Geometria analitica dello spazio

Le rette ed i piani

Le rette ed i piani

Consideriamo un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxyz con versori fondamentali i, j, k.

Distanza tra due punti

A(xA, yA, zA) e B(xB, yB, zB)

d(AB)=2)(2)(2)(

Az

Bz

Ay

By

Ax

Bx

Punto medio di un segmento

A(xA, yA, zA) e B(xB, yB, zB) gli estremi del segmento AB. M(x,y,z) sia il punto medio del segmento AB. Allora AM=MB e quindi passando alle componentix-xA=xB-x, y-yA=yB-y, z-zA=zB-zA

22BABA zz

zyy

y

2BA xx

x

Punti simmetrici

P(a,b,c) un punto. Si chiamano:il simmetrico di P rispetto al piano xz il punto Q(a,-b,c), il simmetrico di P rispetto al piano yz il punto R(-a,b,c),il simmetrico di P rispetto al piano xy il punto S(a,b,-c). Si chiamano: il simmetrico di P rispetto all’asse x il punto A(a,-b,-c), il simmetrico di P rispetto all’asse y il punto B(-a,b,-c), il simmetrico di P rispetto all’asse z il punto C(-a,-b,c), il simmetrico di P rispetto all’origine il punto D(-a,-b,-c).

Rappresentazione analitica del piano

Un piano si può individuare in due modi:

- Assegnando un punto P0 di ed un vettore w non nullo ortogonale ad

- Assegnando tre punti non allineati di

Equazione vettoriale del piano

Se consideriamo il piano passante per P0(x0,y0,z0) e ortogonale al vettore non nullo w(a,b,c), allora un punto P(x,y,z) dello spazio appartiene ad se e solo se il vettore P-P0 è ortogonale a w;

(1) w(P-P0)=0

Equazioni del piano

La (1) si chiama equazione vettoriale del piano.Esplicitando le componenti la (1) si può scrivere :(1’) a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0ed è detta equazione cartesiana del piano.La (1’) si può scrivere (2) ax+by+cz+d=0, ossia come

un’equazione polinomiale di I grado in x,y, z dove i coefficienti a,b,c di x, y, z rispettivamente, sono le componenti di un vettore non nullo ortogonale ad .

Viceversa ogni equazione del tipo (2) con a, b, c non tutti nulli rappresenta un piano e tale piano è ortogonale al vettore (a,b,c).

Rappresentazione analitica del piano

OSSERVAZIONE 1Se un piano ha equazione ax+by+cz+d=0 e se

k0, l’equazione kax+kby+kcz+kd=0 rappresenta lo stesso piano (infatti è soddisfatta dagli stessi punti). Viceversa si dimostra che se due equazioni ax+by+cz+d=0 e a’x+b’y+c’z+d’=0 rappresentano lo stesso piano, allora esiste un k 0 tale che a’=ka, b’=kb, c’=kc.

OSSERVAZIONE 2

Mentre è possibile determinare in maniera univoca una direzione ortogonale al piano (ad esempio mediante il vettore (a,b,c)), non è possibile determinare in maniera univoca una direzione parallela al piano , poiché non tutti i vettori paralleli ad sono tra loro paralleli.

Piano per tre punti non allineati

Siano A, B, C tre punti non allineati dello spazio. Allora esiste un unico piano passante per i tre punti: esso si può pensare come il piano per A ortogonale al vettore w= (B-A)(C-A) (che è non nullo, essendo i tre punti non allineati).

L’equazione vettoriale di è:

(P-A)·(B-A)(C-A)=0

Esplicitando il prodotto misto in termini di componenti si trova l’equazione cartesiana

0

ACACAC

ABABAB

AAA

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

Equazione di un piano come sviluppo di un determinante

Rette nello spazio

Una retta nello spazio si può individuare in vari modi:

assegnando un punto di r ed un vettore parallelo ad r

assegnando due punti distinti di r

Retta per un punto e parallela ad un vettore

Una retta r dello spazio si può pensare come la retta passante per il punto P0(x0,y0,z0), e parallela al vettore non nullo v(l,m,n). Quindi r è il luogo dei punti P(x,y,z) dello spazio tali che P-P0 è parallelo a v, cioè

P-P0=tv

Equazioni parametriche di una retta

Passando alle componenti si ottiene

ntzz

mtyy

ltxx

cioè

ntzz

mtyy

ltxx

0

0

0

0

0

0

Le componenti (l,m,n) di v si chiamano parametri direttori di r.

Se A e B sono due punti distinti dello spazio ed r è la retta passante per A e B allora un vettore parallelo ad r è v=B-A, di componenti (xB-xA, yB-yA, zB-zA).

Le equazioni parametriche di r sono:

Retta per due punti

)(

)(

)(

ABA

ABA

ABA

zztzz

yytyy

xxtxx

Equazioni cartesiane della retta

Consideriamo due piani non paralleli:

) ax+by+cz+d=0

’) a’x+b’y+c’z+d’=0Essi si incontrano lungo una retta r, che è costituita da tutti e soli i punti P(x,y,z) le cui coordinate soddisfano il sistema lineare:

0''''

0)2(

dzcybxa

dczbyax

Rappresentazione cartesiana della retta r

Il sistema (2) si chiama rappresentazione cartesiana della retta r . Il vettore w=(a,b,c) è ortogonale ad , mentre il vettore w’=(a’,b’,c’) è ortogonale ad ’ ; quindi il loro prodotto vettoriale v=ww’ ha componenti

un vettore parallelo ad r.

'',

'',

'' ba

ban

ca

cam

cb

cbl

Osservazione

Nel caso delle rette nello spazio, non è possibile determinare in maniera univoca una direzione ortogonale ad una retta, così come avviene nel caso delle rette del piano.

Relazioni tra equazioni cartesiane ed equazioni parametriche della retta

Per passare da una rappresentazione parametrica ad una cartesiana della retta r, basta eliminare il parametro t, tra le equazioni parametriche, ottenendo così le equazioni di due piani passanti per r.Se nessuna delle componenti di v è nulla, dalle equazioni parametriche, ricavando t da ciascuna delle tre equazioni e uguagliando i tre risultati si ottengono le seguenti rappresentazioni della retta r:

AB

A

AB

A

AB

A

zz

zz

yy

yy

xx

xxn

zz

m

yy

l

xx

)4(

)3( 000

Le (3) e (4) si chiamano equazioni normali di r

Se nelle equazioni parametriche si ha l=0 (oppure

xB-xA=0), ma le altre componenti di v sono non nulle, si ottiene la seguente rappresentazione cartesiana per r:

AB

A

AB

A

A

zz

zz

yy

yy

xx

oppure

n

zz

m

yy

xx

00

0

Se nelle equazioni parametriche l=m=0 (oppure

xB-xA= yB-yA=0), dalle equazioni parametriche , eliminando il parametro t, si ottiene la seguente rappresentazione cartesiana per r:

A

A

yy

xxroppure

yy

xxr ::

0

0

Passaggio dalla forma cartesiana a quella parametrica

Basta trovare i parametri direttori di r: v(l,m,n) ed un punto P(a,b,c) della retta trovando una delle infinite soluzioni del sistema.

Esempio

Un punto di r è l’origine, mentre i parametri direttori sono (1,1,-3) (definiti a meno di un fattore di proporzionalità), quindi una rappresentazione parametrica di r è:

(x,y,z)=(t,t,-3t)

02

0

zyx

yx

Parallelismo e ortogonalità tra rette

r: P=tv+P0

r’:P=tv’+P0’

Sono ortogonali se e solo se v è ortogonale a v’, vv’=0

Sono parallele se e solo se v è parallelo a v’, v=av’.

Ortogonalità e parallelismo tra piani

) (P-P0)w=0 ’) (P-P’0)w’=0

è parallelo a ’ se e solo se w è parallelo a w’

Se e solo se (a,b,c)=k(a’,b’,c’).

è ortogonale a ’ se e solo se w è ortogonale a w’ se e solo se aa’+bb’+cc’=0.

Ortogonalità e parallelismo tra una retta ed un piano

) (P-P0)w=0r) P=t v+P1

La retta r è parallela a se e solo se v è ortogonale a w se e solo se il loro prodotto scalare è nullo se e solo se al+bm+cn=0La retta r è ortogonale a se e solo se v è parallelo a w se e solo se (a,b,c)=k(l,m,n)

Applicazioni

Proiezione ortogonale di un punto su una retta

La proiezione di un punto P0 (x0,y0,z0) r su r è l’intersezione di r con il piano per P0 ortogonale ad r. Se r ha equazioni parametriche

Tale piano ha equazione

l(x-x0)+m(y-y0)+n(z-z0)=0

ntcz

mtby

ltax

Esempio

La proiezione di P(1,0,1) su r) x=y=z=t si ottiene intersecando r con il piano per P ortogonale ad r:

(x-1)+(y-0)+(z-1)=0

.

3

2,

3

2,

3

23

22

Q

t

tzyx

zyx

Proiezione di un punto su un piano

La proiezione di un punto P0 (x0,y0,z0) su un piano si ottiene intersecando la retta r per P0 e ortogonale a con .

.3

1,

3

2,

3

5

3

2

Pet

EsempioDeterminare la proiezione di P0(1,0,1) sul piano di equazione x+y-z=2.La retta r ha equazioni (x,y,z)=(1+t,t,1-t) con il piano x + y – z = 2.

Da cui 1 + t + t - 1+ t =2,

Angolo tra due rette

Due rette r ed s dello spazio non necessariamente incidenti formano un angolo se esistono un vettore v parallelo ad r ed un vettore v’ parallelo ad s formanti un angolo .

Notiamo che se r ed s formano un angolo , esse formano anche l’angolo - .

Se v=(l,m,n) è un vettore parallelo ad r e v’=(l’,m’,n’) è un vettore

parallelo ad s, si ha

.'''

''''coscos

222222 nmlnml

nnmmllvvrs

Angolo tra due piani

È l’angolo formato da due vettori non nulli ortogonali ai due piani. Se i due piani formano un angolo essi formano anche l’angolo - .

Se ) ha equazione ax+by+cz+d=0 e

) ha equazione a’x+b’y+c’z+d’=0

Il vettore w(a,b,c) è ortogonale ad e w’(a’,b’,c’) è ortogonale a . Quindi risulta

.'''

'''cos

222222 cbacba

ccbbaa

Angolo tra una retta ed un piano non ortogonali

È l’angolo che la retta forma con la sua proiezione ortogonale sul piano, e quindi è il complementare dell’angolo che la retta forma con un vettore ortogonale al piano. Se v=(l,m,n) è un vettore parallelo ad r e w=(a,b,c) è un vettore ortogonale ad , si ha

.sin222222 nmlcba

cnbmalr