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Geometria analitica: rette e piani Piani nello spazio

©2006 Politecnico di Torino 1

Geometria analitica: rette e piani

2

Piani nello spazio

Equazioni del piano Intersezioni di piani. Rette nello spazio Fasci di piani e retteIntersezioni fra piani e rette Piani e rette ortogonali Piani di forma parametrica



Piani nello spazio

4

Esempio (1/5)

Siano P0 = (1, -1, 1), P1 = (2, 0, -1), P2 = (1, 1, 3)punti in . Poiché i vettori X1 = P1 – P0 = (1, 1, -2),X2 = P2 – P0 = (0, 2, 2) non sono paralleli, i punti non sono allineati, quindi esiste un solo piano π contenente tali punti.

3



5

Esempio (2/5)

Se r1 e r2 sono le rette per P0 passanti per P1 e P2rispettivamente, allora π è l’unico piano contenente r1 e r2.Applicando la regola del parallelogramma abbiamo che le parallele r ’1, r ’2 a r1 e r2 per O hanno direzioni X1, X2 rispettivamente.

6

Esempio (3/5)

Quindi il piano π’ per O, X1, X2 è il piano parallelo a π passante per O.Inoltre P ∈ π se e solo se la retta per P e P0 ècontenuta in π e quindi se e solo se X = P – P0 ∈ π’.



7

Esempio (4/5)

Se r0 è la retta per O ortogonale a π’, allora r0 ha direzione A = X1 ∧ X2 = (6, -2, 2) e X ∈ π’ se e solo se A . X = 0. Per le considerazioni precedenti, P = (x, y, z) ∈ π se e solo se

da cui

( ) ( ) ( )0 6, 2,2 1, 1, 1

6 2 2 10 0

A P P x y z

x y z

⋅ − = − ⋅ − + − =

= − + − =

3 5 0.x y z− + − =

8

Esempio (5/5)



9

Equazione cartesiana (1/2)

Un piano π in è l’insieme delle soluzioni di una equazione lineare in 3 variabili

detta equazione cartesiana di π. Si dice anche che π è rappresentato in forma cartesiana e si scrive

π : ax + by + cz + d = 0.

3

0ax by cz d+ + + =

10

Equazione cartesiana (2/2)

Il vettore (non nullo) A = (a, b, c ) rappresenta la direzione ortogonale a π.

e rappresentano lo stesso piano se e solo se esiste λ ≠ 0 tale che a ’ = λa, b ’ = λb, c ’ = λc, d ’ = λd.

0+ + + =ax by cz d ' ' ' ' 0+ + + =a x b y c z d



11

Esempi

I piani determinati dagli assi coordinati si dicono piani coordinati e hanno equazioni z = 0, y = 0 e x = 0.L’equazione x + y – 1 = 0 se considerata come equazione a 3 variabili rappresenta un piano nello spazio con direzione ortogonale (1, 1, 0) (parallelo all’asse z ) e non una retta!Vedremo che le rette sono rappresentate da almeno due equazioni.

12

Piano per un punto

Se P0 = (x0, y0, z0) ∈ , un generico piano per P0ha equazione

In particolare, se P0 = O, abbiamo ax + by + cz = 0.

3

( ) ( ) ( )0 0 0 0.− + − + − =a x x b y y c z z



13

Piano per tre punti (1/2)

Se P0, P1, P2 sono punti non allineati di , l’equazione cartesiana del piano π passante per tali punti ricavata prima può essere espressa in forma vettoriale nel modo seguente

3

( ) ( ) ( )1 0 2 0 0 0.⎡ ⎤− ∧ − ⋅ − =⎣ ⎦P P P P P P

14

Piano per tre punti (2/2)

Se P = (x, y, z ), P0 = (x0, y0, z0), P1 = (x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2), applicando la Formula del Prodotto Misto otteniamo l’equazione

0 0 0

1 0 1 0 1 0

2 0 2 0 2 0

det 0.x x y y z zx x y y z zx x y y z z

⎛ ⎞− − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − − − =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ − − −⎝ ⎠



15

Esempio

Se P0 = (1, 0, -1), P1 = (1, 1, 1), P2 = (2, -1, 1), il piano π passante per tali punti ha equazione

1 1det 0 1 2 4 2 5 0.

1 1 2

⎛ ⎞− + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ = + − − =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠

x y zx y z

16

Piano per un punto e una retta

Se r : P (t ) = tA + P0 è una retta parametrica in e se P1 ∉ r, il piano contenente r e P1è il piano per i tre punti non allineati P0, P1 e P2 = P (1) = A + P0.

3



Piani nello spazio

18

Intersezioni di piani (1/2)

Siano e piani in .

Il sistema lineare formato dalle due equazioni

definisce l’insieme π1 ∩ π2.Siano A1 = (a1, b1, c1) e A2 = (a2, b2, c2).

31 1 1 1 1: 0+ + + =a x b y c z dπ

2 2 2 2 2: 0+ + + =a x b y c z dπ

1 1 1 1

2 2 2 2

:⎧ + + =−⎪⎪⎨⎪ + + =−⎪⎩

a x b y c z dS

a x b y c z d



19

Intersezioni di piani (2/2)

Abbiamo tre possibilità.

Se A2 = λA1 per un λ ∈ ma d2 ≠ λd1, S èimpossibile e π1 e π2 sono paralleli distinti.Se esiste λ ∈ tale che A2 = λA1 e d2 = λd1, S ha ∞2 soluzioni e π1 = π2.Se A1 e A2 non sono paralleli, S ha ∞1 soluzioni e π1 ∩ π2 è una retta.

20

Esempio

Consideriamo i piani e Allora

Ponendo z = t abbiamo che π1 ∩ π2 = sol (S ) è la retta parametrica r : t (-2, -3, 1) + (1, 2, 0).

1 : 1 0− + + − =x y zπ2 : 2 0.x y zπ − + =

1:

2 0

⎧− + + =⎪⎪⎨⎪ − + =⎪⎩

x y zS

x y zha risolventi

2 13 2

⎧ =− +⎪⎪⎨⎪ =− +⎪⎩

x zy z



21

Rette in forma cartesiana

Se una retta r in viene rappresentata come intersezione di due piani

diciamo che r è in forma cartesiana(brevemente retta cartesiana) e scriviamo

1 1 1 1 1: 0,a x b y c z dπ + + + =

1 1 1 1

2 2 2 2

0:

0

⎧ + + + =⎪⎪⎨⎪ + + + =⎪⎩

a x b y c z dr

a x b y c z d

3

2 2 2 2 2: 0a x b y c z dπ + + + =

22

Esempi

Gli assi hanno forme cartesiane:

0 0 0: , : , :

0 0 0x y z

y x xr r r

z z y⎧ ⎧ ⎧= = =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪= = =⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩



23

Passaggio da forma parametrica a cartesiana

Consideriamo la retta parametrica

Ricavando t = z – 2 e sostituendo otteniamo

2 1: 3 2

2

x tr y t

z t

⎧ =− +⎪⎪⎪⎪ = +⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎩

2 5 0:

3 4 0x z

ry z

⎧ + − =⎪⎪⎨⎪ − + =⎪⎩

24

Osservazione

Dagli esempi fatti abbiamo che, data una retta nello spazio, si può passare dalla forma cartesiana a quella parametrica e viceversa.



25

Direzione di una retta cartesiana (1/2)

Consideriamo ancora la retta

Allora A1 ∧ A2 = (-1, 1, 1) ∧ (2, -1, 1) = (2, 3, -1) è la direzione della retta.

1 0:

2 0

⎧− + + − =⎪⎪⎨⎪ − + =⎪⎩

x y zr

x y z

26

Direzione di una retta cartesiana (2/2)

In generale, se r = π1 ∩ π2 con

abbiamo che la direzione di r deve essere ortogonale alle direzioni ortogonali dei piani date da A1 = (a1, b1, c1) e A2 = (a2, b2, c2).

1 1 1 1 1: 0a x b y c z dπ + + + =

2 2 2 2 2: 0,a x b y c z dπ + + + =



27

Esempio (1/2)

Se

allora P = r1 ∩ r2 = (1, 1, 1) e il piano πcontenente r1 e r2 è il piano per P ortogonale a entrambe le direzioni di r1 e r2.

1

1 0:

2 2 0x y z

rx y z

⎧− + + − =⎪⎪⎨⎪ − + − =⎪⎩2

2 4 0:

3 2 0x y z

rx y z

⎧ + + − =⎪⎪⎨⎪ − − =⎪⎩

28

Esempio (2/2)

Quindi la direzione ortogonale a π è

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1,1,1 2, 1,1 1,1,2 3, 2, 1

2,3, 1 3,7, 5 8,7,5 ,

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ∧ − ∧ ∧ − − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦= − ∧ − = −

da cui

( ) ( ) ( ): 8 1 7 1 5 1

8 7 5 4 0.

x y z

x y z

π − − + − + − =

=− + + − =



29

Piano per rette complanari (1/2)

In generale, se abbiamo due rette r1, r2 in incidenti in P e con direzioni A1, A2, il piano che le contiene è il piano per P ortogonale a A1 ∧ A2. Osserviamo che se le rette sono in forma parametrica il calcolo risulta semplificato.

3

30

Piano per rette complanari (2/2)

Se r1 e r2 sono parallele, per ottenere il piano che le contiene conviene determinare un punto P ∈ r1 e calcolare il piano contenente r2 e P(o viceversa).



Piani nello spazio

32

Esempio (1/5)

Data una retta r in , le possibili forme cartesiane di r sono date dalle coppie di piani distinti contenenti r . Sia

Poniamo e

3

2 0:

2 3 0x y z

rx y z

⎧− + + − =⎪⎪⎨⎪ − + + =⎪⎩

1 : 2 0x y zπ − + + − =

2 : 2 3 0.x y zπ − + + =



33

Esempio (2/5)

Poiché r ha direzione (-1, 1, 1) ∧ (2, -1, 1) = (2, 3, -1),

per ogni pianotale che r ⊂ π abbiamo

(a, b, c ) ⊥ (2, 3, -1)

: 0ax by cz dπ + + + =

34

Esempio (3/5)

Per le proprietà del prodotto vettore, esistono λ1, λ2 ∈ non entrambi nulli tali che

( ) ( ) ( )( ), , 1,1,1 2, 1,1

2 , , .

a b c 1 2

1 2 1 2 1 2

λ λ

λ λ λ λ λ + λ

= − + − =

= − + −



35

Esempio (4/5)

Siccome π ∩ π1 ∩ π2 = r, il sistema

ha soluzioni. Per il teorema di Rouchè-Capelli ciò equivale a

( ) ( ) ( )

22 3

2

x y zx y z

x y z d1 2 1 2 1 2λ λ λ λ λ + λ

⎧⎪− + + =⎪⎪⎪ − + =−⎨⎪⎪⎪ − + + − + =−⎪⎩

2 3 .d 1 2λ + λ− =

1∞

36

Esempio (5/5)

Dunque

Viceversa, r è contenuta in un piano con equazione di questo tipo per ogni scelta di

non entrambi nulli.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

: 2 2 3

2 2 3 0.

x y z

x y z x y z

π λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ

− + + − + + + + =

= − + + − + − + + =

,1 2λ λ ∈



37

Fasci di piani (1/2)

Siano e piani non paralleli

in . La famiglia di piani data da

al variare λ1, λ2 ∈ non entrambi nulli si dice fascio di piani generato da π1 e π2.

1 1 1 1 1: 0a x b y c z dπ + + + =2 2 2 2 2: 0a x b y c z dπ + + + =

3

( ) ( )1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0a x b y c z d a x b y c z dλ λ+ + + + + + + =

1 2,λ λπ

38

Fasci di piani (2/2)

Il fascio consta di tutti e soli i piani contenenti la retta r = π1 ∩ π2 e si dice anche fascio dei piani per r.Osserviamo che π1,0 = π1 e π0,1 = π2. Per analogia, l’insieme dei piani

formato dai piani paralleli ortogonali al vettore (a, b, c ) si dice fascio di piani paralleli.

: 0, ,ax by czλπ λ λ+ + + = ∈

1 2,λ λπ



39

Piano per una retta e un punto (1/2)

Siano

Allora il piano π contenente r e P deve stare nel fascio

e passare per P.

2 0:

2 3 0x y z

rx y z

⎧− + + − =⎪⎪⎨⎪ − + + =⎪⎩( )1, 2,2 .P = −e

( ) ( )1 2, 1 2: 2 2 3 0x y z x y zλ λπ λ λ− + + − + − + + =

40

Piano per una retta e un punto (2/2)

Quindi -3λ1 + 9λ2 = 0, da cui λ1 = 3λ2 con λ2 ≠ 0. L’equazione di π sarà

da cui in quanto possiamo sempre dividere l’equazione per un coefficiente non nullo.

( ) ( )( )

2 23 , 2 2

2

: 3 2 2 3

2 4 3 0

x y z x y z

x y zλ λπ λ λ

λ

− + + − + − + + =

= − + + − =

: 2 4 3 0,x y zπ − + + − =



Piani nello spazio

42

Posizione di rette e piani

Se r e π sono rispettivamente una retta e un piano nello spazio allora vi sono tre casi:

r ∩ π è un punto (r e π incidenti)r ∩ π = ∅ (r e π paralleli)r ⊂ π



43

Esempio (1/4)

Dati il piano e la famiglia di rette parametriche

studiamo π ∩ rk,h al variare di k e h in . Sostituendo nell’equazione del piano otteniamo

: 1 0x y zπ + + + =

( ) ( )1 1 0.t h kt t kt h+ + + − − + = + =

, :1

k h

x t hr y kt

z t

⎧ = +⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =− −⎪⎪⎩

44

Esempio (2/4)

Posto rk,h : Pk,h(t ) = t (1, k, -1) + (h, 0, -1), abbiamo

Se k = h = 0, P0,0(t ) ∈ π per ogni t : r0,0 ⊂ π;Se k = 0, h ≠ 0, P0,h(t ) ∉ π per ogni t : rk,0 e πsono paralleli;Se k ≠ 0, Pk,h(t ) ∈ π per t = : rk,h e π sono incidenti.

Per esempio, se k = h = 1, r1,1 ∩ π = P1,1(-1) = (0, -1, 0).

hk

−



45

Esempio (3/4)

Se rk,h è in forma cartesiana, per esempio

possiamo usare lo studio dei sistemi.

,

1 0:

0k h

x z hr

y kz k⎧ + + − =⎪⎪⎨⎪ + + =⎪⎩

46

Esempio (4/4)

Abbiamo che rh,k ∩ π = sol (S ) con

Il sistema è determinato per k ≠ 0 (incidenza), impossibile per k = 0, h ≠ 0 (parallelismo) e indeterminato per k = h = 0 (inclusione).

,

1:

1k h

x z hs y kz k

x y z

⎧ + = −⎪⎪⎪⎪ + =−⎨⎪⎪ + + =−⎪⎪⎩



47

Piani e rette paralleli

L’esempio precedente ci dice che un piano π : ax + by + cz + d = 0 e una retta r con direzione A sono paralleli se e solo se A⊥(a, b, c ) e π ∩ r = ∅.Per esempio π : 2x – y + z + 1 = 0 è parallelo a

( ) ( ): 1,1, 1 1,0, 1 ,r t − + −

ed a2 1 0

' :3 3 2 0x z

rx y z

⎧ + − =⎪⎪⎨⎪ − + + =⎪⎩

48

Intersezioni di rette in forma cartesiana (1/4)

Siano

rette in forma cartesiana.

1 1 1 1

2 2 2 2

0:

0a x b y c z d

ra x b y c z d

⎧ + + + =⎪⎪⎨⎪ + + + =⎪⎩

3 3 3 3

4 4 4 4

0' :

0a x b y c z d

ra x b y c z d

⎧ + + + =⎪⎪⎨⎪ + + + =⎪⎩



49


Se

A1 = (a1, b1, c1), A2 = (a2, b2, c2), A3 = (a3, b3, c3), A4 = (a4, b4, c4),

allora r e r ’ hanno direzioni A = A1 ∧ A2 e A’ = A3 ∧ A4 rispettivamente.

50


Abbiamo che r ∩ r ’ = sol (S ), dove S è il sistema

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

00

:00

a x b y c z da x b y c z d

Sa x b y c z da x b y c z d

⎧ + + + =⎪⎪⎪⎪ + + + =⎪⎨⎪ + + + =⎪⎪⎪ + + + =⎪⎩



51


Se A e A’ sono paralleli e S è risolubile, allora r = r ’.Se A e A’ sono paralleli e S è impossibile, allora r e r ’ sono parallele.Se A e A’ non sono paralleli e S è risolubile, allora r e r ’ sono incidenti.Se A e A’ non sono paralleli e S è impossibile, allora r e r ’ sono sghembe.

52

Esempio (1/2)

r e r ’ hanno direzioni A = (1, 1, 1) ∧ (2, 0, 1) = (1, 1, -2), A’ = (-1, 1, 3) ∧ (1, 2, 1) = (-5, 4, -3) rispettivamente.

1 0:

2 0x y z

rx z

⎧ + + − =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

3 1 0' :

2 2 0x y z

rx y z

⎧− + + + =⎪⎪⎨⎪ + + + =⎪⎩

Se



53

Esempio (2/2)

A e A’ non sono paralleli. Inoltre il sistema

è impossibile, quindi le rette sono sghembe.

12 0

3 12 2

x y zx zx y z

x y z

⎧ + + =⎪⎪⎪⎪ + =⎪⎨⎪− + + =−⎪⎪⎪ + + =−⎪⎩

Piani nello spazio



55

Piani ortogonali

Due piani

e

sono ortogonali se e solo se i vettori A1 = (a1, b1, c1), A2 = (a2, b2, c2)sono ortogonali. Per esempio x + y + z - 1 = 0 e 2x – y – z = 0 sono ortogonali.

1 1 1 1 1: 0a x b y c z dπ + + + =

2 2 2 2 2: 0a x b y c z dπ + + + =

56

Esempio

Se π : x -2y + z + 3 = 0, r : t (2, -1, 1) + (0, 1, 0) e P = (3, 1, -1), il piano π’ : ax + by + cz + d = 0 ortogonale a π, parallelo a r e passante per P èdato dalle condizioni

Quindi

( )( )

( )

2 0 '

2 0 '

3 0 '

a b c

a b c r

a b c d P

π π

π

π

⎧⎪ − + = ⊥⎪⎪⎪ − + =⎨⎪⎪⎪ + − + = ∈⎪⎩' : 3 5 0.x y zπ − + + + =



57

Esempio

Consideriamo il piano e siaP = (1, 2, 1). Allora esiste una sola retta rortogonale a π passante per P. Poiché A = (1, 1, 1) è la direzione ortogonale a π, r è la retta per P di direzione A. Quindi

1: 2

1

x tr y t

z t

⎧ = +⎪⎪⎪⎪ = +⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎩

: 1 0x y zπ + + − =

58

Proiezione ortogonale

Se π e P sono un piano e un punto nello spazio, la proiezione ortogonale pπ (P ) di P su π èl’intersezione dell’unica retta ortogonale a πpassante per P. Quindi abbiamo

per ogni Q ∈ π, con = se e solo se Q = pπ(P ).( )P p P P Qπ− ≤ −



59

Distanza punto/piano

Quindi pπ(P ) è il punto di π con minima distanza da P. La distanza d (P, π) di P da π è definita dad (P, π) = d (P, pπ(P )) =Nell’esempio precedente pπ(P ) = r ∩ π = (0, 1, 0) e d (P, π) = d ((1, 2, 1), (0, 1, 0)) =

( ) .P p Pπ−

3

60

Formula della distanza

Se π è un piano e P è un punto nello spazio, vale una formula per la distanza analoga a quella per la distanza di un punto nel piano da una retta.Se P = (x0, y0, z0) e π: ax + by + cz + d = 0, allora

Nell’esempio precedente

( ) 0 0 0

2 2 2, .

ax by cz dd P

a b cπ

+ + +=

+ +

( )1 1 1 2 1 1 1 3

, 3 .3 3

d P π⋅ + ⋅ + ⋅ −

= = =



Piani nello spazio

62

Esempio (1/3)

Consideriamo il piano π : x + y + z – 1 = 0. Il piano π0 parallelo a π passante per O ha equazione x + y + z = 0. Dunque π è un sottospazio vettoriale di in quanto insieme di soluzioni di una equazione omogenea. Una base di π0 si ricava dalla risolvente z = – x –y : per esempio X1 = (1, 0, -1) e X2 = (0, 1, -1).Quindi X ∈ π0 se e solo se esiste (t1, t2)∈tale che X = t1X1 + t2X2.

3

2



63

Esempio (2/3)

Sia P0 = (1, -1, 1). Allora P0 ∈ π e, per la regola del parallelogramma, un punto P ∈ appartiene a π se e solo se P – P0 ∈ π0. Dunque P ∈ πse e solo se P – P0 = t1X1 + t2X2, cioè P = t1X1 + t2X2 + P0.

3

64

Esempio (3/3)

Il piano π è allora l’insieme dei punti

P (t1, t2) = t1(1, 0, -1) + t2(0, 1, -1) + (1, -1, 1)

al variare di (t1, t2) ∈ .Osserviamo che X1 ∧ X2 = (1, 0, -1) ∧ (0, 1, -1) =(1, 1, 1) determina la direzione ortogonale a π0 e quindi a π.

2



65

Parametrizzazioni (1/2)

Se π è un piano in esistono X1, X2 vettori non paralleli tali che, per ogni P0 ∈ π, π coincide con l’insieme dei punti

P (t1, t2) = t1X1 + t2X2 + P0

al variare di (t1, t2) ∈ . 2

3

66

Parametrizzazioni (2/2)

In altre parole π è l’immagine dell’applicazione P : definita da

P (t1, t2) = t1X1 + t2X2 + P0. Tale applicazione viene detta parametrizzazionedi π e le variabili (t1, t2) sono dette parametri.

2 3→



67

Piani parametrici (1/2)

Viceversa assegnati X1 e X2 vettori non paralleli di e P0 ∈ , l’insieme di punti

P (t1, t2) = t1X1 + t2X2 + P0

al variare di (t1, t2) ∈ è un piano passante per P0 = P (0,0) con direzione ortogonale X1 ∧ X2.

2

3 3

68

Piani parametrici (2/2)

Un piano π così rappresentato r si dice piano in forma parametrica (o piano parametrico) e tale rappresentazione si indica con

π : P (t1, t2) = t1X1 + t2X2 + P0.



69

Equazioni parametriche

Se P (t1, t2) = (x, y, z) possiamo scrivere le equazioni parametriche del piano π del precedente esempio.

1

2

1 2

1: 1

1

x ty tz t t

π

⎧ = +⎪⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪ =− − +⎪⎪⎩

70

Passaggio alla forma cartesiana

Se π : t1X1 + t2X2 + P0, allora π è il piano passante per P0 = (x0, y0, z0) con direzione ortogonaleX1 ∧ X2 = A = (a, b, c ), quindi con equazione a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0.La forma cartesiana è

0ax by cz d+ + + =

( )0 0 0 .d ax by cz=− + +

con



71

Esempio

Se

allora X1 = (2, 1, -1), X2 = (-1, 1, 3) e X1 ∧ X2 = (2, 1, -1) ∧ (-1, 1, 3) = (4, -5, 3).Quindi

1 2

1 2

1 2

2 1: 1

3 2

x t ty t tz t t

π

⎧ = − +⎪⎪⎪⎪ = + −⎨⎪⎪ =− + +⎪⎪⎩

( ) ( ) ( ): 4 1 5 1 3 2

4 5 3 15 0.

x y z

x y z

π − − + + − =

= − + − =

Geometria analitica: rette e piani - Politecnico di...

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