Geometria analitica solida

101
! " #$ %% #&&’

Transcript of Geometria analitica solida

Page 1: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� �

����������������������� �����������������������

���������������������

������� �� ���� ! �

����

�� �����������������������

��������"�#$�����%%�����#&&'�

�������������������� �����

�� ��������������������������

��

Page 2: Geometria analitica solida
Page 3: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� �

����������������������� �����������������������

����

����� ����

�(���� )�� ������� ��� ��*����� �� ��� �������*����� ������� ����+������������� #&&,-

#&&'�����!������������������ �����!��������.�������� /���������������������0�1�2�3�����������*����������������������������������������� ������)��������� 4���-

5����������������6������������6������������������������)����������������%�%���6��5����)����� �-6����3�������� �������������� ������6��������6��������������� /������������ �� ���*�������������� �����������������������0���� �������������6��*�����������������0������������%����7�6��� ����+�������������������������0����������5�%%�����#&&'��

Page 4: Geometria analitica solida

���������������������

������������������������

Page 5: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� ��

����������������������� �����������������������

��

������

������ 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 �

�!�1 �8.8� �-��������������� 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000009�

909�-��)�*������������00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000009�90#�-�������������0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000#�90,�-�(��������������00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,�90'�-������*�� �� ����0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000:�

�!�1 �8.8� �-�������������������0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000099�

#09�-�;����������� ����0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000099�#0909�-�1�������0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000099�#090#�-������������������*����000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000009#�#090,�-�(������������������0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000009#�#090'�-�1������������������������� ������������0 00000000000000000000000000000000000000000000000009,�

#0#�-�������������6���� �*������������0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000009'�#0#09�-���5���*��������� �*�������������000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000009'�#0#0#�-��� �����*��������� �����*���������0�7����������������000000000000000000000000000009<�

#0,�-�;�������������� �*��00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000009=�#0,09�-���6��������������������������0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000009=�#0,0#�-�1��������������0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000009=�#0,0,�-� �� ��������������������� ������������������������������������� �*���(,000000009:�#0,0'�-��� �������������� ������0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000#&�#0,0$�-�� ���*����������������������6�������������������������������6���������0 00##�

#0'�-������*�� �� ����0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000#,��!�1 �8.8� �-����������������������������������� 00000000000000000000000000#$�

,09�-���5������������������00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000#$�,0#�-��)�*����������������0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000#$�,0,�-�!�������)����������6�����0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000#>�,0'�-�����*�������6�����������������0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000#=�,0$�-�������*�������6�����������������0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000#=�,0<�-����� ���*����������������0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000#:�,0>�-��������������0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000#:�,0=�-�������*�0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,&�,0:�-������*�� �� ����0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,9�

�!�1 �8.8� ;�-������������������������������ 00000000000000000000000000000000000000,,�

'09�-������������������� �������*��������������� ����0 000000000000000000000000000000000000000000,,�'0#�-�.������5����*�0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,,�

'0#09�-��)�*���������������5����*�0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,,�'0#0#�-��)�*��������������6��������������5����*�0 00000000000000000000000000000000000000000000000,'�

'0,�-�.�����3��������63��6��������0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,>�'0,09�-�!���3������������0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,>�'0,0#�-��������0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,=�'0,0,�-� ��%���000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,:�'0,0'�-�1���%���0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'&�

'0'�-������*�� �� ����0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'#�

Page 6: Geometria analitica solida

���

���������������������

!�1 �8.8�;�-���������������������������������������� ����������

������� 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'$�$09�-���5������������������00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'$�$0#�-��)�*����� ��������3�������������0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'$�$0,�-��� �������*��������� ����0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'<�$0'�-�8���6���������� ������������5��������0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'=�$0$�-�8���6���������� ������������5��� ����0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'=�$0<�-� ������*����������� ����00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'=�$0>�-������������������*����������� ����0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000':�$0=�-��������� ����00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000$&�$0:�-� ������*����������- ������ �����������������- ����0 0000000000000000000000000000000000000000000000$9�$09&�-�8���6�������������- ����0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000$9�$099�-���6���0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000$9�$09#�-����� ���*������������������������ �*��0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000$#�$09,�-�������*������ ���*����0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000$#�$09'�-������*�� �� ����0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000$'�

�!�1 �8.8�; �-������������������������� 0000000000000000000000000000000000000000000000000000$>�

<09�-�( ��5�����5����0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000$>�<0909�-�.+�)�*������������ ��5�����5����0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000$>�<090#�-��)�*��������� ��������6����������� ��5�����5����000000000000000000000000000000000000$>�<090,�-����������� ��5�����5���3�0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000$=�<090'�-�1����*������� ������� ������������ ��5�����5����0 00000000000000000000000000000000$:�<090$�-�.������5����*��������� �*��0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000<&�

<0#�-��� �������*��������� ��5���������0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000<9�<0,�-�!���0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000<#�

<0,09�-�!������5�*��������6����0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000<#�<0,0#�-��� �������*�������������0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000<#�

<0'�-�!�������00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000<,�<0$�-�( ��5�����������*����00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000<$�

<0$09�-������������������ ��5�����������*����0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000<$�<0$0#�-����� ������ ��5�����������*�����3�������)����3�0000000000000000000000000000000000<<�

<0<�-������*�� �� ����0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000<=��!�1 �8.8�; �-�������0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000>9�

>09�-�!�������������6��������� ����� ���������0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000>9�>0#�-�!�����5��*��������������3�0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000>,�>0,�-� ������*����������������������������������0000000000000000000000000000000000000000000000000000000><�>0'�-����������6���������������0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000>=�>0$�-�!���������� ����������� ���������������0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000>:�>0<�-���������0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000=&�>0>�-�!���3���������0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000=9�>0=�-�1���%���0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000=$�>0:�-� ������*��������������3�0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000=<�>09&�-������������3�0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000=:�>099�-�1����%���������3����6����������5����0 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000:9�>09#�-������*�� �� ����0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000:,�

�������������0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000:$�

Page 7: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� ��

����������������������� �����������������������

������������

�����������������

������������ !��"�!#�$����1������������������5���*���������0���+#����� !#�������������55��������������!��!���!% &!�'��(�?������� �@�

A9B� �(�)�*�+�,�

��������3���C�D�%�−�%�E�−�%� ��)�� � �C�E�−�%0�( �������≠�&����������+�������������3��?����������9F�0�����������A9B���� 4�������������A9F�B�C�E�A9F�BA−�%B���)��������A9B���������������*�����A��������3�������B@�

A#B� C�E�−�

%0�

1�����E�&���%�E�&����A9B����������+�����������6���������������?����*��������+�)�*�������������������������0�1�����E�&���%�≠�&����A9B�����3�����*��������+�)�*�����?��� ����%���0����+�)�*�����������������55�������������������������6�����C����G�?������� �@�

A,B� �(�)�*-�)�%�+�,�

���������*�����?����� ������������3������������������A,B����������������5����0�!������������������� ����+�)�*����@�A'B� #C���G�D�'�E�&0�(�������������� ������C���������������� ���,�����3��������*��������<���G�D�'�E�&�����������G�E�9&��)��������� ���A,��9&B�?����*�����������A'B0�!��H����������������� ������G����-������������ ���<�����3��������*��������#C���<�D�'�E�&����������C�E�9I�)��������� ���A9��<B�?�������*�����������A'B0�(��������A,B������������������?��������+�)�*�������������������� . &#!#��

�(�)�*-�+�,�

���3���������*����� C�E�λ%� G�E�−�λ��������λ�?���5�������������������������%�������0����+#����� !#�"�!#�$#�!#""#�'$#��!% &!�'#�(/�-/���?������� �@�

A$B� �(�)�*-�)�%��)�0�+�,0�

�������*�����?�������������������3�������������5������������������%������������������������6��������������������)������������� ������������������������*�0����1#����� !#�"�!#�$#�!#""#�!��!% &!�'#�(�/�(2/3/�(!����������

A<B� ��(��)��2(2�)�3��)��!(!�)�*�+�,�

��������������������������55�����������+���6�����C��A��E�9��#�J���B������%����������������0��������*�����������A<B�?�����- ���3�������������������6���������@����5�����������9����-6�������������������������+�)�*���������������������+�)�*�������������������6��������������������)���+������������������+�)�*������������0�(��%�E�&���+�)�*������������ . &#!#�0� �������������A9��#�J���B�?�������*�������3��Aλ9��λ#��J0��λ�B����?��)���)������λ������0�

Page 8: Geometria analitica solida

!� ������9���(�������.�������

���������������������

2

��2����#'#$.�!�!'����.���������������������������������������������������������� ��������������������������#0�!������������)����)������������3��������������������������������*����0�������)��������������������99���9#���#9���##����������.�'$�%#����0$�'��0�� $0�!#�2������%����@�

��E�###9

9#99

��

��0�

������������)���������?���������� �������������������22����2�2���3���������0#'#$.��

!�!'#�0#"�24� $0�!#�A���������������������������B����������������������%���@�

������E�###9

9#99

��

���E�����22����2�2�0�

������������6�������5������.�'$�%#����0$�'��0�� $0�!#�5������%����@�

��E�

,,,#,9

#,###9

9,9#99

���

���

���

�� ��� ����0#'#$.�!�!'#� 0#"� 54� $0�!#� A������������� ��������������B�� �� ��� ������ ��� ������%���@�

������E�

,,,#,9

#,###9

9,9#99

���

���

���

�������������������22�55�)���2�25�5��)���5�2��52����2�2��55������25�52����5�22�5�0��+�5���������5�����3���������������� 4������������3��������6����������3������**�������������������#/�������@�

�99,,,#

#,##

��

������9#

,,,9

#,#9

��

���D��9,

,#,9

###9

��

��0�

���������K������������������������������������������ ��������������63��������������0���-63�������������������������0��1�����������������������������������������6����� �� �����@�9B� �������������������������������6����������������������������������3���������*���0�#B� (��6��������������������6���������� ������ ��������������������������������������-

���������� ������ �����������0�,B� (��������%�������������������63����������������������������������%�����6��0�'B� ������������������������������������63��6����?�����0�$B� (��6�������������������-��������6��������������������������5�������K�D�%�K����������-

�����������?� ��� ��������������������������)��������������������� ��� �-������ ��6��5���������������K����)�������������������������-��������6��5�������������%�K0�

<B� (�� 6��� ��������� ��� ��� ��6�� ��� ���������� ��� �����6���� ���� ��%���*����� ��������A���6������������55������B������������������ ��������������������������63�����������-�����������?�����������������0�

>B� ���������������������������������������������%�������6��������������������6�����-6�����66�����6����������������� ������������+��������6������� ������ �������������0�

=B� ���������������������������������������������%������������%������������������������63��������������0�

Page 9: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� 5�

����������������������� �����������������������

1������ �� ������A=B���6��3�����6���� �� �����������63������� ���������������������������63�����������0�

.��������@��99�E�,,,#

#,##

��

������ 4� �������������������������������������*�����������-

�������� ��� ����� ��6�� �� ��� ����� ������I� ��� ������������� ���� �99� ��� ���� .�! $#�

����+����������990� ������������6����������������K��������������������������������������-��������6�������K-����������������������% 6�'' $#�����+�����������K�����������∆∆∆∆�7�+�8�9�)70#'���70�;���������6�������6����������� ���������6���������������������6�@������������ ������������������������������������������������������� ����������

�����������������0�����5�����:'#.��"�!#�$�����������������������������)�*�������� ����6�����C9��C#�J��C �?�����������������)�*������������������� �@�

=+++==+++=+++

� � #�#9�9

# # ###9#9

9 9 #9#999

%��C��000��C����C�

00�����������������������������000000000000

%��C��000��C����C�

%��C��000��C����C�

����������K������%������������������@����*�����������������?���)���)������������� ��-�����������3������5����6����)�*����������������0������������3�������������*������������% .;�'�*�"#��������������������*�������������!% .;�'�*�"#0��!��������������������� ���������0�����������������������)�*��������������6����@�

=+=+

####9#9

9#9#999

%C�C�

%C�C��

���3����������6����� ����%�����@�

9B�(�������������������������������������55��������������E�###9

9#99

��

����?������������*�������

��������?��� ���%�������3�������������*�������� ������������6 $.�"��0���$�.#$@�

C9�E�����

9�

###

9#9

�%

�%� � C#�E�

����

9�

##9

999

%�

%�0�

#B� (�������������������������������������55���������������?��6������*�������3�������������� ����%�����@�#�B�������������������������������������3����������6������������������������������-

��������55����������������������A��?����������������3���������������������������-�*�������������A9BB�����������������������?��� ���%�������3����5���������*����@�������)�*�������55������������� �������55���������� �� ��*��������I�

#%B������������������������������������� ���������?������������*����������������?���-�� ���%���0�

Page 10: Geometria analitica solida

!� ������9���(�������.�������

���������������������

<

�����������������������)�*���������������6����@�

=++=++=++

,,,,#,#9,9

#,#,###9#9

9,9,#9#999

%C�C�C�

%C�C�C�

%C�C�C�

���3����������6����� ����%�����0�

9B�(�������������������������������������55�������������E�

,,,#,9

#,###9

9,9#99

���

���

���

�?������������*�-

��������������?��� ���%�������3�������������*�������� ������������5���������!�����@��

C9�E�����

9�

,,,#,

#,###

9,9#9

��%

��%

��%

� C#�E�����

9�

,,,,9

#,##9

9,999

�%�

�%�

�%�

� C,�E�����

9�

,,#,9

####9

99#99

%��

%��

%��

0�

�#B� (�������������������������������������55���������������?��6������*�������3�����������

��� ����%�����@�#�B� ��� ����� ����������������������������3����������6���������������������������-

�����������55����������������������A��?����������������3����������������������������*�������������A9BB����������������������?��� ���%�������3����5���������*����I�

#%B� ������������������������������������ ���������?������������*����������������?���-�� ���%���0�

�1���������������������������������������������������������� 4������������6�I���� 4���-��**������������� �2�������������.#' 0 �0#""#�#"�.�!��� !��:�%%#::�=#�80�����::90�������������?�%���������5�����3���� �����������������������������������������:�:'#.��#���=��

"#!'#����?�����������������*��������@�

�B� ������%������������������)�*����I���B� �������� ������������%�������%����������)�*����� �������������������������I����B� ����������������)�*�������� ������������+������ �������������������������0��( ������� ������ ��������������������������������������)�*���������������6����0��� ��-���������������������������������������������������������������)����������������:�:'#.��'$��!& "�$#��������55�������5���������������������������� �@�

������E�

,,

#,##

9,9#99

&&

&

0�

������� ����� �������������� ��������������@�

=++=++=++

,,,,#,#9,9

#,#,###9#9

9,9,#9#999

%C�C�C�

%C�C�C�

%C�C�C�

��������� �����A����������������%����������)�*����B�3�������99�≠�&� �������������������������@�

Page 11: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� >�

����������������������� �����������������������

-��������������)�*�����������������)�*��������*���������� ������ ������99�������������-��� ���������� ������ ����#9�A� �������3+����������������������������� ����66���?���-����BI�

-���������*���)�*������������*���)�*��������*���������� ������ ������99���������������� ��-�������� ������ ����,9�A� �������3+����������������������������� ����66���?�������B0�

(����������������������)�����������)��������*����@�

=+=+=++

L,,

L,,#

L,#

L#,

L#,#

L##

9,9,#9#999

%C�C�

%C�C�

%C�C�C�

������������������6���� �������������������������0�1���)����������������3��������� ����%�����@�

�B� �+�)�*����� 3�� ����� �� ��55������� � L�K � ����� ��� ��3�� % L

� � ?� *���@� ��� 4� ����������

�+�)�*�������������������3������)�*��������������6����I������������������������������������������6������������������������*�������� ��������I�

��B� �+�)�*�����3�����������55�������� L�K ��������% L

� �����������*���@������������?����� �-

��%���I�

���B� ��������������������3�����������*���)�*��������?�����55�������� L�K ��������������� �-

������ ���������������������*����I� ��������� �����A����������������%���������

�)�*����B�3������ L##� �≠�&����������������������������������*���)�*������������*���)�-

*���������������������������������� ������ ��� L##�− ���������������������������� ��-

���� ��� L,#� �A� �������3+������������������������������������?�6������5����������6�-

����BI������������������������)�����������)��������*����@�

==+=++

LL,,

LL,,

L#,

L#,#

L##

9,9,#9#999

%C�

%C�C�

%C�C�C�

� 3������������� ���������*������� �����������+�������)�*����0��;�������������6������� ����������������� ��������0����(��1 8�90,09�-���������������������@�

−=++=+−=−+

9#CC,C

#���C��C#�C

9���C��C,�C#

,#9

,#9

,#9

0�

!��� ��� ����������� ��������� �� ��� ��� ��������� ��������� ��� ��� ��� �-������ �)�*����� ����������� � �#�→���#�#�D��9� ���� �,�→���#�,�D�,�9�

=−−=−

=−+

$>C>C

,��,C��C>

9���C��C,�C#

,#

,#

,#9

��������������� �,�→����,�D��#�

Page 12: Geometria analitica solida

!� ������9���(�������.�������

���������������������

?

−=−=−

=−+

=�'C

,��,C��C>

9���C��C,�C#

,

,#

,#9

��������������C,�E���#�� C#�E���:F>�� C9�E�9&F>0���(��1 8�90,0#�-���������������������@�

−=++=++=−+

9C#CC

&CC#C#

9CCC

,#9

,#9

,#9

0�

!��� ��� ����������� ��������� �� ��� ��� ��������� ��������� ��� ��� ��� �-������ �)�*����� ����������� � �#�→����#�D�#�9� � ���� �,�→����,�D��9�

=−=−=−+

#C,

#C,

9CCC

,

,

,#9

)�������������3��5����������6�������?��� ���%�������3�������5���������*����@�C,�E���#F,���C9�E�9F,���M���C#�E�M�� ����6���M������0�

��(��1 8�90,0,�-���������������������@�

=++=++=++

&C,C,C#

,C#C#C#

9CCC

,#9

,#9

,#9

0�

!��� ��� ����������� ��������� �� ��� ��� ��������� ��������� ��� ��� ��� �-������ �)�*����� ����������� � �#�→����#�D��9� � ���� �,�→����,�D�#�9�

=−−−=−−

=++

#CC

#�CC

9CCC

,#

,#

,#9

����������������������������������?����� ���%���0�� ���������������*��������� ������3���������������������������������)�*���������?��-6������)��������������6����I������������������ �@���(��1 8�90,0'�-���������������������@�

=−−−=−+−=−+

=−−

&CCC

<�C,CC#

<�C#C#C

'CCC,

,#9

,#9

,#9

,#9

0�

!������ ���������������������� ����������������������������������-�������)�*��������-������ � �#�→��,�#�D��9�� � �,�→��,�,�D�#�9�� � �'�→��,�'�D��9�

=+=+−=+−=−−

'C#C#

#<C>C$

##C$C>

'CCC,

,#

,#

,#

,#9

��������� ���� �,�→��>�,�D�$�#�� �� � �'�→�>�'�D�#�#� � ����������@�

Page 13: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� @�

����������������������� �����������������������

=−=−

=+−=−−

>#C#'

>#C#'

##C$C>

'CCC,

,

,

,#

,#9

�������������� C,�E�,�� C#�E��9�� � C9�E�#0���(��1 8�90,0$�-���������������������@�

=−−−=−+−=−+−=−+

&CCC

<�C,CC#

<�C#C#C

9#C$C,C,

,#9

,#9

,#9

,#9

0�

!��� ��� ����������� ��������� �� ��� ��� ��������� ��������� ��� ��� ��� �-������ �)�*����� ����������@�� �#�→��,�#�D��9� � �,�→��,�,�D�#�9�� �'�→��,�'�D��9� ����������@�

−=−−=−

=+−−=−+

9#C#C<

<�CC,

<CC,

9#C$C,C,

,#

,#

,#

,#9

)�����?��� ���%�������3�������5���������*����@�C,�E�,M�D�<��� C9�E�'M�D�<��� C#�E�M� � ����6����M�������0�

��(��1 8�90,0<�-���������������������@�

=−−=−+−=−+−=−+

&CCC

'C,CC#

<C#C#C

9#C$C,C,

,#9

,#9

,#9

,#9

0�

!��� ��� ����������� ��������� �� ��� ��� ��������� ��������� ��� ��� ��� �-������ �)�*����� ����������@�� �#�→��,�#�D��9� �,�→��,�,�D�#�9�� �'�→��,�'�D��9� �����������@�

−=−−=−

=+−−=−+

9#C#C<

,<CC,

<CC,

9#C$C,C,

,#

,#

,#

,#9

��������� ���� �,�→��,�D��#� � �� � �'�→�,�'�D�<�9� ���3�@�

=−=

=+−−=−+

&&

,&&

<CC,

9#C$C,C,

,#

,#9

��3N�������*���)�*����������������������������������?����� ���%���0��8����������3����3���������������!����������� ����������5���� 4������������**���� ������������������������������������������)�*���������?��6������)��������������6����I���-��������������� �0���

Page 14: Geometria analitica solida

!� ������9���(�������.�������

���������������������

A

�(��1 8�90,0>�-���������������������@�

=++=−+

,C#C=C$

9CC,C#

,#9

,#9 0�

���55����������C9����C#�5�����������������������������������?���������@�

=$

,#�E�9<���9$�E�9�

������������������ 4��������@�

+−=++=+

,C#C=C$

9CC,C#

,#9

,#9 �

3��?�����������������������6�����C9����C#���������C,���� 4���������������� �����-���0�1��3N��������������������������������������������������55�������?������������*�������� 4�������������������*�����������5���������!�����@�

C9�E�=,C#

,9C

,

,

+−

+�E�9'C,���9� � � C#�E�

,C#$

9C#

,

,

+−

+�E��:C,�D�90�

���������������3��)����������5���������*����@��C9�E�9'M���9���C#�E��:�M�D�9���C,�E�M���������-������M�����0���(��1 8�90,0=�-���������������������@�

=−−=−−

,C,C#9C<

9CC>C#

,#9

,#9 0�

��)������������������������������������������5�������������55�����������������������-6��������������I�����55��������������� �� ��*����������3������������������������� �� ��-*����@��������������� 4��������������������)�*����@�#C9���>C#���C,�E�9����3����5��������-�*����@��C9�E�3���C#�E�M���C,�E�#3���>M���9����������������3���M�����0���(��1 8�90,0:�-���������������������@�

=−+−=−−

'C,C#9C<

9CC>C#

,#9

,#9 0�

��)������������������������������������������5�������������55�����������������������-6��������������I�����55��������������� �� ��*����������������������������������������������� �������� �� ��*����@������������)�������������@�

'�E���<C9�D�#9C#���,C,�E��,A#C9���>C#���C,B�E��,A9B�E��,0� �����������������)��������� ���%���0��8���������� ��5����3����������� ���������� �������� ��������3���������� ����� ���%���@� ������������������������������������6������*�����3�������������:�:'#.�� . &#!#�0�(����������������6�����3���6��������������)�*�������������6�����A� ��������B�����3�@�-������������*�����C9�E�C#�EJ0E�C��E�&���������������������������������������55�������?������������*���I�

-���5���������*�������������������������������������������55�������?��6�������*���0��1����������������������������)�*�����?���������������������������6����������������-������� �0���

Page 15: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� B�

����������������������� �����������������������

�(��1 8�90,09&�-�������������������������6����@�

=++=++

&CC'C$

&C$C,C'

,#9

,#9 0�

���55�����������C9������C#��5�����������������������������������?���������@�

'$

,'�E�9<���9$�E�90�

������������������ 4��������@�

−=+−=+

,#9

,#9

CC'C$

C$C,C'�

3��?�����������������������6�����C9����C#���������C,���� 4���������������� �����-���0�1��3N��������������������������������������������������55�������?������������*�������� 4�������������������*�����������5���������!�����@�

C9�E�'C

,C$

,

,

�E��9>C,� � C#�E�,

,

C$

C$'

�E�#9C,0�

���������������3��)����������5���������*����@��C9�E��9>M���C#�E�#9M���C,�E�M����������������M�����0�(�6�������M�E�&�������������� �����������������*�����������C9�E�&���C#�E�&���C,�E�&0���(��1 8�90,099�-�������������������������6����@�

=−+−=+−

&C9&C<C#

&C$C,C'

,#9

,#9 0�

��)������������������������������������������5�������������55�����������������������-6��������������@� ����55��������������� �� ��*��������������������� 4��������������������)�*����@�

'C9�D�,C#�D�$C,�E�&�

���3�������5���������*����@�C9�E�'

M$3, −−���C#�E�3���C,�E�M���������������3���M�����0�

����<����:#$%����;$ ; :'���� 09�-�;���5�����3�@�

#,#

9',

&#9

�E��99� �

9#9,=

'$,

',#

E�&� �

=&<

9##

,#9

− �E�&0�

� 0#�-�;���5�����3�@�

',99

&&&#

99'#

#>$,

�E�9$<� �

'<99

&&&#

9#'#

#9'$,

�E��,9#��

&=#=$

',9>,

>,#9,

'&9$#

&,##9

�E�&0�

��

Page 16: Geometria analitica solida

!� ������9���(�������.�������

���������������������

�,

0,�-���������������6��������������������@�

=++=−+=+−

'C#CC,

#CC#C

9C,CC#

,#9

,#9

,#9

� A���� ���%���B�

−=++−−=+−

=−+

,C<C#C

#C#CC#

<CC#C

,#9

,#9

,#9

� AC9�E�9��C#�E�#��C,�E��9B�

=++−=++=−+

&CC=C'

&C=CC'

&C'C'C>

,#9

,#9

,#9

AC9�E�&��C#�E�&��C,�E�&B�

=++−=+=−

&C$CC#

&CC

&C#C

,#9

,#

,9

AC9�E�#M��C#�E��M��C,�E�M��∀M∈�B�

=−−+−−=+++

=−+−=+−+

,CC,CC

9C#C#CC,

#C#CC#C

9CCC,C#

',#9

',#9

',#9

',#9

� B9:

'C���

9:

,#C���9C���

9:

#'CA ',#9 −=−=−== �

=−++−=−+−

=+−+=−+−

&CCCC

9C'C,C'C,

9C#CC#C

,CCCC#

',#9

',#9

',#9

',#9

� A������������ ���%���B�

� 0'�-�����������������������������������M�������������������@�

=+=−−=++

&G#MC

&*GC

&M*G#MC

0�

A���M�≠�&���M�≠�−#�������*����@�C�E�&��G�E�&��*�E�&I����M�E�&���5���������*����@�C�E����G�E�&��*�E�����∀��∈��I�

���M�E��#���5���������*����@�C�E�3��G�E�3��*�E�&��∀3�∈��B0�

Page 17: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� ���

����������������������� �����������������������

�������������

���������������������2������#'' $��0#"�;��! ���2��������$#.#::#��� ����������������6�����**�����������6�����**������������0�1����������������� �����%�������������������������������6���)������%%��������� ����������������� ������������6������������6�����**�������������� ��������� ������I��������������������� ����������������-��������������������3������������� ��������������������������������*������������������������������������0��������������������3����� �������� ���*�������������������� ����������������� �������������������������������%������ �2���� �������������������0���3���������������������������?���� ���������������������������3����������������������?������������������������ ������������������������0� ���������3���������������**�������������������%���0�.���������5���*�����3��%���6����������� �������0��!���������������� ��������� ��������������� ����A���7B������������������� ���������������7���������������0������ ���������������������3��:#&.#!' � $�#!'�' �A���7B���������@�

�B� ��������������6�������A���7B�E��A7���B�3���� �����������������*����������7���-� �����������������������������I�

����A���7B�≠�&������������������������7@�

��B� ��������@�)�����3������������ ��������7I����B� ������������������@�)�����3������������� ����70������+��������������6�������������������� �����������������������*���������������#���; "�"#!��0�������@�

8�/��9�#���; ""#!'#�8�/��9���� �2���� ����������8�/��9�σσσσ�8�/��9�

����������5��������������6���������*����@�9B� ���7����������������3��������������!I�� ���#B� A���7B���A!���B�� �����6���������������������������6������������I�� ���,B� A���7B���A!���B�� �����6��������������� ���������������������!�3����6��6���� �������������?� ��������������������7��3����6��6������������������0������@� � � ������� �������� ��� ������� � ��������� �� ������ � ������� � ���� ��� �

������������� �������������������������������0�����������*�����σ�?@�$�6"#::�=�� ������)��������A���7B����3��A���7B�σ�A���7BI�:�..#'$�%�� ���A���7B�σ�A!���B�→�A!���B�σ�A���7BI�'$�!:�'�=�� ���A���7B�σ�A!���B���A!���B�σ�A����B�→�A���7B�σ�A����B0��

Page 18: Geometria analitica solida

!� ������#���!������;����������

���������������������

�2

1��������������������+��������������6��������������������������������3���������%"�::��0��#���=�"#!��0�(������6���������������������������6�������)� ��������������������6����������������� �����������������������%�������)�����������������3����� 4���6������������ ����������0����� � � 8���#0909�-������������������������������������������ �������������������

��������� ��������0���2���2��� .#!%"�'�$��#�! '��� !���

�!����������������������3������3������������ ������

r

�����A���7B�?�������� ��-������������ ������E�7���������3��7�E���D��0�.��������*����������7�����! $.����. 0�" ���������������E�7�������������������

� ����� �7 − ����� � ����� �7 − 0�

���������������,�3��������*���������*��������������������������0� ������������������9������������=#$: $�0��8((��;�� 8��0�������6������������� �������������������� ���*����� 5���������������**�����������6������3������� ���������0�8���������5�����3������ ���*��������������� �������������������������� ����������0�.�������������������������5��0���2���5���� ..��0��0�#�=#'' $����.���������������������������5������������� ����������������������@��������� ���������7�����?����� ������������������������������!���7����� �����������������������=��������!�����?����� �������������������������D�=0�.+� ���*�����?����� �����-������������������� �����0�����.������*������������ �������������������������D�=� 4��������5�������3����������������-6�������� ��������6�������������=�����3������� ����������������������������0�8��������7�����?����� ������������������������������������� �����������������������=���������������� ��������6�������7!��������6�����������������!��� ����������D�=0������1�81� ��O�#0909�-���������������������������������������������� ��� ��������

� ������0���������*����0�.���������������������� �����5������6������5�������������6����� �� �����@�-� 1�� ���������������@���D�=�E�=�D�����5����������E�7�����E�!�������!���7�?����� ��-

������������=�� �������������������������������7!��?��� ��������6�����0�����

��

!�

7�

�� 7�

!���

�� 7�

�� !�

Page 19: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� �5�

����������������������� �����������������������

-� 1�� ����������������@��A��D�=B�D�C�E���D�A=�D�CB�����5��������3��3��A7����B�D�A!���7B�D�A����!B�E�����������)�������66� ����6����������0�

��������-� ����������������,��?���������������@����D�,�E�,�D���E���������������������5���*��������,0�-� 1����6�������������������������������� ��������������3����D�A���B�E�,I���5����� �����������

�+� ����������%����������������������� ���������������7I����� �����������������������7����� ��3N�A7����B�D�A����7�B�E�,0�

��2���<����$ 0 '' �0���!�!�.#$ �$#�"#�;#$��!�=#'' $#��

� ����������������� ��66������� ���*������������;$ 0 '' ��3��������� ������������5����������������������������������������������������������0����� � � 8���#090#�-������� ��� ��������� ��������������������������������

������������� �

����������������������� ��������!�"���� ��!������������"�!���������!������������

���������������� �

�� C �E� λ � I�

��������������������I� ���������������������#�"������������������$�"0���(��1 8�#0909����1�81� ��O�#090#���������� �� ������������������ ����������%������������� ����� ������� �

��&�'��(�!���'���I�&��'�%(��!���'�%I�&�%(��!���&%(I�)�!�0�.��6����5��*�������6����������5���*�����#090#0� �� ��������������������������)���������*��������6��3�������?��������������������3�@����E�A9D�9DJD�9B��E�9��D�9��DJD�9��E���D���DJD���A�������B0����� � � 8��� #090,� -�* � ������� � �� ��� ����������������� �� ������ ����������� � ����

������������������!���0��.+�����������������������5���������������������6���������� ����������������)� ������������������������� �������� ����������������� �������5������?������� �������������:;��� �=#'' $��"#������ �������������������3������3���������(#0��

�� 2�� −−−−�&�$��

��

7� !�

��

Page 20: Geometria analitica solida

!� ������#���!������;����������

���������������������

�<

2�2����#!#$�"�'D�:�&"��:;����=#'' $��"����2�2������#6�!��� !#�0��:;��� �=#'' $��"#��

�������������� ���������P��������� ���P�E���A�� �����������������B�� ���P�E���A�� �������������� �����B�������;�������������������������������������=���=2�J0����� � � 8���#0#09�-�*����������+��� ���������������������� �,������+��������� �

�� ������������������������������������������������������������+��������� �� �����

���������+����������������'���I��� ��������������������������������������������������������λ�∈�,����∈�+��������� ��

��������������+���������������

��� ����������������������������� ����������� �

&�(�{+��'}��� ��� �������� ������������ �

� �)�����������������������������+������ ����'����!����'����&�����-����� ������(.�

�/���������������������������������+������ �&���'���(�'����!����'�&���'���(�&�����-����

���������(.�

� �0�������� �������������+����������'���!������������∈�+.�

� �1������������∈�+���������&�������������(����������'��2�!����&��(�������������������������������������� ���������-������������������λ��µ�

���,�������������������������������+ �

� ��)�����&�)�'��/(�!�����'����.�� ��/���&��'�%(���!����'�%�.�� ��0���&�%(���!���&%�(.�� ��1���)��!��������)����� ���-�������������������,������������������P����6����������:%�"�$���6���������������;����6����������=#'' $�0��;�������������������� ������ �*������������0���(��1 8�#0#09�-�.+��������������������������� �*������5���������������������6�������������-����)� ���������������� ���*��������������������������� ������������������������� ���������������5���������#090,���#090'��?����� �*�����������������������3�������������������(,0���(��1 8�#0#0#�-�(����!�E���×���×�J0�×���A��≥�9B��+���������������- �����������������0�.���������������������������!�?���5��������@�

A�9�J����B�D�A%9�J��%�B�E�A�9�D�%9�J�����D�%�B0� �� �������������������������λ� ������������������!�?���5��������@�

λA�9�J����B�E�Aλ�9�J��λ��B0�(������5���3���!���� ����������� ���*������� �����5������?����� �*������������������3��������������#:#.;� �6 !0�.#!'�"#0��

�(��1 8�#0#0,� -�(�����[C]� �+������������ ������������55������� ���������6���������������6��������������������� ���*����������������� ������������� ������������������� ����� ��������0�(������5���3����[C]�?����� �*�����������������0�(���������������������+������������ �����������6���������� ������������������ ���*������������������������� �*�����������������)������������� ������������ �������������0���(��1 8�#0#0'�-�!�������������+��������3������������������������63������������������-�������������@��������������3����?������%�����������6��������������������� �@�

Page 21: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� �>�

����������������������� �����������������������

��9�

�999

�000000�

000000000000

�000000�

�E� �K� 0�

������������������3�������E� �K� ���7�E� �K% �A)�����������������������������63�������

������B���5������@�

-�: ..��0����#�������������!�E� �K�K %� + ������������������������������6���������������

����7�3���������������������� ���*����I�

-�;$ 0 '' �0���!�$#�"#�λλλλ�;#$� "��.�'$�%#��� ����������λ��E� �K�λ � ������������������ ��

����������6����������������� ���λ0���� ������������� ���*�����3����?����� �*�����������������0����� � � 8���#0#0#�-�4������������������ ����+2���� ������������������+�������������

���������������������+��������� ��������������������������������������������������

���+���+20����������������������)��������� ������%������)�����������������������������?��������-� �*��0��1�81� ��O�#0#09�-��4�%$�'#$� 0�+2��� �����������������+�������� ��������������� �����������5���� �

9B� ∀�∈�+2���∀���∈�+2�⇒��'���∈�+2.�

#B� ∀�∈�+2���∀λ�∈���⇒�λ�∈�+2��(����������3�����#B��� ����3��&��+�,�∈�;L���3��A−9B��E�−���∈�;L0��������������� �� ��������������5���*��������� �*�����������������������5�������3�����;L����)����� �� ����������� �����������0��1�81� ��O�#0#0#�-���4�%$�'#$� 0�+2��� �����������������+�� �∀�∈�+2��∀��∈�+2��∀α�∈����∀β�∈���⇒�α��'�β���∈�+20���(��1 8�#0#0$�-�.+��������5�����������������������������?������� �*�����������������)��-������� �*�������������I� �������5������%��������������������������0���(��1 8�#0#0<�-� ���������������Q�����<�5�������������)������������� ��A�9���#��&��&B�?����-��� �*�������������0� �5�������������� /������������3�@�A�9���#��&��&B�D�A%9��%#��&��&B�E�A�9�D�%9���#�D�%#��&��&B�∈�Q��λA�9���#��&��&B�E�Aλ�9��λ�#��&��&B�∈�Q0�����?������� �*������������������<� ����������������P�������)�������A�9��9��&��&B����)��������������������������������0��������������������������������������������5�����������@��1�81� ��O�#0#0,�-���������������������������� ������������6��,����+���� ��������� ��

���������������+0����� � � 8���#0#0,�-�* ������������6��,����+���������������� ������6�∩�,�!�{�}0�� ������+������������������������������ �*������?�����6����������������� �*��0��

Page 22: Geometria analitica solida

!� ������#���!������;����������

���������������������

�?

�(��1 8�#0#0>�-�������� �*���������������'�������Q���������� �*��������������������)�������A&���#���,��&B���P���������� �*��������������������)�������A�9��&��&���'B0�.������������������-���������������6������������A&��9��#��&B���A#��&��&��,B��������A&��9��#��&B�D�A#��&��&��,B�E������E�A#��9��#��,B���)���������?��������� �*��0��1�81� ��O�#0#0'�-�������6��,�� ������������������������ ������������������+���������

������������� �����������������������'�������������������6����������,��� �����������

���������������+��������������������������������6��,������������������!�6�'�,0���3��)����� �� ����������������������������������������������0���2�2�2�����;#!0#!���#0��!0�;#!0#!���"�!#�$#����:��#�0�.#!:� !#0����� � � 8���#0#0'�-��������)�7������������������� ������������������+�� ���&���������

� ������(���α)�7�α������ �����������������

��!�α)�)�'�7�7�'�α����

���������������������������&���8������(�����������)�7���������������������α)�������α��������������������������;��=9�J0��=���+���������������������������%���*�������������?��������-� �*�������������������;�3����������3���������������R�=9�J0��=��S0���R�=9�J0��=��S������� ���������+������������������������������������ ��� ��� �� ���������������������������0����� � � 8���#0#0$�-�4������������������9�)�7�����:�������� ��������������������������+�

����������������+������������)�7�������

��� � � 8���#0#0<�-�����+� �������������������4������������������9�)�7�����:����������

����������������������� ������� &8����� ����(�������� ������8�������� ���������

�������α)�7��α�������� ����� ��������-���������� ��� �

,�E�α9=9�DJ0J�D�α = 0�

���� ������������������)�7���������������������

4�� ���������� ������ 9�)�7�����:� ��� ���� ������������ ������������� �� ������ &8�����

����(� �� �� ��������8�������� ���������������)�7������ ����-� ��������� ������� ����

���������������� ����� ��������������������������)�7����������������������;��6���������6����� �� �����@�-����������� ����������=9�J0��= ��?����������������������������������0�0������ ������������*��-

���,�E�&�=9�DJ0J�D�9�,�DJ0J�D�&�= I�

-�����������=9�J0��= �������0�0�������������������������?��� ����%��������0�0��������������I�-��������������������������T=9�J0��= U�?��0�0���3���6�������� �������������?I�-�����������=����������?��0�0I�-��������������������������T=9�J0��= U�?��0�0��������������������?�����I�-��������������������������T=9�J0��= U�?��0�0���3���6����������������������?0���������������������������� �*���(,������������ ���������������������������� �������0�(����������� �������������������������� �*���(,������������������������ ����������������������� �������������@��

Page 23: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� �@�

����������������������� �����������������������

1�81� ��O�#0#0$�-�;��������������������0�����������������������������������������

� ���������������0�������������0����� � � 8���#0#0>�-�����+� �������������������*�����������������������������������

�)��������������� ����������+������������������ �������������������������������

���0����8�����#0#0<�-�4������������������9�)�7�����:���� ������������������+��� ���8������

+��������������������������+����������������� �����������������9�)�7�����:����������*����0�( ��������� �����3��T=9�J0��=�U��������%�������;��� ��������3���6�����������=����;��������������������������0�0����T=9�J0��=�U0�(��=������������������@�=�E�C9=9�D�C#=#�DJ0D�C�=��E�C L

9 =9�D�C L# =#�DJ0D�C L

� =���������%%��

AC9�−�C L9B=9�D�AC#�−�C L

# B=#�D0JD�AC��−�C L� B=��E�,0�

1��3N�=9�00��=����������������������� ���������+�����������%���*�������������3���������������������?�)���������55������������&0������6��3��C9�E�C L

9 ��C#�E�C L# �000��C��E�C L

� 0�;������������6�����������=����;��������������������������0�0����T=9�J0��=�U�?�����-������3��T=9�J0��=�U������������������6���������0� ��������� ���������������������������������T=9�J0��=�U����3�@�

,�E�C9=9�D�C#=#�DJD�C�=��E�&=9�D�J0�D�&=�0�1����+��������������������������������C9�E�&��C#�E�&��J�C��E�&���)������������������������-������������ �������0����� � � 8���#0#0=�-���9�)�7�����:��� ���8������ ������������������+���������� �

=�E�C9#9�D�C###�DJD�C�#��������������������������������������������8��0���������������������������������������������������������������% .; !#!'����� ����������%�����T#9�J0��#�U0��8((��;�� 8���-� ���������������3���� �������A&��&�J��&B0� ����������#9�3����� ��������A9��&�J��&B�������%����T#9�J0��#�U���5��������3�@�

#9�E�9#9�D�&##�DJD�&#������H�##�3���� �������A&��9��&�J��&B�J��#��3���� �������A&�J��&��9B0����� � � 8���#0#0:�-�4������������������+������������������������������������ ��� �

���������������������)�7�������������+�!���$��)�7�����#0��������6����� �������3��;�����5�����������6�������0�(�� 4������������3�����;���������%���������5��������������������������������������)�������� 4�����������6��������� � � 8���#0#09&�-���������������������� ������������������+��������������������

� ������������������������� ������� ���� �� �� �8��0�1�����������3�������������������;�?���������������;�E���� ���;�0�(��;�E�{,}���� �������;�E�&0��8((��;�� 8���9�-�.������������������;�?���3�������������������������������0�0����;0��8((��;�� 8���#�-� ������������*��?����������������������������� �*���;0� ���������� �������������������������9���#�J�������������������%�������;�%���������5��������6����������-���������0�0�� ������6��������;�� ��3N���� �� �������� �����+�����0�

Page 24: Geometria analitica solida

!� ������#���!������;����������

���������������������

�A

��(��1 8�#0#0=� -�.��� �*���������������!�3�����������������������%����?� 5�����������������- ��@�A9��&��&�J��&B��A&��9��&�J��&B��J0��A&��&�J��&��9B0���(��1 8�#0#0:�-�.��� �*����������������[C]�3���������������D�9���������%����?�5����������� �������@�9��C��C#�J��C�0���(��1 8�#0#09&�-�.��� �*��������������3����3������������������������%����?�5����������-����������������������������)���������&��������������������?�6�������9���������������� ����%���0���2�5����#'' $��0#"" �:;��� ���2�5������!& " �0��0�#�=#'' $��! !�!�""���

�������������%�������� ����8���������������������������E�����8�����=�E�7���8���+��6����A���=B�?��+��6������������A������������� �����B������������������8��870���&�≤�α�≤�π��(��α�E�&��� ����α�E�π���������������=������ �������������α�E�πF#����������������=����������-6�����0�

�2�5�2����$ 0 '' �:%�"�$#��

���� � � 8���#0,09�-������������ ���������������0�������������������������������������

��������<�������������������������������������������������������������� ������������

������������������������ �

A9B� �<���!� � = ����&���(��

�����������?�*����������E�,��� ����=�E�,��� ������A���=B�E�&���������������=����������-6�����0�������5���������� �����������@������������ �������� � � �������� �������=� � � ������ � � �� ������ ���������� �� �������������

�<���!�"��

�(������������������� ����*���������6�����������6���������������������������������������6�������������� ���������������?���� ������������ ������������������������ ������������� ������ ����*����������6������������������������� ������3������3���������@���V�=�E� � ��0�

�����(����E�=����5������A9B�����������V���E� � � � �E�A � B#�������������������������������?����

������)�������������������V��0�

��������������=����������������������������������3����A�/�=B�E�=��

=��0�

=���

��A���)���������?� �������B�

=�

��

��A���)���������?���6�����B�

8���

7�

α�

Page 25: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� �B�

����������������������� �����������������������

�� ���������������6������������6����� �� �����@��B� ��V�=�E�=�V��I���B� Aλ�B�V�=�E���V�Aλ=BI����B� ��V�A=�D�CB�E���V�=�D���V�CI���B� ��V���≥�&��������*�������������������E�,0��

������������#���� �������3����� ���������������?������� ������5�����%�����������������-����5������ �������0������ �*�������������������?���5���������5�����%���������������������5������ ���������������:;��� �=#'' $��"#�#�%"�0# 0���2�5�5����"�;$ 0 '' �=#'' $��"#� �;$ 0 '' �#:'#$! �0��0�#�=#'' $��0#"" �:;��� ��5��

�!����������������������������� �*���(,�����������������������)�����6��������� ����������������� �������+���������� ���*����0����� � � 8���#0,0#�-�*����� ���������������0������������������������������������������

����������������������∧����������������������� �������������>�������� �

������������������������������������ �������������� ��� ��∧���!��.����������������������� �

���∧������������������������������.�

�������� �������∧����� � � = ���&���(.�

�� ���������� ���� ��������� ��� ��� ����������� ��������������������� �������������� ��

������������� ��������!�?�@�A����!���@�A���������������������������������������

�����������������������������(������5���5���������3����������������∧�=��� ���������+��������� ��������6���������������������������� ������������������=0��1������ ����������������������6���������6����� �� �����@��B� A��D��EB�∧�=�E���∧�=�D��E�∧�=I���B� ��∧�A=�D�=EB�E���∧�=�D���∧�=EI����B� AW�B�∧�=�E���∧�AW=B�E�WA��∧�=B� ���� W� ?� �� ������

�����I���B� ��∧�=�E���=�∧��I��B� ��∧���E�,0��

��;$ 0 '' �.�:' ����������������(/�-/���?�����������������A(�∧�-B�V������ ��3N��+���������������6�������6�������� ���*�����?������)�������������������������� ����������(�∧�-�V��0����8�����#0,09�-�������������� ��������������������� ������������ ����������������

��� ������������������������ ��������������������������*����0��(����E�7�−����=�E�!�−�����C�E���−�������������������������� ��-������������3������3������� ���������������� ������� ������ ����������� �� ������-�� � ���� ������� ���� %���� ��� ��������-6������������������=������������?�������-������������������∧�=������������**��������-�

��∧�=�

��

=�

C�

��

7

!�

��

α�

�� 7�

!�

��

=�

��∧�=�

Page 26: Geometria analitica solida

!� ������#���!������;����������

���������������������

2,

����������%���������������������������� ����*�����������������C�����∧�=0���������∧�=�V�C��� ����������������������6����������������� �������� � ���0��8((��;�� 8���9�-�(����������������������������?�������������������������������� ���������� ��������������?���������)�������∧�=�?�����6��������C���)������������� ���������������?�*���0��8((��;�� 8���#�-� ������������������������������������������������?�9F<�����������������-������������ �������������0���2�5�<����:;$#::� !���!�% .; !#!'���

� ����������������� �*��������������(#����%��������������� ������������������������0�0���6��������������(#���� 4�����������������������������%���*�������������������������������%����T#9��##U�

��E�9#9�D�###����������=�E��9#9�D��###0�

8���?� ����%�������������� �������������� �������������� ���*�������������������������������������� �� �����@��� ��D�=�E�A9#9�D�###B�D�A�9#9�D��###B�E�A9�D��9B#9�D�A#�D��#B##I�-� W��E�WA9#9�D�###B�E�W9#9�D�W###0���(��1 8�#0,09�-�(����3���� �������A#��,B���=�3���� �������A�9����'BI�-� ��D�=� 3���� �������A#���9��,���'B�E�A9���9BI�-� ,�� 3���� �������A<��:BI�-� ����E�A�9B�� 3���� �������A�#���,B0��1������ ������������������3�@�

��V�=�E�A9#9�D�###9�V�8�9#9�D��###9�+�9�9#9�V�#9�D�9�##9�V�##�D�#�9##�V�#9�D�#�###�V�##0�

1��� ��� ��5����� �+�� ��������� ���� �������� ������� ��� �� ������� ?� � ������ ��6���������%���� ������������������*�:#� $' ! $.�"#���5���������������������5������������6������T�/�7U0� ��)������ ���������3�����V���E�7�V�7�E�9�������V�7�E�&������@�

��V�=�E�A9��D�#7B�V�A�9��D��#7B�+�9�9�D�#�#�

���������������� ���������������E�W=���������9�E�W�9�����#�E�W�#������������9

9

�E�

#

#

0�

������� �����E�A�9��#B�?� �����������=�E�AD�&�$����9B0����������������������6�����������V�=�E�&��)�����������%�������������������������6���������9�9�D�#�#�E�&0�������� �����E�A�9��#B�?�����6��������=�E�A'��#B0��!��������*��������� ����������63������� ��������� ��� ������� 5���� ���(,0� ����������������� �*��������������(,����%�������������� �������������������������� �0�0���6��������������(,���� 4�����������������������������%���*�������������������������������%����T#9��##��#,U�

��E�9#9�D�###�D�,#,���������=�E��9#9�D��###�D��,#,�

������� �������������� �������������� ���*��������������������@���D�=�E�9#9�D�###�D�,#,�D��9#9�D��###�D��,#,�E�A9�D��9B#9�D�A#�D��#B##�D�A,�D��,B#,��

Page 27: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� 2��

����������������������� �����������������������

W��E�WA9#9�D�###�D�,#,B�E�W9#9�D�W###�D�W,#,0���3�����)��������� �������������+�� ��������� �2���� �������� ������������������ ��-���������%����� �����0����� � � 8���#0,0,�-�9��� ��!:��� ���������������������

����������0������ ��!�������������� ���� �����������

������������������ � �

��<���!� �<� �!�!�<�!�!�).���<� �!� �<�!�!�!�<���!�".���∧� �!�@� �∧���!�!.� �∧�!�"�@�!�∧� �!��.�!�∧���"�@���∧�!�!� 0��!����������������������)��������������%���������������@�

��E�9��D�#7�D�,F�������=�E��9��D��#7�D��,F�

����**�������� �� ���������� ������������������3�@�

��V�=�E�A9��D�#7�D�,FB�V�A�9��D��#7�D��,FB�E�9�9�D�#�#�D�,�,0�

�� �������� �� �������� ������ %���� ������������ ?� ��3�� ����%���� ��������� �+�� ������������ �������� ������������������������ ������@�

��∧�=�E�A9��D�#7�D�,FB∧A�9��D��#7�D��,FB�+�A#�,���,�#B��DA,�9���9�,B7�D�A9�#���#�9BF�

3�� ���������������������%����������������������� ������������������@�

,#9

,#9

���

F7�

0�

�(��1 8�#0,0#� -�(����E� ��D� 7���,�F� ��� �=�E� ��D�#�7���F� ��� ����� ������������������� ������@������������∧�=�E�A�9�D�<B��D�A�,�D�9B7�D�A#���9BF�E�$����#7�D�F0�� ��;$ 0 '' �.�:' ����������������C/��/�=�?�����������������AC�∧��B�V�=�E�C�V�A��∧�=B0� �����%���������������� ��������?�������� ��������������������������� ������0� �5������ ������C�E�X9��D�X#�7�D�X,F/������**�������� �� ���������� ������������������3�@�

C�V�A��∧�=B�E�X9A#�,���,�#B�D�X#A,�9���9�,B�D�X,A9�#���#�9B�

������������� ��������������������������*��������@�

C�V�A��∧�=B�E�AC�∧��B�V�=�E�

,#9

,#9

,#9

���

XXX

0�

��������������������� ���������������)���������?��������� ��������������������� ������-�� � �������������������������������A��������#0,09BI�����������6��5�����6�����������6������������ �� ������������������������������*���������������������0�������� ���3������������������������������������%������������%������������������������63����������������������5��������������������������� ���������������������������0���

��

7�

F�

��

9�

#�

,�

Page 28: Geometria analitica solida

!� ������#���!������;����������

���������������������

22

�(��1 8�#0,0,�-�;���5�����3������6������������������������ ������@���E���D�#7�D�F��=�E��#��D�,F��C�E�����D�#7�D�'F0�1��3N����3��C�V�A��∧�=B�E�&�������������� �������� � �������������������������������?�������)�������������������������� ���������������0�0���2�5�>����;;"�%��� !��0#��=#'' $���""��&# .#'$���#"#.#!'�$#�#0��""��'$�& ! .#'$����

��������������������6����������������������� �������6����5����������������� ������� ��@����8�����#0,0#�-�������&A��?�����*(� ��� ����������������� ����������3��B��C��D���

� ������������ ���������������&3��B��C��D(��� ����������������.�������?�������E�����10����������7�E�A����7BF#��������7�E�A!���7BF#�� �������������E�A����!BF#0������6���������� �����3������1�E�A����!BF#0����8�����#0,0,�-�;������������0���� ������������ �� �� ����� ��������� ��������� � ������������������ �����������

������ ������� �������������������������� ��������������������������������������

��0���������*����0�(��� A��7�!B��� �����6����)�������0�1�������E�7�������=�E�!����� ������������!���7�E�����=I��������������6��������6�6����*�@�

8����=92�E�8����=9�V�8����=9�+�2

� D�2

= ��# � � = ��A�/�=B�

���� � � 8���#0,0'�-�*�����8������������� �����C)��C/��7��C��������0������� �����E���������

E�@�5�!��

9 [&C)�@�5(�'�7�&C��@�5(]������5��� ��� �����8�����0�

1�����E�#����%��������������� ��������7�?���� ����������������6�������70�1�����E�,����%��������������� �������7��!�?���� ��������������������������������������6�����7!0��;���������3���������� ����������� ����������������������5���������6��������3���������*�������������*����0��(����3��������������������8��������������� ���� ���� ��� 7�� !0� (��� �� �� 8� E� �I� ������� �+��6�����8!�E�Y���+��6�����87�E�YL�)�����78!�E�Y���YL0�������@�7���8�E���YL���D����YL�7�!���8�E���Y���D����Y�7�1�����5���*�������� ��������������@�A7���8B�V�A!���8�B�E�A9B�A9B���A78!B�E���AY���YLB0��� ����������� �������������������� ����������3�@�A7���8B�V�A!���8B�E���Y���YL�D����Y����YL0�����@���AY���YEB�E���Y���YE�D����Y����YL0�

��

8�

7�

!�

Y�YL�

Page 29: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� 25�

����������������������� �����������������������

2�<����:#$%����;$ ; :'���� 09�-� ���5��������������������@��A#��9��#B��*A9��9���9B��%A&���9��'B0��B� �������3������*���������������������� �������I���B� �������3�����*���%�������������������� �������0� A%�E�����#*B��

0#�-�������������6�������������������� �*���������������������5���������������������� ��-������� ����������������� �������@��B� ��E�A9��#���,B���=�E�A�9��9��#B���C�E�A&��,���9BI� A�������������� ���������C�E���D�=B���B� ��E�A&��9��9B���=�E�A#��9��9B����C�E�A9��#��,BI� A���������������� �������B����B� ��E�A9��#��&B����=�E�A9���9��,B���C�E�A&��#��&B���'�E�A=��$��>B0� A�������������� �������B��

0,�-�������������6�������������������� �*���������������������<���������������������� ��-������� ����������������� �������@��B� ��E�A&���9��#��,B���=�E�A&���,��<��:BI� A�������������� ���������=�E�5�B���B� ��E�A9��#��9��9B���=�E�A&��9��#��,B���C�E�A�9��&��#��&B0� A���������������� �������B�� 0'�-�������� �*���������������������2�����������������������E�A9��#B���=�E�A���9B��������?��������������I������ ���)�����������������������=����������������������� �������0� A��≠�9F#B�� 0$�-�������� �*���������������������5�����������������������������@��B� ��E�{(�E�AC9��C#��C,B�F�C9���#C#�D�C,�E�&}I� A��B���B� ��E�{(�E�AC9��C#��C,B�F�#C9�D�C,���9�E�&}I� A��B�

���B� Q�E�{(�E�AC9��C#��C,B�F�C#9 �D�C #

# ���C,�E�&}0� A��B�(��%������)����������������������� �*�����������������5��

� 0<�-�������� �*���������������������<�����������������������������@��B� ��E�{(�E�AC9��C#��C,��C'B�F�C9�D�C#�D�C,�D�C'�E�&�����C9���C#�D�C,���C'�E�&}I���B� ��E�{(�E�AC9��C#��C,��C'B�F�C9�E�C#�����C,�E���C'}0������������3������������� �*�����������������<0�

���������������%����������������������������0� A������E�#��%����AA9��&���9��&B�A&��9��&���9BB�A������E�#��%����AA9��9��&��&B�A&��&��9���9BB�

� 0>�-�������� �*���������������,����� ����������%�����������7A#�/�#2/�#5B��������������������@��A9��#���9B��*A#��,��9B��%A&���9��'B0�����������������������������������������3����������������D��*�D��%����@��B� �6�������#�I� A��E��9,����E�>�����E��$B���B� ����������������������E�,#��D�##2���#50� A��E��#$M����E�9'M����E�−9&M��∀M�∈��B�

� 0=�-�������� �*���������������5����� �����������%���������������� �������������������������-����A9���9��#B���=A,��#���9B0�;���5�����3�@��B� ��V�=�E��9I�

��B� � �+ < /�� = + 9' I�

���B� A#��D�=B�V�A����,=B�E�−#$0��

0:�-�������� �*���������������5����� �����������%���������������� ������������������������-������A�,��#��9B��=A�#��9��,B���CA9��9���>9������������������� ��������������������(�3������ �� �����������������=��������3��(�V�C�E�9&0� A(�E�A9&��9'��#BB�

Page 30: Geometria analitica solida

!� ������#���!������;����������

���������������������

2<

09&�-�������� �*���������������5����� �����������%���������������� �����������������������-������A9���9��&B���=A&��9��#B0�;���5�����3�@��B� ��∧∧∧∧�=�E�A��#���#��9BI���B� =�� ∧∧∧∧ �E�,I�

���B� A��D�=9�∧�A����#=B�E�A<��<���,B0��

099�-�������� �*���������������5����� �����������%���������������� �����������������������-�������A9���#��9B��*A,��&���9B���%A9��9��&B0�;���5�����3�@��B� ��V�*�∧�%�E�<I���B� A��D�*�B�V�A*�D�%B�∧∧∧∧�A%�D��B�E�9#0�� 09#�-�������� �*���������������5����� �����������%���������������� �����������������������-������A9���9��9B��*A&��9���#B���%A#��&��,B0�!�������@��B� �+��������������6����������������*I� A��E < F#B���B� ��������������6��������������������� �6�������*��%0� A;�E�$F<B�� 09,�-��������� �*���������������5����� ����������%���������������� ���������/�7/�F/�����������������������E�#����7�D�#F�����=�E���D�7�D�,F0������������@��B� �������� ������������������������������ ��������������I� A��∧�=�E��$����'7�D�,FI���V�=�E�>B���B� ������������I� A � E�,I� = E 99 B�

���B� ������������ ��������������=�� A���)�%=� ����6������%������B��

09'�-��������� �*����������������5����� ����������%���������������� ���������/�7/�F/�����������������������E���D�#7�D�F�����=�E���D�7���#FI��B� ��������A����,=B�V��I� A,B�

��B� ������������������3���%%������������� ��������6�����������������������������G�A(�E�± # A��D�7�D�FBB�

���B� �����������=����∧�=���������������������� �������0� A��B��

Page 31: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� 2>�

����������������������� �����������������������

���������������

�������������������������������������5�������6#$�.#!' �%�$'#:��! ���(������#���� ������55������������8��� ��������#���?T#9��##U����%����������� �*��������-������ (#� ��������� ��� �#0� ������� 3�� ��� ���� 1� 3�� ���������� AC�� GB� ���� ��5��������������FT8��#9��##U���������������1���8�3���� �������C����G���� ����������%����?T#9��##U���������-��@�

1�E�AC/�GB� ⇔�� 1���8�E�C#9�D�G##�

�� ����8������������� $�&�!#������������������5������������3������������A&��&B0�.�� ������ ��� 8� ��������� ��� #9� ������ �������::#� 0#""#� (� �� �::#� 0#""#� �:%�::#�� �� ��� ���� 3�� ���������� AC�� &BI� ��� ������ ��� 8� ��������� ��� ##� ������ ������ �::#� 0#""#� -� ����::#�0#""#� $0�!�'#������� ����3�����-�������A&��GB0�(��#9����##�������������������������6�����������5���������������������$�6#$�.#!' �%�$'#�

:��! � $' ! $.�"#� ��� ���������� ����� ����-�����������7��.���������������� ���������������� �������������� ����������������������������� A�0���5���*�����#0,0'� �����E�#B0���(��1 8�,0909�-� �� ����������������6������������������A�#���$B���7A&��,B�?���� �������������������A�9���9B0��(���1#�E�AC#��G#B�����19�E�AC9��G9B��������:�..#'$�%���$�:;#'' ���""1 $�&�!#�������3�@��(2�+�(���-2�+�-�I���5������������5���3���+���6����?��������� ���������0�(��1#���19������:�..#'$�%��

$�:;#'' ��""1�::#�(/����3�@��(2�+�(����-2�+�-����������6������� ����+�����G0��.���� ���������������������55����*�������� ����������������������55����*���������� �-���������5��������3�@�

1#���19E�A1#���8B���A�19���8B�)����������1#�E�AC#��G#B�����19�E�AC9��G9B�

1#���19�E�AC##9�D�G###B���AC9#9�D�G9##B�E�AC#���C9B#9�D�AG#���G9B##0���5�2��������� !��0#""��$#''������������� �2������ ����� ����������������������� ����0�.���������� ������ ����1&� ������������������������?�5����������� ����1������3�������������1���1&������ �����������������������������A9B� 1���1&�E����������������������0����

��1&�

��

1AC��GB�

8�

�#�

�9�

Page 32: Geometria analitica solida

!� ������,����������������������������������1�����

���������������������

2?

�����5�������������#����� !#�=#'' $��"#�0#""��$#''���?����� ����������������������������-���� �*����������������������������������������#��,�J���0��������������5�����������������������6����������������� FA8�� ��� 7B�� ������ �� ���� 8����������6����������%����������������A���7B�����3��������AC��GB������������������ �-��� 1� �� ��� AC&�� G&B� ��� ���������� ���� ����1&0�������@�1���1&�E�A1���8B���A1&���8B�E�AC���C&B��D�AG���G&B70�(����E����D��7����A9B��������@� AC���C&B��D�AG���G&B7�E��A���D��7B�����6�6������������ ���������������6�������#����� !��;�$�.#'$�%H#�0#""��$#''�@�

+=+=

��GG

��CC

&

& �

��� � � 8���,0#090�-������������������������������������������������������� ��� ��������

������������������������ ���������������&����(����������������������������0��������������� ����������������������"1#����� !#�%�$'#:��!��0#""��$#''�0�(���� �����������-

��������A����B������������%��������������������3���)�*����@��"

(( ,−−−− �E�.

-- ,−−−− 0�

(����E�&����������3���)�*�����C�E�C&�������E�&����������3���)�*�����G�E�G&0���(��1 8�,0#09�-�(�����������)�*����� ��������3�����+�)�*��������������������������� ���1&��������������A#���9B��� ��������������������� ��E���D�,70�

+−=+=

�,9G

�#C� � �������������� ��������������3�@� ,C���G���>�E�&0�

���3����������� ������ ����1&���19���� 4� ����������������� ����� ����A ������� ���1&B��� ��������������������19���1&@�

,�

,

((

((

−−−−

−−−− �+�,�

,

--

--

−−−−

−−−− � � ���� C9�≠�C&�����G9�≠�G&0�

(���C9�E�C&�����������3���)�*����� ��������3��C�E�C&���G�E�G&�D�AG9���G&B�����������)�*���������������?���� ��������@�C���C&�E�&��A��5�����?��+�)�*����������������C����G�������5������������������������19���1&B0���(��1 8�,0#0#�-�(�����������)�*����� ��������3�����+�)�*��������������������������� ���1&��������������A#��,B��� ���19��������������A,���#B0�

�������19���1&�E�A9���$B�)����@

−=+=

�$,G

�#C0��������������� ��������������3�@�$C�D�G���9,�E�&0�

����������� 4���3������������������������������ ����� ����1&��������6��������������-�����!@�?�)�����5����������� ����1������3�@�

A1���1&�B�V�!�E�&0�

A.+�� ��������� ����������� ����������������������#�������������������������,��� ��������������������'���� �� �����J00������������������������������������������������������9B0�(��!�E����D�%7�������������+�)�*��������������������������@�

�8(��(,9�)�*8-��-,9�+�,�

1�

1&�

V�

V�

��

7�

G�

C�

8�C�C&�

G�

G&�

Page 33: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� 2@�

����������������������� �����������������������

3��?������� �@��(�)�*-�)�%�+�,������� �����E����C&���%G&0��!1#����� !#�"�!#�$#��!�(�#0�-�$�;;$#:#!'���!��$#''��#0���% #66�%�#!'���/�*�0#""��(�#�0#"�

"��-�H�!! ��"�:�&!�6�%�' �0��% .; !#!'��0���!�=#'' $#� $' & !�"#��""��$#''���

.+�)�*�����������������?�������������������������5���������� �� ��*�����������������0��(����������3������������������������5��������������� ���������3������ �������������������A−−−−�%���BI�������������������?�����������5������� �������-�+�.(�)�;��3��A���−−−−9B������� �-�����������������������6���������������� ������������������������ �� ��*������������� ���A9���B0���(��1 8�,0#0,�-�.�������� ���1&��������������A#��−−−−,B��������6���������!�E�#��D�$7�3�������)�*��������������@�

#AC�−−−−�#B�D�$AG�D�,B�E�&� � ��N� � #C�D�$G�D�99�E�&0����������3���+�����C�������������6�����������������7A&��9B3���)�*���������������G�E�&�����+�����G�������������6������������������A9��&B�3���)�*���������������C�E�&0���5�5����#!!��:����#:'� !���!& "�$��������������������������������������)�*����� ��������3�������������� ������������������ �-������������������A����B���A�L���LB0� ������������%%���������� ���������������������$����:�3���������������*����������������0�!�����������������6����α�������������������)������������)��������6����A6�������������B�3�������5��������������5���������� ��������������@� � $�V�:�E� $ : ��A$/�:B�

����������������������+��6����α@�

���α�E�Z�#### L���L���

L�����L��

++

+ 0�

���������6�����6����3�����������5��������6���������������������������% :#!��0�$#'' $�����������5��������������������6��0���(��1 8�,0,09�-����������������@�,C���G�D�#�E�&�����@�C���G�D�>�E�&����������3���������������

�������6����?��������@���α�E�$

#&�� �����α�E��

$

#&0�

� �� ����������������������% !0��� !#�0�� $' & !�"�'D�6$��0�#�$#''#��

""E�)�..E�+�,� � ��E�)�**E�+�,�

���������������*���������������� ���������������������% !0��� !#�0��;�$�""#"�:. @�

E"

"�+�

E.

./����

E�

�+�

E*

*0�

(����������������������� ���5������� ����������G�E��C�D� ����G�E��LC�D� L�A��?������������������� ������������������� ��� ������������A9���B����A9���LBB� �������*����� ��������������������5����� �2���� ���@�-� ����*�������� �����������@� .�+�.E@�-� ����*�������� �� �����������@� ..E�)���+�,0���(��1 8�,0,0#�-��������� ����1&��������������A−−−−#��,B�������������@�#C�D�$G�D�9�E�&���������-����@��B� ��������� ���1&� �������������I�

Page 34: Geometria analitica solida

!� ������,����������������������������������1�����

���������������������

2A

� ��B� ��������� ���1&�����6����������0��B� ���������� ��������������?������� ��#C�D�$G�D�3�E�&I��������� ������� ������ ����

1&�A−−−−#��,B��������3�E�'�−−−−�9$� � 3�E�−−−−99��→��#C�D�$G�−−−−�99�E�&0���B� ��������������6�����������?������� ���$C�−−−−�#G�D�3�E�&I��������� ������� ������ ����

1&�A−−−−#��,B��������3�E�9&�D�<� � 3�E�9<��→��$C���#G�D�9<�E�&0���� �����������������3��C�≥�&�?������� �����������3��G�≥�&��������������+�)�*����������������������������������5�������� ���������������A1�−−−−�1&B�V�!�E�&���� 4��������3������-����A1�−−−−�1&�B�V�!�≥�&�� ������������� �����1����������� ����������������?�������������!����������A��−−−−�1&�B�V�!�≤≤≤≤�&�?��+���������� ����0���5�<���� '��� !��0#&"���::��%�$'#:��!������������*�����?�����%�������������5�������������������������+���6�������������� ��������FA8�����7B���F�A8���E��7EB����������������6����α0�������������5���������6��������3��������������L� �� 7L� ������ ����� %���� ��� ������� �� �������������%����{���7}����������������*����@��

�L�E���α���D����α�7�7L�E�−−−−���α���D���α�7�

�(��3�����������1���8��E��C��D�G7��E��CL�E�D�GL7E��E��CLA��α���D����α�7B�D�GLA−−−−����α���D���α�7B��E�E�ACL��α�−−−−�GL���αB���D�A�CL���α�D�GL��αB�7���������6�@�

A9B�

α+α=α−α=

��LG���LCG

���LG��LCC�

����������*������� �����������������������1�������5���������F�����������������������������5���������F20�1����� ��������������������������5���������F2������)�����������5���������F���� 4����������������������A9B�������������CL����GL��������6�����������������@�

α+α−=α+α=

��GC���LG

G�����CLC0�

�(��1 8�,0'09�-� �� ������3������������A # ��#B�������5���������FA8��C��GB��� ���������-*�������6�����������9,$/������������+���6����3�����������@�

−−=−=+−=°+°=

#�9��#��9,$/�D����9,$/�#LG

#99,$���#9,$��#LC0�

��5�>����$�:"��� !#�0#&"���::��%�$'#:��!��������������*�����?�����%�������������5��������������������������+���6�������������������-�����6����������������5�������������� ��������FA8�����7B���F2A8L�����7B0�(�� ��� ������3�� ���������� AC�� GB� ��� ����� ��FA8�� ��� 7B� �� 3�� ���������� ACL�� GLB� ��� ����� ��F2A8L�����7B��������������A���%B�����������������8L� ��3N����3�@�

��−−−−�8�E�A��−−−−�8LB�D�A8L�−−−−�8B�

CL�

C�

G�

GL�

V�

α�

1�

��

�E�

7�

7E�

8�

Page 35: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� 2B�

����������������������� �����������������������

��������������� ���������������@�

+=+=

%��LGG

���LCC��������

−=−=

%GLG

�CLC0�

���5�?�����'���; :��� !#�0��0�#�$#''#������������ ������������@��B� �� ����������������������������!%�0#!'�I���B� ��5������ ���������������������������% �!%�0#!'�I����B� ������ ���������������������������;�$�""#"#0���(��1 8�,0<09�-��B� .����������6�����3���������������� ����A−−−−9��#B@�

�@�

+=+=

�,G

�#9C�� � ���� � �@�#C�−−−−�G�D�'�E�&�

��B� .����������6�������������@� #C���G�D�,�E�&����'C���#G�D�<�E�&0����B� .����������6���������� ��������@� #C���G�D�,�E�&����'C���#G�E�&0�.������5�3�����5���������������������������������)�*����������������0���5�@�����:%��0��$#''#���(������5�����;$ ;$� �����������+����������������������������� �����3�� ������� ���������� �����5������.;$ ;$� ��+����������������������������� ����� ������������������������*����0�����������������������������������)�*����@�

�C�D�%G�D��E�&� �� �9C�D�%9G�D�9�E�&�����������%���*������������������55�������λ���µ@�

λλλλ8�(�)�*-�)�%9�)�µµµµ8��(�)�*�-�)�%�9�+�,�

?��+�)�*�����������6�����������������5����I���5��������������+�)�*����������������C����G��� �������������������������� ����� ������ ���������1&������������� ���?� �����������������������*���������0�(��19�E�AC9��G9B�?������������1&����?�������������������������5�����3�� ����� ���19���������)�*�����?@�

A�9C9�D�%9G9�D�9BA�C�D�%G�D�B���A�C9�D�%G9�D�BA�9C�D�%9G�D�9B�E�&0���(��1 8�,0>09�-�(��������+�)�*������������������ �������������5�������������������

�@� �C�D�#G���'�E�&�� ���� ��@�

+=+=

�,G

�#9C�� �� �������� ������ �����1&�E�A,��9B0�

�� �������������������5����������������C���#G�D�$�E�&������������+�)�*���������5����@�λAC�D�#G�−−−−�'B�D�µAC�−−−−�#G�D�$B�E�&0�

(���� ������� ����66��� ������ ����1&�E�A,��9B������3�@�λA,�D�#�−−−−�'B�D�µA,�−−−−�#�D�$B�E�&� � λ�D�<µ�E�&0�

������)�*�����3����5���������*��������� 4���6������������� ���λ�E�<���µ�E�−−−−9�����������-��@�$C�D�9'G���#:�E�&0��

7�

CL�

C�

G� GL�V���

��

��

7�

8�

8L

��

%�

Page 36: Geometria analitica solida

!� ������,����������������������������������1�����

���������������������

5,

�(��1 8�,0>0#�-�(��������+�)�*���������5������� �� ������������� ������������������)�*��-��@��C�D�#G���'�E�&0�.+�)�*���������5�����?����������C�D�#G�D�M�E�&����������������M�����0���5�A�����:'�!�#����B� ��:'�!���0��0�#�;�!'����������� �����1#�E�AC#��G#B�����19�E�AC9��G9B�����������������*��?����������������������1#�−−−−�19�E�AC#�−−−−�C9B��D�AG#�−−−−�G9B7�)����@�

�A1#��19B�E� ##9

##9 BGGABCCA −+− 0�

��(��1 8�,0=09�-�.��������*������ �����A−−−−,��'B�����+���6����?�$0��%B���:'�!���0���!�;�!' �0���!��$#''�0�!�������������� ����1&�E�AC&��G&B������������������)�*������C�D�%G�D��E�&��������19�E�AC9��G9B��� ������������!�E�A���%B���������������6����������0�1�����5���*�����!�V�A19�−−−−�1&B�?���� ����������������������!� ������ ����*����������6������19�−−−−�1&���!����-����?���� ���������������������!� ������������*�����1&��������������������6��� ��3N�)������������������-����*�� �������@�

�A1&���B�E�!

! B1A1 9&−⋅0�

�� ����������� �������������������� �������������������3���E����C9���%G9�� ��3N�19�����5����+�)�*��������������������@�

08�,/�$9�E�22

�,�,

*�

9--8*9((8�

++++

−−−−++++−−−−�E�

22

,,

*�

%*-�(

++++

++++++++0�

��(��1 8�,0=0#�-�.��������*�����1A9���#B�������������������)�*�����,C�D�'G���#&�E�&�?@�

�A1���B�E�## ',

#&=,

+−−

�E�$

#$−�E�$0�

�B� ��:'�!���0��0�#�$#''#�;�$�""#"#��.��������*�������������� ���������������?����������*�������)�������� ������������0���(��1 8�,0=0,�-�(�����@�C�D�,G�D�9�E�&���@�C�D�,G�−−−−�<�E�&������� ����(A&��#B�� ��������������0�.��������*�����(���������@�

�A���B�E��A(��B�E�## ,9

9<&

+

++�E�

9&

>0�

��B� �$#��0#"�'$��!& " ��.+��������������6��������������19�1#�1,���� 4��������������**������������������������������������������ ����������������������1#���19���1,���190�

�(��1 8�,0=0'�-�!���������+�����A����������6���������������19A9��#B��1#A−−−−9��,B��1,

9��

,

# 0�

V�

!�

��

1&�

19�

Q�V�

V�

� ��

(�V�

Page 37: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� 5��

����������������������� �����������������������

1��3N�1#���19�E�A−−−−#��9��&B�������1,���19�E�

−− &��9��,

9�����3�@�

A1#���19B�∧�A1,���19B�E�,

>F�� �����A������

<

>0�

��5�B����:#$%����;$ ; :'���� 09� -������ �� �����A9��#B���7A−−−−9��,B�������������� ����������������� ������������������6�������7�������������������� �����L������������������� �������70���A�A&�$F#B����LA�,��'BB�� 0#�-�����������6�����7!���������������������A,��'B��7A9��#B�������%����������A#��9B0���-����������������������������������!0� A!A#���,BB�� 0,�-�(��������+�)�*���������������������)�*����� ��������3����������������6��6������� ��������7�������6��������@��B� �A#��9B���7A,��−−−−#BI� AC�E�#�D�����G�E�9���,�I���,C�D�G���>�E�&B���B� �A#��9B���7A#��−−−−,BB0� AC�E�#��G�E�9�D�'�I���C�E�#B�� 0'�-�(��������+�)�*����������������������������� �������� ������ �����A,��−−−−$B��� ��������������������C�D�#G���'�E�&0� AC�D�#G�D�>�E�&B�� 0$�-����������������@�C�D�MG�D�M�E�&�����@�MC�D�G�D�M�E�&�������������� ���)��������������M@��B� �������������� ��������I� AM�E�−−−−9���M�E�9�A���������BB���B� �������� ���������� ���������������������@�C�D�G�D�,�E�&0� AM�E�−−−−,B�� 0<�-�������� �����A&��&B��7A#��−−−−9B�������������@�'C�−−−−�,G�E�&���������������� ����!�����������3����������6�����7!������������������%����7!0� A!�A, $ F$��' $ F$B���!LA−−−−, $ F$��−−−−�' $ F$BB�� 0>�-����������������@�#C�−−−−�G�D9�E�&�����@�C�−−−−�G�E�&���������������+�)�*������������������L������������������� ���������0� AC�−−−−�#G�−−−−�9�E�&B�� 0=�-�������� �����A9��9B���!A9��&B�������������@��B� ����������������� ��������7������������������6�����7!��������������%����������������

3��������������−−−−�!���7�−−−−�!������� ������������ ������������������������A9��9B���=A9��−−−−#BI�A�A#��9B��7A&��#BB�

��B������������������ ����1��������������!������3���+��6�����17����������0�A1A9��A,�D $ BF#BBI�1LA9��A,�−−−− $ BF#BB�

� 0:�-����������������@�#C�D�%G�D�9�E�&�����@�C�−−−−�G�D��E�&�����%���� ��������������������� ���)��������������� ����������������������@��B� ��������I� A%�≠�−−−−#B���B� ����������������������I� A%�E�−−−−#������≠�9F#B����B� ���������0� A%�E�−−−−#������E�9F#B�� 09&�-����������������@�'C�D�,G���9&�E�&���@�C�D�$G�D�<�E�&���@�,C���#G�D�9�E�&�������������@��B� ��������������������������6������������������������ A# �E�$�D� 9, �D� #< I�(�E�9>F#B���B� �+�)�*����������������������������+����**�������������������6���0��

Page 38: Geometria analitica solida

!� ������,����������������������������������1�����

���������������������

52

� 099�-�;���5����������������������@�C�D�G���$�E�&���@�#C���,G�D�9�E�&���@�99C���9'G�E�&�� ��-���6����������������5����0� A��B�

� 09#�-������������������������������������������������������������� ���������C�D�#G�E�&����C�D�#G�D�>�E�&0� AC�D�#G�D�>F#�E�&B�� 09,�-�����������������)�*�����������%�����������6�����6����5������������������@�C�D�G�D�>�E�&��'C���,G�D�9�E�&0� ( ) ( )( )&#,$G�#,$C�#'$ =±++± m ��

Page 39: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� 55�

����������������������� �����������������������

�������������

��������������������������������<������#!#$�"�'D�:�""��$�;;$#:#!'��� !#�0#""#�%�$=#�;��!#������������� ����� 4����������5����������������������������� ����3�������������� ����������������������66��� ��������������� �� ������3����������**�������� ���0�������5����������������������5�������������������FA8��C��GB����3����������6������� �������*��������������@�-� ��������������������� ����1A�B����������������������� ���������5�*���������� ���-

��������A9B� C�E�CA�B����G�E�GA�B�-� ������6������ ����1AC��GB����������������������5�����+�)�*���������������������-

��A#B� 5AC��GB�E�&0� ��6����������� 4� ����������������� �������������������������A9B������A#B�������������I������������������������A#B���� ��������������������6�������� �������������A9B0��55��3?� �����5���*��������������� ������������*��������������3���%%��������������-�����3�����5�*�����3��� ���������A9B�������A#B�������5����������*�����������������)������������ ���������������0��������6���������������� �����������������0����� � � 8���'0909�-������� ���������������� ���������������������������������������

������������������������ ����������������� ����������������������0�������� ���������������������5����*������ ����������������6�%��3������ �����������������������������������G�−−−−����C�E�&��?�������������������0����� � � 8���'090#�-����������������������������������8������������������0���<�2������%�$% !6#$#!�����<�2����������� !#�0#""��%�$% !6#$#!����

����� �������������5����*��?������6������ ����1��������������*����������������� ����5��-���!�������������@�!1�E�0�(������ �����?����������5�����������������������6�������5��������������������� �����������������������Aα��βB�����������������!���������*������55��3N���6������� ����1AC��GB�� �����6�����������5����*��?��� ����������+�)�*����@�

8(��αααα�92�)�8-��ββββ92�+��2��(��� ��������������+�)�*������������@�

(2�)�-

2��2αααα(��2ββββ-�)�γγγγ�+�,�

����γ�E�α#�D�β#���#0�(�� 4�)����������3���+�)�*���������������5����*��?�����)�*���������������6��������C����G�����������*����@�-� ����55����������C#������G#�������6�����

Page 40: Geometria analitica solida

!� ������'��������.�63���������������1������

���������������������

5<

-� �����55����������CG�?�*����A��?�����������������CGB0��55��3N��+�)�*����������� ��C#�D�G#�D��C�D�%G�D��E�&��� ���������������5����*�����-������������!Aα��βB����αααα�+���I2/�ββββ�+��*I2�����66����������������

�+�8�I292�)�8*I29

2��%�

������������≥�&0�(�������66���?�*������������5����*���������������������0���(��1 8�'0#09�-�.+�)�*�����,C#�D�,G#�−−−−�#C�D�$G���#9�E�&��� ���������������5����*�����

�������!��A9F,��−−−−�$F<B�������66�������E >,<

#$

:

9++ 0�

.+�)�*�����,C#�D�,G#�−−−−�#C�D�$G�D�#9�E�&������� �������� �������������)����������66����

������� >,<

#$

:

9−+ �E�

,<

##,− ��3������?��������������0�

��(��1 8�'0#0#�-�.+�)�*�����C#�D�G#�D�#C�D�'G�D�$�E�&���� ���������������5����*�������-����!�A−−−−9��−−−−#B�����66���*�������������� ����?�!�������0���<�2�2��������� !#�0#""��'�!&#!'#��""��%�$% !6#$#!����

������ ��� ����5����*�� σ� ��� �)�*����� C#� D� G#� −−−−� #αC� −−−−� #βG� D� γ� E� &� ��� �� ��� ����������1&AC&��G&B��������6��������1&���σ�?���������� ���1&� �� ���������������������!1&0�!���� ���-������ ���������� ������ ������!1&� ���������������� ��� ��55����*��C&�−−−−�α� ���G&�−−−−�β�� )������+�)�*��������������������6�����������@�

AC&�−−−−�αB�AC���C&B�D�AG&�−−−−�βB�AG���G&B�E�&0�(��� �����������������������@�

C&C�D�G&G�−−−−�αC�−−−−�βG��� #&C ��� #

&G �D�αC&�D�βG&�E�&0�

1��3N� ��� ���� 1&� � �������� ����� ����5����*��� ��� ��� ���������� ��� ������5�����+�)�*����@�

#&C �D� #

&G �−−−−�#αC&�−−−−�#βG&�D�γ�E�&��������� #&C ��� #

&G D�αC&�D�βG&�E�γ�−−−−�αC&�−−−−�βG&0�

.+�)�*��������������������6�������� 4���������������@�C&C�D�G&G�−−−−�αC�−−−−�βG�D�γ�−−−−�αC&�−−−−�βG&�E�&�

�������(,(�)�-,-��αααα8(�)�(,9��ββββ8-�)�-,9�)�γγγγ�+�,0�

������5���������������������+�)�*���������������5����*��������$#& "��0#&"��:0 ;;���

.#!'����?�[��� �����++�C#����C&C��G#����G&G��C����#

CC &+ ��G����#

GG &+ 0�

��(��1 8�'0#0,�-�������������5����*��σ�����)�*�����C#�D�G#�−−−−�#C�−−−−�,�E�&���������� ����1A9��#B���+�)�*��������������������6�������σ����1���� 4��������@�9C�D�#G���9AC�D�9B�−−−−�&AG�D�#B�−−−−�,�E�&����N��G�−−−−�#�E�&0���<�2�5�����:%� �0��%�$% !6#$#!�#��

�������������5����*��σ9���σ#�����)�*�������� �����������@�σ9�@�C

#�D�G#�−−−−�#α9C�−−−−�#β9G�D�γ9�E�&�σ#�@�C#�D�G#�−−−−�#α#C�−−−−�#β#G�D�γ#�E�&�

�������������+�)�*����@�

Page 41: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� 5>�

����������������������� �����������������������

λAC#�D�G#�−−−−�#α9C�−−−−�#β9G�D�γ9B�D�µAC#�D�G#�−−−−�#α#C�−−−−�#β#G�D�γ#B�E�&���������������%���*��������������������)�*��������σ9���σ#������55�������������λ���µ�����������%������0�������)�*�������� 4��������@�

A,B� Aλ�D�µB�AC#�D�G#B�−−−−�#Aα9λ�D�α#µBC���#Aβ9λ�D�β#µBG�D�λγ9�D�µγ#�E�&�

�����3����������6����� ����%�����@�

9B� �������������5����*��������������3�����?�α9�E�α#���β9�E�β#���3�����A,B��� ��-�������5����������������������λ���µ�����λ�D�µ�≠�&���������5����*��������������-����0�.��A,B��� �����������������������λ���µ�����������������5����������5����*����-�����3��������6�:%� �0��%�$% !6#$#!�#�% !%#!'$�%H#I�

#B� ��� ��� ��� ����5����*�� ���� ����� �������3�� ��� A,B� �� ��������� 5������� ��� ������������λ���µ�����λ�D�µ�≠�&���������5����*��3�� ����� ���6������������ �����������σ9���σ#�A���)�������������������������� ����������5��������)�*��������σ9���σ#���)��������A,BB0�

.��A,B��� ����������������������λ���µ�����������������5����������5����*��������6�:%� �0��%�$% !6#$#!�#��(��λ�D�µ�E�&����A,B�?��+�)�*����������������@�

#Aα9�−−−−�α#BC�D�#Aβ9�−−−−�β#BG�−�γ9�D�γ#�E�&��������::#�$�0�%�"#�3�� ����� ���6������������ �����������σ9���σ#�������;�!'��*�:#�0#"�6�:%� ����)�����������������5����*������5����� ������� �������0��+�5���������5�����3���+�������������?� �� �����������������6��6����������������σ9���σ#���3�� ����� ������������������5����*������5������ �����6�������������6��6�����3����������::#�%#!'$�"#�0#"�6�:%� 0�����������(���������5����*��σ9���σ#���������6������+������������� ����� ������ ����������6��*�����?� �� �������������+������������@��������)��������������6������������σ9���σ#0������6��3��������������5����*�����6���������������5����*��σ��������� ����1�� - �����6�������5�������������������σ������������6�������σ����10��!����������� �� )���)�� ���� �� ���� ������ �������� ��6��� ��������� ���� %����� ���������� ���������������������5����*������5�����3�� ����� ����@���5������� �������3��������������������������5�������A,B�������������+�)�*�������� /�6��������λ���µ���)����������-�������������� �����λ�Fµ�3������������������5����*�������0���(��1 8�'0#0'�-��������������+�)�*���������������5����*�� �������� ����+���6���������-6������������5����*��σ�����)�*����@�C#�D�G#�−−−−�#C�−−−−�,�E�&����1A9��#B0�.������5����*�����6�����σ����1�� �����6�������5�������������������σ������������6�������σ����1����3�����)������)�*����@�λAC#�D�G#�−−−−�#C���,B�D�µAG�−−−−�#B�E�&0�

V���

7�

!9� !#�

�V

V�

V�1�

V�V� V�!9� !#�

V� V�!9� !#�

Page 42: Geometria analitica solida

!� ������'��������.�63���������������1������

���������������������

5?

.������5����*����������5����� �������� ����+���6�����������������6�������λ���µ���������3��A&��&B�������5���+�)�*����I�������������−−−−,λ�−−−−�#µ�E�&�������µE�−−−−,λF#����+�)�*���������������5����*��������@�C#�D�G#�−−−−�#C���,F#G�E�&0���

<�2�<���� '#!���0���!�;�!' �$�:;#'' ��""��%�$% !6#$#!�����!���������������� ������������5����*��σ�A���������!Aα��βB�����66���B������ ����1&�A�������������AC&��G&BB��?������������6��������������������3����������������1&������-���������σ���������������������7��� ��������������*�����A����������������������B����� ��������1&����1&7��������������������������0�-� ���1&�?������������������5����*���������1&����1&7�E�A1&�B#��������?���� ����������6��-

*�����������6����� ���1&���σ0�� ���������������������1���6������������6����������6����!�1&����3��A1&�B#�E�A1&!B#�−−−−�A!�B#�E�AC&�−−−−�αB#�D�AG&�−−−−�βB#�−−−−�/I�

-� ���1&�� �����������������5����*���������1&����1&7�E�&����)�����1&�E���E�7I�-� ���1&�?������������������5����*������������������������������������� ���1&��� ��-

���������������66���!1&���������1&����1&7�E�A1&�B#0�� ���������������������1���6������������6����������6����!�1&����3�@�

� A1&�B#�E�A!�B#�−−−−�A1&!B#�E�/�−−−−�[AC&�−−−−�αB#�D�AG&�−−−−�βB#]0��������������� � � 8���'0#090-������������������������������#����������������$������%���������������

��������������σσσσ����� ������&G�@�α(/�'�&H�@�β(

/�@�

/�!�"� �������������� ����������

��8������� ��������������������������� ����G"����G���H"����H�

��"�$���&�αααα%��'�$���&�ββββ%

��&��

�0�����)������������� ���������������6��5�����6������������ I���� ���������� �3����6���D����1&�?������������������5����*���3����6���−−−−����1&�?������������������5����*�������������-��������� �E�&����1&�� �����������������5����*�0��!�����������������������5����*��σ9���σ#�����)�*�������� �����������@�σ9�@� C#�D�G#�−−−−�#α9C�−−−−�#β9G�D�γ9�E�&�σ#�@� C#�D�G#�−−−−�#α#C�−−−−�#β#G�D�γ#�E�&���� ����1�A\�]B�3���6���� ����*����� �����������������5����*����@�

\#�D�]#�−−−−�#α9\�−−−−�#β9]�D�γ9�E�\#�D�]#�−−−−�#α#\�−−−−�#β#]�D�γ#�

��?����� ��5�����@�#Aα9�−−−−�α#B\�D�#Aβ9�−−−−�β#B]�−�γ9�D�γ#�E�&�3��?��+�)�*���������+������������I�)����@�"1�::#�$�0�%�"#�J��"�"� & �0#��;�!'���=#!'��"��:'#::��; '#!���$�:;#'' ��""#�0�#�%�$% !6#$#!�#����

��

V�V�

V�

V�

V�7�

1&�

!�

��

V�

V�

V�

V�

V�

��

7�

��

!�

1&�

Page 43: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� 5@�

����������������������� �����������������������

<�5����#�% !�%H#�% .#�"� &H��&# .#'$�%����<�5������ !�%H#�#"#.#!'�$���

���� � � 8���'0,09�-�A����������� �������� ��� ����I������������� ����������������

���������������������������� ��������������� ��� ����C�������������������������������

� �������������� ����I����������������������������������������≥�"��������������

���(���(������3������������� ����*��������1��������� ����*����� 6��������� 3�� ����� �������������5���������6������� ����1������������?��������@��

A'B���

���+�#��

�1��� �� ������� �������������� ��� ����*����� ��� ��6���� �� ��5��������� ���������� ��������+�����C�������������� ��� �� ���������� ���������������������������������������������@���������������������A��&B������������)�*�����C���3�E�&0� ����������AC��GB������������������6������� ����1����������������A'B������������)��������������@�

A$B�#

##

B3CA

GBCA

+−�E��#0�

(��� �������������������������+�)�*����@�

A<B� 8���#29(

2�)�-

2��28%��#

2H9(�)�%

2��#

2H2�+�,�

(�� ������� ������������������0��!������������������� ������������������5���� ������������������������)������E�30�.��A<B��������@� A9����#BC#�D�G#���#A9����#BC�D�#A9����#B�E�&�� ������@�

A9����#B�AC���B#�D�G#�E�&�-����9����#�S�&�)�����&�<���<�9��+�)�*�����?�������5���������� ���C�E�����G�E�&�����������3���������� ����������A��&BI�

-������E�9����A9B����������G#�E�&��������������� �**���������������������������G�E�&��G�E�&I�-����9����#�R�&���)�������>�9�A���������� �������B������������� �**����������������������-

�����������������������5��@���G�E� 9�# −± AC���B0��.�����3����H������������������% !�%H#�0#&#!#$����( �����������3��������� �����6������������������)���������≠�3��������������������-�������3����� ������������������������#0�� 9��#�≠≠≠≠���1������ ��5������+�)�*����������6�����������6����8�������5������������ ��������+�����C� ������������8��F�8�&�E��#�A���������&���� ��������������*�������������������������+�����CBI���������������F3�E��#����)����������#3�E�&0�.��A<B��������@�

A9����#BC#�D�G#�D�#A�#���9BF�#�E�&���������

1�

8� �&���

��

��

G�

����

C�

Page 44: Geometria analitica solida

!� ������'��������.�63���������������1������

���������������������

5A

22

2

#I%

(�)�

222

2

#I9#�8%

-

−−−−

�+��0�

���������+�)�*������������������C����G���+���6����?��������������������������������������������������%#!'$ 0��(�� #�<� �� ��� ����� ��� ���� #""�::#I� ������@��2� +� %2I#2�� *2

� +� %28�� � #

29I#

2�� ��� �� ��6�����������2��*

2�+�%

2���������)�*������������@�

A>B� �*

-

(2

2

2

2

====++++ 0

(��#�>��� ��������������� �;#$* "#I� ������@��2�+�%2I#2��*2�+�%

28#

2���9I#

2���������6�������2�)�*

2�+�%

2���������)�*������������@�

A=B� �*

-

(2

2

2

2

====−−−− 0�

B��#�E���.�����������������)��������������6������ �����)��������������5������������������������������;�$�* "��� ��)������������A<B��������@�

G#���#A���3BC�D�#���3#�E�&0�(�6��������+���6����8�������5������������� �������������������&���������E���3����+�)�-*�����A<B������� ��5���������������@�

-2��<%(�+�,�

�����3��A:B� -

2�+�2;(�

��� �E�#��3����� 4�� ����� �������������������� �����������6�������0���%%�������H��������������� ��������3�@����������� ��%����A���3���������B��� ���%����������)�*�����3��������5����� ����������������� ���������������5��������������0������5������������6 $.��%�! !�%�0���<�5�2����""�::#��

.+�)�*����������������+��������?@� � �*

-

(2

2

2

2

====++++ � � A>B�

������)������� ����������%������6��������������*����@��2�+�%2I#2��*2�+�%

28���#

29I#

2��������-6���2��*2

�+�%20�

���������� ������������+�����������6��������������������� ��������)������ ��������������*������������=#$'�%��@����A���&B���LA�����&B��7A&��%B��7LA&����%B0�

�L� ��

7L�

7�

C

G�

�L� ��8�

��

�� ��

1�

C�E���C�E�−��

G�E�−%�

G�E�%�

Page 45: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� 5B�

����������������������� �����������������������

1��3N� ����� ��������+������������������ ���C≤����G≤�%�������������������������������-���6���������������������������C�E�������C�E�����G�E���%���G�E�%0�(��1AC��GB�?��� ��������+�������������������3��19AC����GB��1#A��C��GB��1,A��C����GB�����3��3���+��������3���������������������������6������3������������::��0#""1#""�::#�3�������������������%#!'$ �0��:�..#'$��0�1������ �� ���������������������3����� �����LA����&B������������C�E���3��������� ������������5���������������)������+��������3�����5�3�����������������������������L���������::#�6 �%�"#��

������������5�3����� 4��������������� �� ��������������**���������+��������3����������3������� �����5������@��1�81� ��O� '0,09� ������������ ��� � �������� ����������������������� �� ���� ������������

� ��������������������������������/�����������*����0���B�1���������� �����3���+��������6�������)����� �� �����0�� ��������������*�����3��

��������**���+� �������*������� ����1����+����������� �����������5�3���������������-������������3��3�����6�����������*����@�1�F1��E�����1�LF1�L�E������������6�@�

� 1��E���1���� 1�L�E���1�L0�� ��������1��D�1�L�E�#3E�#F�#����6��3��1��D�1�L�E���A1��D�1�LB�E�#F��E�#�0���B�;������� ���� 3�� �� ���� 3�� ������5���� ����� ����*����� 1�� D� 1�L� E� #�� ����� �� ����

����+�������� ��� �)�*����� A>B0� (�6������ �� ��5��������� ���������� ����6������ ����������������C��+�����5��������������6������� ���������������L@���������A��&B���LA����&B0��55��3N��� ����1AC��GB�������5�����������*�����1��D�1�L�E�#�������������@�

#### GBCAGBCA ++++− E�#��

� ������������)�����������������@�

C#�D�#C�D�#�D�G#�E�'�#�D�C#���#C�D�#�D�G#���'� ## GBCA +− �

C����#�E�A���B ## GBCA +− �

�AC����#FB�F���E�� ## GBCA +− �

��A�C���3B�E�� ## GBCA +− �����������F��E�����#F�E�3�

� ���������������)������@� �#�AC���3B#�E�AC���B#�D�G#��3��?����A$B0���(��1 8�'0,09�-��������������+�)�*���������+�����������5�3���9A9��&B�����#A�9��&B��������3�����������������������*������5�3������=0�

��� ����1AC��GB�� �����������+���������� ## GB9CA +− D ## GB9CA ++ �E�=0� ����������

����������)�������������������AC���9B#�D�G#�E�<'�D�AC�D�9B#�D�G#���9< ## GB9CA ++ ������-

��5���������'C���<'�E��9< ## GB9CA ++ ���?��' ## GB9CA ++ E�C�D�9<������@�

AC�D�9<B#�E�9<�AC#�D�#C�D�9�D�G#B�������6�������������9$C#�D�9<G#�E�#'&���?�

9$

G

9<

C ##

+ E�90�

�<�5�5����;#$* "#��

.+�)�*����������������+� ��%����?@�� �*

-

(2

2

2

2

====−−−− � � A=B�

������)������� ����������%������6��������������*����@��2�+�%2I#2��*2�+�%

28#

2���9I#

2��������-6�@� �2� )� *2

� +� %2�� ��3�� )�� ��� 3����� ��� ���������� ��� ����� �6��� ����� ���������� ��� ��-

Page 46: Geometria analitica solida

!� ������'��������.�63���������������1������

���������������������

<,

�+���6���@���3���+� ��%����3��0�#��::��0��:�..#'$��� $' & !�"#���!�%#!'$ �0��:�..#'$����0�#�6� %H��#�0�#�0�$#''$�%�0�(���� �+�����C� A����� 5������� ���������B�3�� �����-��*����� ������ ��� �+� ��%���� ���� ���� �A��� &B���LA���� &B� ������ =#$'�%�I� �+����� G� ���� ����������+� ��%��������������������������0�������������+�)�*�����A=B���� ��������G�������-

��@� G� E� D��

% ## �C − �� )����� ��� 3����� �������

���������G������ ��C≥��I�����������������������-���������������������������C�E������C�E������������3����� ��������+� ��%���0��

������������C��3�G�����������������������������5����������������������G�E��

%C�

� ���G�E���

%C@�����������������6����:�!' '������+� ��%���0�

��3�� ����+� ��%������� 4��������������� �� ��������������**����������6����)�����������������������+�������@��1�81� ��O�'0,0#�-�����8��������� �������� ���������������������� �� ����������������

� ����������������������������������������������� ���/�0���<�5�<�����$�* "���

�.+��)�*������������������ ���%����?@� -2�+�2;(�� A �>�&B� A:B0�����������������5����������������� ����� ����+���6�����������=#$'�%#��3��?��������������-��*��������6�����������������0�.+����� ������ C� ?� ����� ��� ���������� �� ������ ���������::#�0#""��;�$�* "�/�����+?� ������ ���������� ��-� ��������+�����������G������+?�)�����������������-

�������� +?� �� ����� 6� % ������ ����������

&��

#

��

�����������0�$#''$�%#�����)�*������C�D�#

�E�&0�

1��3N� ��� ��� ���%���� ��� 3�� ���������� �� E� 9� �����5���*�����'0,09��������@�������8���������� �������� ����� ������������� ��

� ����������� ��������� �������������������0���(��1 8�'0,0#�-��������������+�)�*����������� ���%�����������5����A9��&B�����������������)�*�����C�D�9�E�&0�

��� ����1AC��GB�� ������������� ���%�������������������*��������1��E� ## GB9CA +− ?�-

6���������������*�� |C�D�9|����1�������������������?@� ## GB9CA +− E� |C�D�9|0�������������

)����������3�@�C#���#C�D�9�D�G#�E�C#�D�#C�D�9������G#�E�'C0��;�������������������� �� �2�6�������0�

G�E��

%C� G�E�−

%C�

��C�

G�

���L� ���L� ��

8�

C�E�−�� C�E���

8�

��

���� C�

G�

1�

Page 47: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� <��

����������������������� �����������������������

�(��1 8�'0,0,�-�!�������������������C#�D�,G#���'�E�&������������������� ������������*��5�-������+�����������������������5�3�0�

.+�)�*�������� 4�����5����������'

G,

'

C ##

+ �E�9������,F'

G

'

C ##

+ �E�9�3��?��+�)�*������-

�������������������0�������������� ���*�����5��������3�@�-� �����������66����� � ��E�#I�

-� ���������������� %�E�,

,#I�

-� ������*��5����� �E� ## %� − �E,

'' − �E�

,

<#I�

-� ���������� ��E��

�E

<

<#�E�

,

<I�

-� ������� �A#��&B����LA�#��&B���7

,

,#�& ���7L

,

,#�& 0�

�(��1 8�'0,0'�-�!�������������������C#���'G#���'�E�&������������������� ������������*��5�-�����������������5�3�����������������������0�

.+�)�*�������� 4�����5����������'

C#

���G#�E�9�3��?��+�)�*������������������� ��%���0�

������������� ���*�����5��������3�@�-� �����������66����� ��E�#I�-� ���������������� %�E�9I�

-� ������*��5����� �E� ## %� + �E� 9' + �E� $ I�

-� ���������� ��E��

�E�

#

$I�

-� ������� �A#��&B���LA�#��&BI�

-� 5�3�� �A $ ��&B���LA� $ ��&BI�

-� ����������� � C�E�3�E�

�#

��C�E���3�E��

�#

������� C���$

$'�E�&������C�D�

$

$'�E�&I�

-� ��������� G�E�#

C����G�E��

#

C0�

�(��1 8�'0,0$�-��������� ���%����,G#���#C�E�&���������������+�)�*�������������5��������������0�.+�)�*�������� 4�����5����������G#�E�#CF,��)����� �E�9F,����E� F#�E�9F<0���������������3�����5���?��A9F<��&B����������������?�C�E��9F<0���(��1 8�'0,0<�-��������������+�)�*����������� ���%�����������5����A�9���,B�������������C�E�G0�

��� ����1AC��GB�� ������������� ���%�������������������*��������1��E ## B,GAB9CA +++ �

?�6���������������*��#

GC −����1�������������������?@�� ## B,GAB9CA +++ �E�

#

GC −0�

������������)����������3�@��C#�D�#C�D�9�D�G#�D�<G�D�:�E�AC#���#CG�D�G#BF#�������#C#�D�'C�D�#�D�#G#�D�9#G�D�9=�E�C#���#CG�D�G#����?��C#�D�#CG�D�G#�D�'C�D�9#G�D�#&�E�&�� - ��@�

AC�D�GB#�D�'C�D�9#G�D�#&�E�&0�

Page 48: Geometria analitica solida

!� ������'��������.�63���������������1������

���������������������

<2

�(��1 8�'0,0>0�-��������������+�)�*���������+� ��%�������5�3���9A�#��#B�����#A'��#B������3�������55����*��������������*������ ��������+� ��%��������5�3��������������������������'0���� ����1AC��GB�� �����������+� ��%�������

#### B#GAB'CAB#GAB#CA −+−−−++ E�'0�

��������������������)������������������@�

AC�D�#B#�D�AG���#B#�E�A±'�D� ## B#GAB'CA −+− B#�

������6������������@�

C#�D�'C�D�'�D�G#���'G�D�'�E�9<�D�C#���=C�D�9<�D�G#���'G�D�'�±�= ## B#GAB'CA −+− �

9#C���9#�E�±= ## B#GAB'CA −+− ����������������� ��5��������)�������@�

A,C���,B#�E�'AC#���=C�D�9<�D�G#���'G�D�'B���?�$C#���'G#�D�9<G�D�9'C���>9�E�&0�����)��������������� ����������3�������������5������������6��6����������3����������5���������)���)�����?�����������5����������������������)�*�������6������� �-������������������6��������C����G��6�6��������*���0�������?�����������������5���*�����'090#��������0���<�<����:#$%����;$ ; :'���� ;09�-������)�������������6������)�*������� �����������������5����*�����������������������������������������66��@��B� C#�D�G#���#G���,�E�&I� A!A&��9B���E�#B�

��B� C#�D�G#���#C���'G�D�$�E�&I� A!A9��#B�����E�&B�

���B� C#�D�G#�D�<C���#G�D�9#�E�&0� A��B�� ;�#�-�(��������+�)�*���������������5����*��σ����������!A9��−−−−#B���������5��������������������6���������*����@��B� �����66���#I� AC#�D�G#���#C�D�'G�D�9�E�&B���B� �������� ������ ����1A,��9BI� AC#�D�G#���#C�D�'G���=�E�&B����B� ���6��������+�����CI� AC#�D�G#���#C�D�'G�D�9�E�&B���B� ���6����������������������)�*�����C���G�D�9�E�&I� AC#�D�G#���#C�D�'G���,�E�&B��B� �����������������@�C���G�D�9�E�&������������6�����������63�**��'0�

AC#�D�G#���#C�D�'G���>�E�&B�� ;0,�-�(��������+�)�*���������������5����*�������5�������������6���������*����@��B� �� �����A9��,B���7A�,��$B���������������������������I� AC#�D�G#�D�#C���=G�D�9#�E�&B���B� ����� ����� �����A#��&B��7A&��9B��!A�9��9BI� AC#�D�G#�D�C�D�$G���<�E�&B����B� ����� ����� �����A9��#B��7A�9��&B����3�������������������'C���G���'�E�&0�

AC#�D�G#���#C���,�E�&B�� ;0'�-���������������� ���*�������� ������������6������ ����������5����*��σ9���σ#�������6���������@��B� σ9@��C

#�D�G#�D�<C���=G�D�9<�E�&�������σ#@��C#�D�G#�D�#C�E�&I� A�������B�

��B� σ9@��C#�D�G#���#C�E�&�������σ#@��C

#�D�G#���=C�D�9#�E�&I� A���6����B����B� σ9@��C

#�D�G#���#C���,�E�&�������σ#@��C#�D�G#���#G���9�E�&0� A������B�

� ;0$�-�������������5����*��σ@�C#�D�G#���#C�E�&��������� �����A,��&B���7A&��&B������������ ����� �����6�������������5����*��������������������������I���� ����%�������������������

Page 49: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� <5�

����������������������� �����������������������

������6�������σ0� A��������������6���������@�G�E� ,FB,CA −± I�7�∈�σ�����6��������7@�C�E�&B�� ;0<�-�����������������5����*�����6����������������C�D�#G���,�E�&�������� ����1A9��9B���-����������)�����3�@��B� ����� ����A#���9BI� A,C#�D�,G#���C�D�'G���:�E�&B���B� 3�����������+�����G0� AC#�D�G#�D�#G���'�E�&B�� ;0>�-�����������������5����*�����6�������σ@�C#�D�G#���$�E�&�����A#��9B���������)��������-6�������σL@�'C#�D�'G#���$�E�&0� AC#�D�G#���C���GF#���$F#�E�&���C#�D�G#���,C���,GF#�D�$F#�E�&BB�� ;0=�-�������������5����*��σ@�C#�D�G#�D�#C���#G���,�E�&���������� �����A&��,B����������-��@��B� ����������66������σI� A!A�9��9B����E� $ B���B� ������6�������σ�����I� AC�D�#G���<�E�&B����B� 6��������������������)�������������������σ���������������������0� AA�#���9B��A9��&B��A�,��#BB�� ;0:�-���������������������5�3�������������������������������6��������3�@��B� #C#�D�=G#�E�9#I���B� $C#���>G#�E�$I����B� C#���,G�E�&I���B� C#F,�D�G#F#�E�<I��B� C#F<�D�G#F#�E�<I���B� #C#�D�=G#�E�9#0�� ;09&�-��������������+�)�*��������������������6���������������C#���#G�E�&�������� ����1A#��#B0� A#C���G���#�E�&B�

� ;099� -������ �������5����*�����)�*����@�C#�D�G#�D�#C�D�#G���<�E�&���� ��� ��� ������1A9��9B�������������@��B� �+�)�*����������������������6���������1I� AC�D�G���#�E�&B���B� �+�)�*���������������5����*�����6���������1��� �������� ����+���6���I�

AC#�D�G#���C���G�E�&B����B� �+�)�*�����������������������������������������������������5������ �����A,��,B�

���������������E� # F#0� A,C#�D�,G#���#CG���#&C���#&G�D�<=�E�&B�� ;09#�-�������������5����*��σ9���σ#�����)�*�������� �����������@�C#�D�G#���#C���'G�E�&���C#�D�G#�D�#C�D�'G���#&�E�&@��B� ����5����� 3�� ����� ������� �� ������������ �+�)�*����� ������ ������ �������� ��� �� �����

���������1����I� AC�D�#G���$�E�&B���B� �������������+�)�*���������������5����*�� �������� ���1��������������������������

������C���G�D�#�E�&I�� AC#�D�G#���'C���=G�D�9&�E�&B����B� �������������+�)�*����������������������������������������������1�������5������

������A'��=B����������������E� $ 0� A,G#�D�'CG���#C���'G���$$�E�&B�� ;09,�-�������������5����*��σ9���σ#�����)�*�������� �����������@�C#�D�G#���C���,G�E�&����C#�D�G#���'G�E�&@��B� ����5�����3�������������������� ��������7I� A�A&��&B��7A#��#BB���B� �������������+�)�*���������������5����*�������������������7I�����AC#�D�G#���#C���#G�E�&B����B� ����������� �����������������������������7���������������+�)�*����������� ���%����γ�

���������������������5������70� AC#�D�G#���#CG���9<C���9<G�E�&B�

Page 50: Geometria analitica solida

!� ������'��������.�63���������������1������

���������������������

<<

;09'�-�����@��������5����*�����)�*����@�C#�D�G#���#C���#G���#�E�&�������� ����1A,��9B������������������)�*����@�C�D�G�E�&�������������@��B� �+�)�*���������������5����*�����6���������1��������������������������������I�

AC#�D�G#�D�#C���#G���9'�E�&B���B� �+�)�*����������������������6����������1I� AC�E�,B����B� �+�)�*������������� ��������������������5������1�����������������������1��������������

�������� ������ �����A#��#BI� A>C#�D�>G#���#CG���'=C���9<G�D�=&�E�&���������B���B� �+��������� �����6������������� ������� �����������������������6��6�����1���� ���

������!����γ0� A(�E�=B��

Page 51: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� <>�

����������������������� �����������������������

������������

��������������������������������������� ����

���������������>�������6#$�.#!' �%�$'#:��! ���(������,����� �*����55������������8��� ��������,���?T#9��##��#,U����%����������� �*��������������(,��������������,0��������3����� ����1�3������������AC��G��*B�������5���������FT8��#9��##��#,U���������������1���8�3���� �������C��G��*���� ����������%����?T#9��##��#,U�����������@�

1�E�AC/�G��*B� ⇔�� 1���8�E�C#9�D�G##�D�*#,0�

�� ����8����������������6���������������������5������������3������������A&��&��&B0�.�������� ���8� ������������#9��������������::#�0#""#� (� ���::#�0#""#� �:%�::#�� �� ��� ����3������������AC��&��&B����������� ���8� ������������##��������������::#�0#""#�-����::#�0#""#� $0�!��'#������� ����3������������A&��G��&B����������� ���8� ������������#,��������������::#�0#""#������::#�0#""#��� '#�� �� ��� ����3�� ����������A&��&��*B0����� ��6���� � ������� 3�� ��� ��5����������FT8�� ��� 7��FU����� 5�������������%�����������-����� �����������7��F����(,�������5�������������-����� �� ��� �� ��� ����6�����0� A�0� ��5���*�����#0,0,B0�.���������������� ���������������� ������������������������������������������0�A�0���5���*�����#0,0'�����������E�#B0���(��1 8�$0909�-� �� ����������������6������������������A#���$��<B���7A&��,��#B�?���� �����A9���9��'B0��(����1#�E�AC#��G#��*#B�����19�E�AC9��G9��*9B������������������� ��������+���6��������3�@�

C#�E���C9������G#�E���G9������*#�E���*9���5������������5���3���+���6����?��������� ���������0��.���� ���������������������55����*�������� ����������������������55����*�������������-��������5��������3�@�

1#���19E�A1#���8B���A19���8B�)����������1#�E�AC#��G#��*#B�����19�E�AC9��G9��*9B�������@�1#���19�E�AC##9�D�G###�D�*##,B���AC9#9�D�G9##�D�*9#,B�E�AC#���C9B#9�D�AG#���G9B##�D�A*#���*9B#,0�

��>�2��������� !��;�$�.#'$�%H#�0#""��$#''����.�������� ����� ����1&� ������������������������?�5����������� ����1������3����������������1���1&����� �����������������������������1���1&�E���� A9B� ����������������0�

1AC��G��*B

8�

#2�

#��

#5�

Page 52: Geometria analitica solida

!� ������$����������������������������������������( �*��@�1��������������

���������������������

<?

����(��1&�3������������AC&��G&��*&B���������E����D��7�D��F������A9B��������@�

AC���C&B��D�AG���G&B7�D�A*���*&BF�E�����D���7�D���F0��6�6������������ ������������������������������6��������)�*����� ��������3�@�

+=+=+=

��**

��GG

��CC

&

&

&

(��������;�$�.#'$��0�$#'' $������������������� ������������)���������������� �����������-����������)����������������������������A�������B�������������������� �� ��*������0���(��1 8�$0#09�-�(�����������)�*����� ��������3�������������� ���1&��������������A#���9��>B��� �����������������������E���D�,7���F0�

−=+−=+=

�>*

�,9G

�#C

���3����������� ������ ����1&AC&��G&��*&B���19AC9��G9��*9B���� 4� ����������������� ����� ����A ������� ���1&B��� ��������������������19���1&@�

&9

&

((

((

−−−−

−−−−E

&9

&

--

--

−−−−

−−−−E

&9

&

��

��

−−−−

−−−−� ���� � C9�≠�C&� � G9�≠�G&� � *9�≠�*&0�

�(��1 8�$0#0#�-�(�����������)�*����� ��������3�������������� ���1&��������������A#��,���,B��� ���19��������������A,��'��&B���6��5���������������)�*����� ��������3�������������� ����1&A#��,���,B��� ��������������������19���1&������ �������A9��9��,B0�

+−=+=+=

�,,*

�,G

�#C

��>�5�����;;$#:#!'��� !#�0#"�;��! ��� �� ����� 4����������������������� ����� ����� ����1&��������6�������������������!�����������������6������ ����1������3�@�

A1���1&B�V�!�E�&0�A �������������#��+�� ��������� ����������� ����������������0B�(��!�E����D�%7�D�F���1&�3������������AC&��G&��*&B�������������+�)�*������������������� �����

�8(��(,9�)�*8-��-,9�)�%8����,9�+�,0�

1���������E����C&���%G&���*&�������������+�)�*����������� �@�

�(�)�*-�)�%��)�0�+�,0�

�!1#����� !#�"�!#�$#��!�(/�-/���$�;;$#:#!'���!�;��! �#���% #66�%�#!'���/�*/�%�0#""��(/�0#"�

"�� -� #� 0#""�� �� H�!! � �"� :�&!�6�%�' � 0�� % .; !#!'�� 0�� �!� =#'' $#� $' & !�"#� �"� ;��! ��.+�)�*���������� �����?�������������������������5���������� �� ��*�����������������0�

��

1&�

��

Page 53: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� <@�

����������������������� �����������������������

�(��1 8�$0,09�-� �� ����� ���1&��������������A#���,��#B��������6���������!�E�#��D�$7�D�F�3�������)�*��������������@�#AC���#B�D�$AG�D�,B�D�A*���#B�E�&�������#C�D�$G�D�*�D�:�E�&0�� �� ���������@�-���� ���������������(-��������������6�����������������F��3���)�*������������������E�,I�-���� ���������������-���������������6��������������������3���)�*�����������������(�E�,I�-���� ����������������(��������������6�����������������7��3���)�*�����������������-�E�,0����������������������������� �����π�?�����6������� ����1&�3��� ����������π���������-������0�0�����=�3������� �����������πI���� �����π�?�5����������� ����1������3��1���1&���/�=���-����� ���������������� ������������������������������@�

A1���1&B�V���∧�=�E�&0�

���������)�*������������������ �����5������������5�������������6�����������������������-��������+�)�*�������������������������3����� ���������������������������������������� �-�������?���������������� �������� ��������������������������*��������0����������1&�3������������AC&��G&��*&B�������E����D��7�D��F�����=�E��L��D��L7�D��LF���+�)�*��������� �����?@�

L�L�L�

���

**GGCC &&& −−−�E�&0�

(����������3����������������∧�=��?�����6��������� �����π������0���(��1 8�$0,0#�-������������ ����� ���1&��������������A�9���9��9B��� ��������������E���D�7���F����=�E���D�#70�(��3�@�#AC�D�9B���AG�D�9B�D�A*���9B�E�&�������#C���G�D�*�E�&0����� �����π�?���3�������������������� ������������������@�1&�19�1#0�������������������������� ����������π� ?� ��� ��6������ ����1� ����� 3�� ����������1���1&��19���1&��1#���1&� �������� ������0� �� �����π�?�)����������6������ ����1������3�@�

A1���1&B�V�A19���1&B�∧�A1#���1&B�E�&0�

�� ������������ ������������������� ��������� �����3��1&��%%�������������AC&��G&��*&B��19�����������AC9��G9��*9B���1#�����������AC#��G#��*#B����3�@�

&#&#&#

&9&9&9

&&&

**GGCC

**GGCC

**GGCC

−−−

−−−

−−−

�E�&0�

(����������3��A19���1&B�∧�A1#���1&B����������������������6��������� ������������� ���0���(��1 8�$0,0,�-�.+�)�*��������� ����� ����� �����A9��#��,B��7A9��&��#B�!A&��&��9B�?�

9#&&&9

9,&#&9

9*&G&C

−−−

−−−

−−−

�E�&�

������ ��������������������������������+�)�*����������������#C�D�G���#*�D�#�E�&0���

Page 54: Geometria analitica solida

!� ������$����������������������������������������( �*��@�1��������������

���������������������

<A

>�<����$' & !�"�'D�#�;�$�""#"�:. �6$��$#''#����������������������5����� ����������-��@� 1���1&�E���� � ����������������I�-��@� 1���19�E�M=�� ����M�����������0����������6�������������=����������6���������������V�=�E�&������� ����������������=������ ����-��������������+λ =0��

1�������E�A�������B���=�E�A�L���L���LB@� $�#0�:�: ! � $' & !�"��:#� ""E�)�..E�)�!!E�+�,I�

� $�#0�:�: ! �;�$�""#"#�:#�E"

"�+�

E.

.�+�

E!

!0�

��(��1 8�$0'09�-��������������@�

��@�

−−=+=+=

�#$*

�,$G

�,'C

� �@�

+−=−=−=

�#>*

�,$G

�,9C

� @�

+==

+=

�<#*

9G

�''C

� @�

−−=+=+=

�#9*

�9G

�,9C

������������?� �������������������6�������� ���N� ����������N�����6���������0���>�>����$' & !�"�'D�#�;�$�""#"�:. �6$��;��!������� ������α���β�α@�A1���1&B�V�!�E�&������)�*��������������� �C�D�%G�D�*�D���E�&�β@�A1���19B�V�!E�E�&������)�*��������������� �LC�D�%LG�D�L*�D��L�E�&�-������ $' & !�"�����!���!E�: ! � $' & !�"���������!�V�!E�E�&�������� ���E�)�**E�)�%%E�+�,I�

-������;�$�""#"�����!���!E�: ! �;�$�""#"���������!E�E�λ!�������@�E�

��+�

E*

*�+�

E%

%0�

(����3�@L�

��E�

L%

%�E�

L

�E�

L�

��������������� �������������0�

�(��1 8�$0$09�-�������� ����@�α9@�#C���G�D�,*�D�=�E�&I�α#@�,C���#*�E�&I�α,@�'C���#G�D�<*�D�#&�E�&I�α'@��#C�D�G���,*���=�E�&I�α$@�$C�D�'G���#*�D�9$�E�&I�α<@�C�D�G�D�'*�D�<�E�&0����3��3��α9�?�����6���������α#����α$I� ������������α,I��������������α'I��N� ����������N�����6���������α<0���>�?����!'#$:#�� !#�0��0�#�;��!����.+�������*��������α@��C�D�%G�D�*�D���E�&�����β@���LC�D�%LG�D�L*�D��L�E�&��?���������� ����3��������5����������%������)�*���������������� ����3����������*����������������@�

=+++=+++

&L�*LGL%CL�

&�*%G�C0�

Page 55: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� <B�

����������������������� �����������������������

!����������� ����%�����@��B� ������������ ���%����A�0����� ���90,0:B���� ���������� ��������I���B� �������������5���������*��������������������� ���������A�0����� ���90,0>B���+�������-

*�����?���������I����B� �������������5���������*���������������������� ���������A�0����� ���90,0=B���������-

)�*������� �������������������� ����0���>�@����#''��% .#��!'#$:#�� !#�0��0�#�;��!���� �

.��������

+=+=+=

��*

��%G

���C

����������� ������������������������

����� �������� ��� *����� ��� 4� ��3�� �� ����������� ���-����������� ������������������6���������@�

�C −�E�

%G −�E�

* −I�

������ ��� 4� ����������� �� ���� �������*����� ��� ���

������������� ��@�

*

�C −=

−���

*

%G −=

−0�

(���������������� ������E�&����≠�&������≠�&������������-

������������*��������� �����C�E������

*

%G −=

−0�

�(��1 8�$0>09�-������������ ������������ ����������*���������������@�

+−=+−=

+=

�:9*

�,G

�,#C

0�

�������������� ��������������������,

#C −�E�

9

,G +�E�

:

9* +�����@�

+=++=−

:

9*

9

,G9

,G

,

#C

� ��

=+−=−−

&#<*G:

&99G,C0�

�(�����������?�����������������*����������� ����� ������������������ ���������������������� 4� ��������������������0��B������������ ����?��������������������������������)�*��������� ����@������5���������-*������� �������������������5����� ���������0�

�(��1 8�$0>0#�-��������������������������*�������� �����

=++=−+

,*#G=C$

9*G,C#�����������������-

������A�0����� ���90,0>B��������������������*����@�

=+−=−=

M*

9M:G

9M9'C

0�

(��3��3���� ������������������������ �� ��*������������������A9'����:��9B0��%B���������������?�)�����������������������������!� �� ��������������� ��������!E� ��- �������������+�����I��������� ����������������?����������� �������������������0�

��πL�

!E� !�

$�

π�

Page 56: Geometria analitica solida

!� ������$����������������������������������������( �*��@�1��������������

���������������������

>,

���������� �����5������������+���� ���$0>0#�����3��!�E�A#��,���9B����!E�E�A$��=��#B��������-

������$�E�!�∧�!L��?� �����������������������������$�E�

#=$

9,# −−−−

F7�

�E�9'����:7�D�F0�

B�������*�������?�)������������������� ��������7������������������7�����3�������� �-�������� �����������������������0����������������5������������+���� ���90,0>���� �����������������������A�9��9��&B���7A#>���9>��#B��������� �����������7�����E�A#=���9=��#B�?� ���������������� �������� �������A �� ��*���������)������������������������� ��������B������������ �����������������������0���>�A�����:%��0��;��!��������������������������� �*����������6�:%� �A;$ ;$� 9���� ����� ������+������������������ ������������ �*��� �������� ����0�!�������������� ����� �������� ����@�-�π������)�*����@��C�D�%G�D�*�D���E�&��-�πL������)�*����@��LC�D�%LG�D�L*�D��L�E�&���+�)�*����� ������������� ����� �� ��������� 5�����?� ��� ����� ��%���*����� �������� A���%�����0�0B������55�������������λ��µ@�

A#B� λA�C�D�%G�D�*�D��B�D�µA�LC�D�%LG�D�L*�D��LB�E�&0�

�5�����A#B�?�� ����6���λ��µ���+�)�*���������� �����α�3����������������� ���������������� ��3N����19�E�AC9��G9��*9B�� �������������������������5��������)�*��������π������πL���)����������A#B0��

�(��1 8�$0=090�-��������������+�)�*���������6������� ����� �������������@�

+=+=+=

�#*

�#G

�#9C

0�

1���������������������������*����������� ����

=−=+−

&*G

&,G#C� ����+�)�*���������5�����

λAC���#G�D�,B�D�µAG���*B�E�&0�

�(��1 8�$0=0#�-���������������� ����� ����A9���#��&B��� �������������@�

+=+=+=

�#*

�#G

�#9C

0�

�� �����������+�)�*���������6������� ����� ���������������������+����� ���$0=09��+�� ������� ����66��� ��� ��� �����A9���#��&B@�λA9�D�'�D�,B���#µ�E�&����������������� ����������@�������C�D�#G���'*�D�,�E�&0��(������5������.;$ ;$� ��+������������ ����� �������������� �����5����0�(����� �����π�3���)�*����@��C�D�%G�D�*�D���E�&�����6������� ���������5�����3���)�*������C�D�%G�D�*�D�M�E�&���������������M�����0���(��1 8�$0=0,�-��������� ���������)�*�����C�D�#G�D�$*�D�>�E�&�����5��������� ����� ���������3���)�*�����C�D�#G�D�$*�D���E�&���������������������0��

Page 57: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� >��

����������������������� �����������������������

>�B����!'#$:#�� !#�$#''��;��! /�;�$�""#"�:. �$#''��;��! ���( �������3������������������� �����������������������)�*����� ��������3�@�

�@�

+=+=+=

��**

��GG

��CC

&

&

&

� � ������ ����������+�)�*������C�D�%G�D�*�D���E�&0�

.+��������� ����������������������������������������5��������������)�*����������������)���������� ��������������������3��������5�������6������)�*���������������@�

A�C&�D�%G&�D�*&�D��B�D�A���D�%��D��B���E�&��������+�)�*����������� ��7�D����E�&0�(����≠�&������������3�������������������)�*������������������������������ �������������-���������� �����π0�(����E�&����3�������� ����%�����@�-����7�≠�&�����+?�������������������3��������5���+�)�*����������������������������?� ������-�����πI�

-����7�E�&��+�)�*���������������������?��+���������������������������∈�π����� 4�����������-������������������ �����������π0�

������"��% !0��� !#�0��;�$�""#"�:. �$#''��;��! �?������������"�)�*.�)�%!�+�,0�!���� ���������@�-� �� ������C�D�%G�D��E�&�?� ������������+�����*0�-� �� ������C�D�%*�D��E�&�?� ������������+�����G0�-� �� ������G�D�%*�D��E�&�?� ������������+�����C0���(��1 8�$0:09�-�.+�������*��������� �����,C�D�'G���*�D�,�E�&�����+�����*�?���� ��������-���������A&��&��,B0���>��,����$' & !�"�'D�$#''��;��! ���.���������� ��������������������$�?�����6��������� ��������������������6������!����$�?� ������������!0�(��������������������*�����

"

��+�

.

*+�

!

%0�

�(��1 8�$09&09�-�.�������� ����A&��#��9B�����6��������� �����C�D�#G���*�D�,�E�&�3���)�*�����

��������3��

−=+=

=

�9*

�##G

�C

0�

��>�������!& "��������������������������� �*���������������������������������5�����������6����γ�A����3������6����π���γB��������������$� ���������������������������:� ��������������5�����������-6����γ0�1������5���������� ���������������������������3�����3����� ����%����������������������-6��������3�@�

Page 58: Geometria analitica solida

!� ������$����������������������������������������( �*��@�1��������������

���������������������

>2

��γ�E�±:$

:$

00�

��� �����π�����πL�5�����������6����γ�����������������������!�����6��������π�����������-�����!L�����6��������πL�3��5�����������6����γ0� ��)������������3�����5�����������6������� ��������0���� �������������������5�����������6����γ�A��������������6���������B���������������$� �-�������������5���������6����6������AπF#�B���γ��������������!�����6��������π�� ��������3�� ������γ�������������������������5��*�������6����@�

!$

!$

00�

��(��1 8�$09909�-��������������+��6�����������������@�C�E�,���G�E�#�D�����*�E������������ �����π@�C�D�G�D�9�E�&0�

1������5������ ������������3�@����A��πB�E�#

90�

��>��2�����'���; :��� !#�0��0�#�$#''#�!#"" �:;��� ������������������������ ��������������% .;"�!�$�I� ���������������!%�0#!'���������������-���������� �������;�$�""#"#0���(��1 8�$09#09�-�.���������@�C�E�9�D����G�E�,�D����*�E���������@�C�E�9�D�,M��G�E�,���M��*�E�'M�3���������������� ����1A9��,��&B����)������������������0�.���������@�C�D�*�E�&��C���G���*�D�#�E�&���������@�C�E�#�D�����G�E�#�����*�E�,����������� ������������������� ������������������� �� ��*������0��������������������:&H#.*#��������������� ������0�1��� �������3�����������������63��%����������)���������5�����3������������ �����������3�������%%����� �����������0���(��1 8�$09#0,�-�.+�����*�������������@�*�E�&��C�D�G�D�9�E�&���������� ��������� ��3N��+�����*�3�� �������������������A&��&��9B�������������������3�� �������������������A�9��9��&B0� ������� ��-3N��+�����*�3���)�*�����C�E�&��G�E�&�������������5�����������)������ �����?����� ���%���@����������������63��%�0���>��5�����:'�!�#�#0��;;"�%��� !�����B� ��:'�!���0��0�#�;�!'���1#�E�AC#��G#��*#B�����19�E�AC9��G9��*9B0�.��������*�����1#���19�?����������������������1#���19�E�AC#���C9B��D�AG#���G9B7�)�A*#���*9BF�

������ � �A1#��19B�+�#

9##

9##

9# B**ABGGABCCA −+−+− ��

��(��1 8�$09,09�-�.��������*������ �����A�,��'��&B�����+���6����?�$0���%B���:'�!���0���!�;�!' �1&�E�AC&��G&��*&B�0�"�;��! �ππππ�����)�*������C�D�%G�D�*�D���E�&0�(���19�E�AC9��G9��*9B��� �������π���!�E�A���%��B���������������6��������π0�

Page 59: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� >5�

����������������������� �����������������������

1�����5���*�����!�V�A19���1&B�?�������������!� ������ ����*����������6������19���1&���!���-����?�������������!� ������������*�����1&�����������������6��� ��3N�����������������-����*�� �������0��!���������6�������������^�,0=���������@��

����A1&��πB�E�###

&&&

%�

�*%G�C

++

+++0�

��(��1 8�$09,0#�-�.��������*������ �����

C�D�#G�D�#*���$�E�&�����+���6����?�,

$0�

�B��1�$#��0#"� '$��!& " �19�1#�1,� ��� 4����������������������������������� ��������������������������������1#���19���1,���190���(��1 8�$09,0,�-�!���������+�����A����������6����19A9��#��&B��1#A�9��,��9B��1,A&��9��#B0�1��3N�1#���19�E�A�#��9��9B�����1,���19�E�A�9���9��#B�����3�@�A1#���19B�∧�A1,���19B�E�A#�D�9B����A��'�D�9B7�D�A#�D�9BF�� ����@�

A�E�#

9� F7� ,,, ++++++++ �E�

#

9::: ++ �E�

#

,, 0�

��B��"�= "�.#�0#"�'#'$�#0$ �����������1��E�AC���G���*�B������E�9��#��,��'����������������5��-��������������@�

���A19��1#��1,��1'B�E�<

9A1#���19B�∧�A1,���19B�V�A1'���19B0�

�������������3�������������� ������������)������� ��������� ��� ����������%����������������������������������0���(��1 8�$09,0'�-����������������A�#���#���9B��7A9���9���,B��!A&��#��&B����A&���9��,B�������������������������������0�

�+���������;���E�<

9�

'9#

9'#

#9, −

�E�<

$90�

�B� ��:'�!���0���!�;�!' �0���!��$#''���1��������������������*������� ����1����������������3��?�� �����5���*���������������*������ ����1����� ����Q� ����������������� ���1� �� ���������������������������������� 4�� - ����������������������5�������������������������������������������Q����������-���������������*������ ����1����Q0�

�(��1 8�$09,0$�-�!�����������������*�����1A9��#��&B��������������@�

+−=+=

9G*

9GC0�

�� �����α� ���1� �� ���������������3���)�*������C�D�G���*���,�E�&0� �� ����Q�� ����������� �� �����������?���� ��������������*��������α�����I�3������������A#��9��&B0�

�������)������A1���B�E��A1��QB�E� # 0�

1&�

V�19�

Q�

!�

V�

V�

π�

Page 60: Geometria analitica solida

!� ������$����������������������������������������( �*��@�1��������������

���������������������

><

>��<����:#$%����;$ ; :'����;09�-�����������������)�*�����������6����� ����@��B� �������� ������ �����A9��9��&B��� ���������������������A9��&��−9B���=A&��#��,BI�

A#C���,G�D�#*�D�9�E�&B���B� �������� ����� ����7A&��9���9B��!A,��#��9B��� ��������������������CA&��&��$BI�AC���,G�D�,�E�&B����B� �������� ������ �����A9��9���9B��������6������������������!A9���9��#BI� AC���G�D�#*�D�#�E�&B���B� �������� ����� �����A&��9��&B���A#���9��&B����A9��#��#B0� AC�D�G���*���9�E�&B��;0#�-�(��������+�)�*�����������6����� ����@��B� �������� ������ �����A9��#��,B��� �� ���������������������!A&��9���#BI� AG���#*�D�'�E�&B���B� �������� ������ ����7A&��9���9B��� ���������������������A9��&���9B���=A9��#���9BI�

AC�D�*�D�9�E�&B����B� �������� ����� �����A9��#��,B��7A&��9��#B��� ���������������������A&��9���#BI�

A,C���#G���*�D�'�E�&B���B� �������� ����� �����A9��#��,B��7A&��#��9B���!A9���9��#B0� A<C�D�G���,*�D�9�E�&B��;0,�-��� ���������������������)�*����� ��������3���������������*�������� ����������������� �������� ������ �����A9��9��&B��� ���������������������A9���9��#B0� AC�E�9�D����G�E�9������*�E�#�B��;0'�-��� ��������������5����� �����������������������*�������� �����������6����������@��B� �������� ����� �����A9��#���9B���7A&��9��'BI� AC�E�9�D����G�E�#�D����*�E��9���$�B���B� �������� ������� ��������������������C���9�E�#G�D�,�E�9���*I���AC�E�9�D�#���G�E�#�D����*�E��9���#�B����B� �������� ������� ������������+�����*I� AC�E�9��G�E�#��*�E��9�D��B���B� �������� ������� ������������ ��������������CG���G*I� AC�E�9��G�E�#�D����*�E��9B��B� �������� ������� ������������ �����C�D�G���9�E�&���#G�D�,�E�&0� AC�E�9��G�E�#��*�E��9�D��B��;0$�-�������������������������� ���������������3���M������3���� �����#C�D�3G���#*�D�,�E�&������C�D�#�G�D�M*�D�9�E�&@��B� ������ ��������I� A3�E�'��M�E��9B���B� ����������3���������������� ���������������������A9��9��9B0� A3�E�&��M�E��,B��;0<�-�(�������������� ���*����� �����-�������������6��������@��B� α@�,C���G�D�*���9�E�&�����@�C�E�9�D�#���G�E��#�D����*�E�#����I� A��������B���B� α@�,C���G�D�*���9�E�&�����@�C�E�9�D����G�E�9�D�,���*�E��9I� A��⊆�αB����B� α@�,C���G�D�*���9�E�&�����@�C�D�#*�E�&��#C���G�D�*�E�&I� A��������B���B� α@�,C���G�D�*���9�E�&�����@�C���9�E�&����G�D�*�E�&0� A ��������B��;0>�-�����������������)�*����������������� �������� ������ ����1A9���9��#B� �� ����������

���������������������

=−+=−

&*#GC#

&*C0� AC���G���*�E�&��C�D�*���,�E�&B�

�;0=�-�������������)�*����������������� ����+���6�����������������������

�@�

=−+=+−

&#*G

&9GC#���������@�

+=−=,*C

9GC0� A'C���G�D�*�E�&���'C���,G���*�E�&B�

�;0:�-��������������������������� ��������� ��������������������������������������*��������� ����@�#C���G�D�*���9�E�&�����C�D�G���*�D�#�E�&0� A��E�A&��,��,BB�

��

Page 61: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� >>�

����������������������� �����������������������

;09&�-�������������)�*��������� �����%�����������6�����6����5�������������� ����@�#C���G���#*���<�E�&�����C���#G���#*�D�,�E�&0� AC�D�G�E�:��,C���,G���'*�E�,B�

;099� -�;���5����� 3�� ��� ������ �� ��� �)�*�����

=−+=+−

&*GC#

&*GC� ��� ��� �����π� ��� �)�*����@����

,C�D�$G���$*�E�9������ ������������� �������������5������� �� ���������������� ����������������6���������π0� A,C�D�$G���$*���9�E�&��3AC���G�D�*B�D�MA#C�D�G���*B�E�&B��

;09#�-�;���5�����3������������@

−=+=+=

�'*

9�,G

9�C

�����@

+=−=9*G

9*C�������� ������������� ��������0�

;09,�-�!������� ���1A9��#��,B��������������6������������������@�

==

&*

&G�����@�

=−=−

&9*

&GC0�

AC�E�9��G�E�#B��;09'�-�!������� ���1�A9��#���#B���������� ������������ ����@�C���#G�D�,*�E�<��������6��������-

����������@�

+==

9*C

*#G0� AC�D�#G�D�*���,�E�&��C���#G�D�,*�D�:�E�&B�

;09$�-���������������������)�*�����

−=+=

#*#G

9*C������� ����1�A#���9��,B@�

�B� ����������������������������� ����1L��������������1���� ���������I� A1LA#��9���9BB�

��B� ����������������)�*����������������� ���1� �� ������������������������������������)�-

*����@�

=+−=+−

&'*#G

&,*,C0� A,C���'G���*���>�E�&����C�D�#G�D�*���,�E�&B�

;09<�-�������������������63��%���@�

=+−=−

&9*C

&G#C�����@�

=−=−−

&*,G#

&9*C�����������������)�-

*����������������� �� �����������������������������������0� AC�D�*���9�E�&��G�E�&B��;09>� -� ������������ ��� �)�*����� ������ ������ �� ������� ��� ��� ����� � ��� �)�*�����������������C�D�,G�D�#*�D�'�E�&���������������+�����C����+�����*0� AC�D�,G�D�#*�D�'�E�&��G�E�&B��

;09=�-�!�����������������*������ ����1A#��,���9B��������������@�

+==

#*G

*#C0� AA ,& BF,B�

;09:�-����������������@�

+==

−=

$�*

�G

<�C

�����@�

=−−=+−+

&:GC#

&>*GC������� ����1A9��&���#B�������������

�+�)�*��������� ����� ���1��� ������������������%����������0� AC���#G�D�*�D�9�E�&B�

;0#&�-����������������@�

=+−=+−

&#*G#

&9GC#������� �����A&��9��9B�������������@�

Page 62: Geometria analitica solida

!� ������$����������������������������������������( �*��@�1��������������

���������������������

>?

-�����)�*����� ��������3������I� AC�E�A����9BF#��G�E����*�E�#��D�#B�

-�����������*������������������� ��������������I� A\�E�A&��9��'B��]�E�A�9F#��&��#B����E�A�9���9��&BB�

-��� ����� ���������������������I�-���������� ���������������� �������� ����I� AC�E�9F#���G�E�9�D����*�E�9�D�#�B�-���� ����� �� ������������������������� �������� ����I� AC�D�#G�D�'*���<�E�&B�-����������*�����������+���6���0� A >> F>B��

;0#9�-��������� ����1A9��#��&B������������������)�*�����

+−=+=

9G*

9GC�����������@�

�B� ����)�*����������������� ���1��� �������������I� AC�E�9�D����G�E�#�D����*�E���B���B� ���������*�����1�����I� A # B����B� ����������������� ����1L��������������1���� ���������0� A1LA,��&��&B��

Page 63: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� >@�

����������������������� �����������������������

�������������

���������������������������?�������;#$6�%�#�:6#$�%����?��������1#����� !#�0#""��:�;#$6�%�#�:6#$�%���

�.��� ��5�����5�����?��+�����6��������� �*�������������5����*������ ����0����� � � 8���<0909�-����� ������������������ �������� ����C�������������������������J�"�

��� ��� ���������������������� ���C�!����(��������� �*���?����������5�����������������������6�������5��������������������� �����-������������������Aα��β��γB�����������������!���������*������55��3N���6������� ����1AC��G��*B�� �����6�������� ��5�����5�����?��� ����������+�)�*����@�

8(��αααα92�)�8-��ββββ92�)�8���γγγγ92�+��2����� ��������������+�)�*������������@�

(2�)�-

2�)��

2��2αααα(��2ββββ-��2γγγγ��)�δδδδ�+�,�

���δ�E�α#�D�β#�D�γ#���#0�(�� 4�)����������3���+�)�*������������ ��5�����5�����?�����)�*���������������6��-������C��G��*�����������*����@�-� ����55����������C#������G#������*#�������6���I�-� ����55����������CG��C*��G*�������6������*����A��?��������������������B0� ���������55��3N��+�)�*����������� ��(2�)�-2�)��2�)��(�)�*-�)�%��)�0�+�,��� ������������ ��5�����5��������������!Aα��β��γB�����αααα�+���I2��ββββ�+��*I2��γγγγ�+��%I2�����66���������-�������2�+�8�I292�)�8*I292�)�8%I292��0��������������≥�&0���(��1 8�<0909�-�.+�)�*������,C#�D�,G#�D�,*#���#C�D�$G���#9�E�&��� ������������ ��5����

�5���������������!A,

9���

<

$��&B�����66����E� >

,<

#$

:

9++ E�

,<

#=90�

.+�)�*������,C#�D�,G#�D�,*#���#C�D�$G�D�#9E�&�������� �������� ����������������)��������

��66����������� >,<

#$

:

9−+ �E�

,<

##,− �3������?��������������0�

�(�������66���?�*��������� ��5�����5������������������������0���(��1 8�<090#�-�C#�D�G#�D�*#�D�#C�D�'G���#*�D�<�E�&��?��+�)�*������������ ��5�����5��������������!�A�9���#��9B�����66���*�������������� ����?�!�������0�

�?���2��������� !#�0#"�;��! �'�!&#!'#��""��:�;#$6�%�#�:6#$�%���

���������� ��5�����5�����Σ�����)�*������C#�D�G#�D�*#���#αC���#βG���#γ*�D�δ�E�&���������� ����1&AC&��G&��*&B�� ��� ��������6��������1&���Σ�?� ��� ����� ���1&� �� ���������������������!1&0�

Page 64: Geometria analitica solida

!� ������<��������( ��5�������������

���������������������

>A

!���� ��������� ���������� ������ ������ !1&� �������� �������� ��� �� ������� ���� �������������1&���!�E�AC&���α��G&���β��*&���γB��)������+�)�*��������� ��������6�����������@�

AC&���αB�AC���C&B�D�AG&���βB�AG���G&B�D�A*&���γB�A*���*&B�E�&0�(��� �����������������������@�

C&C�D�G&G�D�**&���αC���βG���γ*���C #& ���G #

& ���* #& �D�αC&�D�βG&�D�γ*&�E�&�

1��3N� ��� ���� 1&� � �������� ����� � ��5���� �5������ ��� ��� ���������� ��� ������5����

�+�)�*����@��C #& �D�G #

& �D�* #& ���#αC&���#βG&���#γ*&�D�δ�E�&�����@�

�C #& ���G #

& ���* #& �D�αC&�D�βG&�D�γ*&�E�δ���αC&���βG&���γ*&I��+�)�*��������� ��������6��������

4���������������@�C&C�D�G&G�D�*&*���αC���βG���γ*�D�δ���αC&���βG&���γ*&�E�&��������@�

(,(�)�-,-�)��,���αααα8(�)�(,9��ββββ8-�)�-,9��γγγγ8��)��,9�)�δδδδ�+�,0�������5���������������������+�)�*������������ ��5�����5�����������$#& "��0#&"��:0 ;�;��.#!'�� ��?� [��� �����++� C#� ��� C&C�� G#� ��� G&G�� *#� ��� *&*�� #C� ��� C� D� C&�� #G� ��� G� D� G&���������#*����*�D�*&0���(��1 8�<090,�-���������� ��5�����5�����Σ�����)�*������C#�D�G#�D�*#���#C���=*���,�E�&���������� ����1A9��#��&B����������!A9��&��'B�������������Σ���+�)�*��������� ��������6�������Σ����1���� 4��������@�9C�D�#G���9AC�D�9B���&AG�D�#B���'A*�D�&B���,�E�&���?@�G���#*���#�E�&0���?���5�����:%� �0��:�;#$6�%�#�:6#$�%H#��

���������� ��5�����5���3��Σ9���Σ#�����)�*�������� �����������@�Σ9@� � C#�D�G#�D�*#���#α9C���#β9G���#γ9*�D�δ9�E�&�Σ#@� � C#�D�G#�D�*#���#α#C���#β#G���#γ#*�D�δ#�E�&��������������+�)�*����@�λAC#�D�G#�D�*#���#α9C���#β9G���#γ9*�D�δ9B�D�µAC#�D�G#�D�*#���#α#C���#β#G���#γ#*�D�δ#B�E�&���������������%���*��������������������)�*��������Σ9���Σ#������55�������������λ���µ�����������%������0�������)�*�������� 4��������@�

A9B��8λλλλ�)�µµµµ9�8(2�)�-2�)��29��28αααα�λλλλ�)�αααα2µµµµ9(��28ββββ�λλλλ�)�ββββ2µµµµ9-��28γγγγ�λλλλ�)�γγγγ2µµµµ9��)�λλλλδδδδ��)�µµµµδδδδ2�+�,������3����������6����� ����%�����@�-����������� ��5�����5���3��������������3�����?�α9�E�α#���β9�E�β#�����γ9�E�γ#����3�����A9B��� ���������5����������������λ���µ�����λ�D�µ�≠�&������ ��5�����5���������������-������0�

.��A9B��� ��������)��������������������λ���µ�A���λ�D�µ�≠�&B�����������������5������� ��5�-����5���3���������3��������6�:%� �0��:�;#$6�%�#�:6#$�%H#�% !%#!'$�%H#��������)�*��-������ 4��������� �2���� ������������@�

C#�D�G#�D�*#���#α9C���#β9G���#γ9*�D�δ�E�&�����δ�E�Aλδ9�D�µδ#B�F�Aλ�D�µB0�

-����������� ��5�����5���3������������������3�����A9B��� ���������5����������������λ���µ��A���λ�D�µ�≠�&B������ ��5�����5�����3�� ����� ���6������������ �����������Σ9���Σ#�A���)�������������������������� ����������5��������)�*��������Σ9���Σ#���)��������A9BB0�.��A9B��� ��������)��������������������λ���µ�A���λ�D�µ�≠�&B�����������������5������� ��5�-����5���3��������6�:%� �0��:�;#$6�%�#�:6#$�%H#��(���λ�D�µ�E�&�����A9B�?��+�)�*���������� �����@�

28αααα���αααα29(�)�28ββββ���ββββ29-�)�28γγγγ���γγγγ29��−−−−�δδδδ��)�δδδδ2�+�,�

Page 65: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� >B�

����������������������� �����������������������

������;��! �$�0�%�"#�3�� ����� ���6������������ �����������Σ9���Σ#0�1��3N��� �����-���� �� ��� � ��5���� �5���3�� ������� �������������� ����5����*��� )����� ������������%�$% !6#$#!���*�:#�0#"�6�:%� ����)�������������� ��5�����5���3������5����� ������� �������0����������5����*��� ����������� ������������0��+�5���������5�����3����� �������������?� �� �����������������6��6����������������Σ9���Σ#���3���������������������� ��5�����5���3������5������ �����6�������������6��6�����3����������::#�%#!'$�"#�0#"�6�:%� 0�(������ ��5�����5���3��Σ9���Σ#���������6��������� ������������� ����� ������ ����������-6��*�����?� �� �������������+������������@��������)����������� ��������6������������Σ9���Σ#0������6��3����������� ��5�����5���3�����6������������ ��5�����5�����Σ��������� �-���1�� �����6�������5�������������������Σ������� ��������6�������Σ����10��!�������������)���)�� ������������� �*��������� �������������+�������������5�-���*��%��������������� ������������������ ��5�����5���������5�����3�� ����� ����@���-5������� �������3��������������������������5�������A9B�������������+�)�*�������� /�6��������λ���µ���)������������� �����λFµ�3��������������� ��5���������0���(��1 8�<090'� -������������� �+�)�*����������� � ��5���� �5����� �������� ��� �+���6���������6����������� ��5�����5�����Σ�����)�*������C#�D�G#�D�*#���#C���=*���,�E�&��������� ����1A9��#��&B0�.��� ��5�����5���3�����6�������Σ�������� ����1A9��#��&B�� �����6�������5�����������-��������Σ� ������ ����� ���6�������Σ� ���1�A�0����� ���<090,B����3�����)������)�*����@�λAC#�D�G#�D�*#���#C���=*���,B�D�µAG���#*���#B�E�&0� �� �������������� ��5�����5���������5����� �������� ����+���6�����������������6�������λ���µ���������3��A&��&��&B�������5���+�)�*����I���������,λ���#µ�E�&0�(�6�������λ�E�#���µ�E��,��+�)�*������������ ��5�����5�����������������@��C#�D�G#�D�*#���#C���,GF#���$*�E�&0���?���<���� '#!���0���!�;�!' �$�:;#'' ��0��!��:�;#$6�%�#�:6#$�%���

���� � � 8���<090#�-������������������������������#�$����������%�������������������������

��������ΣΣΣΣ����� �����@��C#�D�G#�D�*#���#αC���#βG���#γ*�D�δ�E�&������ ���

( 2, �)�-

2, �)��

2, ��2αααα(,��2ββββ-,��2γγγγ�,�)�δδδδ�

����������������������������� ������������� �����C"�

�.�� ����*��?@� �������� ��������� ���1&�?��������������� ��5�����5����I�� ����������6����������1&�?��������������� ��5�����5����I�� ���������*���� ���1&�� �������������� ��5�����5����0�!�������������������� ��5�����5���3��Σ9���Σ#�����)�*�������� �����������@�Σ9@��C

#�D�G#�D�*#���#α9C���#β9G���#γ9*�D�δ9�E�&�Σ#@��C#�D�G#�D�*#���#α#C���#β#G���#γ#*�D�δ#�E�&0�

��� ����1A\��]���B�3���6���� ����*����� �������������� ��5�����5���3����@�\#�D�]#�D��#���#α9\���#β9]���#γ9��D�δ9�E�\#�D�]#���#α#\���#β#]���#γ#��D�δ#�

��?���� ��5�����@� #Aα9���α#B\�D�#Aβ9���β#B]���#Aγ9���γ#B���−�δ9�D�δ#�E�&0�3��?��+�)�*��������� ��������������)����@��"�;��! �$�0�%�"#�J��"�"� & �0#��;�!'���=#!'��"��:'#::��; '#!���$�:;#'' ��""#�0�#�:�;#$6�%�#�:6#$�%H#����

Page 66: Geometria analitica solida

!� ������<��������( ��5�������������

���������������������

?,

?���>������%�$% !6#$#!���!#"" �:;��� ��

�������� �*����������������������� �������� ����C���� �������������������������������

��� ��� ���������������π������������ ��C�!�0���������5����*����� 4�)������� ����������������� �*��������������*��������� �����π���������� ��5�����5�����Σ�� �������������� ���)��������������!�����66���0���������5����*���������� �*������� 4���3���� ���������������������*������������- ��5�����5���3��Σ9���Σ#����������������� ���������������?���������5����*��%��������5�������������������Σ9���Σ#I���������������5����*����� 4��� ���������������������-*�����������)���)��������� ��5�����5���3������5�������������������Σ9���Σ#����������� ��5�����5���������5����������� ������������0���(��1 8�<090$�-�.������5����*������ �����π@�C�D�G�E�&�����������������!A9���9��,B�����6-6���9���� 4��� ���������������������*��������� �����π�������� ��5�����5��������������

!�����66���9����3��)������)�*����@�

π=+Σ=−+++−BA���&GC

BA����9,BA*9BAG9BAC ###

��

� ��������������*�����������)���)��� ��5�����5���3������5������������� ���Σ������� ��5�����5�����ΣL�������������+�)�*���������5�����λΣ�D�µπ�E�&���6�������λ�E�µ�E�90

� Σ=+−+−++

Σ=−+++−BLA���&9&*<G,C*GC

BA����9,BA*9BAG9BAC###

###

0�

�������������5����*��?���������� �������*����� ��� ��������� ��5���� �5���3�� Σ� �� ΣL�� ����������� ��� ���������� �����-���?��55������������������ �������������π�����5�������������-��� ���Σ� ��ΣL�� ��� ��� ������ ?� ��� ���� ��� �������*����� !&� ���� ����� �������� ��� �+����� ��-�����������������66����������������� �������� ��� 1���6���� ������

�E� #&

# B!!A� − �����!������

����� ��� ������������ ������ ����66������Σ0���(��1 8�<090<�-�.������5����*������)�*����@

� Σ=−++

Σ=−+−++BLA����&,-#C*GC

BA����&'#GC*GC###

###

� ����������� �������������π@�AC#�D�G#�D�*#���C�D�#G���'B���AC#�D�G#�D�*#���#C���,B�E�&���?@�C�D�#G���9�E�&0� �����������!&�?��+�������*��������� �����π�����+������������0�.+�������������?����������

������������!

− &��9��#

9������� �� ��������������3��)������)�*�����

=

+=&*

#GC#0�

V� V�

V�

π�

!�

!&�

��

��

Σ�

ΣL�

Page 67: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� ?��

����������������������� �����������������������

���������������������@

=−−==−+

&#GC#

&*

&9G#C

� �����������!&A9��&��&B0�

��������A!!&B#�E�

'

$�����#�E�

'

#9���������E�

'

$

'

#9− �E�#0�

��?�2�����;;$#:#!'��� !#�0��:�;#$6�%�#�#�%�$=#����%%�����������3���� ������������ �*�������� ���������������)�*����������������C�G�*@��C�D�%G�D�*�D���E�&��������%����������������0������ ��5������������"&#*$�%��)�������� 4��� �������������������������������������+�)�*�������6�%�����AC��G��*B�E�&��������AC��G��*B�?��� ������������C��G��*�����55����-����������0� ��6��������� ����������AC��G��*B�3���� ������ ��������%����������&$�0 ���� $0�!#��������� ��5���0�.��� ��5������6�%��3������9/��������3������)�*����������� ���C�D�%G�D�*�D���E�&����������)��������� ����0�.�� � ��5���� ���� #/� ����������6�������������0$�%H#I� ��� ���� ��� ��� � ��5���� �5����� ?����)������ ��3N��������)�*�����?��� �������������������6��������C��G��*��6�6��������*���0������ ��5������� 4���3���� ��������������������)�*����� ��������3�������� �@�

C�E�CA���B� � G�E�GA���B� � *�E�*A���B�3���� ������������������������ �������5�*����������� ���������A���B�3�����������������������6���������#0���%%�����������3�������������� 4��� ���������������������*����������� ������ ������5����� ����������A�0�^�$0#B0������������������ �*������ 4��� �����������������������*������������ ��5����

==

&*BG��AC�

&*BG��AC��

� ���������6���������������� ����1�E�1A�B���������������������������� ������������ ��������������?�����������)�*����� ��������3�������� �@�

C�E�CA�B� � G�E�GA�B� � *�E�*A�B0�

�������������� ������������������������������?�����������������������6���������� ���0����� � � 8���<0#09�-��������������������������� ��������C"�!�C&�"(����������������������

�����������������C"���� ��� ����C&�(����������������"�������������������?� �����������������6�������������)���)�� ����� ����������� ��������������I�������� ���������6��������������5����*�����������+�������*������������5����(������ �����π����������������π0���(��1 8�<0#09�-�������������5����*��_��������*������������ ��5�����5�����`�����)�*�����C#�D�G#�D�*#���#C���#G�D�9�E�&�������� ������a��C���*�E�&��������������6�������_�������� ����1A9��9��9B�?�����������������*��������� �����a������� �����aL����6�������`����10�aL�3���)�*�����*���9�E�&����������������6�����3���)�*������C���*�E�&��*���9�E�&0�

Page 68: Geometria analitica solida

!� ������<��������( ��5�������������

���������������������

?2

?�5���� !����?�5������ !��#�6�!�� !�� . &#!##��

���� � � 8���<0,09�-����������������� �������������������������������������������

������������������������ ���� ��������������������������������� ��� �������������������

���������������(��1 8�<0,09�-�.��� ��5����������)�*�����C*���G#�E�&�?������������������+���6���0�1�����������������������3�����1&AC&��G&��*&B�?��� �������������������81&�?�������������@���?����6������� ����1A�B�������������81&�A3��3������������AC&���G&���*&�BB�� �������������� ��5�����0� �5��������������������������������� ��������+�)�*��������������������@��#C&*&���A�G&B

#�E�&����������#bC&*&���AG&B

#c�E�&�3��?��+��������� ���)���)�����������������)�����������@�C&*&���AG&B

#�E�&���������1&��� ��������0����� � � 8���<0,0#�-�4���� �������&G��H���(��������������������������!��������������G��H��

���� �����&����������(�"��!��&�������(��

��(��1 8�<0,0#�-�5AC��G��*B�E�#C#���'C*�D�G#�?����5�*��������6������6AC��G��*B�E�C,���G*��������?0��!����������������������������+���� ���<0,09����� �������@��1�81� ��O�<0,09�-������� ���� ���������������������8����G�@����H�@�8����@������� ��

�����

� �&G�@����H�@�8����@��(�!�"�

�������� �������������������+&���8���(0���(��1 8�<0,0,�-�AC���9B#���AC���9BAG���#B�D�A*���9B#�E�&��?�����������������;A9��#��9B0���?�5�2�����;;$#:#!'��� !#�0���!�% ! ��

��������������������� ���������0��B� (�����������������?�������������� �����ACAB��GAB��*ABB�������������?�;A���%��B�����6�-������ ����1���������?��� ����������������;��)����@�

1���;�E��A����;B��������������6��������)�*����� ��������3���������@�

−+=−+=−+=

B��A*AB���*

%B��AGAB�%�G�

�B��ACAB���C�

0�

.�������� �!�������������������0�

V�

Page 69: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� ?5�

����������������������� �����������������������

.����������!������������������������������*����������E�&�3�������������������0��1����������+�)�*����������������������������������������������� ��������� ����������� ������������������������������55���������� ����%���0���(��1 8�<0,0'�-�������������)�*����� ��������3��������������������;A9��9��#B�����������-���@�C�E���G�E�9�−−−−�#��*�E�,0�

� ����������5����������������@

−+=−=

−+=

#B�A#*

�9G

9B���A��9��C�

,

#0�

��B� (�� ��� ���� ���������� �� ?� ����� ���� �������*����� ��� ��� � ��5���� �AC�� G�� *B� E� &������AC��G��*B�E�&��� ����1AC��G��*B����������������������;A���%��B��������������� ����������-���������;1&������1&�?��� ����3��������������)��������������5������)�*����@�

========−−−−++++====−−−−++++====−−−−++++====

��,9�/-/�8(

,9�/-/�8(

%9'8�%�

*9'8-*-

�9�'8(����(�

,,,

,,,

,

,

,

0�

1��������� �+�)�*��������������������������������������� ���C&��G&�� *&� 5��� ��� �����������)���)�*����0��������� 4���3�����������5���������*������6������� �����������������������@�������� ��������������6������������5��������������������6����0���(��1 8�<0,0$�-��������������+�)�*���������������������������������;A&��&��,B������6��-���������5�����@�C#�D�G#�D�*#�E�90�(��������������������6������� ���;@�C�E�����G�E�����*�E�,�D����������� ����3���%%�������������*�������������������0�.+�)�*����������������������������?@�A�#�D��#�D��#B��#�D�<���D�=�E�&�3��3��������������-����������:�#�−−−−�=A�#�D��#�D��#B�E�&�������=�#�D�=�#�−−−−��#�E�&�� ������+�)�*�����������������������?��=AC#�D�G#B�−−−−�A*�−−−−�,B#�E�&0�

�?�<�����"�!0$������� � � 8���<0'09�-��������������������� ����������������������������������������

�������������������������� ���� �������������������������������� ���������������0�(���������*�����?�������������������=�E����D��7�D��F�������������������?�������������� �������������������ACAB��GAB��*ABB�������������?��+����������������������� �����������=�3�������-�������0�������������3������)�*����������������1�E���AB�D���=���������AB�∈��0���������

=

V��

��

��

=

V���

Page 70: Geometria analitica solida

!� ������<��������( ��5�������������

���������������������

?<

�(��1 8�<0'09�-��������������+�)�*������������������������������������@�C�E���G�E������*�E�#���6���������� ���������������������=�E���−−−−�,7�D�F0�.�� 6������� ������ �������� ��� �� ���� ����� �� ��������� �� =� 3�� �)�*����� ��������3��

+=−=+=

�*

�,��G

�C

#�� ��������∈�����)�����)��������������)�*����� ��������3�������������0�

� ������������� ��������5������������5����� ��������������������� ���?�5�������������������� ��������0�(���������*�����?������������������=�E����D��7�D��F�������������������?�����������������*������������ ��5����5AC��G��*B�E�6AC��G��*B�E�&��� ����1����������������������������@�

1�E���D��=� � �������������0�.���)�*����� ��������3����������������������6����)������������������)�*����� �����-���3�������������� ����AC&��G&��*&B��� �����������=������ �������3���������������?���������� ��5����3��������������@�

==

+=+=+=

,9�/-/(8&

,9�/-/(86

!'��

.'--

"'((

,,,

,,,

,

,

,

0�

.+�)�*�������������������������������������������������C&��G&��*&������������)���)�*��-��������4�������� ���?� ����%���0���(��1 8�<0'0#�-��������������+�)�*���������������������������������������������������)�*�����C�E�&��C#���CG�D�G#���,*�E�&���6���������� ��������������������=�E���−−−−�7�D�#F0�

=−+−=

+=−=+=

&*,GGCC

&C

�#**

�GG

�CC

&#&&&

#&

&

&

&

&

�������������������C#�D�#CG�D�G#�D�,A#C�−−−−�*B�E�&0�

�!����������������������� ���������������������� �����������������6�����������������0����8�����<0'09�-����&G��H(�!�"�������������� ��������� ���� ��������������G��H����

������� ������5AC��GB�E�&�

�������������������� �����������������������������������������������������0����������������������������.���������5AC��G��*B�E�6AC��G��*B�E�&�����������������������%����A ������� ���*B�5����������)�*����������������A������� ���3AC��GB�E�&B��+�)�*����������-�������3�� ������������������������*���������+���������� ������������������%��������������A���)���������*B��������������������)�*������� ��������������� ����*������������� ��-������������������������%��������������A���)���������C��GB0�(�����������?��������5����*��������������������%�$% "�$#0�

Page 71: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� ?>�

����������������������� �����������������������

?�>�����;#$6�%�#�0��$ '��� !#���?�>������#!#$�"�'D�:�""#�:�;#$6�%�#�0��$ '��� !#��

���� � � 8���<0$09�-������������������������������������� ��������������� ����������

��������������8������ �������������� ����������������������� �������5����� ����

����� ����� ���� �� ������ ����� ����������� ����� ��� ��� �� ������ ����������

���������������������� ��������

��������������������������������������� ������������������ ������� ������������

������������������������������������������(��1 8�<0$09�-����������������� ��5�����������-

*����������������+�����*��������������@�

==

*#G

9C0�

(���1A9��#����B���� ����6�����������0� �� �����π� ���1�����6���������+�����*�3���)�*��-���*�E��0�.������5����*��σ����� �����π�3�� ����� ���1����3�������� ���+�����*�� ��� 4������������� �����-��*��������π��������5��������������+���6��������6-

6���81@�

++=++=

##### �'�9*GC

�*0�

��������������������������+�)�*���������������������� ��5���@�C#�D�G#���'*#�E�9�A� ��%����-�����������������5����B0���(��1 8�<0$0#�-����������������� ��5�����������*������������������@�C�D�#*���$�E�G�−−−−�*�E�&���������������������9@�C�−−−−�*�D�9�E�G�−−−−�#�E�&0� ��)�������������������������������6�������������������������;A9��#��#B��������������0�.+�)�*���������������?�$C#�−−−−�G#�D�$*#�D�9#C*���,'C�D�'G���,#*�D�'$�E�&���(��1 8�<0$0,�-�( ������������������������������������ ��5����(��������*����������3���+����������������+�����*��� �����3����� ������.��������� �����C*�������������� ����������

�������)�*�����

==

&G

&B*�CA50�

��� ����1A\��&���B����.��������� ��� ��3������� �����*�E�������������!A&��&���B�����66���1!�E�\��

==−++

�*

\���BA*G�C ####

�������

==+

�*

\��G�C ###

0�

������������3����� ����1�3����������(�3���������������3��������5�����+�)�*�����5A\���B�E�&��+�)�*��������(�����������������������\�����5������ �����������5A\���B�E�&@�

5A± ## GC + ��*B�E�&�

���������������������5AC��*B�E�&���������5�����*��������������C����± ## GC + 0�

��

σ�

G�

C�

*�

π�

8�

1�

V�

V�1�V� G�

C�

*�

!���

.�

Page 72: Geometria analitica solida

!� ������<��������( ��5�������������

���������������������

??

��������������6������� ������)��������� ��5������������ �������*�������������������������������������������� ��������������� ����������������������������������0���(��1 8�<0$0'�-�!�������� �������������� ����������������������������5����*��3���������������������������3���������������������0������6���������� ��5����������' $ �����5����������������+�����?������������������5����*�0�( �������3�� �+������������*��������� �+�����*���3���+�)�*���������������5����*�����

�����C*����@�

=++−=

9*G#C

&G###98

0�

�.+�)�*��������)�����������������)����@�

A± ## GC + −−−−�#B#�D�*#�E�9�

����������������������������������AC#�D�G#

�D�*#�D�,B#�E�9<AC#�D�G#B0� �������?���)������ ��5������6�%��������'/�������0���

?�>�2����:#.;��0��:�;#$6�%�#�0��$ '��� !#�%H#�: ! ����0$�%H#��

�!����������������������+���� ���<0$0,�����������+�)�*������������ ��5����5��������-����������������+�����*����������������������@�

�����

9B�(�����

==−

&G

&3*C�A3�≠�&B�������������������

�+�����*�����+���6��������� ��5�����������*�����?�����������)�*�����C#�D�G#���3#*#�E�&0��������

��

#B�(�����

==

&G

3C�A3�≠�&B���������� ������������+�����*I�

���� ��5������� ����*����@�C#�D�G#�E�3#�?������������������������66���30������

��

C�

G�

*�

C�

��*�

G�

Page 73: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� ?@�

����������������������� �����������������������

,B�(�����

==+

&C

9%

*

G#

#

#

#

��+������������� ��5�������

����*����� ?� 9%

*

G

C#

#

#

#

#

#=++ � ���� ����������

����+������������� ���������� 9

*

%

G

C#

#

#

#

#

#=++ 0�

(�� �� E� %� E� � �+����������� ?� ��� �5���� ��� �������+���6��������66����0�

'B� (�����

==−

&C

9%

*

G#

#

#

#

� �+� ��%���I� ��� � ��5�-

����������*�����?� 9%

*

G

C#

#

#

#

#

#=−+ �� ��%�������

�������� ��� ��� 5������ ���� ���������� ���-

�+� ��%�������������5����� 09

*

%

G

C#

#

#

#

#

#=−+ �

����

$B�(�����

==−

&C

9%

G

*#

#

#

#

� �+� ��%����3��3���-

�������������������+�����*I����� ��5�����������-

*�����?� 9%

GC

*#

##

#

#=

+− ������ �������������-

�+� ��%������������5����� 09

*

%

G

C#

#

#

#

#

#

=+−− �

<B� (�����

==

&C

*#G#

� ��� ���%���� ���� �����

G*I����� ��5�����������*�����?�C#�D�G#�E�# *������ ���������� ���� ���%������� ���������

0&*#%

G

C#

#

#

#=−+ �

���

��

C�

G�

*�

��

*�

G�

C�

��

*�

G�

C�

��*�

G�

C�

Page 74: Geometria analitica solida

!� ������<��������( ��5�������������

���������������������

?A

8((��;�� 8���-�.���)�*����� ���������������������6������� ���������� ��������� ��-����������������63��6��������@�

&B� ��� ����I�9B� ���I�#B� �������I�,B� ����������I�'B� � ��%�������������5����I�$B� � ��%������������5����I�<B� ���%���������������I�>B� ���%�������� ��%����0�

���

(������� ���%�������� ��%����� &*#%

G

C#

#

#

#=−− �

����?��������� ��5�����������*����0�1��������� ����������5�������������3�������� ���%��������������0����

�?�?����:#$%����;$ ; :'����

; 09�-��������������+�)�*������������ ��5�����5��������������!A9���#���#B������6�������� �����C���*�D�9�E�&0� AC#�D�G#�D�*#���#C�D�'G�D�'*�D9�E�&B��; 0#�-��������������+�)�*������������ ��5�����5��������������!A9���#���#B������6�������-���������C�E�G�E�*0� AC#�D�G#�D�*#���#C�D�'G�D�'*�D,�E�&B��; 0,�-���������� ��5�����5���������)�*�����C#�D�G#�D�*�#���#C�D�'G�D�,�E�&���������������+�)�*��������� ��������6������������ ����1A#���9��&B0��; 0'�-�!��������������� ��5�����5���������)�*�����C#�D�G#�D�*#���#*���,�E�&����������������)�*����@�C���9�E�G���#�E�&@��B� ����5�����3�����������?��������������� ��5�����5����I���B� ���������+�)�*��������� ����� �������� �����������������6����������� ��5�����5����0�

AG�E�#��'C�D�,G���9&�E�&B��; 0$� -������������� �+�)�*����� ������ � ��5���� �5����� �������� ��� �� �����A'�� #�� ,B� ���7A�9���#��#B����������������������������C�E�G�E�*0� AC#�D�G#�D�*#���#C���#G���#*���99�E�&B��; 0<�-���������� ��5�����5�����`�����)�*�����C#�D�G#�D�*#�D�C���#G���*���>�E�&����������-����+�)�*��������������������6�������`�������� ����1A9���9��#B��� �� ����������������������C���*�E�#G�D�*���,�E�&0� AC�E�9�D����G�E��9��*�E�#����B��; 0>�-��������������+�)�*��������� ����� ������������+�����*�����������������)�*����@�C�D�G�D�*�E�G���*�E�&������6����������� ��5�����5���������)�*�����C#�D�G#�D�*#���#G�E�&0�

AC�D�#G���#�±� $ �E�&B��

*�

G�

C�

Page 75: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� ?B�

����������������������� �����������������������

; 0=�-��������������+�)�*������������ ��5�����5��������6�������� �����C�D�G�D�#*���'�E�&�������� ����1A#��&��9B������������������5�������������������������*����@��B� �������� ������ �����A9��9��&BI� A#C#�D�#G#�D#*#���$C�D�,G�D�#*���#�E�&B���B� ���������������� �����C�D�G�D�*�D9�E�&0�� AC#�D�G#�D*#���#C�D�#G�D�#*���,�E�&B��; 0:�-��������������+�)�*������������ ��5�����5����� �������� ����������5����*�������-��*��������� ����@�#C���G�D�*���#�E�&�������� ��5�����5����@�C#�D�G#�D�*#���#C�D�'G�D�,�E�&��� ����+���6���0� A#C#�D�#G#�D�#*#�D�#C�D�$G�D�,*�E�&B��; 09&�-�����������������������66�������������5����*���������*��������� �����C�G�*D#E&�������� ��5�����5����@�C#�D�G#�D�*#���C�D�*���,�E�&0� A!A�9F#��9��9F#B����E� # F#B��

; 099�-���������� ��5�����5�����`@�C#�D�G#�D�*#���:�E�&���������� ����;A9��# # ��&B���-��������������)�*��������� ����� �� �����������������6��6��������������������� ��5����

�5��������;���3���������3����`�����������5����*�������66�����E�#

90�

AC�D�# # G�±�A, ,$ BF#�E�&B��; 09#�-�������� �����A#��&��&B��7A,��#���9B��!A�#��9��9B��������������)�*���������������5�-���*��������������������6�����7!0� AC#�D�G#�D�*#���'G�D�#*���'�E�&���C�D�G�D�,*���#�E�&B��

; 09,�-��������� �����A,���,��9B�������������@�

=+−=++−

&*#GC

&$*,GC#�������@�

=−−=−+

&#*G,

&9G#C@�

�B� �������������+�)�*��������� ����� � �������� ������� ��������������������I�A#C�D�G�D�*���'�E�&B�

��B� ������������ �+�)�*����� ������ � ��5���� �5����� ���6����� ��� ����� � ����� ��� ���������������� �����CG0� AC#�D�G#�D�*#���#C�D�=G�D�99�E�&B�

�; 09'� -� ������������ ��� �)�*����� ������ ����5����*�� ���� ����� *� D� 9� E� &�� ��� ��������������

�A#��,���9B�����66�����E , I�������������������������)�*������������ ��5�����5���3�� ��-������ ����������5����*�������6����������������C�E�G���,�E�&��; 09$�-���������� ��5�����5���3��`9@�C

#�D�G#�D�*#���9�E�&��`#@�C#�D�G#�D�*#���'C���'G�D�'�E�&�

����������������5������������������ ���������������������������������5����*��%���0�(��������+�)�*���������������������������+���6�����������������������5����*��%��������5����0� A:C#�D�:G#�D�#$*#���,#CG�E�&B�

�; 09<�-��������������+�)�*��������������������������������� ��5�����5���������)�*��-���C#�D�G#�D�*#�E�9��������6���������� ������������������*�����A9���9��&B� AC#�D�G#�D�#*#�D�#CG�E�#B�(����������������*��������������������������� �����C�E�&0� A��������G#F#�D�*#�E�9B�

�; 09>� -� ������������ �+�)�*����� ������ � ��5���� ��� ����*����� 6�������� �������� ��� �����������@�*���9�E�#G���C�E�&���������������������@�C�E�#���G�E����*�E�&0� AC#�D�'G#�D�$*#���'CG���$�E�&B�

�; 09=�-��������������+�)�*������������ ��5�����5�����`����6��������� ����1A�9��&��&B���� �����#C�D�G���#*�D�#�E�&����������������������� �����G�D�*�D�9�E�&0�

AC#�D�G#�D�*#���#C���#G�D�'*���,�E�&B�

Page 76: Geometria analitica solida

!� ������<��������( ��5�������������

���������������������

@,

; 09:�-��������������+�)�*���������������������������������������������5����*����*��-���������� ��5�����5�����(�����)�*�����C#�D�G#�D�*#���#C���#G�D�'*���,�E�&������� ��������G�E�9�����������6���������� ������������+�����G0� AC#�D�*#���#C�D�'*���'�E�&B�

�; 0#&�-�!������������������5����*��!�����)�*�����C#�D�G#�D�*#���=C�D�9$�E�&��*�E�&���-���������� �+�)�*����� ������ � ��5���� �������� ������ ����*����� �� ����� ���!� �������� ��-�+�����G0� AAC#�D�G#�D�*#�D�9$B#�E�<'AC#�D�*#BB��; 0#9�-��������������+�)�*������������ ��5������6������������������;A&��&��&B���������-���������������!�����)�*�����C#�D�G#�D�*#�E�#&��*�E�#0� AC#�D�G#���'*#�E�&B�

!����������������������������������������������;���%����!0� A,#πF,B�

�; 0##�-�������� �*�����5����������������������������������������������������?���������

������������)�*�����

=+−=−

&,*C,

&GC#0�(��������+�)�*�������������6������������������*�����

����������������+�����*0� A:C#�D�:G#���$A*���,B#�E�&B�

�; 0#,� -������������� �+�)�*������������������������������������������������ �������-5����*������)�*����@�C�E�&��C#�D�G#�D�*#�E�9<���6���������� ��������������������C���G�D�9�E�&��*�E�#0� AA��C�D�GB#�D�*#�E�9<B��; 0#'�-�������� �*�����5����������������������������������������������������?�������������������)�*������C�E��#���G�E�#�������*�E�9�D�#�0�(��������+�)�*�����������������������;�A&��&��#B��������������0� A,CA#G�D�*���#B�E�AG�D�#*���'B#B��; 0#$�-�������� �*�����5�������������������������������������������������������������-��� ��� �)�*����� ���� ����Σ� ��� ������� ;A9�� #�� #B� �� ���������� ��� ���%���� γ� ��� �)�*�����

==

C'G

9*# 0� AA#*���G���#B#�E�'A*���#BA*���C���9BB�

�; 0#<�-�������� �*�����5����������������������������������������������������������������� � ��5���� �5���3�� ��� �)�*����� ��� ������������ `9@� C

#� D� G#� D� *#� �� =C� �� #*� �� =� E� &���������`#@�C

#�D�G#�D�*#���>C���#G���$�E�&0������������@��B� �+��)�*��������� �����������������5������������������������������5�����3������� ��-

���?��������������� ��5�����5���3�I� AC���#G�D�#*�D�,�E�&B���B� ����������66�������������5����*���������*����I� A!A,��#���9B����E�'B����B� �+�)�*��������������������������������� ��5�����5�����`9�����������6���������� �-

�������������������F0� AC#�D�G#���=C���:�E�&B���

Page 77: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� @��

����������������������� �����������������������

��������������

���������@������ $0�!�'#� . &#!##�!#"�;��! �;$ �#''�= ���1�����������������3������������6�%��3��������������������A�0���5���*�����'090#B�?�� �������� ��������� ������������������������������+��5���������5���������� ����� �������-��0�����+�������� �E��,���{A&��&��&B}������������������������������������������������������-6���������*���������)������*�@�

8(�/�(2/�(59�σσσσ�8-�/�-2/�-59�⇔⇔⇔⇔�∃∃∃∃λλλλ�≠≠≠≠�,��'�"#�%H#��-��+�λλλλ(��A��E�9��#��,B0�

������� ������������A9��#���9B�?��������*�����������������A�,����<��,B����������������������A�,��<��9B0�!��������� ����+��������)�*������ Fσ��������3��������6�����������������)������*����� Fσ����{AC9��C#��C,B}0�8����������3����� ��������������AC9��C#��C,B�����������������)������*�����3��C,�E�&�� ����6�����������������������������������*���� �������?�*����� ��3N�G,�E�λC,0�!������������ ������������������� d������������ Fσ�5�����������������������)������*�������C,�≠�&������%��������������� �����*��5��� d�����#�������6���������@�

φ@� d�→��#�

{AC9��C#��C,B}a

,

#

,

9

C

C�

C

C0�

;��6������� �� �����@�-�φ�?�%�����5�����@���5��������AG9��G#��G,B�σ�AC9��C#��C,B����3��G9�E�λC9��G#�E�λC#��G,�E�λC,���)��

φ�A{AG9��G#��G,B}B�E�

,

#

,

9

G

G�

G

G�E�

λλ

λλ

,

#

,

9

C

C�

C

C�E�

,

#

,

9

C

C�

C

C�E�φA{AC9��C#��C,B}B0�

-�φ�?����������@���5����������������AC��GB�∈��#����3��φA{AC��G��9B}B�E�AC��GB0�-�φ�?����������@�

���φA{AC9��C#��C,B}B�E�φA{AG9��G#��G,B}B��������,

9

C

C�E�

,

9

G

G���

,

#

C

C�E�

,

#

G

G�

)�����C,�E�MG,��C9�E�MG9��C#�E�MG#�A���M�≠�&B�������{AC9��C#��C,B}�E�{AG9��G#��G,B}0�.������� �����*��φ�?�)�����%���������6��� ����AC��GB�����2

� 4���������� �������������������������������AC9��C#��C,B������3�@�

,

9

C

C�E�C� �

,

#

C

C�E�G� � ����C,�≠�&0�

(����� ����1AC��GB�� ���������������������@��C�D�%G�D��E�&�

��������������AC9��C#��C,B������3��,

9

C

C�E�C���

,

#

C

C�E�G���AC,�≠�&B�����5������+�)�*�����

A9B� �C9�D�%C#�D�C,�E�&0�

Page 78: Geometria analitica solida

!� ������>���!���3��

���������������������

@2

��� � � 8���>0909�-���������� ��������K����������������������������������������)�

���������������������������������������������� ��������������������K���������

�������������������������������Kσ�������������������&)(0��������� ���A#���,��#B�?��� ����������������C9�D�#C#�D�#C,�E�&� ��3N������������#λ����C9���,λ����C#���#λ����C,�������������+��������0�;�����������3����������������������� Fσ�3���������������� d���3��������5�������A9B�������������������6����������;�!'���.;$ ;$����;�!'���""1�!6�!�' 0�8����������3�@�-�������������Aα��β��&B�������5�����A9B�����3�����������Aλα��λβ��&B����������5�I�-������3������%����������������%���������������������������C,�E�&�3��������5�����A9B@�?���� ����A%�������&BI�

-������ ����?���������������������� ���������������������I�-�?��+���� ������ �� ��������0�

�5��������3�@��

==++

&C

&C%C�C

,

,#9 � � � �

==+

&C

&%C�C

,

#9 � �� �������≠�&����������

=−=&C

%

C

C

,

#

9

����������������*���������������������������� ��λ

− &��9���

%�������λA%�������&B�?��+����

������ �� ��������0�������������������������������� �� ������ �������������������� ����� ������ �

������0���(��1 8�>0909�-�.���������@�C���#G�D�#�E�&�����L@�C���#G�D�>�E�&�3���������������� �������+��5������1∞ E�A#��9��&B0�

�5����� �����������������������6�������� �����������������������?����*�����������-

������@�

=+−=+−

&C>C#C

&C#C#C

,#9

,#9 �

==+−

&C$

&C#C#C

,

,#9 �

==

&C

C#C

,

#9 0�

;���������������� ������������������@�C9�E�&��?�������5��������������� ���������� ��A&��λ��µBI������� ������ �� ����?�A&��9��&BI�C#�E�&��?�������5��������������� ���������� ��Aλ��&��µBI������� ������ �� ����?�A9��&��&BI�C,�E�&��?�������5��������������� ���������� ��Aλ��µ��&BI������������ ����������� �� ��0��8����������3���6��� ���� �� �� ������������� ������ �� ����� �������� ������������������������ �� ���0���(��1 8� >090#� -� Aα��β�� &B� � �������� ����� ������ �� ����βC9� ��αC#� E� &�� ����� ��� �������������βC9���αC#�D�C,�E�&����������������� �� ����C,�E�&0��;��������������������� ����� ������ �� ��0�

�(��1 8�>090,� -�.�� �������

CC &− �E��

GG &− � ����������������6��������������

CCC ,&9 − �E����

E��

CGC ,&# − �)��������������� ������ �� ����?�A������&B������5����������������5��0�

�(��1 8�>090'�-�1����������������� ���� �� �� �������������5����*��C#�D�G#�E�9������� �����������������������6����@�

Page 79: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� @5�

����������������������� �����������������������

==+

&C

CCC

,

#,

##

#9 ��

==+

&C

&CC

,

##

#9 � �

=±=&C

�CC

,

#9 0�

(�������6������� ������ �� �������6������A9��±����&B�������;�!'��%�%"�%�0������ ����������� ������ �� ����������������������6�������������$#''#��: '$ ;#��������������)����?� �� ���������������������������)�*����@��C�D��G�E�&�����C����G�E�&0�.���������������� ���������������5�����+�)�*��������)���)������5����*���)������6�������5����*������ ����� ����� ����� ��������0�

�(��1 8�>090$�-�1����������������� ������ �� �������+� ��%���� 9%

G

C#

#

#

#

=− ������� �������

����������������6����0� �

==−

&C

C%

C

C

,

#,#

##

#

#9

� �

=±=&C

C%

�C

,

#9 0�

(�������6������� �������������������A���%��&B��A�����%��&B��)���������������� �� ����?���������+� ��%���0� � ������ �� �������+� ��%�������6����������0�$#�� !���:�!' '�%H#0��1����������������������6����������3��������������+��5������3��������������+����������� ��������6������������?������������+�������0�� ����������� ��� ������ ���+��5������ ��� ��� ���%���� G#� E� # C�� A3�� 3�� �)�*����� ���6�����

,9## C C#C = B���������6������� ��������������������A9��&��&B�������������������+��5������?�

���6���������� ���%���0���@�2����"�::�6�%��� !#�0#""#�% !�%H#�������������3���������% !�%���+�������������� �������� �����AC��GB�������5�������������)�*�������6�%������� /�6��������C��G@�

A#B� 68(/�-9�+����(2�)�2��2(-�)��22-

2�)�2��5(�)�2�25-�)��55�+�,0�

(����������������� ����� ����������� �+�)�*���������������� ����������������6�������-�����@�

A,B� 68(�/�(2/�(59�+�����(2� )�2��2(�(2�)��22(

22 )�2��5(�(5�)�2�25(2(5�)��55(

2

5 �+�,0�

��� � � 8���>0#09�-���������������������������������� ��� ����C&G)��G/��G0(��������� ��

����������������� ����������������&��� ��� ���������������������������������&0(�

����������������������G)��G/��G0����������� ���� �����������( �

A'B�

=++=++=++

&��C���C���C�

&��C����C���C�

&��C����C���C�

,,,##,99,

,#,###99#

,9,#9#999

0�

1��3N����������5���������3��5AC9�C#�C,B�E�C9A�99C9�D��9#C#�D��9,C,BDC#A�9#C9�D��##C#�D��#,C,BDC,A�9,C,�D��#,C#�D��,,C,BE&��+��������� �������*�����������������?��� ��������������0�� ���������������������55�������������������?@�

Page 80: Geometria analitica solida

!� ������>���!���3��

���������������������

@<

��E�

5525�5

2522�2

�5�2��

���

���

���

��������������0�:%$�.�!�!'#�0#""��% !�%�0������������������������������������3��3�@�

-� �����≠≠≠≠�,�������������3�������������*����������C9�E�C#�E�C,�E�&�3�������� �����������-��� �������� ������� �������)�����������������3�� ������ �����������! !�0#&#!#�$#I�

-� �����+�,������������3�����*�����������������������3����������� ������ ���1&������ �**������ �����������������������������0#&#!#$#0�

���������������@�

-� :#.;"�%#.#!'#�0#&#!#$#����?��� ������������������������������������I�-� 0 ;;��.#!'#�0#&#!#$#����?��� ��������������������������0�

1�������������)�����������������������6��������� �@���(��1 8�>0#09�-�������������@�C#�D�,CG�D�#G#���'C���'G�E�&�����5�����3��?��� ����������������������������������������3��1&�A��'��'B�?� ������ ��0�

1��3N� �� E� &� ��� �,,� E� �'

9� ��� �������� A'B� ��� ���������� ���� ���6����� ��� �����@�

=−−=−+=−+

&G#C#

&#G##FC,

&##FG,C

0� ��������������������������������*�����1&A��'��'B0�

������3����� ���6������� ������ ���1&�

+=+−=��'G

��'C���� �������0�.+�)�*����������������

������������5��������������)�*������������������������������?�A�#�D�,���D�#�#B�#�E�&0�

(���#�D�,���D�#�#�E�&��������

��E��#�� ���

��E��9��+�)�*����������������?��+�����������

����������9���

+=−−=�'G

�#'C������#��

+=−−=�'G

�'C������������������������ �**���������0�

(���#�D�,����D�#��#�≠�&���������#�E�&���������6���������������������9�����#��������������������������1&�����������������������*��������������0���(��1 8�>0#0#�-�������������@�C#�D�#CG�D�G#���#C���#G�D�9�E�&�����5�����3��?��� ��-��������6�����0�

����������A'B���������������������6�������������@�

=+−−=−+=−+

&9GC

&9GC

&9GC

0�

��������������������� ��5���������*����@� ����� �� ���������� ������C�D�G���9�E�&������ ������ ����������������?��� ����������6���������������)�*�������������AC�D�G���9B#�E�&0����� � � 8���>0#0#�-�4������������������ �

����������������������������� ��������������������������������������������������.�

������������������������ �������� ��������������������������������������������������.�

������������������������� �� ������������������������������������������������������������

Page 81: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� @>�

����������������������� �����������������������

1����������������� ��������������*������������������������������ �� �������������������������

�������@��

==

&BC�C�CA5

&C

,#9

, � ���������������

=++=

&C�CC�#C�

&C#####99#

#999

,0�

.+�)�*���������������6�����3��������������������'

∆�E��

#9#����99�##0�

���������@� -�3��������*������������������������ ∆�>�&I�� -�3��������*������������������������ ∆�E�&I�� -�����3�����*��������������� ∆�<�&0�

(����������3��'

∆�E��

#9#����99�##�?��+� �����������������55�+�

22�2

�2��

��

�������+����������,,�

��������������������)����@�

-� "��% !�%��J�0��'�; ��;#$* "�% � ����55�<<<<�,I�-� "��% !�%��J�0��'�; �;�$�* "�% � ����55�+�,I�-� "��% !�%��J�0��'�; �#""�''�% � ����55�>>>>�,0�

���� � � 8���>0#0,�-�4����������������������� ���������������������������������

�����������������������������������8����������8������������������8((��;�� 8��� 9� -� ���������� �+���� ��� >090$� ��� ��5���*����� ���� ����� ?� �������� ��� ����������������3����������������63����� ���0��8((��;�� 8���#�-��%%�����������3����������?������ �� ���%���������,,�E�&0��������-��*����� �� ���� 3�� ��� �� ���������� �������� ��� �������6���������+�)�*����� A,B� ������)������I���� 4�������� ������99�E��#���##�E�%#����9#�E��%�������������� 4���������������5����@�

A�C9�D�%C#B#�D�#�9,C9C,�D�#�#,C#C,�D��,,C

#, �E�&�

������ ������ �� ���������������3������������A��%�����&B0���(��1 8�>0#0,�-������������������ ������������@�#C#�D�G#���,C�D�G���$�E�&0�

!�����������E�

$#F9#F,

#F99&

#F,&#

−−

�E��9&���'

:���

#

9�E��

'

$9�≠�&�)�������������?�����

��6�����0�1��������������������� ������������,,�E�9&

&#�E�#�>�&0�

.�������?������ ������������)�����?��+�������0���(��1 8�>0#0'�-������������������ ������������@�#C#�D�CG���G#�D�C�D�G���,�E�&0�

!�����������E�

,#F9#F9

#F99#F9

#F9#F9#

− �E�<�D�=

9�D�

=

9�D�

'

9���

#

9�D�

'

,�E�

'

#>�≠�&�)�������������?�

������6�����0�1��������������������� ������������,,�E�9#F9

#F9#

�E��#���9F'�E��:F'�<�&0�

.�������?������ ��� ��%������)�����?��+� ��%���0��

Page 82: Geometria analitica solida

!� ������>���!���3��

���������������������

@?

�(��1 8�>0#0$�-������������������ ������������@�C#���#CG�D�G#�D�#C�D�#G�E�&0�

!�����������E�

&99

999

999

�E���9��9��9��9�E���'�≠�&��)�������������?�������6�����0�

1��������������������� ������������,,�E�99

99

�E�9���9�E�&0�

.�������?������ �� ���%������)�����?���� ���%���0���������3����������������� ����������� ����������������������������6�����?���)�-������AC���GB#0���(��1 8�>0#0<�-�;���5�����3�������6���������@�C#�D�CG���#G#�D�C�D�#G�E�&�?���6������������ �**�������������0�1��3?���E�&�����,,�R�&������������������������6����������� ��� ��%����0�1����������������� �������������������+�)�*�����������5����@�C#�D�CAG�D�9B���#G#�D�#G�E�&0�������)�*���������������6��������C�3���������������AG�D�9B#�D�=G#���=G�E�:G#���<G�D�9�E�

E�A,G���9B#�� ��������������C����������G����3�@�#

B9G,AB9GAC

−±+−= ���)����������������

3�������������� �**�������������@�C���G�D�9�E�&�����C�D�#G�E�&0���(��1 8�>0#0>�-�;���5�����3���������@�#C#�D�#CG�D�$G#�E�&�?���6����������� ����������0� �5��������3����E�&����,,�S�&0� ��)����������������������������������������0���@�5����!'#$:#�� !#�0���!��$#''��$�#�0���!��% !�%��*)����������������������)�*����� ��������3��C�E�C&�D�����G�E�G&�D��������������������)�*�����A#B�������� ��������������������*����������������@�

=++++++=+=

&����G�#��C�#���G��CG�#���C�

��GG

��CC

,,#,9,#

##9##

99

&

&

0�

.+�)�*���������������������?�����������6����@�αααα'2�)�2ββββ'�)�γγγγ�+�,�� ����@�� α�E��99�

#�D�#�9#���D��##�#I�

� β�E�A�99C&�D��9#G&�D��9,B���D�A�9#C&�D��##G&�D��#,B��I�

� γ�E�5AC&��G&B�E��99C#& �D�#�9#C&G&�D��##G

#& �D�#�9,C&�D�#�#,G&�D��,,0�

1������� �������������������0�

9B�.+#����� !#�$�: "=#!'#�J��!1�0#!'�'D@�)��������������5���������*����������������?���-�����������������A3��?�)�������6�����B0�

�(��1 8�>0,09�-�

==+

&G

&GCG#� � .�������#CG�D�G�E�&������������������G�E�&I���5��������

����)�*�������� 4��������@�GA#C�D�9B�E�&0��#B�.+#����� !#�$�: "=#!'#�H��&$�0 ��#$ /�.��! !�J��!1�0#!'�'D@��������������*��������-�������������+��5�����I�������� �����?��+� ��%���������?�������������������?��� ������������ ������������+��5�����0��

Page 83: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� @@�

����������������������� �����������������������

�(��1 8�>0,0#�-�

=+=−

&G,C#

9G:C' ##

��

=+=

&G,C#

9&� � ��������������*��������5�����0�

1�����������������������6��������������������������@�

=+=−

&C,C#

CC:C'

#9

#,

##

#9 ��

−==

#9

#,

C#

,C

C&�

��������*�����?���� ����A�,��#��&B����������������0��,B�.+#����� !#�$�: "=#!'#�H��&$�0 ��! @����?����������������*��������5�������������� �����?� ��� ���%���� ��� �� ?� ��������� ���+����������� ���%���I� ��� ���*����� ?� ��� 5������ �� �+���������+��5�����0�

�(��1 8�>0,0,�-�

==

#G

C#G#

==

#G

C#'�� �����������*��������5������1A#��#B0�

1�����������������������6��������������������������@�

==

,#

,9##

C#C

CC#C�

==−

,#

,9#,

C#C

&CC#C'��

==−

,#

9,,

C#C

&BCC#AC��������

==

&C

&C

#

, �������

==

,#

9,

C#C

CC#�

����������6������ ���@��A9��&��&B����+��5��������1A#��#��9B�A���*��������5����������������3�� ����B0��'B��+#����� !#�$�: "=#!'#�H��&$�0 �0�#��������������������*����@��������������������������-���������� ���������6��������������� �����*���������������������� ������������:#%�!'#/�'�!&#!'#/�#:'#$!�����(��1 8�>0,0'�-�!�����������������������)�*����@�,C#���'CG�D�=C�D�$�E�&@�

-�����5�����3������?���6�����0�(��3�����E�

$&'

&&#

'#,

�E��#&�≠�&0�

-������������������� �0���,,�E�&#

#,

�E���'�<�&0�.�������?��+� ��%���0�

-��������������������*��������������������+��5�����@�

==−

&C

&CC'C,

,

#9#9 �

==−

&C

&CBC'C,A

,

9#9 � � �����

==

&C

&C

,

9 ���?�A&��9��&B� � �� �

==

&C

C,

'C

,

#9 �� � ��?� �

&��9��

,

'0�

-��������������������*������������������C�D�#G�D�9�E�&@�

=++−−−

+−=

&$C=#

9CC'C,

#

9CG

#

=++++

+−=&$C=C#C#C,

#

9CG

##

��

=++

+−=&$C9&C$

#

9CG

#

=++−=

&B9CA#

9CG

#�

=−=&G

9C� ���������������0�

Page 84: Geometria analitica solida

!� ������>���!���3��

���������������������

@A

���� ��������������*������������������������?����6������������������� �����A�9��&B0�

-��������������������*������������������G�E��#

9C�D�#@�

=+++−−

&$C=B#C#

9AC'C,

#�D�C�#

9�EG�

#

� �

=++−+−

&$C=C=C#C,

#�D�C�#

9�EG�

##

�� �

=+−

&$C$

#�D�C�#

9�EG�

#

=±=

#F�#G

�C

m�� ��3N������ �������������6���������������?������������+� ��%���0�

��@�<����#''��'�!&#!'#��0��!��% !�%������ ����������+�)�*����������������������������5������������������������������������� �-��6��5�� ��������@�

α�#�D�#β��D�γ�E�&0�1������ ������� ���������������������6����������������*�� ������ �0�(���1&��� �-�����������?�γ�E�&�������������������������6������������1&����β�E�&0����������*����� ��������������������� ����������������������������6��������1&@�

��E��

9,&9#&99

#,&##&9#

�G�C�

�G�C�

++

++0�

��������������������������AC���C&B����AG���G&B�E�&��������+�)�*��������������6����@�A�99C&�D��9#G&�D��9,BAC���C&B�D�A�9#C&�D��##G&�D��#,BAG���G&B�E�&0�

���1&�∈����)����������������3��

�9,C&�D��#,G&�D��,,�E���A�99C#& �D�#�9#C&G&�D��##G

#& �D��9,C&�D��#,G&B�

��������� ��������������������3�@�

A$B� ���(,(�)���28-,(�)�(,-9�)��22-,-�)���58(�)�(,9�)��258-�)�-,9�)��55�+�,�

3���������������������+�)�*����������������������$#& "��0#&"��:0 ;;��.#!'����?�������������*����@�

C#�→�C&C�������G#�→�G&G�������CG�→�#

CGGC && + �������C�→�#

CC &+ �������G�→�#

GG &+ 0�

.+�)�*�����A$B���� 4���3���������@�CA�99C&�D��9#G&�D��9,B�D�GA�9#C&�D��##G&�D��#,B�D�A�9,C&�D��#,G&�D��,,B�E�&0�

(���������������+�)�*�����A,B����������������������������6������������6�������������-��������� ����1&�����������������6�����AC&��G&��*&B��������@�

A$LB� (�8���(,�)���2-,�)���5�,9�)�(28��2(,�)��22-,�)��25�,9�)�(58��5(,�)��25-,�)��55�,9�+�,�

3���������������3����������@�

A$LLB�,�

�(

6

∂∂∂∂∂∂∂∂

(��)�

,�2(

6

∂∂∂∂∂∂∂∂

(2�)�,�

5(

6

∂∂∂∂∂∂∂∂

(5�+�,0�

(��������A$LB���������������������������*������������������1&�����������@�C&A�99C9�D��9#C#�D��9,C,B�D�G&A�9#C9�D��##C#�D��#,C,B�D�*&A�9,C9�D��#,C#�D��,,C,B�E�&�

3���5������������������������ ��*��������� 4���3���������@�

A$LLLB�

∂∂∂∂∂∂∂∂

�(

6(,�)�

∂∂∂∂∂∂∂∂

2(

6-,�)�

∂∂∂∂∂∂∂∂

5(

6�,�+�,0�

Page 85: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� @B�

����������������������� �����������������������

�(��1 8�>0'09�-�������������������6���������������C#���#CG�D�G#���#C�E�&�������� ����

1A#��&B0�.�����6�����3���)�*����@� #C���##

G#���#

#

#C +�E�&��������C���#G���#�E�&0�

��@�>����#!!��:�""��; "�$�'D�$�:;#'' ��0��!��% !�%����(�������������������6����������)�*�����������������������������������6����@�

�99C#�D�#�9#CG�D��##G

#�D�#�9,C�D�#�#,G�D��,,�E�&0�����^�>0'��%%�����������3���+�)�*��������������������6������������� ����1&AC&��G&B��������������������������6������6������ �������@�

A$B� �99C&C�D��9#AG&C�D�C&GB�D��##G&G�D��9,AC�D�C&B�D��#,AG�D�G&B�D��,,�E�&0�

.+�� ��������� A$B������ ����)��������1&AC&��G&B����� ��������3������� ���������������������5������� ���������������� &�3���������; "�$#�0���,�$�:;#'' ��""��% !�%����1&��������; " �0#""��$#''��;,0�.�� ���������1&AC&��G&B�3��)������)�*����@�

A<B� ���(,(�)���28-,(�)�(,-9�)��22-,-�)���58(�)�(,9�)��258-�)�-,9�)��55�+�,0�

8��������������������� ��� �������������������������������������������� �����

��(��1 8�>0$09�-������������������)�*�����,C#���'CG�D�=C�D�$�E�&������������� ���������� ����7A9��#B0�

(��3�@�,C���'#

C#G +�D�=

#

9C +�D�$�E�&��������,C���#G���'C�D�'C�D�'�D�$�E�&��

��?@�,C���#G�D�:�E�&0�� ���������������������6����)���������������^�>0'���� ���������� ����1&AC&��G&B���� 4���-3���������@�

(8���(,�)���2-,�)���59�)�-8��2(,�)��22-,�)��259�)�8��5(,�)��25-,�)��559�+�,�

�������������������+�)�*�����A,B����������������������������6��������� ���������� ����1&�����������������6�����AC&��G&��*&B��������@�

A<LB� (�8���(,�)���2-,�)���5�,9�)�(28��2(,�)��22-,�)��25�,9�)�(58��5(,�)��25-,�)��55�,9�+�,�

3���������������3����������@�

A<LLB�,�

�(

6

∂∂∂∂∂∂∂∂

(��)�

,�2(

6

∂∂∂∂∂∂∂∂

(2�)�,�

5(

6

∂∂∂∂∂∂∂∂

(5�+�,�

� ��@�

A<LLLB�

∂∂∂∂∂∂∂∂

�(

6(,�)�

∂∂∂∂∂∂∂∂

2(

6-,�)�

∂∂∂∂∂∂∂∂

5(

6�,�+�,0�

��(��1 8�>0$0#�-�.������� ���������� �����������������������6������3���)�*����@�

,C #9 ��'C9C#�D�=C9C,�D�$C #

, �E�&0�1�������������� ���������7A9��#��9B���� 4���������A<LLB@�

79C

5

∂∂

E�A<C9���'C#�D�=C,B7�E�<I���7#C

5

∂∂

E�A��'C9B7�E���'I���7,C

5

∂∂

E�A=C9�D�9&C,B7�E�9=�

�������������<C9���'C#�D�9=C,�E�&�� ��?� � ,C9���#C#�D�:C,�E�&0��1�����������6��5����������� ��������������������������� �����������������������@��

Page 86: Geometria analitica solida

!� ������>���!���3��

���������������������

A,

��8������ ���! 1�8! �O�>0$09�-���C)&G)��H)(����������������������C"&G"��H"(����������

����C)&G)��H)(���������C"&G"��H"(����������*����0�(��19AC9��G9B�� ������������� ���������1&� ��� ����������������������5�����+�)�*�������?@�

�99C&C9�D��9#AG&C9�D�C&G9B�D��##G&G9�D��9,AC9�D�C&B�D��#AG9�D�G&B�D��,,�E�&��� ������� ���������������3��3�� ������������AC&��G&B����1&�������5�����+�)�*����������� ���������190��� ������������������������ ���������������� ������������������ �������������6��-������������ ��� ������ ��� �� ���� ����� ������ �������� ��� �������� ��� ������ �� ������������������������� �������������������6������������������������������0����������������������� ����1&@� � �������������������� ������ &@��(��1&�� ��������������������� ������?�������6����0� (�����������?�������6������������������� ����?�

��� ����������6��*�0�������(��1&�?���������������������������������1&������� (�� &� ���������������������� ����������������6��������I���� ������ &����1&�?���������������6��-� �������� ��� ��� ���� ?� ��� ���� ����������6���������� ��������������0� ���6������������������0����������(��1&�?������������������������������������������ (�� &��������������������������������������������������� ���1&������������������ ���������(�A�0�� ��B����� ���������(��������������������� ������������� ���������1&�?�����������(0� A�0��� ��B0�.+�������*���������������?���� ����1&������0�������������@�?������.#'$������� � � 8���>0<09�-������������������������������������������������

��

(�

��

��

1&� &�

��

1&�

����

1&�

&�

�� ��

��

Page 87: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� A��

����������������������� �����������������������

����������������������� �����∞ A������&B��������0��.#'$ �% !��&�' ��"�;�!' ��∞ ���3���)�*�����

∞∞∞∞

∂∂∂∂∂∂∂∂

��(

6(��)�

∞∞∞∞

∂∂∂∂∂∂∂∂

�2(

6(2�)�

∞∞∞∞

∂∂∂∂∂∂∂∂

�5(

6(5�+�,�

����3��A>B� (�8���"�)���2.9�)�(28��2"�)��22.9�)(58��5"�)��25.9�+�,0��(�� 4������������3���������������� �������� ��� ������������������������� ������

��������������������������������������������������������������������������������

���������� ��������� �������������

���������(��1 8>0<09�-��������������,C#���'CG�D�=C�D�$�E�&����������������������������6������-�������*������A9���9��&B0�1�����������������+���� ��� �������������������������6������������������������@�A<C9���'C#�D�=C,B�C9�D�A��'C9B�C#�D�A=C9�D�9&C,B�C,�E�&� � 9&C9���'C#�D�=C,�E�&��������������������������@� $C�−�#G�D�'�E�&0���@�@���� !�%H#���%#!'$ ���.+�)�*�����A>B����������������� 4���3���������@�

A>LB� A�99C9�D��9#C#�D��9,C,B��D�A�9#C9�D��##C#�D��#,C,B��E�&�

3�����������������*��3�������������������������������5���������������������������@�

� �9@���99C9�D��9#C#�D��9,C,�E�&��������#@���9#C9�D��##C#�D��#,C,�E�&0�

.�� ������ �9� �� �#� ����� �� ��������� ���6���� ��� ������������ ����� ����*�����\∞ A9�� &�� &B� ���

]∞ A&��9��&B����?���� ������ �� �����6��������������5��������0�

�����5�����?� �� ������������������,,�≠�&0� �������������������!�����5�����?���� ���������-�����*���������9����#�����������������������������������@�

A=B�

=++=++

&C�C�C�

&C�C�C�

,#,###99#

,9,#9#999 0�

.�����*���������@�,

9

C

C�E�

,,

9,

��E�C!����

,

#

C

C�E�

,,

#,

��E�G!����������9,�����#,���������5����������

�9,�����#,������������������������0�1������ �� ����������������������������� ������� ����!AC!��G!B�?�%#!'$ �0��:�..#'$���0#""��% !�%�0�1��3N������������������������������������������,,�≠�&���������������8�������������+��

��������0�1�81� ��O�>0>09�-������������������������������������������������������0�

������������6������� �����∞�

�∞∞∞∞�

Page 88: Geometria analitica solida

!� ������>���!���3��

���������������������

A2

��������*�����-�1�������*�������������������������� ������������� ���������� ����\∞����]∞������� ������ �� �� ����� ��� ��� ����������� ��� �����������?�)����� ��� ���������� �������� �� ���0�

.��������������������������������������)�����������*�����������������A�����6�����+A=B���������������������6����B@�

A=LB�

====++++++++====++++++++,�-�(�

,�-�(�

2522�2

�5�2�� � � �����3�� �

====∂∂∂∂∂∂∂∂

====∂∂∂∂∂∂∂∂

,-

6

,(

6

0�

��(��1 8�>0>09�-�1�����������������������������������,C#���'CG�D�=C�D�$�E�&��������������-

���������������@�

=−=+−

&C'

&=G'C<� )����� !A&��#B0�

� �����������������������?����������������6�������������*�������������������2�� ���������-����������� ��������2�?����������������6�������������*�������������������@�����������������2����������0��.#'$��% !��&�'�����%%����������� A ��� ��� A>BB�3�� �������������2����6�������������*������∞ E�A������&B����������������?��������������)�*����@�

C9A�99��D��9#�B�D�C#A�9#��D��##�B�D�C,A�9,��D��#,�B�E�&�3��3������ ������ �� ����A�9#��D��##�����A�99��D��9#�B��&BI�)����������2��������������-6��������@�� �A�9#��D��##�B����A�99��D��9#�B�E�&�

A:B� ��2"2��8������229".����2.

2�+�,0�

����������*���������������������*������������ ������������������6�����������6�������������� ������3�������������������������5����*�0����� � � 8����>0>0#�-������������������������������������������� ��������������������� �

����������� ����������������0������������������������������������������������)�������������� ������������!AC!��G!B��-�������������*��������6�����������6���������������������������*�����A:B0�.+�)�*������� ����������6��������?�)�����

A9&B� ��28(��(�92��8������229�8(��(�9�8-��-�9����28-��-�9

2�+�,0�

��(��1 8�>0>0#�-�������������6�������������������,C#���'CG�D�=C�D�$�E�&0��%%���������������+���� ���>0>09�3���������������3��������!A&��#B0�.������*�������6��������� ��?� ������ � ��� ��� ��������� ���6���� ��� ����6������ ��� �����6���� ������������+�)�*�����A:B@�

#�#�D�,�����#�#�E�&������������##

��,

����#�E�&� �����

��E�

'

$,±0�

.���)�*�������6����������������6����)����������������������� ���!���������������*���������-���@�

-�����

��E�#�����6���������E�#��������E�9�����������������������C�E�

#

#G −����?@�#C���G�D�#�E�&I�

Page 89: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� A5�

����������������������� �����������������������

-�����

��E��

#

9����6���������E��9������E�#����������������������

9

#G

#

C

−= ���?��C�D�#G���'�E�&0�

� �����������������������������5������A9&B��+�)�*������� ����������6��������������@��#C#���,CAG���#B�D�#AG���#B#�E�&0�1����������������)�*�����������������������������+�)�-*����� ��� ������� 6����� �������� ���������� �+�)�*����� ��������� ��� AG� �� #B#I� ��� 3��

&##G

C�,

#G

C�#

#

=−

−+

− ��3��3�����*�����#

9�������#0�

(�������6�������������#C���G�D�#�E�&�����C�D�#G���'�E�&0��8((��;�� 8���9�-� ���������������������������������%#!'$ �0��:�..#'$������5����������-��5���3������������������������� �����������������������������������������������������������::��0��:�..#'$��� $' & !�"#�����������@������?�6���������3�� ������������ �������� ������������������������������������������������(����?��+� ��%������%%�������5����������*�������������3�������� ������ �� ���A�0�����- ���>090$B0����� � � 8���>0>0,�-����������������������� ����8�������������� ������������������

�����������������������������3�� �������*�������������3���������� �������*���������+� ��%���������������� ��- �� �����)���������� ������*���������+�)�*������99C

#�D�#�9#CG�D��##G#�E�&�3�������������

�6�6���������*��������� ����������������������������6���������+�)�*�����A#B��������-���0��������99C

#�D�#�9#CG�D��##G#�E�&�?��+�)�*������� ��������������������3������+���6��������

��5��������� �����������������*�������������3�0�1���������������)�*�������6�������������������������)��������������������*�������������-����+�)�*����@�A99B� ���"

2�)�2��2".�)��22.

2�+�,0�

�����������!AC!��G!B�����������+�)�*������� ����������6������������������@�

A9#B� ���8(��(�92�)�2��28(��(�9�8-��-�9�)��228-��-�9

2�+�,0�

.+� ��%���� ��� ����#���"�'#$�� ��� 6��� ��������� ����� ����6������ �� ��� ����5��� 3�� �4� �����)���������)��22�+�,0���(��1 8�>0>0,�-��%%�������������6������� ��>0,0'���>0>09�3�� ��������������)�*����@�,C#���'CG�D�=C�D�$�E�&�?��+� ��%�������������!A&��#B0� ��������������������������� ��- ����������������������*�������������3��A&��9��&B���A'��,��&B0������������������������)�������������@�-��9� �������� ���!���������������*�����A&��9��&B�����)�*����@�C�E�&I�-��#� �������� ���!���������������*�����A'��,��&B�����)�*����@�,C���'G�D�=�E�&0�;�������������� ���������5������A99B�����+�)�*������� ����������6�������������)������������������������������,C#���'CAG���#B�E�&�����������������������)�*�������6�������������,C���'G�D�=�E�&����C�E�&0��8((��;�� 8���#�-� �5�3����������������������������*��������������6���������������-���������� ��������0�86����������������3�����5�3��������� �������������+�������6-6����������������������+������������+��������������������������������+� ��%���0�����������?���� �����������5��0��

Page 90: Geometria analitica solida

!� ������>���!���3��

���������������������

A<

������������������������������������������5���������)�������������������6���������������������������������������������6��������������������������$�6#$�.#!' �%�! !�% ��������)�*��������������5����� ����������������� ����������#����� !#�%�! !�%��0#"�"��% !�%�@�

A9,B� �K2�)��L

2�)��+�,0�

1���������������5����������������+�)�*������������������������������������5���������)���)�����*�3N��55������� �����%�������������5�������������������������@��������-����������������������������������,,�����E��99�D��##�3��������������!=�$��!'��.#'$�%�����)�������� 4������������3����������� ��������������5��������������0�!�������������������������������������� ���������������)�*�����A9,B������.������������������6����@�

��E�

�&&

&�&

&&.

�E�.��I� � �,,�E��&

&.�E�.�I� � ��E�.�D��0�

1���������������.�������?�)������55���������������������������@�

=+==

���

���

���

55 �

���6������������������,,�������������)������������� ����+�)�*����������������5����������-��*����0�(����������E��F�,,��A��������3�� ���� ��������������?�����������)������,,�≠�&B0�.�����������������*�����������������������������)����������������*���������+�)�*����������������#������D��,,�E�&0���(��1 8�>0>0'�-������������� �+�)�*����������������+��������#C#�D�G#���,C�D�G���$�E�&�����+���� ���>0#0,0��%%�����6�������������E��$9F'����,,�E�#����E�#�D�9�E�,0� ���55�������.�������������5��-

���������������)�����������*����������������@�

=+=−=

,�.

#.�

'F$9.��

0�(����������E��$9F=0�

.+�)�*������#���,��D�#�E�&�3�����*������9�E�#���#�E�9�A������%�� ����������������������������B����+�)�*������������������?@�\#�D�#]#���$9F=�E�&�� ���#\#�D�]#���$9F=�E�&�������������)��������������������������6�����������\���]0���(��1 8�>0>0$�-��������������+�)�*����������������+� ��%����#C#

�D�CG���G#�D�C�D�G���,�E�&�

����+���� ���>0#0'0��%%�����6�������������E�#>F'����,,�E��:F'����E�#���9�E�90� ���55�������.�������������

5�����������������)�����������*�����������������

=+−=

=

9�.

'F:.�

'F#>.��

0������(����������E��,0�

.+�)�*������#�������:F'�E�&�3�����*������9�E�A9�D 9& BF#���#�E�A9�� 9& BF#�A�����������-������������ ��%���B����+�)�*������������������?@�

\#A9�D 9& BF#�D�]#A9�� 9& BF#���,�E�&������ ������\#A9�� 9& BF#�D�]#A9D 9& BF#���,�E�&�������������)��������������������������6�����������\���]0��

Page 91: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� A>�

����������������������� �����������������������

@�A�����$�* "������ ����������+�)�*���������5�����������������@�

A>LB� A�99C9�D��9#C#�D��9,C,B��D�A�9#C9�D��##C#�D��#,C,B��E�&�

���3��3�������5�����?��� �� ��������,,�E�&����?������������?���� ���%���0�����������A�0�8������*�����#�^�>0#B�3��������������� �� ���%�������� 4������������-���5����@�

A�C9�D�%C#B#�D�#�9,C9C,�D�#�#,C#C,�D��,,C

#, �E�&�

���A>LB���������A>LLB� A�#C9�D��%C#�D��9,C,B���D�A�%C9�D�%#C#�D��#,C,B���E�&��������

�C9A���D�%�B�D�%C#A���D�%�B�D�C,A�9,��D��#,�B�E�&0�

������)���)����������������������������5�����3������*�������������A��%�����&B����?���� ������ �� ���������� ���%���0�1��3N����������������6��������������*�����?���������������������� �������)���������*��-���� ���������������6�������������*����� A���%��&B�����6���������������*������������������ ?��� ������������������������������������������::#�0#""��;�$�* "��� �������� ��������� 4������3���+�::#�0#""��;�$�* "���������������� ��������������

������������� �������������������������8�����

.+����������� ���%����?�)�������� ����������∞ A���%��&B����3�������)�*������������A>LLB�

A9'B� 8�2(��)��*(2�)���5(59��)�8�*(��)�*

2(2�)��25(59*�+�,�

��� ���������������������������6�������5������������������������ ��*����@�

A9'LB� ,-

6�*

(

6�� ====

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂

0�

.+����������� ���%���� ��������� ��� ���%���� ���������� �������5������������=#$'�%#/� ������������������������������������������������5��������������)�*��������������� ���%���0���(��1 8�>0=09�-��������� ���%���@�C#���#CG�D�G#�D�#C�D�#G���'�E�&������������������������-���0�.+�)�*����������� ���%������� 4��������@�AC���GB#�D�#C�D�#G���'�E�&��)������∞ A9���9��&B0�

!��������� �

∂∂C

5� E� A#C� �� #G�D� #B� � � �� � �

∂∂G

5� E� A�#C�D� #G�D� #B0�� ������� ��� A9'LB��

�+�)�*���������+������������@�A#C���#G�D�#B���A�#C�D�#G�D�#B�E�&�������C���G�E�&0�

�� ������� 3�� ���� ���������� ��� ���*����� ���� �������@

=−=−+++−

&GC

&'G#C#GCG#C ##

)������������;A9��9B0��(�6�����������5�����������������+�����\���������������+����������� ���%�������+���6��������������������� ���%�����������$�6#$�.#!' �%�! !�% ���+�)�*����������� ���%�������������5����� ����������������� ���@�

A9$B� �L2�)�MK�+�,�

������#����� !#�%�! !�%��0#""��;�$�* "���1���������������5����������������+�)�*����������� ���%����������������5���������)�-��)�����*�3N��55������� �����%����������� ��5���������� ��� ������������6��� �!=�$��!'��

Page 92: Geometria analitica solida

!� ������>���!���3��

���������������������

A?

.#'$�%����?��������@�������������������������������E��99�D��##�3����������� ��������������5��������0��!���������6�������������� ���������������)�*�����A9$B@�

��E

&&#F�

&1&

#F�&&

�E���1�#F'� � �,,�E�&� � ��E�10�

1���������������������6�����1�����?�)������55���������������������������@�

=

−=��

�<I�M2

���6�����������������������������)������������� ����+�)�*����������� ���%����������5���-���������*����0���(��1 8�>0=0'�-��������������+�)�*������������������ ���%����C#

���#CG�D�G#�D�#C�D�#G�E�&�

����+���� ���>0#0$0��%%�����6�������������E���'����,,�E�&����E�9�D�9�E�#0� ���55�������1�����������5������-

�����������������*������������������

==

#1

''F1�#

����)�������#�E�9<F#�E�=� ��E�±# # 0�

.+�)�*������������������?@�#]#�D�# # \�E�&�� ���#]#���# # \�E�&��������������)�����������������������6�� ����+����������� ���%���0��8((��;�� 8���-�!����6�����������5�3����������������������������*��������������6������������������������� ��������0�.�� ���%����3�������� 5��� ������� ������������������������������������?���� ����������5��0���@�B����!'#$:#�� !#�0��0�#�% !�%H#������������� ����������������������3��I���E����� ����������������)�*����@�

A#B� 5AC��GB�E��99C#�D�#�9#CG�D��##G

#�D�#�9,C�D�#�#,G�D��,,�E�&�

A#LB� 6AC��GB�E�%99C#�D�#%9#CG�D�%##G

#�D�#%9,C�D�#%#,G�D�%,,�E�&�

�)�������������������������������������5�������3����������[���6�������e�)���������*����0�1��3N�������3���������������5������������6��������� �������������������5���������������)���������*����� A�������� ����6������B������������� �����������������+��5������������������������� ��%�����������������������������������������������5����*��3�����-����3�������� ��������������*��������5������A������������6�����B����� ��������������� ����������������������� �� ����A ����� �������������������5����*�B0� ��������������������������5���������*��������������3����������������� �**����������-3����6�����������������������������0���5���������������6�������������������������� ��������������*��������7��!��������������-������������������������������)�����6�����5�����������������)�*����0��(�� ������� ���������������������@��B�����������*���������������������������A���� ���>0:09BI�%B�����������*���������������������������������������������@�������3�����������'�!&#!'��

A���� ���>0:0#BI�

Page 93: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� A@�

����������������������� �����������������������

B� ��� �������*����� ����� ����������������������������@� ������3�����������*�'�!&#!'���A���� ���>0:0,BI�

�B�����������*��������������������������������������������� ���������)�����?�������������)����@�������3����������� :%�"�'$�%��A���� ���>0:0'BI�

�B����)�������������*������������������������������������� ���@�������3������������;#$ :%�"�'$�%��A���� ���>0:0$BI�

5B�����������*����������������������������6�������A�� ���������6���B@�������3�������-�������������������� ����������A������� ����������5����*��������BI�

6B� ���)�������������*��������������6������@� ������3������3����� ���������������A������� ����������5����*����������5�������B0�

���(��1 8�>0:09�-��������������� ��������������*��������������3�@�

=−−−+

=−−−+&G9<C#CG=G9<C

&G#C#CGG#C##

##

0�

(���������� ��� ����� �)�*����� ������ ������� ���

�������@� =−−

=−−−+&B#CG#AG>

&G9<C#CG=G9<C ##�����@�

B�

==−−−+

&G

&G9<C#CG=G9<C ##

� 3�� 3�� ���-

*�����

==

&G

&C�����

==

&G

#CI�

B� −=

=−−−+#G#C

&G9<C#CG=G9<C ##�3��3�����*�����

==

#G

#C�����

==

9G

&C0�

� ��������������������3�������)����@�8A&��&B���A#��&B��7A#��#B��!A&��9B0����(��1 8�>0:0#�-��������������� ��������������*��������-

������3�@ =+−−++

=−+&'G<C<G#CG,C,

&G#GC##

##

0�

����������� G#� ��� �������@� =+−−+

−=&'G#C<CG,C

CG#G#

##

��� �� G� EC,#

'C<C#

+−I� ����������� ��5���� ������ �����

�)�*���������������@�$C'���:C,�D�'C#�E�&�3��3������

���*����@�C�E�&�A�� ��B��C�E�9��C�E�$

'0�

� ��������������������3�������)����@���≡�7A&��#B��� ����!A9��9B���

$

#��

$

'0�

��

!�

��≡�7�

G

C

V�

V�

V�

C�

G�

8 �

7

!

V�V�

V�

V�

Page 94: Geometria analitica solida

!� ������>���!���3��

���������������������

AA

���(��1 8�>0:0,�-��������������� ������������-��*��������������3�@�

=+−+−+=++++−

&9GC#CG'G'C

&9G'C#CG<GC

##

##

0�

�(���������� ��� ����� �)�*����������� �������

��� �������@� =−−

=+−+−+&B9C#GAG$

&9GC#CG'G'C ##�

����@�

B�� =

=+−+−+&G

&9GC#CG'G'C ##��3��3��������*������� ����

=−=&G

9CI�

B� +=

=+−+−+9C#G

&9GC#CG'G'C ##��3��3��������*������� ����

−=−=

,

9G

,

#C

0�

� ��������������������3�������)����@���≡�7A�9��&B��!�≡��

−−,

9��

,

#0�

��(��1 8�>0:0'�-��������������� ��������������*��������������3�@�

=−−+=−+

&C#CGGC#

&C#GC

##

##

0�

(������������� ������)�*��������������������������-

��@ =−

=−+&BGCAC

&C#GC ##������@�

B� =

=−+&C

&C#GC ##�3��3�����*������� ���

==

&G

&CI�

B =

=−+GC

&C#GC ##�3��3�����*�����

==

&G

&C��

==

9G

9C0�

� ��������������������3�������)����@���≡�7�≡�!A&��&B���A9��9B0���(��1 8� >0:0$� -� ������������ �� ���� ��� �������*�����

���������3�@�

=−+−=−+

&C'#G#C=

&C'#G#C'0�

(���������������������)�*����������� ���������������@�

==−+

&#C9#

&C'#G#C'� 3�� 3�� ���*����� )��� ���

==

&G

&C0�

V�

��≡�7�

!�≡���

G�

C�V�

G�

C�

��

��≡�7�≡�!

V�

V�

��≡�7�≡�!�≡��� C�

G�

V�

Page 95: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� AB�

����������������������� �����������������������

.��)�������������*����������)��������������@���≡�7�≡�!�≡��A&��&B0���@��,�����:%��0��% !�%H#���!�����������������%���*����� ���������������)�*����� A#B��� A#LB���� ���������3���M�����������%������@�

A9<B� 3�5AC��GB�D�M�6AC��GB�E�&�

���3���������+�)�*���������������6��������C��G���������������0���������������3���M�������������������6�:%� �0��% !�%H#0����5������ �����6����I���E�3����������6�������A9<B@�I� ���3�E�9���M�E�&���E� ���3�E�&������M�E�90� �)������ �������7��!������������������6���������������������������������������A#B������-���A#LB������������������������3������5����������6����������;�!'��*�:#�0#"�6�:%� 0�C������� ��������������������������� ����8��������� ����� ������������������������0�� ���������������������6������������A9<B�����5�����?@�

�A3��MB�E�

,,,,#,#,9,9,

#,#,####9#9#

9,9,9#9#9999

M%3�M%3�M%3�

M%3�M%3�M%3�

M%3�M%3�M%3�

+++

+++

+++

0�

�A3��MB�E�&�?��+�)�*��������6�����������*��6��������3��MI����������������*�����A������������������������ �����B������������������������)�������� �������������������������

���������������������� ���� ��������������0���������������5����3����������6����������� ���������3���������������6������� �� ��-������0���(��1 8�>09&09�-�.�����3������+���� ���>0:09���������������5����@�

3AC#�D�#G#���CG���#C���#GB�D�MAC#�D�9<G#���=CG���#C���9<GB�E�&������6������������3���)�*����@�

A3�D�MBC#�D�A#3�D�9<MBG#�D�A��3���=MBCG���#A3�D�MBC���#A3�D�=MBG�E�&0�.�����3����6����������5���������������� ���������������3���M�3������������������������-

�������������@���E�

&M=3M3

M=3M9<3#M'#

3

M3M'#

3M3

−−−−

−−+−−

−−−−+

�E�&0�

(��� �������������������������������@���A3�D�MB�A3�D�=MB�A'3�D�9=MB�E�&0�

-� (��3�D�M�E�&����������������������6�������#G#���CG���#G�E�&�3������ �**������ ��������G�A#G���C���#B�E�&�������������8����7!I�

-� ��� 3� D� =M� E� &� ��� �������� ��� ����� ��6������ C#� �� #C� E� &� 3�� ��� � �**�� ���� ��������������CAC���#B�E�&�������������8!�����7I�

-� ���'3�D�9=M�E�&����������������������6������C#���#G#�D�CG���#C�D�#G�E�&�3������ �**������ ��������AC���GB�AC�D�#G���#B�E�&�������������87�����!0�

��

Page 96: Geometria analitica solida

!� ������>���!���3��

���������������������

B,

�(��1 8�>09&0#�-�.�����3������+���� ���>0:0#���������������5����@�3AC#�D�G#���#GB�D�MA,C#�D�#G#�D�,CG���<C���<G�D�'B�E�&�

�����6������������3���)�*����@�A3�D�,MBC#�D�A3�D�#MBG#�D�,MCG���<MC���#A3�D�,MBG�D�'M�E�&0�

.�����3����6����������5���������������� ���������������3���M�3������������������������-

�������������@���E�

M'BM,3AM,

BM,3AM#3M#

,

M,M#

,M,3

+−−

+−+

−+

�E�&0�

(��� �������������������������������@���A3�D�,MB�A3�D�MB#�E�&0�-� (��3�D�,M�E�&����������������������6������G#���,CG�D�<C���'�E�&�3������ �**������ ��-

������AG���#B�A,C���G���#B�E�&����������������6�������������3���������������������!�I�-� ���3�D�M�E�&�A���0��� ��B����������������������6������#C#�D�,CG�D�G#���<C���'G�D�'�E�&�

3������ �**������ ��������AC�D�G���#B�A#C�D�G���#B�E�&��������������!������0���(��1 8�>09&0,�-�.�����3������+���� ���>0:0,���������������5����@�

3AC#���G#�D�<CG�D�#C�D�'G�D�9B�D�MAC#�D�'G#���'CG�D�#C���G�D�9B�E�&������6������������3���)�*����@�

A3�D�MBC#�D�A��3�D�'MBG#�D�#A,3���#MBCG�D�#A3�D�MBC�D�A'3���MBG�D�A3�D�MB�E�&0�.�����3����6����������5���������������� ���������������3���M�3������������������������-�������������@�

��E�

M3M#

93#M3

M#

93#M'3M#3,

M3M#3,M3

+−+

−+−−

+−+

�E�&0�

(��� �������������������������������@���A3�D�MB�A3���#

,MB#�E�&0�

-� (��3�D�M�E�&�����������������������6�������G#���#CG���G�E�&��3������ �**������ ��������G�A#C���G�D�9B�E�&����������������6�������������3����� �����������������������!I�

-� ���3��#

,M�E�&�A���*������� ��B���������������������C#�D�#CG�D�G#���#C�D�#G�D�9�E�&�

3������ �**������ ��������AC�D�G�D�9B#�E�&��������������!����������������0���(��1 8�>09&0'�-�.�����3������+���� ���>0:0'���������������5����@�

3AC#�D�G#���#CB�D�MA#C#�D�G#���CG���#CB�E�&������6������������3���)�*����@�

A3�D�#MBC#�D�A3�D�MBG#���MCG���#A3�D�MBC�E�&0�.�����3����6����������5���������������� ���������������3���M�3������������������������-

�������������@���E�

&&BM3A

&M3M#

9

BM3AM#

9M#3

+−

+−

+−−+

�E�&0�

(��� �������������������������������@���A3�D�MB,�E�&�3��3�����*�������� ���3�D�M�E�&0�

Page 97: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� B��

����������������������� �����������������������

(�����������+�����������6�������C#���CG�E�&�3������ �**������ ��������CAC���GB�E�&����-������������6�������������3�����������������������0���(��1 8�>09&0$�-�.�����3������+���� ���>0:0$���������������5����@�

3A'C#�D�G#���'CB�D�MA��=C#�D�G#���'CB�E�&������6������������3���)�*����@�

A'3���=MBC#�D�A3�D�MBG#���'A3�D�MBC�E�&0�.�����3����6����������5���������������� ���������������3���M�3������������������������-

�������������@���E�

&&BM3A#

&M3&

BM3A#&M=3'

+−

+

+−−

�E�&0�

(��� �������������������������������@���'A3�D�MB,�E�&�3��3�����*�������� ���3�D�M�E�&0�(�����������+�����������6�������C#�E�&�3������ �**������ ��������CACB�E�&����������������6�������������3����������������������0���@��������!'��*�:#�#�% !�%H#�0#&#!#$��0#"�6�:%� ���!�����%%�������������6������� �� ����������� ����%���� ����������������������������-��3����6����������5�������������� ��������3�������������6��6�������� �������������������������?�������������6������������������� ���0�1������ ������������������������������������������)������ ����%������������������ ���-�����������+������������������������ ����@��B���)������ �������7��!��������������������������@����5��������������������3����6�����@������9�5��������������������7��!�I��#�5��������������������!��7�I��,�5�����������������������7!I�����%B��� ��������7�����������!����������������������������������@����5�����?��������������-

��3�����6��������������������������3����6�����@�������9�5��������������������!����I��#�E��,�5�������������������!�������������6���������I������

��7�

!�

��

V�V�

V�

V�

��E�7�

!���

V�

V�

V�

Page 98: Geometria analitica solida

!� ������>���!���3��

���������������������

B2

B��� ��������7���������������3��!��������������5��������������≠�!@����5�����?�����-�����������3��%����6����������������!�����������������3����6�����@�

����9�5�������������������������6���������������!I��#�E��,�5��������������������!����������������I������B��� �������7��!��������������?�����������������@����5�����?����������������3������-

��������������������������3����6�����@����9�E��#�E��,�5����������������������6��������������������������I������B��� �������7��!������������@����5�����?����������������3��� ��������������������-

������������3����6�����@������9�E��#�E��,�5�����������������������6�������������������������I����������������������� ����%����?� ����%���������������������3����6�������������**����� ������������+�)�*���������5����0���(��1 8� >09909� -� ������������ �+�)�*����� ������ ����� �������� ��� �� ���@� �A9�� &B�������7A�9��&B��!A9��9B���A�9��#B������6��������7�������������@�G�E�C�D�90�� /������������������� �+�)�*����� ���� 5����� ��� ���3�����6��������7������� �������� ���!�����A����%B0�.�����3����6����������5���������@��9� 5������������� ������7!���7��3��3���)�*�����AC���#G�D�9B�AC�D�9B�E�&I��#� 5������������� ���6������������� ������!��3��3���)�*�����AC���G�D�9B�AC�D�#G���,B�E�&0�� ��5�����3���)�*����@�3AAC���#G�D�9B�AC�D�9B�D�MAC���G�D�9B�AC�D�#G���,B�E�&0�����������3������5�������3�����)�����3�� ����� ����������������C����9����G����&@�'3���'M�E�&��3�E�M�E�9����+�)�*�����������������������@���#C#���#G#���CG�D�,G���#�E�&0�

��E�7�

!�E���

V�

V�

��E�7�E�!�

��

V�

V�

7�

��

!�

��V�

V�

V�

V�

G�

C�

��E�7�E!�E���V�

Page 99: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� B5�

����������������������� �����������������������

8������������� 4������������5�����������3�����6��������7��� �������!�A�� ��������B������ ����� ������ ����66��� ���������������� ���0�� /��������������������+�)�*���������5�����������3�����6����� �������� �������7��!����A�����B0����� ��� ���3����6���������� 5������������������������ ����,� 5������������� �������7���!�@��GAC�D�#G���,B�E�&�����'�5���������������������!���7�@�AC���9BAC�D�9B�E�&0� ��5�����3���)�*����@�3�GAC�D�#G���,B�D�MAC���9BAC�D�9B�E�&0�!��3����� ���������������5���������������������6�����

+==+−+−+

�9CG

&9B9BACMAC��,B#GGAC3�0�

(����������������������+�)�*���������������@�A,3�D�MBC#���#3C���3���M�E�&0��55��3N�����������������6�����������*������������������������?@�

'

∆�E�3#�D�A,3�D�MBA3�D�MB�E�&�������A#3�D�MB#�E�&���������3�E��9���M�E�#������������������-

���@��#C#���#G#���CG�D�,G���#�E�&0���@��2����:#$%����;$ ; :'����

; 09�-������������3�@��B� #C#�D�CG���G#�D�C�D�'G���,�E�&I���B� ,C#���#CG�D�,G#�D�#C�D�#G�E�&I����B� CG���#C���'G�E�&I���B� 9<C#�D�#'CG�D�:G#���9'C�D�#G���9�E�&I����������������6������� ������������������������� ����������������5�����������0��; 0#�-��������������$C#�D�'CG�D�#G#���<C�D�9�E�&@��B� ����5�����3��?�������6������������� ����������I���B� ������������5����������������**�����6��������������������0� A\#�D�<]#���#�E�&B��; 0,�-���������� �������� �����A,��9B�������������@�C�D�G�E�&@��B� ���������+�)�*����������� ���%�������5������������������I�

AC#�D�G#���#CG���9#C���'G�D�#&�E�&B���B� ������������5����������������**�����6��������������������0� A#]#�±�= # \�E�&B��; 0'�-����� �����?��������������#C#�D�G#�D�,CG���9&C���>G�D�9#�E�&@��B� ����5�����3��?���6�����I���B� ���������+�)�*����������������������������� �**�0� A#C�D�G�−−−−�'�E�&���C�D�G�−−−−�,�E�&B�

�; 0$�-����� �����?��������������� �C#���CG���#G#���C�D�$G�E�&@��B� ����5�����3����?��+� ��%������������������5�����������I�

A &#]#

9&9\

#

9&9 ## =+−−

++−

B�

��B� ����������������)�*����������� ���%�������6�������������+���6������ �������� ����� �����A�9��&B��7A&��9B0� AA,�±� $ B�AC#���<CG�D�$G#�D�C���$GB�D�=CG�E�&B�

�; 0<�-���������5�����������3��3A,C#���#CG�D�,G#�D�#GB�D�MAC#���'C�D�'B�E�&����3���M� �-�������������������� ���)��������������3���M���������?@�-���6�����I� A3�E�&����3FM�E�,$F,B�

Page 100: Geometria analitica solida

!� ������>���!���3��

���������������������

B<

-� ���%���I� A3�E�&����3FM�E��,F=B�

-��������I� A=3#�D�,3M�S�&B�

-�� ��%���0� A=3#�D�,3M�R�&B�

�; 0>�-��������������+�)�*���������5�����������3�� ����� ������������������5����*������������+���6��������66���9�����6�����������������0� A3AC#�D�G#���9B�D�M�CG�E�&B���������5�����������������������3����6����������� ���%���0�� AAC�D�G���9BAC�D�G�D�9B�E�&B��AAC���G�D�9BAC���G���9B�E�&B�������� ���%���B�������������������������5����� �������� ������ �����A9��9B� ���������������� �������5��-���������0�� AC#�D�G#���CG���9�E�&����������I��5������������,\#�D�]#���#�E�&B��; 0=�-�(��������+�)�*���������5�����������3�����6��������������5����*��C#

�D�G#���#C�E�&�

���1A9��9B������C#�D�G#�D�#C�E�&������A�9���9B��������������������3����6�������� ���%���0�A3AG#���9B�D�MAC���GB#�E�&�����3����6������ ���3�E�&���M�E�&����������� ���%���B�

(�������������������5����� �������� ����A9F#��$F'B�������������������5�����������0�

AC#���#CG�D�9�E�&���� ��%���I��5������������ &9]#

9$\

#

9$ ## =−+

−−

B�

�; 0:�-�����5�����������3�����6���������+���6���������������C���G�E�&�������1A9��&B������������C���G���9�E�&���������)�����3�� ����� ������������������� ���%����C#�E�G���90�(�����������������������������+�)�*��������5�����������0�

AC#���#CG���G#���C�D�G�E�&��� ��%�����)�������I�������!A9F#��&BI������C���9F#�E�A�9�±� # BGI�

���������C���9F#�E�A9�±� # BGI�5������������ # \#��� # ]#���9F'�E�&B�

Page 101: Geometria analitica solida

������������� �������������������������� B>�

����������������������� �����������������������

��������������

��0��%%������0�7��6�����(0����%����@�L������ ���A��8��������E������A����������.����������7�������������9::&��(0��%�����@�A��8��������E�����������3������7���6���9::,���0��������0���������@�����������E������A����������C���������1���������������9:$>���0��������0��������@�E�������A��8��������.����������7�������������9::9��(0�������10�;���%��6�@��������������8��������������������0� ��� ��.����������7��-�����������9:::��!�0.��6�@�����������E�������.�%�0���0�;0�;��3��������9:<:���0�(�����@�����������E�����������������������.����������7�������������9::'��0�(�����@�L���������E�������.����������7�������������9::'���0�(������@�E���������7�������7����63�������������9:=:���0�(��M�@���������E������� f���0��!������1������9::$��0�(��M���;0�1� �����@�L���������8�������E�������!������1������9:::�