Capitolo III: Geometria analitica nel piano -...

Liceo Lugano 1, 2011-2012 2E (Luca Rovelli)

Capitolo III:Geometria analitica nel piano

1. Vettori e coordinate cartesiane

Grazie all’introduzione degli assi cartesiani Ox e Oy, il piano geometrico viene iden-tificato con il piano cartesiano R2 = {(x, y)|x, y ∈ R} . Ad ogni punto P del pianocorrisponde esattamente una coppia ordinata di numeri reali (xP , yP ) (rispettivamentel’ascissa e l’ordinata di P ). Per indicare il punto P di coordinate xP , yP si scrive sem-plicemente P (xP , yP ).

Sia O(0, 0) l’origine degli assi cartesiani, e siano I(1, 0) e J(0, 1). Allora{−→OI,−→OJ}

e una

base ortonormata di V2 (la base standard):

~i :=−→OI =

(10

), ~j :=

−→OJ =

(01

).

Per il punto P (xP , yP ) ∈ R2 vale

−→OP = xP ·~i+ yP ·~j =

(xPyP

).

Il vettore−→OP ∈ V2 e detto vettore luogo

del punto P ∈ R2.

Conoscere le componenti del vettore luogo di un punto P equivale a conoscere le coordinatedi P . Questo approccio, che sfrutta le proprieta dei vettori, permette una trattazioneelegante e sintetica della geometria analitica.

Risolviamo ora alcuni problemi elementari della geometria analitica con l’aiuto deivettori:

a) Dati i punti A(xA, yA) e B(xB, yB), scrivi il vettore−→AB in componenti:

Otteniamo immediatamente

−→AB =

−−→OB −

−→OA =

(xByB

)−(xAyA

)

cioe−→AB =

(xB − xAyB − yA

)

Geometria analitica (V0.2) 56 LiLu1, 2E (Luca Rovelli)

b) Determina la distanza |AB| tra i punti A(xA, yA) e B(xB, yB): si tratta evidente-

mente del modulo del vettore−→AB, quindi

|AB| =∥∥∥−→AB∥∥∥ =

√(xB − xA)2 + (yB − yA)2 .

c) Determina le coordinate del punto medio del segmento AB, con A(xA, yA) e B(xB, yB):

Otteniamo immediatamente

−−→OM =

−→OA+

−−→AM =

−→OA+

1

2

−→AB

=

(xAyA

)+

1

2

(xB − xAyB − yA

)=

(12(xA + xB)

12(yA + yB)

)

cioe M(12(xA + xB), 1

2(yA + yB)

)(le coordinate del punto medio sono la media

aritmetica delle coordinate degli estremi del segmento).

d) Dati A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC , yC) determina l’ampiezza dell’angolo (convesso)

α = BAC:

Come abbiamo gia osservato, dalladefinizione di prodotto scalare segue

cosα =

−→AB ·

−→AC

‖−→AB‖ · ‖

−→AC‖

.

e) Dato un triangolo ABC di vertici A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC , yC), determinanel’area A e l’altezza h relativa al lato AB: l’area del triangolo misura meta dell’area

del parallelogrammo i cui lati sono rappresentati da−→AB e

−→AC:

otteniamo

A =1

2

∣∣∣det(−→AB,−→AC)

∣∣∣ =

∣∣∣∣∣12∣∣∣∣xB − xA xC − xAyB − yA yC − yA

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Per quanto riguarda l’altezza, basta calcolare

h =2A|AB|

=

∣∣∣det(−→AB,−→AC)

∣∣∣‖−→AB‖

.


2. La retta nel piano cartesiano

Una retta r nel piano e determinata in modo univoco da un punto P0(x0, y0) su di essa e

da un vettore ~v =(v1v2

)parallelo ad essa (un vettore direttore) di r.

P (x, y) giace su r

⇐⇒−−→P0P e ~v sono collineari

⇐⇒ ∃λ ∈ R :−−→P0P = λ · ~v

⇐⇒ ∃λ ∈ R :−→OP −

−−→OP0 = λ · ~v

⇐⇒ ∃λ ∈ R :−→OP =

−−→OP0 + λ · ~v

L’equazione vettoriale

r :−→OP =

−−→OP0 + λ · ~v oppure, in componenti, r :

(xy

)=

(x0y0

)+ λ ·

(v1v2

)e l’equazione parametrica (vettoriale) della retta r. Al variare del parametro λ,−−→OP0 + λ · ~v percorre i vettori luogo di tutti i punti sulla retta r. Quindi, variando λnell’espressione in componenti si ottengono le coordinate P (x, y) di tutti i punti sullaretta r.

Scrivendo separatamente le componenti dei vettori, si ricavano le equazioni parametriche(numeriche) della retta:

r :

{x = x0 + λ · v1y = y0 + λ · v2

Esempi:

1) Determina un’equazione parametrica della retta r passante per A(4, 5) e parallela al

vettore ~v =(

3−2

).

Con P0 = A, possiamo scrivere immediatamente

r :

(xy

)︸︷︷︸−−→OP

=

(45

)︸︷︷︸−→OA

+λ ·(

3−2

)︸︷︷︸

~v

oppure r :

{x = 4 + 3λ

y = 5− 2λ.

2) Determina un’equazione parametrica della retta s passante per A(−1, 2) e B(5, 6).

Possiamo scegliere P0 = A e ~v =−→AB =

(64

), e quindi

s :

(xy

)=

(−12

)+ λ ·

(64

)oppure s :

{x = −1 + 6λ

y = 2 + 4λ.


Osservazione: l’equazione parametrica di una retta non e unica: in essa compaiono lecoordinate di un punto P0 ∈ r qualsiasi e le componenti di un vettore ~v ‖ r qualsiasi.

Ad esempio: nell’es. 2) avremmo potuto scegliere P0 = B(5, 6) e dimezzare il vettore−→AB (per semplificare la scrittura):

s :

(xy

)=

(56

)︸︷︷︸−−→OB

+λ ·(

32

)︸︷︷︸12

−→AB

e un’altra parametrizzazione possibile della retta s (si chiama parametrizzazione la sceltadi un’equazione parametrica).

Eliminando con le consuete tecniche algebriche il parametro λ dal sistema di equazioni{x = x0 + λ · v1y = y0 + λ · v2

si ottiene l’equazione cartesiana di una retta, nella forma esplicita

y = mx+ q

(cioe come grafico di una funzione affine) oppure nella forma implicita

ax+ by + c = 0 .

Esempi (v. sopra):

1) r :

{x = 4 + 3λ (I)

y = 5− 2λ (II); da 2 · (I) + 3 · (II) otteniamo 2x+ 3y = 8 + 15 , e

r : 2x+ 3y − 23 = 0 (implicita) risp. r : y = −2

3x+

23

3(esplicita) .

2)

{x = −1 + 6λ

y = 2 + 4λ; confrontando λ = 1

6(x+ 1) = 1

4(y − 2) ricaviamo

4x+ 4 = 6y − 12 ⇐⇒ 4x− 6y + 16 = 0 ;

dividendo per 2, infine,

r : 2x− 3y + 8 = 0 (implicita) risp. r : y =2

3x+

8

3(esplicita) .

Osservazioni:

(i) L’equazione implicita di una retta non e unica (lo e soltanto ”a meno di una costantemoltiplicativa”): ad esempio, abbiamo appena notato che 4x − 6y + 16 = 0 e2x− 3y + 8 = 0 definiscono la stessa retta.


(ii) Per contro, l’equazione esplicita e unica, ma essa non esiste sempre: in particolare,una retta verticale puo essere descritta soltanto da un’equazione parametrica o daun’equazione cartesiana implicita (in quanto essa non rappresenta il grafico di unafunzione!).

Consideriamo ad esempio la retta verticale per P0(5, 5); con ~v =(01

)vale

r :

(xy

)=

(55

)+ λ ·

(01

)risp.

{x = 5

y = 5 + λ;

ricaviamo immediatamente x − 5 = 0 quale equazione implicita, ma nessunarelazione del tipo y = mx+ q.

Per scrivere l’equazione parametrica di una retta data con l’equazione cartesiana, e utilericordare il significato geometrico dei parametri m (pendenza, o coefficiente angolare) e q(ordinata all’origine):

Con P0(0, q) e ~v =

(1m

)ricaviamo

r :

(xy

)=

(0q

)+ λ ·

(1m

)risp. r :

{x = λ

y = q + λ ·m

(ovvero, scegliamo x quale parametro).

Ad esempio, per la retta r : y = −2x+ 7 utilizziamo P0(0, 7) e ~v =(

1−2

), ricavando

r :

(xy

)=

(07

)+ λ ·

(1−2

).

Osservazione: le tre equazioni viste per descrivere una retta nel piano contengono in-formazioni geometriche diverse, e quindi si prestano di volta in volta alla risoluzione diproblemi geometrici diversi:

• l’equazione parametrica−→OP =

−−→OP0+λ~v contiene le coordinate di un punto P (x0, y0)

giacente sulla retta e le componenti di un vettore ~v =(v1v2

)ad essa collineare; tale

equazione esprime le coordinate dei punti della retta in funzione del parametro1, erappresenta una funzione

R −→ R2

λ 7−→ P (λ) = P (x0 + λ v1 , y0 + λ v2 ) ;

1in generale, una funzione ”continua” R→ R2 rappresenta la parametrizzazione di una curva nel piano


• l’equazione cartesiana esplicita y = mx + q descrive la retta come grafico di unafunzione affine f : R → R; e facile mostrare che m = tanα ove α e l’angoloorientato che la retta forma con l’asse delle ascisse, e q = f(0) e l’ordinata del puntod’intersezione della retta con l’asse Oy;

• l’equazione cartesiana implicita, invece, contiene le componenti del cosiddetto vet-tore normale alla retta:

Lemma 1 (Vettore normale ad una retta)

Il vettore ~n =(ab

)e perpendicolare alla retta di equazione cartesiana

r : ax+ by + c = 0 .

Dimostrazione: nella forma implicita, la retta ha equazione r : y = −abx − c

b;

pertanto, come abbiamo gia visto, essa ha la direzione del vettore ~v =(

1−a

b

).

Il vettore ~n e perpendicolare a r se vale ~n · ~v = 0; verifichiamolo dunque esplicita-mente:

~n · ~v =

(1−a

b

)·(ab

)= a+ b ·

(−ab

)= 0 �

3. Intersezione di 2 rette

Se le due rette r e s sono date per mezzo delle equazioni parametriche

r :

(xy

)︸︷︷︸−−→OP

=

(x0y0

)︸︷︷︸−−→OP0

+λ ·(v1v2

)︸︷︷︸

~v

risp. s :

(xy

)︸︷︷︸−−→OP

=

(x′0y′0

)︸︷︷︸−−→OQ0

+µ ·(w1

w2

)︸︷︷︸

~v′

nel punto d’intersezione P = r ∩ s deve valere−−→OP0 + λ~v =

−−→OQ0 + µ~w;

uguagliando quindi le equazioni parame-triche, ci si riconduce al sistema di equazioni{

x0 + λ v1 = x′0 + µw1

y0 + λ v2 = y′0 + µw2

(1)

con incognite i parametri λ e µ .

Nota che occorre utilizzare due parametri diversi per le due rette! (Perche?)


Esempio: intersechiamo le rette

r :

(xy

)=

(12

)+ λ ·

(1−1

)e s :

(xy

)=

(−4−3

)+ µ ·

(41

);

risolviamo quindi il sistema{1 + λ = −4 + 4µ

2− λ = −3 + µ⇐⇒

{λ− 4µ = −5

λ+ µ = 5;

dalla differenza delle due equazioni risulta −5µ = −10 ⇐⇒ µ = 2 e λ = 5 − µ = 3.Quindi, S = {(3, 2)} e si ottengono le coordinate di P = r ∩ s sostituendo λ = 3 nelleequazioni parametriche di r :

P (1 + λ, 2− λ) = P (4,−1) ,

oppure sostituendo µ = 2 nelle equazioni parametriche di s :

P (−4 + 4µ,−3 + µ) = P (4,−1) .

Osservazione: risolvendo il sistema (1), possono presentarsi tre casi:

• S = {(λ, µ)} : il sistema ha una sola soluzione, e le rette sono incidenti (v. sopra);

• S = ∅ : il sistema non ha soluzioni, e le rette sono parallele;

• S contiene un’infinita di elementi: le due equazioni del sistema sono equivalenti, ele due rette coincidono (si tratta cioe di due diverse parametrizzazioni della stessaretta).

Se, invece, le due rette r e s sono date per mezzo delle equazioni cartesiane (nella forma

implicita o esplicita), le coordinate del punto d’intersezione sono le soluzioni di un (sem-plice) sistema di equazioni:

P (x, y) ∈ r ∩ s ⇐⇒

{ax+ by + c = 0

a′x+ b′y + c′ = 0⇐⇒

{y = mx+ q

y = m′x+ q′.


Esempio: e facile mostrare (ed e un utile esercizio!) che le equazioni cartesiane esplicitedelle rette r e s intersecate sopra sono

r : y = −x+ 3 e y =1

4x− 2 ;

risolviamo il sistema:{y = −x+ 3

y = 14x− 2

⇒ −x+ 3 =1

4x− 2 ⇒ −5

4x = −5 ⇒ x = 4

e quindi y = −4 + 3 = −1. Il punto d’intersezione e quindi P (4,−1).

4. Parallelismo, ortogonalita, angoli

L’intuizione geometrica vettoriale puo essere applicata in modo molto efficace se due rettesono date mediante le equazioni parametriche

r :−→OP =

−−→OP0 + λ~v e s :

−→OP =

−−→OP ′0 + µ~w .

• Parallelismo : chiaramente,

r ‖ s ⇐⇒ i vettori direttori ~v e ~w sono collineari .

Esempio: le rette

r :

(xy

)=

(17

)+ λ ·

(3−2

)e s :

(xy

)=

(−1−1

)+ λ ·

(−3

2

1

)sono parallele, perche

(3−2

)= −2 ·

(− 3

21

).

La coincidenza di due rette puo essere considerata come un caso particolare diparallelismo: per verificare che r = s, si puo verificare che P0 ∈ s oppure cheQ0 ∈ r. Ad esempio, e facile verificare che

r :

(xy

)=

(17

)+ λ ·

(3−2

)e s :

(xy

)=

(45

)+ λ ·

(−3

2

1

)sono coincidenti.

• Ortogonalita : vale

r ⊥ s ⇐⇒ ~v ⊥ ~w ⇐⇒ ~v · ~w = 0 .

Esempio: le rette

r :

(xy

)=

(12

)+ λ ·

(74

)e s :

(xy

)=

(−53

)+ λ ·

(−47

)sono ortogonali, perche

(74

)·(−47

)= 7 · (−4) + 4 · 7 = 0 .


• Angolo acuto α tra due rette: si tratta dell’angolo acuto tra le direzioni ~v e ~w; valequindi

cosα =|~v · ~w|‖~v‖ · ‖~w‖

;

il valore assoluto al numeratore garantisce che cosα ∈ [0, 1] ⇐⇒ α ∈ [0◦, 90◦] .

Esempio: determiniamo l’ampiezza dell’angolo acuto tra le rette r e s dell’ esempioa pag. 62:

|~v · ~w|‖~v‖ · ‖~w‖

=

∣∣∣∣( 1−1

)·(

41

)∣∣∣∣∥∥∥∥( 1−1

)∥∥∥∥ · ∥∥∥∥(41

)∥∥∥∥ =|4− 1|√2 ·√

17=

3√34

e α = arccos(

3√34

)∼= 59, 04◦ .

Supponiamo ora che le rette siano date mediante le equazioni cartesiane esplicite

r : y = mx+ q e s : y = m′x+ q′ .

Ricordando quanto visto a pagina 60, possiamo scrivere

r :

(xy

)=

(0q

)+ λ ·

(1m

)risp. s :

(xy

)=

(0q′

)+ λ ·

(1m′

),

e quindi fare nuovamente riferimento all’interpretazione vettoriale della geometria anali-tica.

• Parallelismo : vale

r ‖ s ⇐⇒(

1m

)‖(

1m′

)⇐⇒ m = m′;

com’era gia noto, due rette sono parallele se possiedono la stessa pendenza.

Esempio: le rette

r : y = πx+ 3e2 e s : y = πx−√

2

sono parallele.

• Ortogonalita : vale

r ⊥ s ⇐⇒(1m

)⊥(

1m′

)⇐⇒

(1m

)·(

1m′

)= 1+mm′ = 0 ⇐⇒ m·m′ = −1

(anche qui si tratta di una condizione gia nota).

Esempio: le rette

r : y =3

4x+ 2 e s : y = −4

3x+ 8

sono ortogonali.


• Angolo acuto α tra due rette: possiamo procedere in due modi.

◦ Come sopra, calcoliamo

cosα =|~v · ~w|‖~v‖ · ‖~w‖

con ~v =

(1m

)e ~w =

(1m′

).

◦ Oppure, ricordando che m = tanϕ e m′ = tanϕ′ ove ϕ e ϕ′ sono gli angoliformati dalle rette r e s con l’orizzontale, sfruttiamo la formula di sottrazioneper la tangente:

tanα = tan(ϕ−ϕ′) =tanϕ− tanϕ′

1 + tanϕ · tanϕ′

Con il valore assoluto garantiamo inoltre che l’angolo sia acuto:

tanα =

∣∣∣∣ m−m′1 +mm′

∣∣∣∣ .

Esempio: determiniamo nuovamente l’ampiezza dell’angolo acuto tra le rette r e sdell’ esempio a pag. 62;

tanα =

∣∣∣∣∣ −1− 14

1 + 1 ·(−1

4

)∣∣∣∣∣ =5

4· 4

3=

5

3

e α = arctan(53

) ∼= 59, 04◦ .

Accenniamo, infine, al caso in cui le rette sono date mediante le equazioni cartesiane implicite

r : ax+ by + c = 0 e s : a′x+ b′y + c′ = 0 .

Ricordando (vedi Lemma 1, pag. 61) che i rispettivi vettori normali sono ~n =(ab

)e

~n′ =(a′

b′

)possiamo affermare quanto segue:

• Parallelismo : due rette sono parellele se e soltanto se le rispettive direzioni normalisono parallele; quindi, r ‖ s ⇐⇒ ~n e ~n′ sono collineari.

• Ortogonalita : due rette sono ortogonali se e soltanto se le rispettive direzioni nor-mali sono ortogonali; quindi, r ⊥ s ⇐⇒ ~n ⊥ ~n′ ⇐⇒ ~n · ~n′ = 0 .

• Angolo acuto α tra due rette: si tratta dell’angolo tra le direzioni di ~n e ~n′; vale

quindi cosα = |~n·~n′|‖~n‖·‖~n′‖ .


5. La distanza tra un punto e una retta

Definizione 1 (Distanza)Siano r una retta e P un punto del piano. Allora, la distanza tra P e r, denotata

dist(P, r), e la distanza minima tra P e un punto di r :

dist(P, r) = minQ∈r|PQ| .

Osservazione: sia Q il punto sulla retta r aventedistanza minima da P ; allora e facile intuire che ilsegmento PQ e perpendicolare a r. Quindi, per de-terminare d = dist(P, r) potremmo ricavare dapprimaun’equazione per la retta s con P ∈ s e s ⊥ r, de-terminare le coordinate di Q = r ∩ s e infine calcolared = |PQ|.

Esempio: determiniamo dist(P, r), con P (10, 4) e r : y = 32x+ 2 .

Il coefficiente angolare della retta passante per P e perpendicolare a r e pari a −23; da

P ∈ s segue

−2

3· 10 + q = 4 ⇒ q = 4 +

20

3=

32

3;

intersechiamo quindi r con s : y = −23x+ 32

3:

3

2x+2 = −2

3x+

32

3⇐⇒ 13

6x =

26

3⇐⇒ x =

��>2

26

��1

3

· ��2

6

��>1

13= 4 ⇐⇒ y =

3

2· 4+2 = 8 .

Vale quindi r ∩ s = Q(4, 8), e

dist(P, r) = |PQ| =√

(4− 10)2 + (8− 4)2 =√

36 + 16 =√

52 = 2√

13 .

Cerchiamo ora di trovare una formula per la distanza tra retta e punto.

Se la retta e data mediante l’ equazione parametrica

r :−→OP =

−−→OP0 + λ~v ,

la distanza dist(P, r) corrisponde all’altezza del paral-

lelogrammo di lati equivalenti a ~v e−−→P0P , e puo essere

quindi calcolata come rapporto tra area e base dellostesso:

dist(P, r) =

∣∣∣det(~v ,−−→P0P )

∣∣∣‖~v‖

.


Esempio: l’equazione parametrica r :(xy

)=

(25

)+ λ ·

(23

)descrive la stessa retta

dell’esempio precedente; calcoliamo nuovamente d = dist(P, r), con P (10, 4) .

Ricaviamo

d =

∣∣∣∣∣det(~v ,−−→P0P )

‖~v‖

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 10− 23 4− 5

∣∣∣∣∥∥∥∥(23

)∥∥∥∥∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣2 · (−1)− 3 · 8√22 + 32

∣∣∣∣ =26√13

= 2√

13 .

Se la retta e data mediante l’ equazione cartesiana implicita , la formula per la distanzasi rivela particolarmente semplice; difatti vale il

Teorema 2Siano

r : ax+ by + c = 0 e P (xP , yP ) ;

allora vale

dist(P, r) =|axP + byP + c|√

a2 + b2.

Dimostrazione: riscriviamo l’equazione in forma parametrica, ricordando quanto vistoa pag. 60:

r : ax+ by + c = 0 ⇐⇒ r : −abx− c

b⇒

(xy

)=

(0− c

b

)+ λ ·

(b−a

).

Con P0(0,− cb) e−−→P0P =

(xP

yP + cb

)vale quindi

dist(P, r) =

∣∣∣det(~v , −−→P0P )∣∣∣

‖~v‖=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b xP−a yP + c

b

∣∣∣∣√b2 + (−a)2

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣b(yP + c

b)− (−a)xP∣∣

√a2 + b2

=|axP + byP + c|√

a2 + b2�

Esempio: calcoliamo nuovamente dist(P, r), con P (10, 4) e r : y = 32x+ 2 .

L’equazione implicita della retta in questione puo essere scritta come segue:

r : y =3

2x+ 2 ⇐⇒ r :

3

2x− y + 2 = 0 ⇐⇒ r = 3x− 2y + 4 = 0

e quindi vale

dist(P, r) =|3 · 10− 2 · 4 + 4|√

32 + 22=

26√13

= 2√

13 .


6. La circonferenza

Ricorda: la circonferenza C di raggio r e centro C e il luogo geometrico dei punti Pdel piano tali che |CP | = r.

Dalla definizione geometrica ricaviamo immediatamente l’equazione cartesiana di unacirconferenza:

siano r > 0 e C(xC , yC); allora vale

P (x, y) ∈ C⇐⇒ |CP | = r

⇐⇒√

(x− xC)2 + (y − yC)2 = r

⇐⇒ C : (x− xC)2 + (y − yC)2 = r2 .

Osservazione: se C coincide con l’origine degli assi cartesiani l’equazione ha la formax2 + y2 = r2; per r = 1 si ottiene la circonferenza trigonometrica.

Esempi:

1) Determina l’equazione cartesiana della circonferenza di raggio 7 e centro C(5, 4).

Si tratta, evidentemente, di

C : (x− 5)2 + (y − 4)2 = 49 .

2) Determina l’equazione cartesiana della circonferenza di centro C(−2, 3) passanteper il punto P (1, 1).

Il raggio e pari a |CP | =√

(1− (−2))2 + (1− 3)2 =√

32 + 22 =√

13, e quindi vale

C : (x+ 2)2 + (y − 3)2 = 13 .

Sciogliendo le parentesi, l’equazione cartesiana della circonferenza puo anche essere scrittanella cosiddetta forma generale

C : x2 + y2 + ax+ by + c = 0 .

Negli esempi visti sopra vale

1) (x− 5)2 + (y − 4)2 = 49 ⇐⇒ x2 − 10x+ 25 + y2 − 8y + 16 = 49

⇐⇒ C : x2 + y2 − 10x− 8y − 8 = 0 ;

2) (x+ 2)2 + (y − 3)2 = 13 ⇐⇒ x2 + 4x+ 4 + y2 − 6y + 9 = 13

⇐⇒ C : x2 + y2 + 4x− 6y = 0 (che particolarita ha questa circonferenza?).


Viceversa, completando i quadrati, e possibile passare dalla seconda alla prima forma, equindi ricavare centro e raggio di una circonferenza data mediante l’equazione generale.

Esempi: ricava il centro C e il raggio r della circonferenza data.

1) C : x2 + y2 + 14x− 15 = 0; otteniamo

(x+ 7)2 − 49 + y2 − 15 = 0 ⇐⇒ (x+ 7)2 + (y − 0)2 = 82 ;

centro: C(−7, 0), raggio: r = 8 unita.

2) C : x2 + y2 + 2x+ 12y + 1 = 0; otteniamo

(x+ 1)2 − 1 + (y + 6)2 − 36 + 1 = 0 ⇐⇒ (x+ 1)2 + (y + 6)2 = 62 ;

centro: C(−1,−6), raggio: r = 6 unita.

Una circonferenza di raggio r e centro C(xC , yC) puo anche essere espressa mediante

un’equazione parametrica: ricordando che, al variare di ϕ, il vettore ~v(ϕ) =

(cosϕsinϕ

)descrive i punti sulla circonferenza unitaria,

il punto P (x, y) giace sulla circonferenza se per uncerto ϕ ∈ R vale

⇐⇒−→OP =

−→OC + r · ~v(ϕ)

⇐⇒ C :

(xy

)=

(xCyC

)+

(r cosϕr sinϕ

)

⇐⇒ C :

{x = xC + r cosϕ

y = yC + r sinϕ.

Esempi: per le circonferenze studiate sopra, le equazioni parametriche sono

1) C :

(xy

)=

(−70

)+

(8 cosϕ8 sinϕ

)oppure C :

{x = −7 + 8 cosϕ

y = 8 sinϕ;

2) C :

(xy

)=

(−1−6

)+

(6 cosϕ6 sinϕ

)oppure C :

{x = −1 + 6 cosϕ

y = −6 + 6 sinϕ.


7. Rette e circonferenze

Per studiare la posizione reciproca di una retta e di una circonferenza conviene far usodelle equazioni cartesiane; cio conduce ad un sistema del tipo{

x2 + y2 + ax+ by + c = 0

y = mx+ q

che puo immediatamente essere ricondotto, mediante sostituzione, ad un’equazione quadra-tica in x.

Esempi: studia la posizione reciproca della retta r e della circonferenza C.

1)

{C : x2 + x2 − 6x− 8y + 9 = 0

r : y = 12x+ 1

2

.

Sostituendo, ricaviamo

x2+

(1

2x+

1

2

)2

−6x−8

(1

2x+

1

2

)+9 = 0 ⇐⇒ . . . ⇐⇒ 5x2−38x+21 = 0

e le due soluzioni sono

x1 =38−

√382 − 20 · 2110

=3

5, x2 =

38 + 32

10= 7 .

Vi sono quindi due punti d’intersezione:

P1

(3

5,4

5

)e P2(7, 4) .

2)

{C : (x+ 2)2 + (y − 4)2 = 9

r : y = 12x+ 1

.


(x+ 2)2 +

(1

2x+ 1− 4

)2

= 9 ⇐⇒ . . . ⇐⇒ 5x2 + 4x+ 16 = 0

Calcoliamo il discriminante:

∆ = 42 − 4 · 5 · 16 < 0 ;

l’equazione non ha soluzioni, e pertanto non visono punti d’intersezione.


3)

{C : x2 + y2 − 2x− 4y + 3 = 0

r : y = x− 1.


x2 + (x− 1)2 − 2x− 4(x− 1) + 3 = 0 ⇐⇒ . . . ⇐⇒ x2 − 4x+ 4 = 0

Dal momento che

∆ = (−4)2 − 4 · 1 · 4 = 0 ,

l’equazione ha l’unica soluzione

x =−(−4)

2= 2

e quindi retta e circonferenza hanno il solo punto

P (2, 1)

in comune, e sono pertanto tangenti.

Osservazione: come mostrano gli esempi, la posizione reciproca della retta r e della cir-conferenza C si rispecchia nel valore del discriminante dell’equazione quadratica ottenutasostituendo l’equazione cartesiana esplicita di r nell’equazione cartesiana di C:

• ∆ > 0 ⇒ C ∩ r = {P1, P2} (due punti d’intersezione);

• ∆ = 0 ⇒ C ∩ r = {P} (r e C sono tangenti);

• ∆ < 0 ⇒ C ∩ r = ∅ (nessuna intersezione).

La condizione di tangenza ∆ = 0 puo essere sfruttata per determinare l’equazione carte-siana delle rette tangenti ad una circonferenza C passanti per un dato punto P (xP , yP ).

Esempi: dati C e P , ricava le tangenti a C passanti per P .

1) C : x2 + y2 − 2x− 6y + 2 = 0 , P (7, 5) .

Innanzitutto, il fatto che P ∈ r permette di eliminare un parametro dall’equazionecartesiana y = mx+ q della retta:

5 = m · 7 + q ⇒ q = 5− 7m e quindi y = mx+ 5− 7m = m(x− 7) + 5 ;

sostituiamo nell’equazione di C :

x2 + (m(x− 7) + 5)2 − 2x− 6(m(x− 7) + 5) + 2 = 0

⇐⇒ x2 +m2(x− 7)2 + 10m(x− 7) + 25− 2x− 6mx+ 42m− 30 + 2 = 0

⇐⇒ x2 +m2x2 − 14m2x+ 49m2 + 10mx− 70m+ 25− 2x− 6mx+ 42m− 30 + 2 = 0

⇐⇒ (1 +m2)x2 + (−14m2 + 4m− 2)x+ (49m2 − 28m− 3) = 0 .



∆ = (−14m2+4m−2)2−4·(1+m2)·(49m2−28m−3) = . . . = −112m2+96m+16 ;

la condizione ∆ = 0 conduce all’equazione quadratica in m

−112m2 + 96m+ 16 = 0 ⇐⇒ 7m2 − 6m− 1 = 0

le cui soluzioni sono m1 = −17

e m2 = 1. Ci sono quindi due rette tangenti, le cuiordinate all’origine sono q1 = 5− 7m1 = 6 e q2 = 5− 7m2 = −2.

Le tangenti a C in P sono quindi

r1 : y = −1

7x+6 e r2 : y = x−2 .

2) C : x2 + y2 − 4x− 4y + 3 = 0 , P (4, 3) .

Come sopra, eliminiamo q da y = mx+ q:

3 = m · 4 + q ⇒ q = 3− 4m e quindi y = mx+ 3− 4m = m(x− 4) + 3 ;

sostituiamo nell’equazione di C :

x2 + (m(x− 4) + 3)2 − 4x− 4(m(x− 4) + 3) + 3 = 0

⇐⇒ (1 +m2)x2 + (−8m2 + 2m− 4)x+ (16m2 − 8m) = 0 .


∆ = (−8m2+2m−4)2−4·(1+m2)·(16m2−8m) = . . . = 4m2+16m+16 = 4(m+2)2 ;

la condizione ∆ = 0 conduce immediatamente a m = −2. Vi e quindi una sola rettatangente, la cui ordinata all’origine e q = 3− 4m = 11 .

La tangente a C in P e quindi

r : y = −2x+ 11 .

Essa e unica dal momento che P ∈ C !


Osservazione: se P0(x0, y0) ∈ C (condizione verificabile immediatamente sostituendo lecoordinate di P0 nell’equazione cartesiana di C), allora per un punto P (x, y) sulla rettatangente a C in P0 vale

−−→P0C ⊥

−−→P0P ⇐⇒

(xC − x0yC − y0

)·(x− x0y − y0

)= 0

ove C(xC , yC) e il centro della circonferenza. Ciopermette di ricavare immediatamente l’equazionecartesiana di r !

Esempio: C : x2 + y2 − 4x− 4y + 3 = 0 , P0(4, 3) (v. pagina precedente).

Innanzitutto verifichiamo che P0 ∈ C:

42 + 32 − 4 · 4− 4 · 3 + 3 = 16 + 9− 16− 12 + 3 = 0 ;

determiniamo il centro C:

x2+y2−4x−4y+3 = (x−2)2+(y−2)2−4−4+3 = 0 ⇐⇒ (x−2)2+(y−2) = 5 .

Ora, con C(2, 2), procediamo come sopra:(xC − x0yC − y0

)·(x− 4y − 3

)= 0 ⇐⇒

(2− 42− 3

)·(x− 4y − 3

)= 0 ⇐⇒ −2(x− 4)− (y − 3) = 0

da cui segue −2x+ 8− y + 3 = 0 e quindi r : y = −2x+ 11 .


Capitolo III: Geometria analitica nel piano -...

Documents

Transcript of Capitolo III: Geometria analitica nel piano -...