π/4 rispetto agli altri due. La τ risulterà massima su una di tali giaciture, ed in particolare possiamo ottenere:

{ }IIIIIIIIIIII σσσσσστ −−−= ,,max21

max

La componente massima di τ agisce nel piano che biseca l'angolo retto formato dalle direzioni degli sforzi max e min. principali.

Localizzazione degli sforzi: Cerchi di Mohr

Si può scrivere: 23

222

221

222 nnn IIIIIIN σσστσ ++=+

(dove nini = 1)

Risolvendo rispetto ai coseni direttori:

( )( )( )( )IIIIIII

IIINIINIn

σσσστσσσσ

−−+−−

=2

2

Ordinando le tensioni principali in modo tale da avere IIIIII σσσ >>

si ha

( )( ) 02 ≥+−− τσσσσ IIINIIN

cioè è esterno al cerchio (o sulla sua circonferenza):( )τσ ,NP ≡

( ) ( ) 22

2

22 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

− IIIIIIIIIIN

σστσσσ (C1)


32


( )( )( )( )IIIIIIII

INIIINIIn

σσσστσσσσ

−−+−−

=2

2

( )( ) 02 ≤+−− τσσσσ INIIIN

( ) ( ) 22

2

22 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

− IIIIIIIIN

σστσσσ (C2)

( )( )( )( )IIIIIIIII

INIINIIIn

σσσστσσσσ

−−+−−

=2

2

( )( ) 02 ≥+−− τσσσσ INIIN

( ) ( ) 22

2

22 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

− IIIIIIN

σστσσσ (C3)

Nel piano le equazioni (C1), (C2) e (C3) individuano l’area tratteggiata delimitata dai tre cerchi di Mohr

τσ ,N


33

Capitolo 3:Stato di deformazione

Cinematica dei continui deformabili (congruenza o compatibilità)

Congruenza dei continui - Deformazione

iii uXxxxxPXXXP

+=≡′≡

321

321

,,,,

ui = vettore spostamento

In generale: dove χ = trasformazione( )Xx χ=

•χ permanentemente biunivoca (suriettiva + iniettiva)

•χ continua con χ-1 continua

•χ e χ-1 differenziabili quanto occorre

χ espressione lagrangiana (o referenziale)

χ-1 espressione euleriana (o spaziale)


34


Determinante Jacobiano

1

det

det

,,

,,

=⋅

=∂∂

==

=∂∂

==

EL

E

j

ijiji

L

j

ijiji

JJ

JxXXX

JXxxx

Ipotesi di lavoro su )( EL JoJPer lavorare con i continui è necessario:

0>J (strettamente)

∞<⇒>> EE

L JJ

J 01;0

J = 0 implosione , J = ∞ esplosione

Gradiente dello spostamento

0,,,,,, >+==⇒−=

−=

jijijiL

jijiji uxJxu

Xxu

δδ

la condizione sul determinante dello jacobiano della trasformazionesi trasforma in una condizione sul gradiente dello spostamento


35


Tensori della variazione di posizione

33

12

2

11

1

11 dX

XxdX

XxdX

Xxdx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=Posto che:

jjkiik dXxdXxdxxdxdld ,,22 ⋅==⋅=′si può scrivere:

jiijii dXdXdXdXXdXddXdl δ=⋅=⋅== 22ma:

( ) jiijjkik dXdXxxdXdx δ−=− ,,22quindi

Si definisce:

Gxx ijjkik =,,Tensore di Green (o di variazione della posizione)

CXXxX

xX

ijjkik

j

k

i

k =←∂

∂

∂

∂,,

Tensore di Cauchy (variazione della posizione)


36


In dettaglio:

Coord Spost. Coord. immagine

P0 X j uj uXx jjj +=

Q0 XdXX Qjj j=+ dXuu iijj + uXx QQQ jjj

+=

Sviluppando in serie e troncando al I° ordine:}dl

XdnuudXuuu iijjiijjQ j+=+=

Le coordinate dei punti immagine saranno:

uXx jjj +=

{

}

( ) ( ) dlnuxdlnunuX

u

dlXdnuu

X

dln

dXXuXx

iijijjiijjjj

Q

iijj

Q

j

jjQQQ

j

j

jjj

++=+++=

=+++=+=

δ

44 844 76

48476

( ) dlnuxxdx jjikikQk k ,+=−= δAllora:

Calcolando il nuovo modulo 'dldx =

( ) ( ) dlnudlnudxdxxddl jjkkjiikkikk ,,22' +⋅+=== δδ


37


Sviluppando:

( ) 2,,,,

2

2,,

,,

2

dlnnuuuuld

dlnnuu

u

u

u

uld

jijkikijjiij

jijkik

ij

kikj

ji

kjki

ij

kjki

+++=′

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅+⋅+⋅+⋅=′

δ

δδ

δ

δδ321321321

Poiché: 1=jiij nnδ

( )[ ][ ] 22

2,,,,

2

21

1

dlnnLld

dlnnuuuuld

jiij

jijkikijji

+=′

+++=′Si ottiene:

ijL2 = tensore delle deformazioni finite (6 componenti)

Moto rigido: 0222 =⇒=′ ijLdlld

Ricordando che era stato definito:

jiij

jkikij

dXdXGdx

xxG

=

=2

,,

È possibile provare che:

ijijjkik Lxx 2,, =−δ

Tensore della deformazione finita o di Green-Lagrange


38


Sostituendo:

( )jkikijjiij

ijjiji

uuuuL

ux

,,,,

,,

21

++=

+= δ

In termini Euleriani

( )ijijijij CeE −== δ21

Tensore della deformazione finita di Eulero-Almansi

Deformazioni infinitesime

a) “piccoli” spostamenti

b) “piccolo” il gradiente ijijji ELu ≅⇒<< 1,

( )⇒+= ijjiij uu ,,21

l tensore lagrangiano di deformazione infinitesima

( )⇒+= ijjiij uu ,,21ε tensore euleriano di deformazione infinitesima

1. Rapporto di stiramento (deformazione) nella direzione "m"

jiijjiij

mm

mmGdX

dXdXGdXdx

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Λ 2

22


39


Si ha:

( ) jiijijjiijmm

mmLmmGdXdx

⋅+==Λ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ2

Allungamento percentuale lungo una direzione m:

11 −=−=−

= ΛΛ∗

mm dXdx

dXdXdx

Nella direzione degli assi coordinati:

( )

( ) 121

11212

+=+

−+=−Λ=

ΛΛ

∗

∗

iii

iiii

L

L

In deformazioni infinitesime:

iii

i

iiii L

ε=

→≅

+=++

ΛΛ

ΛΛ

∗

∗

∗∗

0

12122

2


40


2. Dilatazione angolare (deformazioni infinitesime)

121/22,112

2,12

1/21

1221

2εγββ

γββ

=+=

≅≅

=+

uuuu

3. Dilatazione superficiale (deformazioni infinitesime)

( )( )

( )( )

021cos

1121cos11cos

11

2211

12

2211221112221112

1212

21

2112212211

21

212112

≅≅

−+++=−++=∆=

−++=

−=

−′=∆

εεγ

εεεεγεεγϕ

ϕεε

sindXdX

dXdXsindXdXdXdX

dXdXdxdxdA

dAAd

4. Dilatazione di volume (deformazioni infinitesime)

Con analoghi sviluppi:

332211321

321321 εεε ++=−

=∆dXdXdX

dXdXdXdxdxdxv


41


Scomposizione in componenti simmetrica ed assimetrica

dXuuu iijpQ jj,+=

dlnuuu iijPQ jj ,+=

( ) ( )ijjiijjiji uuuuu ,,,,, 21

21

−++=

Quindi:

( ) ( ) dXuuuuuu ijiijjiijpQjj ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+++= ,,,, 2

121

traslazione Deformazione pura

(parte simm.)

Rotazione rigida

(parte asimm.)


42


Come si può vedere che la parte antisimmetrica è una rotazione rigida?

Caso piano: rotazione intorno a X3

du1 du2 du3

ϕ1 0 dX31ϕ− dX 21ϕ

ϕ2 dX32ϕ 0 dX12ϕ−

ϕ3 dX23ϕ− dX13ϕ 0

( )ϕϕϕ 321,,Quindi per una rotazione rigida

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++−=

−+=

+−=

00

0

21123

31132

32231

dXdXdudXdXdudXdXdu

ϕϕϕϕϕϕ


43

Capitolo 4:Lavori Virtuali per i continui deformabili

Lavori virtuali per i continui deformabili

p dS: forze di superficie (distribuite o concentrate)µ dV: forze di volume

In ogni punto P siano definiti:

come campo tensionale in equilibrio con le forze esterne applicate (l'equilibrio è soddisfatto in termini globali e locali);

( )Pijij σσ =

( )Puu = come campo di spostamenti congruenti, piccoli a piacere che rispettino la compatibilità cinematica interna ed esterna. Sia inoltre il campo di spostamenti u tale che ui,j << 1

Allora è definita:

( )Pijij εε = come campo di deformazioni puntuali congruenti


44


Lavoro virtuale esterno

Si definisce il lavoro virtuale esterno, Le*, come prodotto dal campo

di forze esterne di superficie p e di massa µ per il campo di spostamenti infinitesimi (del tutto indipendente dal campo di forze) congruenti e compatibili con i vincoli (spostamenti u* virtuali):

( ) ( )∫∫ ⋅+⋅=VS

e dVudSupL *** µ

Lavoro virtuale interno

Definiamo ora il lavoro virtuale interno, isolando un cubetto dicontinuo elementare che subisce una deformazione εij

x

y

Per la deformazione εyy il cubetto si allunga


45


La forza σyydxdz compie un lavoro pari a:

dVdydzdx yyyyyyyy εσεσ =⋅

Analogamente:dVx xxxx εσ→

dVz zzzz εσ→

Oltre alle componenti considerate, se non è stato fissato un sistema principale, devono essere considerate le componenti di lavoro dovuto alle distorsioni:

Il lavoro è prodotto solo dalla σyx:

dVdzdxdy yxyxyxyx γσσγ =⋅

Analogamente:

dVxz xzxz γσ→

dVyz yzyz γσ→


46


Per un campo di deformazioni virtuali (cioè infinitesime e compatibili con i vincoli interni ed esterni) εij assolutamente indipendenti dal sistema di forze:

( ) dVdL yzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxx∗∗∗∗∗∗∗ +++++= γσγσγσεσεσεσint

dove∗∗∗∗ +== ijijijij εεεγ 2

Quindi per ogni termine misto si ottiene:

∗∗ + jijiijij εσεσ

Allora, in notazione tensoriale:

dVdL ijij∗∗ = εσint

Sostituendo in termini integrali si ottiene:

∫=V

ijiji dVL ** εσ


47


Teorema dei lavori virtualiSupponiamo di avere, in un certo riferimento, un solido che occupi in condizioni di equilibrio un certo volume V sul quale siano applicate forze di superficie e di volume note. Essendo il solido in equilibrio valgono le equazioni di equilibrio, punto per punto, di Cauchy:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∂=

=+

jiij

jiij

jiij

VinfnVinb

σσσσ 0,

Ad equilibrio raggiunto supponiamo di applicare un campo di spostamenti u* qualunque purché congruente. Partendo dalle equazioni di equilibrio moltiplichiamo queste per il campo di spostamenti in modo da saturare l’indice libero:

0**, =+ jjjiij ubuσ 0**

, =+ ∫∫V

jjV

jiij dVubdVuσ

∫∫∫∫ ⋅=⇒⋅=s jjv ijs jjv j dSnAdVAdSnAdVdivA ,

Ricorrendo al teorema della divergenza (Gauss - Ostrogradski):

si ha:

( ) ∫∫ =S

ijijV

ijij dAnudVu *,

* σσ( ) ∫∫∫ +=V

ijijV

jiijV

ijij dVudVudVu *,

*,,

* σσσ

∫∫∫ =+S

ijijV

ijijV

jiij dAnudVudVu **,

*, σσσ

∫∫∫ −=V

ijijS

ijijV

jiij dVudAnudVu *,

**, σσσ


48


0**,

* =+− ∫∫∫V

jjV

ijijS

ijij dVubdVudAnu σσDunque:

jiijj fnt ==∗ σSfruttando le equazioni di equilibrio al contorno

∫∫∫ =+V

ijijV

jjS

jj dVudVubdAuf *,

** σ

Il termine del gradiente dello spostamento ui,j* può essere decomposto

nella sua parte simmetrica εi,j* (tensore delle deformazioni ) e

antisimmetrica ωi,j* (tensore delle rotazioni).

In virtù di questa decomposizione e del fatto che il tensore degli sforzi σi,j

* è un tensore simmetrico, come si ricava dall’equilibrio alla rotazione del continuo di Cauchy, ed essendo il prodotto di un tensore simmetrico per uno antisimmetrico nullo si ha:

( ) *,

*,

*,

*, ijijijijijijij u εσωεσσ =+=

Si ottiene infine:

∫∫∫ =+V

ijijV

jjS

jj dVdVubdAuf *** εσ

Quindi è stato dimostrato il teorema di lavoro virtuale per continui deformabili partendo dalle ipotesi di:

0, =+ jiij bσStato tensionale di equilibrio

( )ijjiij uu ,,21

+=εStato deformativo congruente


49


EQUILIBRIO

LAVORO VIRTUALE NULLOCONGRUENZA


50

Capitolo 4:Il continuo elastico lineare

Il continuo elastico lineare

Dati: Incognite:( )

( )( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

→=→=→=

funzioniPfunzioniPuufunzioniP

ijij

ii

ijij

636

εε

σσ( )bp,Forze applicate:

Reazioni vincolari

3 equazioni di equilibrio + 6equazioni di congruenza

Equazioni a disposizione:

Il problema del continuo non è determinabile se non ricorrendo a delle condizioni aggiuntive. Queste condizioni aggiuntive sono le equazioni costitutive (o di legame). Tramite queste equazioni che mettono in relazione il campo di tensioni con il campo di deformazioni il problema del continuo diventa isodeterminato. Quindi il problema del continuo è risolvibile soltanto considerando l'aspetto statico (equilibrio) e cinematico (congruenza) congiuntamente.

εσ ijij ↔ equazioni costitutive (o di legame)


51


Il legame costitutivo elastico-lineare

Il solido elastico lineare è caratterizzato da una proporzionalità tra il tensore di deformazione e delle tensioni.

klijklij C εσ =

La legge costitutiva elastica lineare è:

biunivoca

lineare (proporzionalità)

invertibile 1−=⇒= CBB ijklijkl σε

In generale il tensore Cijkl ha 34 = 81 componenti.Per la simmetria dei tensori σij e εij tali componenti si riducono a 36

Biunivocità del legame Sistema conservativo

Esistenza del POTENZIALE DI DEFORMAZIONE

Lavoro interno (LI): lavoro compiuto da un campo σ per un campo ε (valori finali) anche completamente indipendenti.

Lavoro di deformazione (Ld): lavoro compiuto dal variare (proporzionale) di σ per il corrispondente stato di deformazione ε(pure variabile).

dVdL ijijI εσ=dVL ijV ijI εσ∫=


52


Se σij ed εij variano:

( )ijklijklijijI C

dVdL δεεδεσδφδ ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

klijklij C εσ =

avendo introdotto con φ il lavoro di deformazione per unità di volume:

( ) ∫=⇒=V

dij dVL φεφφ

Se φ è una funzione potenziale, allora δφ è un differenziale esatto. Allora, per il teorema di Schwartz:

klijijklij

kl

kl

ij

ijklklij

CC =⇒∂∂

=∂

∂⇒

∂∂∂

=∂∂

∂εσ

εσ

εεφ

εεφ 22

Si ottiene un'ulteriore simmetria, rispetto ai gruppi ij e kl: scambiando i due gruppi fra loro, la matrice non cambia. Quindi le componenti si riducono da 36 a 21

Da quanto scritto si ha:

σε

φij

ij

=∂

∂

e per il legame costitutivo si ha:

Cijklkl

ij =∂

∂

ε

σ


53


Quindi:

φεε

φ⇒=

∂∂∂

Cijklklij

2

è al più quadratica

costante→Cijkl

L'espressione più generale di φ è dunque:

klijijklijij CA εεεφφ *0 ++=

Per convenzione:

( ) 000 0 =⇒== φεφ

Quindi resta:

klijklijij

klijijklijij CACA εεφεεεφ ** +=

∂∂

⇒+=

però

σε

φij

ij

=∂

∂

Quindi risulterebbe che per 0=klε 0≠= ijij Aσ

ciò contrasta con l'ipotesi di lavoro iniziale di biunivocità, invertibilità, etc. della legge di legame, allora:

klijijklC εεφ *=


54


Vediamo la relazione che intercorre fra e Cijkl Cijkl

*

εεσε

φklklijklijklij

ijCC

** +==∂

∂

Per la simmetria rispetto all'ordine dei due gruppi ij e kl:

εσ klijklij C2*=

E confrontando con:

Cijklkl

ij =∂

∂

ε

σ

Si ha:

CC ijklijkl 21* =

Infine:

klijklijijklC εσεεφ21

21

==


55


Principio dell’unicità della soluzione

iijiji uP →→→ εσ

ijiP σ→ è lineare se si possono scrivere le equazioni di equilibrio nella configurazione indeformata(ipotesi di piccoli spostamenti)

ijij εσ → è lineare per l’ipotesi fatta sulla legge costitutiva

ijij εσ → è lineare se 1, <<jiu

Se il sistema è elastico: ( )∫==V

ijdf dVLL εφ

(cioè il lavoro fatto dalle forze è uguale a quello necessario adeformare il corpo) la soluzione del problema esiste ed è unica (lo si intuisce per la linearità).

Se la soluzione non fosse unica:

iii

iii

up

up′′′′→

′′→

,

,'

'

σ

σ


56


Sovrapponendo gli effetti ''''' ,0 iiiiii uupp −′′−′→−= σσ

dove

0

0''' ≠−

≠′′−′

ii

ii

uu

σσ

Quindi un sistema di forze nullo provocherebbe tensioni e spostamenti.

Teorema di reciprocità (Betti)

Il lavoro mutuo fatto dal sistema di forze (a) per gli spostamenti dei loro punti di applicazione indotti dal sistema (b) è uguale al lavoro fatto dalle forze del sistema (b) per gli spostamenti dei loro punti di applicazione indotti dal sistema (a).

•Per la dimostrazione del teorema di reciprocità si procede come segue:

Se si applica prima il sistema (a) e poi il sistema (b):

LLLL abba ++=1


57


Se si applica prima il sistema (b):

LLLL baab ++=2

Ovviamente:

LLLL baab =⇒= 21

•Sistemi energicamente ortogonali:

0== LL baab

Energia potenziale totale di un corpo elastico

Energia di posizione (potenziale delle forze): ∑−=Π ii uFEnergia di deformazione (potenziale elastico):

∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

Vklijijkl

Vd dVCdVL εεφ

21

Π+= ∫V

dVφξEnergia potenziale totale:

Si può dimostrare che: “Per campi (u, ε) congruenti e campitensionali equilibrati la energia potenziale totale è stazionaria”


58


Ipotesi di omogeneità

I Cijkl sono uguali in tutti i punti del continuo

Ipotesi di isotropia

Al variare della terna di riferimento non varia neppure l'espressione di Φ ⇒ Cijkl è costante rispetto alla direzione.

L'ipotesi di ISOTROPIA implica che, nella espressione di Φ, devono comparire soltanto i TRE INVARIANTI della deformazione:

33222

11

2EAEAEA

++=φ

dove

εεεε 3322111 ++== iiE( )εεεεεεεεεεεε 1331322321123322331122112 ++−++=E

ε ijE det3 =

ed inoltre:03 =A

poiché Φ può essere AL PIU' quadratica in ε. Allora le costanti si riducono a 2: A1 e A2 .


59


Attribuiamo alle due costanti un significato fisico ⇒ legame fra ε e σ.

εεεσ

∂

∂+∂

∂=∂

Φ∂=

ijijijij

EA

EE

A 22

11

122

Esplicitando:

γγετσ GAA ijijijijij =−=−==

22

2ji ≠a)

quindi le componenti tangenziali della tensione, nel caso isotropo, dipendono soltanto dalle dilatazioni angolari corrispondenti.

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=− GA

22 modulo di elasticità tangenziale (o

trasversale [F/S]).

Poiché Φ deve essere positivo

( )

0

21

21 2

1222121212122

>⇓

−=−−==Φ

G

AAAijij εεεεεεσ

b) i = j, per esempio = 1

( ) ( )33222332211111 εεεεεσ +++++= AA

Sommando e sottraendo A2ε11 si ha:

( )( ) { 1123322112111

2εεεεσ

GAAA −++++=


60


Quindi, posto λ = A1 + A2

( )( )332211

3322111111

22

εεελεσεεελεσ

+++=+++=

iiii GG

Le componenti normali di σ dipendono da tutte e tre le deformazioni lineari, ma non dalle componenti tangenziali.Riunendo le due formule si ha:

iiijijij G εδλεσ =∆∆+= ;2

Legge di Hooke generalizzataOsservazioni

•Per materali isotropi, se una terna di riferimento è principale per εè principale anche per σ

•λ non ha significato fisico immediato; per riconoscerlo, si possono rovesciare le espressioni:

( ) ijkkijij GGGσσδ

λλε

21

232+

+−

=

•Introducendo le costanti “ingegneristiche” E e ν, tramite le relazioni:

11

33

11

22

33

33

22

22

11

11

εε

εε

εσ

εσ

εσ

−=−=

===

v

E


61

Capitolo 4:Il problema elastostatico

Si ottiene:

kkijijij

kkijijii

Ev

Ev

vv

vE

σδσε

εδεσ

−+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+=

1211

E = 2G(1+ν) (modulo di Young)

( )λλ+

=G

v2

(coefficiente di Poisson)

Il problema elastostatico

Abbiamo un solido nella configurazione Co soggetto a forze di superficie assegnate su una porzione di superficie del solido e forze di volume . Inoltre se il solido è elastico si introduce il tensore del legame costitutivo elastico. Questo tensore ha 36 componenti distinte se il solido è elastico senza simmetrie. Queste si riducono a 21 se è iperelastico, e a 2 sole se il solido è isotropo. Per conoscenza della soluzione si intende la conoscenza in tutti i punti del solido di:

fb

ijklC

( )Puu ii = le componenti di spostamento in tutti i punti del continuo Co

( )Pijij εε = le componenti di deformazione in tutti i punti del continuo

( )Pijij σσ = le componenti di tensione in tutti i punti del continuo


62


Si dispone delle seguenti equazioni:

0, =+ jiij bσEquazioni di equilibrio in V (di Co)

jiij fn ˆ=σe equazioni ai limiti

ijijkkij G εδελσ 2+=Equazioni di legame

Equazioni di compatibilità - congruenza in V( )ijjiij uu ,,21

+=ε

Condizioni di contorno espressi in uno dei seguenti modi:I. sono assegnati gli spostamenti lungo tutto il contorno

II. sono assegnati gli sforzi lungo tutto il contornof

III. su una parte del contorno sono assegnati gli spostamenti e sull’altra parte gli sforzi

Alla fine si hanno:• 6 equazioni di congruenza;• 3 equazioni di equilibrio;• 6 equazioni costitutive;per un totale di 15 equazioni.

Per contro abbiamo:•3 incognite di spostamento;•6 incognite di deformazione;•6 incognite di tensione;per un totale di 15 incognite


63


Nel caso I si ottengono le seguenti equazioni di Navier-Cauchy (1827)

02 ,, =++ jiijijikk bG εδελ

( ) 0212

,,,. =+++ jiijjiijkik buuGu δλ

0,,. =+++ jiijjiikjk buGuGuλ

( ) 0,2 =+++∇ jijij buGuG λ

Nel caso II si ottengono le seguenti equazioni di Beltrami-Michell (1900)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−++−=+

+ ijkkijjikkijijkk bbb δν

νσσν ,,,,. 11

1

Nel caso III si risolve il problema di equazioni e si impongono condizioni al contorno parziali


64

Capitolo 5:Il problema di De Saint Venant

Postulato di De Saint Venant

Si consideri un generico continuo e sia questo in equilibrio per effetto di un sistema di forze S applicato su una porzione del solido.

Il postulato di De St. Venant afferma che: "gli effetti, in termini di σed ε, di questo sistema di forze S si risentono solo in una porzione del solido di dimensioni paragonabili alla massima distanza tra i punti di applicazione delle forze".

Sovrapponendo gli effetti:

⇒ rispetto ad (a), in (c) lo stato tensionale cambia solo in B".


65


"Se si sostituisce un sistema di forze con la sua risultante, gli effetti in termini di tensioni e deformazioni si risentono solo nella porzione di dimensioni paragonabili alla massima distanza fra i

punti di applicazioni delle forze"

⇓

Il corollario di De St. Venant ci permette di dire che per le travi il campo tensionale in una sezione dipende solo dalle caratteristiche di sollecitazione, con la sola esclusione delle zone, molto ristrette,

dove sono applicate forze e coppie concentrate.

Problema di De St. Venant

Il problema di De St. Venant consiste nella soluzione del problema elastico per un solido cilindrico allungato. Vediamo nel particolare le ipotesi di base al problema di De St. Venant.

•Geometria del solidoSolido prismatico a sezione costante con lunghezza “L” molto maggiore delle dimensioni trasversali (le quali si suppongono dello stesso ordine di grandezza tra loro): L>>D.

x, y, z si fissano sugli assi principali d’inerzia


66


•Natura del solidoCorpo elastico omogeneo e isotropo: le caratteristiche meccaniche del corpo sono le stesse in tutti i punti del corpo così come le costanti di Lamé.

•VincoliPer impedire il moto rigido del sistema possiamo fissare, ad esempio, il baricentro G0 del sistema di riferimento assunto, pertanto:

( ) ( ) ( ) 0,,,,,, 000000000 === zyxwzyxvzyxu

ϕϕϕ zyx

xw

zu

zv

↓↓↓∂∂

=∂∂

=∂∂

•ForzeTutte le forze esterne sono applicate solo sulle basi estreme del solido. Sono nulle le forze superficiali sulla superficie laterale ed anche le forze di massa.

Caratteristiche di sollecitazioneOgni sezione del prisma ha uno stato di sollecitazione caratterizzato da una forza F e un momento M ottenuti come forza e momento risultante, rispetto al baricentro della sezione, del sistema di forze superficiali applicate (ad esempio) sulla base sinistra del prisma. Le loro componenti rispetto al sistema di riferimento assunto vengono dette caratteristiche di sollecitazione. È immediato verificare, da semplici considerazioni di equilibrio, la validità delle seguenti relazioni:


67


dATR A zxxx ∫== σ

dATR A zyyy ∫== σ

dANR A zzz ∫== σ

dAyM A zzx ⋅= ∫ σ

dAxM A zzy ⋅−= ∫ σ

( )dAyxM A zxzyz ∫ −= σσ

È inoltre possibile, dall'equilibrio alla traslazione, se la trave è rettilinea (avendo supposto non vi siano forze di massa né forzeapplicate sulla superficie laterale del solido) verificare le seguenti:


68


ozLz

oyLy

oxLx

RR

RRRR

,,

,,

,,

=

=

=

Inoltre, imponendo l’equilibrio alla rotazione:

MLRM LxLyx ,,0, =⋅+

zRMM Lyxzx ,0,, +=

Analogamente per My :

MLRM LyLxy ,,0, =⋅+

Osservazioni

1) Le equazioni scritte sono indipendenti dal legame ipotizzato (quindi valgono anche per materiali non elastici)

2) Non compaiono esplicitamente le yyxyxx σσσ ,,


69


Ipotesi di lavoroViene ipotizzato quanto segue:

0=== σσσ yyxyxx

Questo equivale a supporre che la tensione normale su qualunque elemento piano parallelo all’asse z sia nulla ( su elementi piani paralleli all’asse z). Se si riesce a trovare la soluzione del problemaelasto-statico con questa ipotesi, dato il teorema di unicità diKirchhoff, le tre componenti nulle diverranno parte della soluzione. Pertanto nella sua espressione più generale il tensore degli sforzi diCauchy per il problema che stiamo affrontando al più ha la seguente forma:

0=nnσ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

σσσσσ

σzzzyzx

zy

zx

ij 0000

Conclusioni

1) lo stato di tensione è biassiale;2) l’invariante cubico di è nullo ( )ijσ 0det =ijσ

Equazioni di equilibrio

0, =+ jiij bσ

Avendo ipotizzato nulle le forze di massa si ottiene:

0, =iijσ


70


Allora:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++==

000

,,,

,

,

zzzyyzxxz

zzy

zzx

σσσσσ

Dalle prime due equazioni segue che le componenti di tensione tangenziale, avendo la derivata nulla rispetto a z, sono funzioni al più di solo x e y. In altri termini la distribuzione delle tensioni tangenziali è la stessa in tutte le sezioni : ( )yx,ττ =

Derivando invece la terza equazione rispetto a z i primi due termini spariscono per quanto appena detto e rimane: . Ossia è al più una funzione lineare in z.

0, =zzzzσ zzσ

Introducendo le equazioni costitutive del problema elastico:

( )[ ]ijijij IE

δνσνε σ−+= 11

dove , e particolarizzandole allo stato di tensione di De St.Venant:

zzI σσ =

( )[ ] zzzzyyxxxxxx EEu σνσσνσε −=+−==

1,

( )[ ] zzzzxxyyyyyy EEu σνσσνσε −=+−==

1,

( )[ ] zzyyxxzzzzzz EEu σσσνσε 11

, =+−==

02,, ===+=G

uu xyxyxyyxxy

σεγ


71


Guu yz

yzyzzyyz

σεγ ==+= 2,,

Guu xz

xzxzzxxzσεγ ==+= 2,,

Pertanto nella sua espressione più generale il tensore della deformazione per il problema che stiamo affrontando al più ha laseguente forma:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

εεεεεεε

εzzxzyzx

yzyy

xzxx

ij 00

Dalla equazione di Beltrami si dimostra:

0, =xxzzσ 0, =yyzzσ 0. =xyzzσ

La funzione ha dunque le derivate seconde nulle rispetto a x, y e z, e nulle anche quelle rispetto alle derivate miste in x e y. Allora al più la sua forma più generale, sintesi di equilibrio congruenza e legame, è la seguente:

zzσ

( )ycxbazycxbazz ⋅+⋅+±++= 111σ


72


Equazioni di equilibrio al contorno

a) superficie laterale (scarica)

I coseni direttori sono caratterizzati dalla forma ossia:

( )0,, yx nnn ≡0=zn

Le equazioni al contorno diventano:jiij fn =σ

00 ==+=⋅++= jyyzxxzzzyyzxxziij fnnnnn σσσσσσ

Prendendo un qualunque elemento piano di normale , e indicando con il vettore la condizione precedente può essere, per ogni punto del contorno, riscritta:

( )yx nnn ≡τ ji zyzx σστ +=

0=⋅nτ

( )00 =zSb) Base

I coseni direttori sono caratterizzati dalla forma . Le equazioni al contorno diventano:

( )1,0,0 −≡n

jiij fn =σ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=−=

3

2

1

fff

zz

zy

zx

σσσ


73


c) Base ( )LzSL =

I coseni direttori sono caratterizzati dalla forma Le equazioni al contorno diventano:

( )1,0,0≡njiij fn =σ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

3

2

1

fff

zz

zy

zx

σσσ

DSV: Caso 1 (flessione composta)

0=== zyx MTT

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⇒==≠

σσσσσ

zz

ijzyzz zx00

000000

0,0

dall’equilibrio infinitesimo:

0, =zzzσ

quindi:( )0zcybxazz +++=σ

Coefficienti delle equazioni di equilibrio globale:

( )ANaAaydAcxdAbaAdAcybxadAN

AAAA

zzz =⇒⋅=++=++== ∫∫∫∫σ

JMcJcdAycxydAbydAadAyM

xx

xxxAAA

Azzx =⇒=++=⋅= ∫∫∫∫

2σ

J

MbJbdAxycdAxbxdAadAxMyy

yyyAAA

Azzy −=⇒−=−−−=⋅−= ∫∫∫∫

2σ


74


Si ottiene la cosiddetta formula di Navier per la flessione composta:

xJ

MyJM

AN

yy

y

xx

xzz ⋅−⋅+=σ

1° sottocaso: forza normale semplice ( e )0≠zN 0== yx MM

Stato tensionale:

AN

z =σ

Stato deformativo:

EAN

yyxx ⋅−= νεε( )EAN

zzz == λε 0=== zxyzxy γγγ

Stato di spostamento:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

⋅−==

⋅−==

EANw

EANvEANu

zzz

yyy

xxx

,

,

,

ε

νε

νε

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+−=

+−=

⇒

yxfzEANw

zxfyAN

Ev

zyfxAN

Eu

,

,

,

3

2

1

ν

ν

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+==

+==

+==

yzyz

xzxz

xyxy

wvwu

vu

,,

,,

,,

00

0

γγ

γ


75


dalle condizioni sugli scorrimenti si ricava essere nulle le fi e dunque la soluzione in termini di spostamenti è:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅=

⋅−=

⋅−=

zEANw

yEANv

xEANu

ν

ν

Il solido si deforma in seguito all’applicazione di una sollecitazione di forza normale semplice:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

wzzvyyuxx

'

'

'

zEANz ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += 1'

xAN

Ex ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ν1'

yAN

Ey ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ν1'


76


In conclusione:

"ogni sezione retta nella deformazione rimane piana e si mantiene parallela a se stessa; l'asse geometrico si allunga ma non si sposta; inoltre ogni punto della sezione si sposta in direzione del baricentro di una quantità proporzionale alla distanza dal baricentro".

Lavoro di deformazione

∫∫ =Φ=V

zzzzVD dVdVL εσ21

Essendo la sezione costante, si ha:

lEANAl

EANdV

EAN

AN

LD

2

2

2

21

21

21

==⋅= ∫

2° sottocaso: flessione retta ( e )0≠xM 0=yM 0=zN

Stato tensionale

yJM

xx

xzz ⋅=σ

Stato deformativo

yEJM

Exx

xzzxxyy ⋅−=−== νσνεε

yEJM

xx

xzz =ε

0=== γγγ yzxzxx


77


Stato di spostamento

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅==

⋅−==

⋅−==

yEJMw

yJM

Ev

yJM

Eu

xx

xzzz

xx

xyyy

xx

xxxx

,

,

,

ε

νε

νε

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+==

+==

+==

yzyz

xzxz

xyxy

wvwu

vu

,,

,,

,,

00

0

γγ

γ

Integrando le prime tre e sostituendo nelle seconde si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0000;0000 ====== ϕϕϕ zyxwvu

( ) yxJM

Euzyfyx

JM

Eu

xx

x

xx

x νν−=⇒+−= ,

1

( ) ( )( )xyzEJMvzxfy

JM

Ev

xx

x

xx

x 222

2

2

2, −+−=⇒+−= νν

( ) yzEJMwyxfyz

EJMw

xx

x

xx

x =⇒+= ,3

Da queste si deduce quanto segue:

l'asse geometrico non esce dal piano ;( )0== yx zy −

la trave assume la forma di una curva, con raggio di curvatura nella sezione:

xx

x

EJM

dzyd

Rvyy −==⇒+= 2

'2' 1

(se Mx è costante la deformata è un arco di cerchio);


78


l'asse geometrico non si allunga né si accorcia: ;( )0== yx 0=w

le sezioni rette rimangono piane, ma ruotano:

cEJMcy

EJMcwzzcostantecz

xx

x

xx

x ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⋅+=+=⇒== 1'

per fibre parallele all'asse y:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅=+= y

EJMxuxx

xx

xν1'

il piano di flessione è perpendicolare all'asse neutro:

n -n asse neutro: luogo geometrico in cui si annulla ;zzσ

f -f asse di flessione: intersezione del piano di flessione (dove è contenuta la deformata) col piano della sezione;

s -s asse di sollecitazione: intersezione del piano di sollecitazione (dove è contenuta la coppia Mx ) col piano della sezione.


79


Lavoro di deformazione

EJ

MdAydzdVE

yJMdVL

xx

xlv

xx

xzzv zzD 2

22

2

211

21

21

∫ ∫∫∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== εσ

ma

JdAy xx=∫2

e

EJ

lMxL

xxD

2

21

=

3° sottocaso: flessione deviata ( e )0≠xM 0≠yM 0=zN

Stato tensionale

xJ

MyJM

yy

y

xx

xzz ⋅−⋅=σ


80


Asse neutro

Si deduce:

xM

M

JJy

x

y

yy

xxzz =⇒= 0σ

M

Mmxtgx

y=∧

M

M

JJxntg

x

y

yy

xx=∧ ∧∧

= mxtgJJxntg

yy

xx

In flessione deviata, n è perpendicolare ad s soltanto quando si ha che Jxx = Jyy , ossia l'ellisse centrale d’inerzia è un cerchio

Come avviene la deformazione ?

dzEJ

MdzEJMddd

yy

y

xx

xyx

+=+= ϕϕϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒==

^xntgtg

MJ

J

Md

dtg

x

xx

yy

y

x

yβ

ϕ

ϕβ

La rotazione avviene dunque intorno all'asse neutro ed è contenuta nel piano di flessione

la "deviazione" è data dall'angolo formato dall'asse f e l'asse s


81


4°sottocaso: flessione composta o pressoflessione ( e )0≠xM 0=yM 0≠zN

Stato tensionale

xJ

MyJM

AN

yy

y

xx

xzz ⋅−⋅+=σ

Centro di sollecitazione

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≡≡

NM

NMyxP xy

PP ,,

Giratori di inerzia

AJ

AJ yy

yxx

x== ρρ

22,

xA

NxyA

NyANx

AMy

AM

AN

y

P

x

P

y

y

x

xzz

ρρρρσ 2222 −+=−+=

Asse neutro

L’asse neutro è il luogo geometrico dei punti non sollecitati nella flessione. Pertanto lo si trova imponendo l’annullarsi della :zzσ

010 22 =⋅+⋅+⇒= xxyy

y

P

x

Pzz ρρ

σ

Nella polarità d’inerzia i punti uniti, ossia quelli appartenenti alla propria polare, sono punti immaginari, pertanto è conveniente sostituire la polarità di inerzia con una antipolarità definita a partire dalla polarità di inerzia con l’aggiunta di una simmetria rispetto al baricentro G della sezione. In questo modo si ha: e .'' PP xx −= '' PP

yy −=


82


PUNTI UNITI = APPARTENENTI ALLA PROPRIA POLARE

POLARITA’ D’INERZIA ⇒ PUNTI UNITI IMMAGINARI

LUOGO GEOMETRICO INDIPENDENTE DAL VALORE DI N

POLARITA’ : ELISSE IMMAGINARIO01 2

2

2

2

=++yx

xyρρ

ANTIPOLARITA’ = POLARITA’ + SIMMETRIA RISPETTO A G:

'' PP xx −= '' PPyy −=

ANTIPOLARITA’ : ELISSE REALE01 2

2

2

2

=−−yx

xyρρ

“Nocciolo centrale d'inerzia”: luogo degli antipoli rispetto all'ellisse centrale reale (o dei poli rispetto a quello immaginario) delle rette tangenti, e non secanti, al contorno".


83


Equazione della retta r:

121

12

232 Bρ BH

HBy

=⋅=12

112

232 H

BHBH

x=⋅=ρ

ρ2

2012022

x

PyHH

yHyHy =−⇒=+−

⇒=+−⇒=

00 2 =⇒= Py

P xxρ

Si ottiene:

62

12

2 HH

HyP−=−=

0=PxPer la retta r’:

6'

HyP

+=

DSV: Caso 2

0≠zxσ

0≠zyσ0≠zzσ


84


0≠zzσ;0≠zxσ ;0≠zyσDSV: Caso 2

1° sottocaso: torsione: ( e )0≠zxσ 0≠zyσ 0=zzσ

Stato tensionale

Detto n il versore normale alla frontiera, diretto verso l’esterno, si può esprimere le condizioni al contorno come segue:

0=⋅ nzτdove

σστ zyzxz+=

Dall’analisi delle prime due equazioni di equilibrio si ricava che è indipendente da z. Dalla terza equazione invece:

zτ

0,, =+ yzyxzx σσ 0=zdivτ

⇓Teor. di Gauss: il flusso di attraverso qualunque curva chiusa è nullozτ

⇒


85


Supponiamo di conoscere le linee di flusso, il flusso attraverso γ1 e γ2è nullo, quindi:

tt zz 21 21⋅=⋅ ττ

la "portata" per canale di flusso è costante per qualsiasi sezione (se il canale di flusso si restringe, aumenta tanto che teoricamente se gli spigoli sono vivi le assumono valore infinito):

zτzτ

cost.=⋅ tzτ


86


La risultante si trova proiettando lungo la direzione generica r.

( ) ( ) ( ) 00coscos =⋅== ∫∫ tcdtcdt zzz τατατ

questo risultato da un lato conferma che effettivamente l’unica caratteristica di sollecitazione che sollecita la sezione è il momento torcente, dall’altro consente di determinare il momento torcenterispetto a un qualunque punto del piano:

( ) ( ) ( )czzzz AtcddtcddtM 2⋅=⋅=⋅= ∫∫ τττ

dove con Ac si è indicata l’area racchiusa dalla linea media del canale:

Formula di Bredt

tAM

c

zz ⋅⋅=

2τ


87


Stato deformativo

Definita kzdz (kz è la cosiddetta caratteristica di deformazione) come la rotazione relativa intorno a z di due sezioni consecutive poste a distanza infinitesima dz, si può esprimere il lavoro elementare tra le due sezioni come:

dzkMdMdL zzzzD 21

21

== ϕ

∫∫ ===A ijijv ijijzzD dAdzdVdzkMdL εσεσ

221

21

ma

( )22

21

41

21

00000

zyzxijijijij

yzxz

zy

zx

ij GGσσσσεσ

σσσσ

σ +==⇒=

dove222zzyzx τσσ =+

Quindi sostituendo sopra:

∫=A zzz dA

GkM 21 τ


88


Per ogni canale elementare, dalla formula di Bredt, si può esprimere la τz :

( )

∫∫

∫∫∫∫

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=====

canalec

z

cc

z

cz

cz

czA zzz

tcd

GAM

tcd

AM

G

tcdt

Gcd

tt

Gcdt

GdA

GkM

2

2

2

2

222

222

441

1111 ττττ

∫=⇒canale

c

zz t

cdAG

Mk 241

Definendo Jt (momento d’inerzia ridotto) come segue:

[ ] [ ]4

2411

LJ

tcd

AJ

t

canalect

=

= ∫

Si può scrivere:

t

zz GJ

Mk =

Si può anche esprimere:

)1( ≥= qconqJJ G

t

dove q è il fattore di torsione


89


Esempio: Sezione circolare piena

.cos).cos(.cos ttttt zz =⇒=⇒=⋅ ττ

Momento torcente esterno applicato in funzione della tensione:

( ) 22 rtrM zz πτ=

Per un canale di spessore dr si ha:

( ) drrrdM zz22 πτ=

E quindi su tutta la sezione:

( )∫=R

zz drrrM0

22 τπ

Scrivendo le equazioni fondamentali si ottiene:

( )

( ) zxzzyxzyyzx

zyzzxxzyyzy u

,,,

,,,

1,

1,

σννσσ

σνσσ

++

=−

+−

=−


90


Ma poiché: 0=zzσ

( )( ) 0,

0,

,,

,,

=−

=−

yxzyyzx

xxzyyzy

σσ

σσ

Inoltre:( )

0

,,

zyzx

yyxz

yzxxzyz

kji

rot

verszrot

σ

τ

σστ

∇∂∂

∂∂

∂∂

=

−=

Pertanto per le due equazioni precedenti si ha:

costanterot yzxxzyz =−= ,, σστ (congruenza elastica)ANALOGIA IDRODINAMICA

Inoltre:

→=⋅ 0nzτ equilibrio di contorno

equilibrio locale

equilibrio globale

→= 0zdivτ

( )∫ →⋅−⋅=A zxzyz dAyxM σσ

Le quattro equazioni di cui sopra rendono determinato il problema

( )yxzz ,ττ =


91


Tornando alla sezione circolare anulare (se R1=0 la sezione è piena):

( )cr

drrrM

z

R

R zz

=

= ∫τ

τπ 2

1

22

Questo comporta:

cycr

cx

zzx

zzy

−=−=−=

==

αατσ

ατσ

sensen

cos

Quindi:

crotrot zz 2cost =⇒= ττ

Tutte le condizioni delle equazioni di cui sopra sono soddisfatte dunque l’ipotesi inizialmente sulla circolarità delle linee di flusso viene confermata.

( )

rJMJcM

drrcdrrM

G

zzGz

R

R

R

R zz

=⇒⋅=

== ∫∫τ

πττπ 2

1

2

1

32 22

dove

G

R

RJdrr =∫

2

1

32π


92


Infine si determina l’espressione della tensione τz per la sezione circolare:

rJM

G

zz =τ

Determinazione della deformazione globale:

( )

t

z

G

z

z

Gz

AA zyzxzz

zz

GJMq

GJM

GMJck

dArcG

dzdAG

dzdzkM

dzkd

===

=+=

=

∫∫2

2222

4421 σσ

ϕ

GAJdAr =∫ 2Dove:

Le uniche componenti di spostamento sono:

xv z ⋅+= ϕyu z ⋅−= ϕ

↓ ↓zyk z− zxk z

0=w


93


Esempio: Sezione rettangolare allungata (a>>b)

IpotesiLe linee tangenziali del campo vettoriale delle tensioni tangenziali sono parallele all’asse delle x per quasi tutta la sezione (ad esclusione delle zone terminali). Si possono allora applicare a questa sezione la teoria di Bredt al canale di spessore dy e procedere al calcolo dell’aliquota di momento torcente assorbita da questo.

zτ

cyrot zxy

zxzzy −=⇒=−=⇒= σστσ cost.0

dyaycaydyaydyAdydM zxzczz2422222 ==−=−= σττ

62344

332

0

22

0

acbbacdyyacdMMbb

zz =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=== ∫∫ 3

6abMc z=⇒

Particolarizzata la costante di proporzionalità si può esprimere la tensione σzx :


94


yJMy

abMy

abM

t

zzzzx

2

3

2633 −=−=−=σ

Ponendo si può infine scrivere anche :12

3abJ x = y

JM

x

zzzx 2

1−== τσ

Spesso si è interessati al valore massimo delle tensioni tangenziali, questo lo si può valutare ponendo nella espressione precedente y=b/2

( ) bJ

Mbab

MbabM

t

zzzz ⋅=⋅=⋅=

33max

312

6τ

Si determina la caratteristica di deformazione kz anche per il caso in esame:

( )

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+==

∫

∫∫

Azx

zx

A xzxzzxzxA ijijzz

dAG

dz

dAdzdAdzdzkM

22

2

2221

σσ

εσεσεσ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∫∫

∫∫

At

zA zx

Azx

zxAzx

zx

dAJM

GdzdA

Gdz

dAG

dzdAG

dz

22 2

22

22

222

2

σ

σσσσ

t

zz

J

At

z

JM

Gdzab

ab

MG

dzdAyJM

Gdz

x

23

23

22

2

2

212

3

42

42

⋅=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅= ∫ 321


95


Ricapitolando:

t

zz

t

zzz GJ

MkJ

MG

dzdzkM =⇒⋅=2

221

Per il fattore di torsione:

( )2233

121212baabbaabJG +⋅=+=

411 2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==

ba

JJq

t

G

Per si vede che JG>Jt , come atteso, mentre per , la sezione non può essere considerata come allungata.

ba 3> ba 3<

2° sottocaso: taglio ( e )0≠zxσ 0≠zyσ 0≠zzσ

Stato tensionale

L’azione tagliante non è disgiunta da un’azione flettente: si haautomaticamente anche un momento (flettente). Si accetta come ipotesi che la tensione normale, che diviene una parte della soluzione, sia:

( )y

zLy

JT

JM

x

y

x

xzz

−−==σ


96


Occorre determinare σzx e σzy:

Definito il “Centro di taglio” come quel punto di applicazione della forza di taglio che realizza: kz=0 e Mz=0

( ) yGCX t ⇔≡= 0 asse di simmetria

Valgono le seguenti:• Il centro di taglio è unico;• Se il taglio non passa per il centro posso ridurre il sistema ad una

forza di taglio centrata + un momento torcente;

Considerazioni sull’equilibrio:

0

00

,,,

,

,

=++

=

=

zzzyzyxzx

zyz

zxz

σσσ

σσ


97


ma( )

yJT

yJ

zLT yzzz

x

yzz =⇒

−⋅−= ,σσ

e quindi:

0,, =++ yJT

x

yyzyxzx σσ

Sulla superficie laterale: 0=⋅ nzτ

Introduciamo il flusso attraverso una corda B1B2 , questo è positivo se uscente da A1

( )τφ zBB 21

Lungo il contorno esterno B1 B2 , allora tutto il flusso da A1 ad A2 è lungo la curva di separazione.Applicando il teorema di Gauss il flusso entrante in A1 è:

021

=φ BB

( ) ( ) ∫∫ ⋅=+−=11

21 ,,A x

y

AyzyxzxzBB dAy

JT

dAσστφ

( ) ∫=A

ydAJ

T

x

yzBB

121

τφ

Con Ty e Jx costanti nella sezione, dunque:


98


Ma è il momento statico di A1 rispetto all’asse x pertanto:∫A ydA1

( ) SJ

TBB x

x

yz 121

=τφ

Poiché il flusso entrante in A2 sarà021 =+xx

SS ( ) SJ

Tx

x

yzBB 121

−=τφ

Se, come viene assunto generalmente nelle applicazioni, B1 B2rettilinea allora e dunque il flusso può essere riscritto:dld

pzτφ =

( ) ∫= BB

dlpzzBB

2

121

ττφ

Dal teorema della media:

bBB pz ⋅= τφ21

quindi:

bS

J

TzbzS

J

T x

x

yx

x

y

pp

11 =⇒⋅= ττ


99


Formula di Jourawski

bS

JT

x

px

yz

1⋅=τ

La teoria adesso sviluppata è la cosiddetta teoria approssimata del taglio (di Jourawski).Le assunzioni di questa teoria, sono: 1) Ty passa per il centro di taglio.2) si scelgono corde in modo che per un punto ne passi una sola.3) , cioè la tensione ortogonale alla corda è costante e pari al valore medio.

È importante notare che la soluzione trovata è equilibrata, ma non congruente non avendo fatto ricorso a condizioni di congruenza.

ττ zpz =

Esempio: Sezione a “C”

T1 , T2 , e T3 siano le risultanti rispettivamente lungo a -b , b - c e c - d


100


Per l’equilibrio:

HTeTY ⋅=⋅ 1 31 TT = yTT =2

Il centro di taglio è definito da:

T

HTey

⋅= 1

Esempio: Sezione con un asse di simmetria (Trattazione generale)

Corde parallele all'asse x; applicando la formula di Jourawski si ha:

cost. 1 ===bJ

Szz

x

xy

yp

τστ

( )y

J

zlT

x

yzz

−−=σ


101


Dalla III) equazione di equilibrio si ha:

0,,, =++ σσσ zzzyzyxzx

Derivando rispetto a x:

0,,, =++ σσσ zxzzyxzyxxzx

0, =σ yxzy 0, =σ zxzz

Per cui:

21 axazx +=σ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==

+=−=

2b x,

2b x,

2

1

Bintg

Bintg

zy

zx

zy

zx

βσσ

βσσ


102


zy

zy

zytg

ba

tgaba

tgabaσβ

βσ

βσ⋅−=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−

−=+ 2

2

21

21

21

Quindi:

xtgb zyzx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= σβσ

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2b

dydtgβma

xdydb

b zyzx σσ1

=

00 =⇒= zxdydb σse per tutta la corda

Variazione di lungo la sezionezyσ

bJ

ST

x

xyzy

1=σ

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

dydb

bS

dydS

bJ

Tdyd xx

x

yzy 2

111σ


103


Se si incrementa la corda di dy: ydy 11 bdy

dydS

dSx

x −== allora

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

dydb

b

SyJ

Tdyd x

x

yzy 2

1σ

dydb

b

Sydy

d xzy21

max0 −=⇒=σ

Quindi se 0=dydb

σ zymaxè baricentrica

Stato di deformazione a taglio

La teoria approssimata del taglio non può fornire una soluzione per la deformazione punto-punto poiché la soluzione non è una soluzione congruente. Si deve perciò limitare lo studio alla deformazione globale. Prendendo due sezioni distanti dz, la deformazione riferibile al solo taglio è ridotta ad uno scorrimento relativo di una sezione rispetto all’altra nella direzione dell’asse di flessione. Per analogia con quanto fatto in precedenza si definisce come caratteristica di deformazione tagliante lo scorrimento relativo di una sezione rispetto all’altra quando queste sezioni sono poste a distanza dz.


104


Teorema di Clapeyron

dzTdL yyd λ21

=

( ) dzdAG

dLA

zyzxd ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∫ 22

21 σσ

( )∫ +=A

zyzxyy dAGdz

T22 σσλ

( )∫ +=A

zyzxy

y dAGTdz 22 σσλ

Supponendo la sezione simmetrica rispetto a y:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=

=

xdydb

b

bJ

ST

zyzy

x

xyzy

σσ

σ

1

1

dAxdydb

bbS

JGTdAx

dydb

bbS

J

TGT A

x

x

y

Ax

x

y

yy ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= ∫∫ 111111

2

2

2

12

2

2

2

1

2

λ

Si pone quindi:

GATX yy

y =λ

dAxdydb

bbS

JA

Ax

xy ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫ 11

2

2

2

12χ

(fattore di taglio)


105


Esempio: sezione rettangolare

0=dydb ⇒ bh

T

bh

Tzy

yy

23

0max

==σ

Infatti:

44 344 21

lxS

hyyhbThbb

SJT

ylx

x

yzy ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

42212

32σ

( )bhT

yhT

bh

yzyyzy 2

304

6 22

3 =⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= σσ

dyyy b

S

J

AX

x

xy ∫= 1

2

2

12

Per il fattore di taglio:

56

44122

2

22

622 =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫−

dyyhb

hb

bhX

b

by

GAT y

y 56

=λ

Capitolo 1: Elementi di algebra vettoriale e...

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