8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 1/64

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 2/64

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 3/64

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 4/64

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 5/64

 

 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 6/64

 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 7/64

   

   

12 123 4  

 

 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 8/64

 

 

 

123456442781

23456442781

9

99

=

= +

123  

 

 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 9/64

   

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 10/64

 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 11/64

   

 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 12/64

 

  − 12

      ⇒  ⇒  

 

  ⇒ 

 

1  2

3  1

  2 3

43 3= =

1 23 4 2 21 2

12 

1 2 2 1   3 31 2 3 1 3 2 3 1  

4= =5 5  

1 1 1

1 2 2   3 3

1 2 2   3 3

1 2 1 3 2 3  

1 2 2 1 2 1  

1 2 

4 

2 1 2 1  

4 4 4 

4 

4 

4 

4 

4 

= +

= +

= +

4 4

4 4

1 2   3 4

5 6 5 6

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 2 2 1  

1 2 2 1  

34 4

4 4

1 2 1 2   3 4

1 2 1 2 1 2

3 3 

3 

3 3 3 

= =

= =

∆

∆

1 2   31 2 

= +∆ ∆1 2   3 43 

3 

12   

1 2 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 13/64

   

∈  ⇒ 

1 2  ⇒

⇒ 1 2 3 4 5   61 

1 1 1 2   3   4   3   4= − + −

    ⇒ 

   ⇒  ⇒  

     

1  2

3 5 6   71

  2

71 1 

= − = = −

− −1 2 

3 4 

1

23  1

4

12 

⇒        

     ⇒ =   +1  1 1

1 

2 3 

1

⇒      

    ⇒ =  +

 1 1 1

1 

2 3 

1

1  1 1

2  2 2

1 

2 3 

1 

2 3 

=  +

=  +

=

=  +

= =

3

4 5

33

3

6 7

34

8

12 

12 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 14/64

 

1  2 2

3

4 5

36

1 

2 3 =  −

=  −

=

1 2 2

34 3

3  56

1 

2 3 =  −

=  −

=  

1 1 2 3 4 5

1 1 42 3 4 4 6

1  2 3 

4 2 3 

= + = + =

= + = + ⋅ =

123

1 1 2 3   4   5

1 1 62 3 6   4   7

1  2 3 

4 2 3 

= + = + =

= + = + ⋅ =

1

23

43

12 

12

23=

  4

5

12 

1 11 1

1  2 

3 2 

= + ⋅  −

23

1 2

1 1    = + ⋅  −

= + =2 3

  4 2

52 3 61 2

1 11 1

1  2 

3 2 

= + ⋅−

23

1 2

11 

  = + ⋅  −

= + =2   3  45   2

52 6   5

1 2

 

   

 

 

 

   

 

   

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 15/64

   

 

 

 

 

 

1 2 3 4 2 4

1 3

1 1 1 

1 

1 

1 

5 5 6 5 5 7

6 5 5 7

1 2 1 2 1 2   3 4

1   2   3 4

+ = + +

+

8 9

8 9

  1  

  1

∆ ∆

∆ ∆

1 2 3

4 1 3

4

= = = =

= + = +

=

5 6 67 8 67 6 8 6 9

1 

1 

1 2

1   2   3 4   1   2   5 63 – 42   2

 

1

1

1

1 2 

1 3 

2 3 

= + + = + =

= + + = + =

= + + = + =

2 3 4 3 4 56 57

2 5 4 5 56 4 57

3 5 3 5 27 27 7 5

4 4 

4 4 

4 

4 

 1 

 1 

 1 1 

1   2   1   2

1 2 1 21 2   3 4

1 1 1   2

1 1 1

1 2 3 1 1 2  

1 2 3 1 1 2  

> =

≠ +4 4 4 

∆ 123  

 

∈ ⇒   12 

 

⇒ + =1 1 11 2 

3 

1 4 

3 

  2 4 

3 

                

    ⇒     

123

12 3 12  12 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 16/64

 

 

   12   12

1  1 1   2

3  3 3   4

2

 4

1 

2 3 

1 

2 4 

=  +

⇒ =  +

=  +

⇒ =  +

  ⇒=

=

123

56

  7

5

58

  7

5

85

5 

  

∆ ∆  ∆  ∆

   

       

 1

21

2

3 3 4 4

3 4 3 4 3 4 3 4

1 2 1 2  

1 1 1 2 2 1 2 2  

− ⋅ − =

= − − +

1 2 1 2

1 2

 1

21

2

3 3 4 4

3 4 3 4 3 4 3 4

1 2 2 1  

1 2 1 1 2 2 2 1  

− ⋅ − =

= − − +

1 2 1 2

1 2

 1

21

2

3 3 4 4

3 4 3 4 3 4 3 4

1 2 1 2  

1 1 1 2 2 1 2 2  

− ⋅ − =

= − − +

1 2 1 2

1 2

∆ 1

2

3 4 3 4 3 4

3 4 3 4 3 4

1 2 3 1 2 3  

1 3 3 2 2 1  

+ + −

− − −

1 2 3

  4 5 6  

∆ =

1   2

1   2

1   2

1 1 

2 2 

3 3 

3

3

3

       

∆ = + + −

− −

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 21 2 3 1 2 3  

3 2 1 3 2 1  

 

1 = ⋅2

3∆

∆ 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 17/64

   

1 = ⋅2

3∆ 

1 = ⋅2

3∆  ∆ =

1   2

1   2

1   2

1 1 

2 2 

3 3 

3

3

3

∆ 

1   2 3 4 567895

1 1 

2 2 

3 3 

  ⇔ =

∆ 

 

1 2∆ = ⋅

3 3 3

4 5 3

5 6 3

∆ 

∆

∆ 

1 = ∆

2

     

1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  

1 1 

= + + + +−2 3 4 2 4 5 2 5 6 2 2  

22 2

12  3   2   3   2   3

2   3   2   3   2  31 1 1 

1 2 3 

4

5

2 3 3 4 4 2  

3 2 4 3 2 4  

=+ + −

− − −

1 

2 3

  4 

5 6 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 18/64

 

1   2  3   2   3   2   3   2   3   2   3   2  31 1 1 

1 2 3 

4

52 3 3 4 4 2 3 2 4 3 2 4  

= + + − − −1 2

1   2  3   2   3   2   3   2   3   2   3   2   31 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2  

1 1 2 2 

4

53 3 3 3 3 3 3 3  −

  = + + − − −− − − −1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3  

1 1 2 3 3 4 2 3 2 4 3 2  

+ + + − − − − =4 4 4 4 4 4  ∆

12

= ∆

3

∆

1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3  

1 1 1 

= + + + − − −−

4 

5 

2 3 3 4 2 3 2 4 3 2  

6 6 6 6 6 61 2

1 = + + + − − − −2

34 5 63   27   24 4 8 41 2

1 =  2

3451 2

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 19/64

   

∆∆

∆= −

−

⇒ = − − + − − −

= −

1 2 3 

4 5 3 

5 3 3 

3 4 3 6 4 7 3 4 1  

8 5 

1  2

31

  2

345

1  45

3

= ⋅ ⇒ = ⋅ −

=

∆

1  2

34

  2

3

2 3 2

5 6 2

7 57 3 2

= ⋅ ⇒ = ⋅

+

∆

 

1 2 1

3 4 1

5 35 2 1

16

+

=

1 2 34 2 54 2 6 7 14 7 6 7 84 7 3 9=

12   3   45+ =

1   2 1

3 4 1

5 6 1

7 6 18= ⇒ =

≠  ≠ 

1 2 3

3 45 3

6 5 3

2 1 5≠ ⇒ ≠

∆ 

1 2 3

4

454

∆=

1 2   34

3

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 20/64

 

α   12  α  

α

α  ≠       ααααα  α  

  α

 

α   α 

12↔

 

α

12↔

 

α     α

  α

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 21/64

   

  12

1 2   3 31 2 1 3  

∈ ⇔ =

1   2

1   2

3 3

3 3

4 5

6 7

1 

1 

1 

1 

1   2   3 4

1 2   3 4

+ =

= +

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 

1 1 

3 4 56 78

59 94 7 5

+ + + =

= + + +      

λ      

1   21 2 

∈ ⇔ =λ    3

1   2

1 1   2 2

3 3

3 3

4   5 6

7   8   9 7 5

1 

1 

1 1 

1 2   3 4+ =

+ + + =

λ  

   

 

1   2∈ ⇔ =∆   3

1   2 33 4 3

5 6 3

7=

 

 

1 2 3 31  2 1 3 4 5 6 5  

∈ ⇔ =7

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 22/64

 

1   2 2

1 1   2 2 2

3 34 5

6 78 4 4

1 1 

1 1 1 

1 2 1 2+ =

− + + − + =

 

 

1 2 341 2  

1 

1 21 2 

∈ ⇔ =34536789

1 2

1 2 2

3 3

3

4 5 5

6 6 4

1 

1 

1 

1 1 

1 2   3 4   5 6+ =

+ + =

1 231 2 

1   2   3 2 3

1 43 12 3 5

1 

1 1 2   + ⋅ + =

= + + =

6

6

1 231 2  

− + − = −

+ − =

123

1 2 3 2

4 2 12 3

5 6 5

5 6

4   5

+ − + =+ − =

123

1 2 34 56 2   72 5

8 98 9

− ⋅ + − = ⇒ =1  2

334 5

  65

337 7

1

22

34

2251 

2 3 4 

12→

   

12→

   

 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 23/64

   

12

   

12 34 15 64 12   74 15   841 1 1 1  − + − = − + −

      

 12

↔

 

 12↔

1 2 3

3 4 3

5 6 3

7

1 82 34 7

= ⇒

⇒ + − =

1 2 3 

1 42 56 7 33  

=

+ − =

12

3

4 54 5

1 2 1 34 5 1  34

6

 7889  34

6

34

6

+ − = ⇒ =

=1 2 

3 4 

1

123

 4123

1 2 

3 4 

 

 1 2 2

2 1

 1 2 2

 1 2

= − +

− − =

123

43⇒

⇒= − +

= −

123

43

1 

1 

1 2

 2 3

1 2

 2

  ⇒   

 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 24/64

 

 

  α  

α

α

α

1 21 2 

3 3   ⇔ =α α

1   21 2 

⊥ ⇔ = °α α3 45

  

11

1 1 

1 1 

=°< < °⇔ >

23αα4 54 4

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 25/64

   

1

1

1 1 

1 1 

=

= °⇔ =

23α

α   4 4

1

1

1 1 

1 1 

=

°< < °⇔ <

23α

α45   675 5

 

1   2   3 4  5   2   3   2 2

1 1 2 2 1 2  

6 7 6   81 2 1 2≠

1 21°< < °α

1 23   45

561 2 

= =α

12 2

3 31 2 

2 1 

2 1 

=  4

4

12 342°< < °α

1 23 23

1  45

56

7 7

8 8

1 2 

1 2 

1 2 

2 1 

= = °

= =

α α9 9

9 9  9

9

1   2

12 2

3 31 2 

2 1 

2 1 

=  4

4

α = °1

11 2 

  =  2

1 1   2 3 31 2 1 2  

≠ =  

1 2 23 3

1 2 

2 1 

2 1 

=  4

4

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 26/64

 

∆11 2  ∆1

 

12 2

3 31 2 

2 1 

2 1 

=  4

4

12 2

3 3

2 2

3 3

2

31 2 

2 1 

2 1 

1 2 

1 2 

= = =4

4

4

4

∆

∆

12

31 2 

= = =∆

∆

4 5

6 7

6

8

9

9

11 2 

  = =2 2

3   45

6

6

1 1 2 341 2 

=↔

3

5 6275  

∆ =

1   2

1 2

1 2

1 1 

2 2 

3 3 

3

3

3

 

1  2

=3

∆ 

12← →  

  12

← →  

  α ≠ α α ≠  α  ≠ 

    α

 

   

   

 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 27/64

   

1 21  2 

3 3   ⇔ =α α

1 21  2 

3 3   ⇔ =45 45α α

1 2   3 31  2 

4 4   ⇔ =

  1 11  2 

≠    

 

 1 2 3 31 2 

⊥ ⇔ ⋅ =   456

   

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 28/64

 

  1

  −  1

1 

    ⇒  

   = = − −

−= −

∆

∆

 1

2

3   4

5   3

5

4

  1 1  2   3

4   56 2

7 41 2 2 3  

= ⇒  −

−=

  −

−

1

2

3 4

15 3 4 3 6=

  −⇒ = − ⇒ =

     ⇒ 

      ⇒

≠  ≠ 

  ≠

1 2

3 4

2 2

4 53 2

+

−≠

 − −

−⇒ ≠

 

 12   34   5 51 2 3 4  

1 1   ⇒ = ⇒

1 2

3 1

4 5

6 7

−

−=

  −

−

1

2

3 4

52   3 4 3   6=

  −⇒ = − ⇒ =

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 29/64

   

 12 34 5 5 61 2 3 4  

← →  ← →  

⊥ ⇒ ⋅ = −

1  2   3

4   56

71 2 

= − −

−= − ∴

− ⋅ = − ⇒ =1

2  3 4 3

  21

1 2 1 2  

 

1 2 3 41 2 

5 6   7 8 83 

∈ ⇔ =

1 1

2 23

4

4

1 

1 

=

1 1   2 3 34 41 1 

=   1 2

  

1 1 2 3 3

1 3 1 3

4 4

4 4 4 4 4

1 1 

5 5 6 5 5 7

=

= ⇒ = +

1 2

3   4

 

 

 

1   2 3 4 2 21 2  51 2 ∈ ⇔ =

 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 30/64

 

  1   2   1 1   34 5− − − =

  1 1 2 1 1 34 5− − − =

  1 1   2   1 34 5+ + − =

  1   2 2   1 34 5− − + =

  1   2   1 34 5− − =

1

       1   2   3   4   3   1   2   34   3 3

34   1   2   3 3   5

+ = − ⇒ + = − ⇒

− − − =

1   2

 

1 2 2

3 3

4 5

6 78

 2 2 1 3 3

1 2 

1 2 

1 2 

3 3 

=  −

−=

  −

−= −

− = −1 2

       

 

 

   

1 2

3

4 4

5 6

6

64= =

 − −

−=

 −

−=

∆

∆

   

  ⇒  

 

 

1 2 34 5 2≠ ≠  

       

       

     

   

      ≠   ≠  

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 31/64

   

 

   

⇒ 

 

1 

  1 

1  2

34

  5

3= − −  

≠  

− 1

2

 

− 1

2 

1  2

34   2= +   1

  2

3=  

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 32/64

 

≠  

 

⇒ 

1231

3431

3131

23

41

5+ = ⇒ + =

 

 

1

234

5+ =

1

2

34

5−

+ =

1  2

3

2 2

3 3

1 2 

1 2 

= =  −

−

∆

∆

1 1  1 1

2 2

2 21 

2 1 

2 1 

1 

− =  −

−

1 

2 34 

5 6    −7 8

1 1

1 1

2 2

1 1

1 

2 1 

1 

2 1 

−

−=

  −

−

1 1

1 1

2   1 1   2 31 1   4

5 5

5 52 5 5 2 35 5 4

1 

2 1 

1 2 1 

1 

2 1 

1 2 1 

−

−

= ⇒ = + −

−

−= ⇒ = + −

∈ 

   

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 33/64

   

 

   

   

1   23 4

5 3 2

= +

= − +

123

 

⇒

⇒  

  ∈ 

  ⇒    ∴ 

   ∈   ⇒  

∴    ∈

     ⇒    ∈

       ∈

 

  ⇒   ∴ 

  ⇒    ∴ 

1 2 3

4

5 6

6   7

5

7

∆

∆=

  −

−= −

 1  2

34   2= − +

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 34/64

 

α   β 

β

1

2  , −

 1

2

   1  2

34   2= − +

 

1

2

 3

45   41   2 3   6+ = ⇒ + = ⇒  1 2   34 5= − +

   1  23

45   3= +

⇒  

∴   − + 1 2   34

1   2

   1  2

34   2= − +

⇒  

∴   

     

⇒   1  2

34

3  5

  6

31 

= + ⇒ =

⊥   − = −1

23

1 

 

  ⇒   

⇒  ⇒ 

 

1

2

 3

45+ =

⇒  ⇒ 

⇒ + =1234

5634

3434

  1

2

 3

45+ =  

1

2

 3

45+ =

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 35/64

   

⇒  

⇒  

 

1 2 1 3 1 1 4 3 5 4 4 43

 6 6 7 6 6 8 3 4 8 8 3

  1 2 1 

  1 2 1 

+ − = + − = −

= + − = + − = +

123

43

5 6   7   8

5 6   7 8

1   2 23

 4   5   3

= −

= +

123

1

2   3

= −

= +

123

4

4

5

6

⇒  ⇒  

1

2

=

= +

123

3

4

5

5  ∈ 

1 2   34

 5 6 4   4 7

= +

= +

1

23 ∈   +1

 

≥  

 

⇒ 

1 2 3 4 5 23 6 73 891 2 

3 3 

= − + − = =1   2   1   2

1 23 45

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 36/64

 

 

   ≠ 

 

∴ = − −1  2

 34

  5

 31 

1 

1 

1 

 

∴ = − −1  2

34

  5

3

1 

1 

1 

1 

1   23

1   23

1  2 

= − = −3 

3 

4 

4 

4 4

1  2

3

2

31 

= − = −2 

2 

3 

3 

5 14 

y

qr

qs

r

s

x

 

 

 ≠≠≠≠≠ 

−

= −

⇒ =1

2

1

2

1

1

2

2

1 

1 

2 

2 

1 

2 

1 

2 

  − ≠ − ⇒ ≠

1

2

1

2

2

2

1

1

1 

1 

2 

2 

1 

2 

1 

2 

1

1

2

2

3

3

1 

2 

1 

2 

1 

2 

= ≠

y

r s

x0

 

 

 

− = − ⇒ =1

2

1

2

1

1

2

23

1 

1 

2 

2 

1 

2 

1 

2 

− = − ⇒ =1

2

1

2

2

2

1

1

1 

1 

2 

2 

1 

2 

1 

2 

1

1

2

2

3

3

1 

2 

1 

2 

1 

2 

= =

y

x0

sr

P

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 37/64

   

 ≠≠≠≠≠ 

− ≠ − ⇒ ≠1

2

1

2

1

1

2

2

1 

1 

2 

2 

1 

2 

1 

2 

1

1

2

2

1 

2 

1 

2 

≠

 

RST

a f  2 5 0

4 1 0

6 6 0 1

x yx y

x x

⇒ 

1 2 3 31 2 

⊥ ⇒ ⋅ = −4

s r

rs

s r

sr

1 21 2 

⊥ ⇒ − = °α α   34   67

α α αα

1 2 

2 

12− = ° ⇒ = −34

  5  12

1 

1   2   33

1 

2 

⊥ ⇒ = −  4

1   2 3 31  2 ⊥ ⇒ ⋅ = −1

    ⇒ 1 2⊥

    ⇒ 11

1 

2 

= −  2

 ≠  θ      α  α 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 38/64

 

s r

rs

α  α  θ

  α  α  θ 

  11

2323

1 

2 

1 

2 

= − ⇒ = −4 4

αα

α  α 

  α  α 

θ 

    ⇒ 1 2⊥

1 2 3 31 2 

⊥ ⇔ ⋅ = −1

 

  1

2

2

3

4

3 5= ≠

 − 

1

 2 3

 2 4

5   2 6 7= =

  1

 

  1

2

 3 4

 3 4≠   1  

− = − −

= + → =

12 34 53

  2  34

1

53

17

  3

11 

 1 23 4 5 6 2

4

52 4 7

9 1 23

9 1 23

1 

= − − − → = −

= − → = −= − −

= − +

123

≠        ≠   

 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 39/64

   

  12   3 4   5   6 4   32  5

3+ + = ⇔ = − −  

 

−

= −

−=

1

2

1

3

1

31 

 1   2  2

34   3   4   31   5   6− − = ⋅ − ⇔ − − =1 2 1 2

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 40/64

 

 

12 3 4 5  678  58961946416

4  678 146 416

123

≠ 

→ 

≠ 

≥ 0.

≥ 0 → ≥1

2

1

2,

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 41/64

   

≠  ≠ 

   

     

1 23 4

1 1

3 3

1 23 41 

1 

1 1 

2 2 

2 

2 

= +

>

=

1

23

43

→ > +

1 23 4

1 1

3 3

1 23 41 

1 

1 1 

2 2 

2 

2 

1 2

1

1

23

43

3 4 2

≥ 

≥  →  ≥ 

≥  ≥ 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 42/64

 

→  → 

≥ 

  1 2 34 1   ≥

  1   2 34 1   >

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 43/64

   

  1 11   2+ <3   4

 

 

1   2   1   2+ ⋅ − ≤1 2 1 2   3  

     

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 44/64

 

1232 4 5 6 4 7 5 6

1232 4 5 6 4 7 5 6

+ > ⇒ <

+ < ⇒ >

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 3 4

2 5 3 4  6 11 

2 3 4

2 5 3 41 2 1 2

+ >

<

345

+ <

>

345

 

 

 

1 2

1 2

− −

+ −≥

3

3 34

 

1

23>  

1

23=  

≠  

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 45/64

   

 

 

  ∈  ⇒ 

C

Pr   ∈  ⇒  ≤ 

 

1   2   3   4 5

1 

1 

− + − =1 2   3 4

   

   

   

1

        → 

   

   ≤ 

≤ 

x

y

a

 br

C

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 46/64

 

1

1

2

  1 2 3 4 4

1 2 3 4 4

1 1 

1 

1 1 

− + − = →

→ − + − =

1 2 1 2   3   4

1 2 1 2   1 2 3 4 2

1 2 3 4 5

1 

1 

1 

1 1 

− + − − = →

→ − + + =

1 2 

  3 4 5 6   5 6

5 6 5 6

  1 2 3 4   5   1 3 4   51 1 

1 1 

1 

− + − = → + − =1 2   3 4 3 4

  1 2 23 4 2 5  3

6

1 3 4   37

1 

1 

1 

1 

1 

1   23 4 3 4

1   2

+ = 5 6 

7 8 

  →

→ + + =

               

  1

1

12

1  1 1

23 42

  2

5  5 5

2

6 7

22

1 

2 3 

1 

2 3 

=  +

= − +

=

=  +

= − +

=

  1 2 1 3 341 1 

+ + + =1 2 1 2

   

   

       

               

 

 

1 23 4 23 14 3  14

2= → = → =

123 4 23 14 3  14

2

5 3 1 6 7 6   5 3 1 7 

6 8   5 3 1 7 

1 1 1 1 1 1  

1 1 

= → = → =

+ = → = +

∴ +

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 47/64

   

1 2 3

45 6 2 7

47 8   1 6 2 9 

1 1 = = = +

1 

    1  

   

   

   

1  2

3

4

35

6  7

3

8

39

= −

= =

= −

= −

= −

1   2   3   4 5 6 78 6 98

  9 9   7 7

1 1 1 1  

= + − = + − − − =

= + + = =

1 1

        ≠ 

   

    1

2 

1  2

3  4

= −

= =

= −

= −

= −

5

65

5

5

7

58

1 2 3 4 567 5 87  8

6

 9   8

6

66

1 1 1 1  = + − = + − −  −1 2 

3 4  =

= + + =

12

1

                 

1  2

34 5   6

3=

 −=

 −

   

   

   

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 48/64

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 49/64

   

x

y

O

C2

–3

x

y

C O

5

       

   1      1  1

    1     1  

1   2   1   3   421 1 

+ + − =1 2 1 2

         

1

     

    

1   2   3   4   5   2   6   41 1 1 1  

1 2 1 3 1 2 11 2 1 2 1 2 1 2

       →    

     1   2   3   1   421 1 

1 2 1 31 2 1 2

        121 1 

2 3 4 

     

   

  ≠  

1  2

31

4

33=

 −=

 − −=

1 2

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 50/64

 

1  2

34

5

36=

 −=

 −= −

1 2

      ⇒    

 

   

   

   

    1 

1 

 

 

1  2

3

4

3

5  6

3

4

3

= −

= −

= −

= −

1 2 3 4 5    6

7

6

7

 8

79

7 78

9   8 6

1 1 1 

1 1 

+ − =  −1 2 

3 4 

  +  −1 2 

3 4 

  − >

−> → <

       

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 51/64

   

 

P

Q

d   r

12

  3

4 2

14

  3

= −

⋅⊥⋅

⇒ = +123

⇒ 

⇒ 

123

 = − − + − = =4 45

6 75

8 5 51   23 4   5 6

1 1 

P

Q

d   r

t

12

3

 4

5 2

15

 4

3

= −

⊥

⇒ =123

  1

2 

 

12   34   5 678

32   14   329   149   68

+ =−

− + = − +

123

1

2   1   324   35

3   2

1 

2 

3 3 

2 2 

=− −

+

1234   2   1   35

2   3

1 

2 

3 

2 

3 3 

=− + −

+

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 52/64

 

1 2 2 3 31  2 

3 

1 2 

3 

= − + −1   2   1   2

1 

2 3 2 4 5 2 6  

2 4 

2 4 3 4 5 4 6  

2 4 

1 

2 2 

1 1 

1 

2 

1 

2 

1 1 

1 

=+ +

+

+ +

+

1 

2 34 

5 6 1 2 

4 5   +

12 23   45 6 4   23   45 6

2   4

1 

2 2 

1 

1 

2 2 

1 

1 1 

1 

=+ + + + +

+

1 2 1 2

3 4

123 45 6

2 4

1 1 

2 

2 2 

=+ +

+

1 2

123 45 6

2 4

1 

1 

2 2 

=+ +

+

 

1   2   3

1 1 +

123 45 6

2 4

7 8 9

7 7

1 1 

2 2 2 2  

=+ +

+=

+ −

+

1  2

31 3 3= ⇒ =

⇒ 

123 45 6

2 4

7 8 8 9

7 9

1  9

1

 

1 1 

2 2 2 

2 

=+ +

+=

  − ⋅ + +

− +

= ⇒ =

1 2

 

y

y0

x0

x

P(x , y )0 0

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 53/64

   

1 1

1

⋅ − −

+ −=

2 2 32

4

431 

1 

1 2

12 31 31 

4 4= +

 

   

1 1= ± ⇒ ±23

24

5

6

1   2   3   4   1   2   31 2 

5

6  78

  5

6  781 2   3 4   1 2   3 4= − = − −

⇒

1 1

1

⋅ − − +

+=

2 3 4 3

5

31 

1 1   21 

3 3= +

  ⇒ 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 54/64

 

1 

⇒ 

1 2 3

1 42

1 

1 

1 2 3

3 24 56

5

12   312 3 3

12 3 13+ = ⇒

+ = ⇒ = −

+ = − ⇒ = −

12

34

4 4

4 4

s

1   2   3  4

1   35

1 1 

⋅ + ⋅ +

+=

6

12 13 12 13 212 13 42

+ = ⇒ + = + ⇒ = −+ = − ⇒ = −

123

5 6 56 5

 

12   3   45 6 7

2 45

42 68 7

49

15943   1 5

1 1 

=⋅ + ⋅ − +

+=

=  − +

= ⇒ =

1 2

  

A

B

Ch

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 55/64

   

↔

12

   ↔12  

 ↔12

 

12↔

1  2 3 2

2 2

4

51 

1 

= =  − +

+ −=↔1

1 2 3 1 1 2

1  2 3

3=

  

∈   ⇒      ⇒ 

 ⇒1 2   3 4

1   4

2   1 3   5

4   1

1 

2 2 

1 

2 2 

⋅ + −

+

=

+ +

+

 1

 2

  3

34

51

 2

  6

34

−

=

+

 1 2 31 4

 1 2 31 4 1 3

56

 1 2 31 4 1 2

1 1 

1 1 1 

1 1 1 

− = + ⇒

− = + ⇒ = −

− = − − ⇒ = −

1

23

43

 

 

      ⇒   

  ∈        

 

1  2 3 4 2 5

2 4

67

891 1 

=  ⋅ + ⋅ +

+=

1

  23

4=

  

  1    1 

         

1   2 3  4 5 4 5 6

4 46 3 7

892 9 2 29 9

3 7 5 3 7 5

1 2

= ⇒ =  ⋅ + ⋅ +

+⇒ = ±

+ = + + =

 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 56/64

 

1 2 3 41 2 1 21 12 2= ⇒

⇒ = =1 2 34 56   1 34 21 2   1   2 3 4    

1  2 3 4 5 5

2 46 2

  6

7 8 8

 2   6

7

  6

7

1 2

3 

=  ⋅ + ⋅ +

+= ⇒ = ±

= =

  1  2

34 56 1   7 

23

4= =

1   23=   α αα α  

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 57/64

   

 

     

1   2   3   4   5= − + −1 

2 

1 

2 

1 2 1 2

 

⇒    

⇒    

⇒  

           

                   

         

     ≤ 

          ≥ 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 58/64

 

λ       λ 

 

⇔  λ 

⇔  λ 

⇔  λ 

  λ  λ   ∆ 

∆

∆

∆

> ↔

= ↔

< ↔

1

1

1

1

1

1

 3456784 6 

86794784 6 

48476 6 

λ 

λ 

λ 

  λ     

1   2   3 4

1 3

4   22 25

22 25 2   42

1 1 

⋅ + ⋅ +

+= → + =

+ = ± → = − = −

66

6 6 89 6

 

λ     

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 59/64

   

1 11 1 

1 

1 1   2   3+ = → =1 2

1   2 2

1   21 3 3

1 1 

+ ⋅ +

+= → + =

11

1  = − −1 1  1  = − +1 1

1 2 1 21 2 

3 4 4 5 3 4 4 51 2 1 27 8 7+ − − = + − + =

 

   

   

12

1

2 45

1

1 2 

3

=  −

−=

⊥

1

233

433

→ = −

6 7

8 6

9

77

 

 

     

   

 

 

 

 

   

1 1

1

1 1

1 1 1

1 1

− − − −

+ −=

− − = +

+ + = +

+ + =

2   3 4   2

3

3

5 4 3

46 78 38 3

49   78 37

1 

1 

1 

1 1 

1 

1 2

1   2

1 = −

= −2

34

5

6 89  1

1 2 1 21 2 

3   456

7 3   37

71 2   3 4   1 2   3 49 9+ = − − + = − −

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 60/64

 

λ 1   λ 1        

   

λ λ 1 

1 2 

2

2 3 4 2 5 6 7 8  

2    123

> +9 5 5   

λ λ 1 

1 2 

2

3456253272832992532

2 

1

23

43

= + 9 9

λ λ 1 

1 2 1 2  

2

32456723

2 

123   − < < +8 8 9 8 8

λ λ 1 

1 2 

2

34562532785329892532

2 

1

2

3

43 = − 9 9

λ λ 1 

1 2 

2

345264782 

123

< −9 6 6  λ λ 

1 

1

 3

456476894

2 

123

=

 

     

       

       

 

   

 

1 =  ⋅ − ⋅ −

+ −= =

1 1

2 3

2 3 4 5 6

2 4

53

78

3

51 1 

1   2   3   4

54 6   53   41 1 

7 8 9 

7 8 7 8 99  

− − =

+ − − + =

12343

 

 

1 2

3

 4 +  

1 23

45   1 23

 6   42 5

1 

1 

7 7   7 7+1 2 3   4 5 6   + −   +1 2 3   4 5 6  − + =

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 61/64

   

  ∆ 

∆    ∆ 

λ  λ  

λ      λ      λ     

λ     

λ     

λ     

     

1 2 1 23 4 3 3 41 1 − + − =

   →  λ  λ  

   

1 2 1 23 4 4 3   51 1 − + − =

     →  λ   λ  

   

12 1 1 1 31 1 

− + − =1 2 1 2

  →  λ  λ  

λ 

    λ 

   

++ + + − =

− − + + + =

123

43

+ = → + =

1   2 31   32 4 5

1   2   1   62 4 5

41   72 5   1   32 5 89

1 

1 1 

λ  

→      

  →  

−1

2

− ⋅ −

=1   2

3

4

3

     1

2

3

21 −1 

2 3 4 

    λ  λ 

λ   

  λ     

λ   λ   λ   λ 

λ   λ  

   

      1 21 

1 

1 

1 −  

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 62/64

 

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 63/64

   

8/20/2019 Mat04-geometria analitica

http://slidepdf.com/reader/full/mat04-geometria-analitica 64/64