Slide 1ângulo de dois vetores;
Distância de dois pontos, de ponto a uma reta e a um plano;
Produto escalar
Produto vetorial;
Paralelismo entre retas e planos;
Distância de dois pontos,
Distância de uma reta e a um plano;
Áreas e volumes; Curvas planas, cônicas; Curvas e superfícies no espaço; Noções sobre quádricas
Geometria Analítica:
Básica:
BOULOS, P.; OLIVEIRA, I. C. Introdução a Geometria Analítica no espaço. São Paulo, Pearson do Brasil, 1997.
CAROLI, A. J.; FEITOSA, M. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica – Teoria e Exercício. São Paulo, Nobel, 1984.
STEINBRUCH, ALFREDO. Geometria Analítica. São Paulo, Pearson Makron Books, 1987.
Complementar:
LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica – Vol 1. São Paulo, Habras,1994.
 SWOKOWSKI, EARL WILLIAN. Cálculo com Geometria Analítica – Vol 1. São Paulo, Makron Books, 1994.
 LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica – Vol 2. São Paulo, Habras,1994.
Geometria Analítica:
STEINBRUCH &WINTERLE. Geometria Analítica. Ed. Pearson Makron Books.
WINTERLE. Vetores e Geometria Analítica. Ed. Pearson Makron Books.
Complementar:
IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar, 07: Geometria Analítica. Ed. Atual.
Geometria Analítica:
Geometria Analítica:
Geometria Analítica:
Aplicações vetores ortogonais
Determinar as coordenadas do vetor v sabendo-se que v é ortogonal aos vetores
v1 = (2,3,-1) e v2 = (1,-2,3) e que satisfaz a condição: v.(2i -j +k) = 6
Considere v = (a, b, c)
as coordenadas do vetor v = (3, -3, -3)
Geometria Analítica:
a) u = (1,-2,3) e v = (4,5,2)
b) i . j
2)Provar que um triângulo de vértices A(2,3,1), B(2,1,-1) e C(2,2,-2) é um triângulo retângulo.
Dica: Provar que o produto escalar entre 2 vetores seja igual a zero
Geometria Analítica:
Geometria Analítica:
Geometria Analítica:
Geometria Analítica:
Cálculo da área de um paralelogramo
Determine a área do paralelogramo de vértices (0, 0, 0), (1, 2, 3) e (2, 1, 1).
Dica: A área é igual ao módulo do produto vetorial dos vetores (1, 2, 3) e (2, 1, 1).
Então temos que ...
área é √35.
Agora tente!!
Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores u = (3, 1, 2) e v =(4 , -1 , 0).
área = √117
Geometria Analítica:
Agora tente!!
Calcule a área do triângulo de vértices P, Q e R onde P = (1, -1, 2), Q = (0, 3, 4) e R = (6, 1, 8)
produto vetorial vamos obter o vetor (20,16,-22)
Dica:
A área desse triângulo é a metade da área do paralelogramo formado por 2 vetores que saem do mesmo ponto para outro.
ll PQxPR ll = 2√ 285
Geometria Analítica:
Profª Ieda Pinheiro Oliveira
Aplicações do produto vetorial
Determinar as coordenadas do vetor v sabendo-se que v é ortogonal aos vetores
v1 = (2,3,-1) e v2 = (1,-2,3) e que satisfaz a condição: v.(2i -j +k) = 6
Considere v = (a, b, c)
Geometria Analítica:
Profª Ieda Pinheiro Oliveira
Aplicações do produto vetorial
Cálculo do vetores ortogonais a dois vetores dados u e v...
Determine um vetor ortogonal a ¯u = (1, 2, 3) e ¯v = (2, 1, 1).
Geometria Analítica:
onde é o ângulo entre os vetores u e v.
Essa é a chamada de lei dos co-senos, onde u,
v e w são os lados de um triângulo qualquer
e é um ângulo interno ao triângulo,
oposto ao lado w.
Geometria Analítica:
Lei dos Co-Senos
Vetorialmente temos que
Note que o ângulo entre os vetores u e v é q
e não o a. Temos que a + q = 180° e que
cos(a) = - cos(q). Logo, a lei dos co-senos
ficará:
q
a
Intuitivamente, podemos entender
ponto material, inicialmente na origem do
vetor, até sua extremidade.
P4.
não nulos, é o ângulo entre
os segmentos orientados que representam os
vetores, com a restrição , quando
os vetores são transportados para um ponto
P, de tal forma que suas origens coincidam
com este ponto P.
u e v
produto escalar deles é .
tem-se
uv
rr
rur
REGRA DA MÃO DIREITA
os, então: