Geometria analitica: rette e piani -...

Geometria analitica: rette e piani Cambiamenti di coordinate e isometrie

©2006 Politecnico di Torino 1

Geometria analitica: rette e piani

2

Cambiamenti di coordinate e isometrie

Coordinate polariCambiamenti di riferimento nel piano Cambiamenti di riferimento in generale Isometrie Simmetrie Isometrie nel piano Isometrie nello spazio




4

Coordinate polari (1/3)

Sia r una retta nel piano e sia O un punto di r . Per ogni punto P ≠O del piano è definito l’angolo α ∈[0, 2π) (misurato in senso antiorario) tra la retta r e la retta per O e P. Se ρ è la lunghezza del segmento allora P è determinato univocamente da ρ e α.

OP



5


Se P = (x, y ) ∈ , abbiamo Inoltre, se P ≠O, esiste un unico angolo α ∈[0 2π) tale che

dove n (P ) indica il normalizzato di P.

2 2 2 .x yρ = +

( ) ( )α α2 2 2 2

, cos ,senx yn P

x y x y

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠

6


Quindi \{O } è in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle coppie (ρ, α), con ρ > 0, α ∈ [0, 2π). Se P = (x, y ) ∈ , abbiamo

(ρ, α) sono le coordinate polari di P.

Osserviamo che per ρ = 0 otteniamo (0, 0) per qualsiasi α.

2

2

cossen

xy

ρ αρ α

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩



7

Esempio

Se P = (1, -1), abbiamo ρ = ,

da cui Infatti

( ) 1 1,

2 2n P

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠2

7.

4α π=

( ) 7 71, 1 2 cos , 2sen .

4 4π π

⎛ ⎞⎟⎜− = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠




9

Considerazioni preliminari

Abbiamo visto che un sistema di riferimento Oxynel piano permette di identificare il piano con Considerare un altro sistema di riferimento O’x’y’significa quindi dare una “nuova” identificazione nel piano con Nelle applicazioni della geometria è spesso utile poter esprimere le “nuove” coordinate (x’ , y’ ) di un punto P in funzione delle coordinate “originarie” (x, y ).

2.

2.

10

Esempio (1/7)

Le rette ortogonali r1 : x – y = 0 e r2 : x + y – 2 = 0 definiscono 4 sistemi di riferimento possibili con origine O’ nel puntoP0 = r1 ∩ r2 = (1, 1): tali sistemi differiscono solo per l’orientamento degli assi, e quindi le possibili nuove coordinate differiranno tra loro solo per i segni.



11

Esempio (2/7)

Per fissare l’orientamento del nuovo sistema di riferimento è sufficiente indicare quale deve essere il quadrante positivo H + in tale sistema, cioè l’insieme dei punti

H + sarà espresso come intersezione di uno dei semipiani determinati da r1 con uno di quelli determinati da r2.

{ ' 0, ' 0}.H x y+ = > >

12

Esempio (3/7)

Per esempio, porre H + = {(x, y ) | x – y < 0, x + y – 2 > 0}

significa che i punti con coordinate (x’ , y’ ) positive dovranno essere quelli del quadrante in figura.

In pratica, se un punto soddisfa alle disequazioni date allora tutto il quadrante contenente quel punto le soddisfa: nel nostro caso basta verificare per (0, 3).



13

Esempio (4/7)

Dato P = (x, y ), per la definizione di sistema di riferimento le nuove coordinate (x’ , y’ ) di Psoddisferanno a

2

1

1' ( , ) 2

21

' ( , )2

x d P r x y

y d P r x y

⎧⎪⎪ = = + −⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = = −⎪⎪⎪⎩

14

Esempio (5/7)



15

Esempio (6/7)

In base alla scelta di H + abbiamo

cioè

( )

( )

1' 2

21

'2

x x y

y x y

⎧⎪⎪ = + −⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = − +⎪⎪⎪⎩

' 1 11 2' 1 12 0

x xy y

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟= +⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎜−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

16

Esempio (7/7)

Posto

possiamo verificare che N è una matrice ortogonale di ordine 2, cioè che tNN = I2, e che

1 11 11 2 21 1 1 12

2 2

N

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟= =⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎟ ⎟⎜−⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎟⎜− ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

01 1 112 .1 1 120

NP⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ = =−⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠



17

Formula di cambiamento di riferimento

In generale, se Oxy e O’x’y’ sono sistemi di riferimento nel piano e P0 = (x0, y0) è il vettore di

che rappresenta O’ in Oxy, esiste una

matrice ortogonale tale che

2

(2)a b

N Oc d⎛ ⎞⎟⎜= ∈⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

( )00

0

'' .

'xx a b x

X N X Pyy c d y

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎟= = − = −⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠




19

Siano datiUn sistema di riferimento Oxy nel piano.Una matrice ortogonale N di ordine 2

P0 = (x0, y0) ∈

Sistemi di riferimento e matrici ortogonali (1/3)

.a b

Nc d⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

2.

20

Allora la relazione

definisce un sistema di riferimento O’x’y’ nel piano tale che O’ ha coordinate (x0, y0) in Oxye gli assi hanno in Oxy equazioni


0

0

''

xx a b xyy c d y

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎟= − ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )1 0 0: 0,r c x x d y y− + − =

( ) ( )2 0 0: 0.r a x x b y y− + − =



21

Poiché N ∈ O (2), le righe di N sono versori ortogonali tra loro, cioè (c, d ) = ± (-a, b ).

Questo ci dice che r1 e r2 sono le retti passanti per P0 di direzioni (a, b ) e (-b, a ) rispettivamente.

Osserviamo che le direzioni degli assi sono definite dalle righe di N. Tali righe formano una base ortonormale B di e la matrice di cambiamento di coordinate MB relativa a B è tN.


2

22

Se posto

le equazioni in Oxy degli assi di O’x’y’ sono r1 : 2x – y – 2 = 0 e r2 : x + 2y – 1 = 0 (mentre in O’x’y’ sono ovviamente r1 : y’ = 0, r2 : x’ = 0!).

Esempio

1 21,

2 15N

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠( )0 1,0 ,P =

' 1' 0

x xN

y y

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟= −⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠



23

Siano Oxyz è un sistema di riferimento nello spazio, N ∈ O (3) una matrice ortogonale di ordine 3 e P0 = (x0, y0, z0) ∈ . Analogamente a quanto visto per il piano, la formula

definisce un nuovo sistema di riferimento O’x’y’z’nello spazio.

Cambiamenti di riferimento nello spazio (1/2)

0

0

0

'''

x x xy N y yz z z

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎟= −⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

3

24

L’origine O’ di O’x’y’z’ è il punto P0 di coordinate (x0, y0, z0) in Oxyz mentre gli assi r1, r2, r3 sono rette per P0 con direzioni le righe [N ]1, [N ]2, [N ]3

di N.

Cambiamenti di riferimento nello spazio (2/2)



25

Sia

Allora O’ = P0 = (1, -1, 0), r1 :t (1, 1, 0) + (1, -1, 0), r2 :u (-1, 1, 0) + (1, -1, 0), r3 :v (0, 0, 1) + (1, -1, 0).

Esempi (1/4)

1 10

2 2' 11 1

' 0 12 2' 0

0 0 1

x xy yz z

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎛ ⎞⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎟⎜ ⎟= − − −⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎝ ⎠⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

26

Viceversa, consideriamo le rette r1 : t (1, 1, 1) + (0, 1, 0), r2 : u (2, -1, -1) + (0, 1, 0) e r3 : v (0, 1, -1) + (0, 1, 0).Tali rette sono ortogonali e si intersecano in P0 = (0, 1, 0).

Esempi (2/4)



27

Sia

la matrice ortogonale la cui riga [N ]i è il versore ottenuto normalizzando il vettore di direzione di ri , per i = 1, 2, 3.

Esempi (3/4)

1 1 13 3 32 1 15 5 5

1 10

2 2

N

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜= − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

28

Posto X = (x, y, z ) e X’ = (x’ , y’ , z’ ), X’ = N (X – P0) è un cambiamento di coordinate con O’ = P0 e assi r1, r2, r3.

Osserviamo che possiamo ottenere tutti i cambiamenti di coordinate con r1, r2, r3

come assi x’ , y’ , z’ rispettivamente cambiando segni ai versori [N ]i . Poiché per ogni direzione ci sono due possibili versi, abbiamo 6 cambiamenti di questo tipo.

Esempi (4/4)




30

Se N ∈ O (n) e P0 ∈ , la formula di cambiamento di coordinate definisce l’applicazione data da f (X ) = N (X – P0).

Se f1(X ) = X – P0 e f2(X ) = NX, allora f ècomposizione di f1 e f2, cioè(X ) = f2(f1(X )) = f2 o f1 (X ).

Questa considerazione ci porta a studiare più nel dettaglio le applicazioni di tipo f1 e f2.

Cambiamenti di riferimento come applicazione

n

: n nf →



31

Se P ∈ , l’applicazione tp : definita da tp (X ) = X + P si dice traslazione di P.

EsempitO è l’applicazione identica Id.

Se P = (2, -1), tP ((x, y )) = (x + 2, y - 1).

Se P = (-1, 1, -3), tP ((x, y, z )) = (x - 1, y + 1, z - 3).

Traslazioni

n n n→

32

La composizione di traslazioni è la traslazione di vettore la somma dei vettori delle traslazioni:tP o tQ = tQ o tP = tP +Q .

Le traslazioni sono invertibili con inversa la traslazione di vettore opposto:tP o t-P = t-P o tP = tO = Id e (tP)-1 = t-P .

Le traslazioni conservano le distanze in :d (tP (X ), tP (Y )) = d (X, Y ).

Proprietà delle traslazioni

n



33

Se N ∈ O (n ) è una matrice ortogonale, l’applicazione lN : definita da lN (X ) = NXsi dice applicazione ortogonale associata a N : osserviamo che per N = In , lN è l’applicazione identica Id.

Le proprietà delle applicazioni ortogonali derivano direttamente da quelle delle matrici ortogonali.

Applicazioni ortogonali

n n→

34

La composizione di applicazioni ortogonali èl’applicazione ortogonale associata al prodotto delle matrici associate: o =

Le applicazioni ortogonali sono invertibili con inversa l’applicazione associata alla matrice inversa

e

Le applicazioni ortogonali conservano le distanze in

Proprietà delle applicazioni ortogonali

2Nl 1Nl 2 1.N Nl

1 1 o o N NN Nl l l l Id− −= = 1

1( ) .N Nl l −

− =

: ( ( ), ( )) ( , ).nN Nd l X l Y d X Y=



35

Una isometria di è un’applicazione invertibile che conserva le distanze, cioè tale

che d (f (X ), f (Y )) = d (X, Y ) per ogni X, Y ∈ . Valgono le seguenti proprietà:

La composizione di isometrie è una isometria.

L’inversa di una isometria è una isometria.

Isometrie (1/2)

n

: n nf →n

36

Le traslazioni e le applicazioni ortogonali sono isometrie. Quindi, se N ∈ O (n ) e P ∈ , l’applicazione f : definita da f (X ) = tP o lN = NX + P è una isometria. Viceversa vale il seguente.

Teorema. Se f : è una isometria, allora esistono una matrice ortogonale N ∈ O (n ) e P ∈ tali che f (X ) = NX + P.

Isometrie (2/2)

n

n n→

n

n n→



37

Siano f (X ) = NX + P e g (X ) = MX + Qisometrie di .

(g o f ) (X ) = MNX + MP + Qf -1 (X ) = N -1(X – P ) = tN (X – P ) = tN X – tNP

Composizione e inverse di isometrie

n

38

Se X’ = N (X – P0) è un cambiamento di riferimento in , l’applicazione f (X ) = N (X – P0) = lN o t-P èl’isometria f (X ) = NX – NP0 = NX + P con P = -NP0.

Viceversa, una isometria f (X ) = NX + P determina il cambiamento di riferimento X’ = N (X – P0) ponendo X’ = f (X ) e P0 = NP.

Conseguenza importante: tutte le proprietà metriche di un sottoinsieme del piano o dello spazio restano invariate cambiando il sistema di riferimento.

Cambiamenti di riferimento e isometrie

n



39

Abbiamo visto che le isometrie coincidono con i cambiamenti di riferimento. Possiamo pensare a due interpretazioni equivalenti della stesso concetto:

Con un cambiamento di riferimento, il piano o lo spazio sono identificati in due modi diversi con

Con una isometria, stabiliamo una corrispondenza biunivoca tra due “copie” di in modo che siano conservate le distanze.

Osservazione

.n

n




41

Se P0 ∈ , il simmetrico di un punto P ∈rispetto a P0 è il punto tale che il punto medio di P e è P0.

L’applicazione è una isometria detta simmetria centrale di centro P0.

Se E ⊂ e si dice che P0 è centro di simmetria per E e che E è simmetrico rispetto a P0.

Simmetrie centrali (1/2)

0( )P Pσ

n

0( )P Pσ

n

0: n n

Pσ →

0( ) ,P E Eσ =

n

42

Dalla definizione precedente abbiamo

Abbiamo quindi l’isometria

Esempi

Simmetrie centrali (2/2)

( ) ( )0 02 .P nX I X Pσ = − +

( )( )0012 PP P Pσ= + ( )0 02 .P P P Pσ =− +da cui

( )( ) ( )

( )( ) ( )(0,0)

(3, 1)

, , ,

, 6, 2

x y x y

x y x y

σ

σ −

= − −

= − + − −

( )( ) ( )(1, 2,0) , , 2, 4, .x y z x y zσ − = − + − − −

e



43

Se r è una retta in , il simmetrico di un punto P ∈ rispetto a r è il punto tale che, se s è la retta passante per P e , allora s ⊥ re r ∩ s è il punto medio di P e .

L’applicazione è una isometria detta simmetria assiale di asse r.Se E ⊂ e si dice che r è asse di simmetria per E e che E è simmetrico rispetto a r.

Simmetrie assiali

n

n

: n nrσ →

( )r Pσn

( )r Pσ( )r Pσ

( )r E Eσ =

44

è simmetrico rispetto a O e agli assi x = 0 e y = 0 ma non rispetto a (1, -1) e alla retta x – y = 0.

Esempio

( ){ }2 2 2, | 4 1E x y x y= ∈ + =



45

Se π è un piano in , il simmetrico P ∈rispetto a π è il punto tale che, se s è la retta per P e , allora s ⊥ π e s ∩ π è il punto medio di P e

L’applicazione è una isometria detta simmetria rispetto al piano π.

Se E ∈ e si dice che π è piano di simmetria per E e che E è simmetrico rispetto a π.

Simmetrie rispetto a un piano

3

n

πσ3 3: →

πσ ( )P

( )E Eπσ =

3

πσ ( )Pπσ ( ).P

46

Le condizioni che definiscono sono equivalenti alle seguenti:

Il punto medio di P e giace in r.

Sostituendo π a r abbiamo l’analogo per

Utilizzeremo queste condizioni per scrivere esplicitamente tali simmetrie.

Osservazione

σ ( )r P

πσ ( ).P

( ) .r P P rσ − ⊥

σ ( )r P




48

Ricordiamo che le matrici ortogonali 2 x 2 sono di due tipi:

per

Richiami sulle matrici ortogonali di ordine 2 (1/3)

θθ θθ θ

cos sensen cos

R⎛ ⎞− ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

θθ θθ θ

cos sensen cos

S⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠

oppure

θ π0 2 .≤ <



49

e

e


( )θ 1D R = ( ) 1.D S θ =−

0 2 01 0

, ,0 1

R I S⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠ 2 0, , R I S Sπ π=− =−

/ 2 /20 1 0 1

, .1 0 1 0

R Sπ π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎟ ⎟⎜ ⎜= =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )θ θ1 .S S−=( ) 1

2,R R R R R R Rθ φ φ θ θ φ θ π θ−

+ −= = =

50

hanno autovalori che per sono complessi coniugati. Quindi se

l’unico vettore fisso (cioè tale che ) è O.

Le hanno autovalori ±1. Quindi l’autospaziorelativo a 1 è formato da vettori fissi.

Dato identificheremo con e le applicazioni ortogonali definite da tali matrici.


θR θθ θcos isen ie ±± =θ 0≠ θ 0≠

R X Xθ =

θS

)θ π0,2⎡∈ ⎣ θR θS



51

Per studiare il significato geometrico di usiamo le coordinate polari: sia con e . Allora

Rotazioni di centro l’origine (1/2)

θR( ) ( )α α, cos , senx y r r=

0r > )α π0,2⎡∈ ⎣

cos sen cossen cos sen

x rR

y rθθ θ αθ θ α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞−⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )

coscos cos sen sensen cos cos sen

r rsen

α θθ α θ αθ α θ α α θ

⎛ ⎞+⎛ ⎞− ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜=⎟⎜ ⎟⎜⎟⎟⎜ ⎟+ ⎟⎝ ⎠ ⎜ +⎝ ⎠

52

Quindi è una rotazione (in senso antiorario) di centro O e angolo .

Rotazioni di centro l’origine (2/2)

θθR



53

Per abbiamo rispettivamente

l’identità, la rotazione di un angolo retto e lasimmetria di centro l’origine.

Esempi

0, , 2πθ π=

02

, , x x x y x x

R R Ry y y x y yπ π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜= = =⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

54

In generale, la rotazione nel piano di centro P0 e angolo è l’isometria f che ha come solo punto fisso il punto P0. Allora f è della forma

Infatti il sistema èequivalente a . Poiché l’unico punto fisso di è O, l’unico punto fisso di f èX = P0.

Rotazioni

0 0 0 0( ) ( ) .f X R X P P R X R P Pθ θ θ= − + = − +

θ

θ 0 0( )R X P P X− + =

θ 0 0( )R X P X P− = −

θR



55

La rotazione di centro (1, 1) e angolo è

Esempio

( )( ) / 41 1 1 11 2 1, .1 1 1 12 1

x xf x y R

y yπ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − + ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟= + = +⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎜−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π4

56

In la simmetria centrale di centro P0 è la rotazione di angolo π e centro P0.

Osserviamo che in questo caso, la formula delle rotazioni coincide con la formula delle simmetrie centrali, in quanto e

Simmetrie centrali nel piano

2 σ0P

( )0 0 02 .R X P P X Pπ − + =− +2R Iπ =−



57

Sia e sia la simmetria assiale di asse r . Se le condizioni

si esprimono col sistema

Esempio (1/3)

( )( ) ( )σ , ', 'r x y x y=σ r: 2 1 0r x y+ − =

( )r P P rσ − ⊥ ( )( )12 r P P rσ + ∈e

' 2'

' '2 1 0

2 2

x xy y

x x y y

λλ

⎧⎪⎪ − =⎪⎪⎪ − =⎪⎪⎨ ⎛ ⎞⎪ + +⎪ ⎟⎜ + − =⎟⎪ ⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠⎪⎪⎪⎩

58

Quindi e

Esempio (2/3)

( )λ 14 2 2

5x y=− + −

( )

( )

1' 3 4 4

51

' 4 3 25

x x y

y x y

⎧⎪⎪ =− + −⎪⎪⎪⎨⎪⎪ =− − −⎪⎪⎪⎩



59

Ponendo

abbiamo . Osserviamo che N èortogonale con D (N ) = -1, quindi per un

Esempio (3/3)

3 41,

5 4 3N

⎛ ⎞⎟⎜=− ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠

( )σ r X NX P= +

415 2

P⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

θN S=

)θ π0 2 .⎡∈ ⎣

60

In generale la simmetria assiale nel piano di asse r è l’isometria f che ha come punti fissi tutti e soli i punti di r ed è del tipo

Le simmetrie assiali con asse passante per l’origine coincidono con le applicazioni associate alle matrici : in tal caso l’asse èl’autospazio relativo a 1.

Simmetrie assiali nel piano

( ) θ .f X S X P= +

( ) ,f X S Xθ=

θS



61

Se , l’asse ha equazione

Le simmetrie assiali con assi gli assi cartesiani y = 0, x = 0 e la bisetrice x – y = 0 sono rispettivamente

Esempi (1/2)

( ) π / 4f X S X=

( )1 2 0.x y− + =

02

, , x x x x x y

S S Sy y y y y xπ π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜= = =⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

62

Esempi (2/2)




64

Sia una retta e . Se e se π è il piano per P ortogonale a r , consideriamo il punto ottenuto da P con una rotazione in π di centro e angolo (in senso antiorario).

L’applicazione è una isometria detta rotazione assiale di angolo e asse di rotazione r . Se e per ogni si dice che Eè una figura di rotazione con asse r .

Rotazioni assiali

3r ⊂ )θ π0 2⎡∈ ⎣3P ∈

( )θ,rR Pπ r∩ θ

θ3 3

, :rR →θ

3E ⊂ ( )θ,rR E E= θ



65

Se rz è l’asse delle z, abbiamo

Rotazione attorno agli assi coordinati (1/3)

( )( )θ θ

θ θθ θ,

cos sen 0, , sen cos 0 , .

0 0 1zr

xx

R x y z y R zy

z

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎟= =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠

66

Infatti, se P0 = (x0, y0, z0), il piano π per P0

ortogonale all’asse delle z ha equazione e .

Il punto ottenuto con una rotazione di centro Q e angolo è allora dato da

da cui la formula per .


0: 0z zπ − = π 0(0,0, )Q r z= ∩ =

θ

( )θ θ θ θ0 0 0 0 0cos sen ,sen cos ,x y x y z− +

θ,rR



67

Analogamente

definiscono le rotazione attorno agli assi delle x e delle y rispettivamente.


θ θθ θθ θ θ θ

1 0 0 cos 0 sen0 cos sen , 0 1 00 sen cos sen 0 cos

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜− ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

68

Sia π : x – y + z – 1 = 0. Posto analogamente alle

simmetrie assiali nel piano abbiamo:

da cui

Simmetrie rispetto a un piano (1/3)

( )( ) ( )πσ , , ', ', ' ,x y z x y z=

( ) ( ) ( )

'''

1 1 1' ' ' 1 0

2 2 2

x xy yz z

x x y y z z

λλ

λ

⎧ − =⎪⎪⎪⎪ − =−⎪⎪⎪⎨ − =⎪⎪⎪⎪ + − + + + − =⎪⎪⎪⎩

( )λ 21 .

3x y z= − + − +



69

Sostituendo otteniamo

Si verifica che la matrice N è ortogonale e che D (N ) = -1.


( )( )πσ1 2 2 1

1 2, , 2 1 2 1 .

3 32 2 1 1

xx y z y NX P

z

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= + − = +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

70

Le simmetrie rispetto ai piani z = 0, y = 0 e x = 0 sono date rispettivamente da


1 0 00 1 0 ,0 0 1

x xy yz z

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜=⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 00 1 0 ,0 0 1

x xy yz z

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜− = −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 00 1 0 .0 0 1

x xy yz z

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜=⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Geometria analitica: rette e piani -...

Documents

Transcript of Geometria analitica: rette e piani -...