Geometria analitica del piano

La retta

La distanza tra due punti

Consideriamo un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxy con versori fondamentali i, j.

Distanza tra due punti

A(xA, yA) e B(xB, yB)

d(AB)= 2)(2)( AyByAxBx

Punto medio di un segmento

A(xA, yA) e B(xB, yB) gli estremi del segmento AB. M(x,y) sia il punto medio del segmento AB. Allora AM=MB e quindi passando alle componenti

x-xA=xB-x, y-yA=yB-y,

.2

BA yyy

2BA xx

x

Punti simmetrici

P(a,b) un punto. Si chiamano il simmetrico di P rispetto all’asse x il punto Q(a,-b), il simmetrico di P rispetto all’asse y il punto R(-a,b).

Il simmetrico di P rispetto all’origine è il punto D(-a,-b).

Rappresentazione analitica della retta

Una retta r si può individuare in tre modi:- Assegnando un punto P0 di r ed un vettore w

non nullo ortogonale ad r- Assegnando un punto P0 di r ed un vettore v

non nullo parallelo ad r

- Assegnando due punti distinti di r

Equazione cartesiana della retta

Se consideriamo r la retta passante per P0(x0,y0) e ortogonale al vettore non nullo w(a,b), allora un punto P(x,y) del piano appartiene ad r se e solo se il vettore P-P0 è ortogonale a w;

(1) w(P-P0)=0

Equazioni della retta

La (1) si chiama equazione vettoriale della retta.Esplicitando le componenti la (1) si può scrivere :(1’) a(x-x0)+b(y-y0)=0ed è detta equazione cartesiana della retta.La (1’) si può scrivere (2) ax+by+c=0, ossia come

un’equazione polinomiale di I grado in x ed y dove i coefficienti a e b di x e y rispettivamente, sono le componenti di un vettore non nullo ortogonale ad r.

Viceversa ogni equazione del tipo (2) con a, b non tutti nulli rappresenta una retta e tale retta è ortogonale al vettore (a,b).

Rappresentazione analitica della retta

OSSERVAZIONE 1

Se una retta ha equazione ax+by+c=0 e se k0, l’equazione kax+kby+kc=0 rappresenta la stessa retta (infatti è soddisfatta dagli stessi punti). Viceversa si dimostra che se due equazioni ax+by+c=0 e a’x+b’y+c’=0 rappresentano la stessa retta, allora esiste un k 0 tale che a’=ka, b’=kb, c’=kc.

OSSERVAZIONE 2

Se una retta ha equazione cartesiana ax+by+c=0 con b0, l’equazione della retta si può scrivere:

Il numero

si chiama coefficiente angolare della retta ed è uguale alla tangente trigonometrica dell’angolo formata da r e dall’asse x.

b

c

b

axy

b

am

Retta per un punto e parallela ad un vettore

Una retta r del piano si può pensare come la retta passante per il punto P0(x0,y0), e parallela al vettore non nullo v(l,m). Quindi r è il luogo dei punti P(x,y) del piano tali che P-P0 è parallelo a v, cioè

P-P0=tv

Equazioni parametriche di una retta

Passando alle componenti si ottiene

Al variare di tR le equazioni parametriche forniscono le coordinate di tutti e soli i punti di r. Dalle equazioni parametriche si possono ricavare le componenti di un vettore v(l,m) parallelo ad r.

mtyy

ltxxcioè

mtyy

ltxx

0

0

0

0

Le componenti (l,m) di v si chiamano parametri direttori di r.

Se A e B sono due punti distinti del piano ed r è la retta passante per A e B allora un vettore parallelo ad r è v=B-A, di componenti (xB-xA, yB-yA).

Le equazioni parametriche di r sono:

Retta per due punti

)(

)(

ABA

ABA

yytyy

xxtxx

Relazioni tra equazione cartesiana ed equazioni parametriche della retta

Per passare da una rappresentazione parametrica ad una cartesiana della retta r, basta eliminare il parametro t, tra le equazioni parametriche.

Se nessuna delle componenti di v è nulla, dalle equazioni parametriche, ricavando t da ciascuna delle due equazioni e uguagliando i due risultati si ottengono le seguenti rappresentazioni della retta r:

AB

A

AB

A

yy

yy

xx

xxm

yy

l

xx

)4(

)3( 00

Se nelle equazioni parametriche si ha l=0 (oppure

xB-xA=0), ma l’altra componente di v è non nulla, si ottiene la seguente rappresentazione cartesiana per r:

Questo vuol dire che tutti i punti di r hanno la x costante, mentre la y può variare liberamente; quindi r ha equazione cartesiana:

mtyy

xx

0

0

.0xx

Se nelle equazioni parametriche l=0 o m=0 (oppure

xB-xA= 0 oppure yB-yA=0), dalle equazioni parametriche, eliminando il parametro t, si ottiene la seguente rappresentazione cartesiana per r:

.

:

:

0

0

A

A

yyoppure

xxroppureyyoppure

xxr

Passaggio dalla rappresentazione cartesiana a quella parametrica

Il vettore w(a,b) è ortogonale ad r, pertanto il vettore v(-b,a) è ortogonale a w e parallelo ad r. Inoltre un punto di r si trova, se b è diverso da zero, ponendo x=0 e ricavando

In questo caso r ha equazioni parametriche:

Se a è diverso da zero si procede in maniera analoga ponendo y=0 e ricavando x.

.b

cy

..

atb

cy

btx

Parallelismo e ortogonalità tra rette

r: P=tv+P0

r’:P=tv’+P0’

Sono ortogonali se e solo se v è ortogonale a v’, vv’=0 se e solo se ll’+mm’=0

Sono parallele se e solo se v è parallelo a v’, v=av’ se e solo se lm’-l’m=0

Parallelismo e ortogonalità tra rette in forma cartesiana

Le rette r: ax+by+c=0 ed r’: a’x+b’y+c’=0 sono parallele se e solo se w(a,b) e w’(a’,b’)

sono paralleli se e solo se ab’-a’b=0 Sono ortogonali se e solo se w(a,b) e w’(a’,b’)

sono ortogonali se e solo se aa’+bb’=0.

Parallelismo e ortogonalità tra rette una in forma cartesiana ed una in forma parametrica

La retta r: ax+by+c=0 e la retta r’ di equazioni

Sono parallele se e solo se w=(a,b) e v(l,m) sono ortogonali se e solo se al+bm=0

Sono ortogonali se e solo se w=(a,b) e v(l,m) sono paralleli se e solo se am-bl=0

..0

0

mtyy

ltxx

Angolo tra due rette

Due rette r ed s del piano formano un angolo se esistono un vettore v parallelo ad r ed un vettore v’ parallelo ad s formanti un angolo .

Notiamo che se r ed s formano un angolo , esse formano anche l’angolo - .

Se v=(l,m) è un vettore parallelo ad r e v’=(l’,m’) è un vettore

parallelo ad s, si ha

Il doppio segno è dovuto all’orientamento dei vettori, e porta a trovare sia l’angolo che l’angolo - formato dalle due rette.

.''

'''coscos

2222 mlml

mmllvvrs

Intersezione di due rette

Si possono presentare tre casi: rs è un solo punto, allora le rette si dicono

incidenti; rs non contiene nessun punto, allora le due

rette sono parallele e distinte; rs contiene infiniti punti: ciò vuol dire che le

due rette coincidono.

Fasci di rette

Se Po è un punto del piano, l’insieme delle rette del piano passanti per Po si chiama fascio di centro Po.

Siano r: ax+by+c=0 ed r’: a’x+b’y+c’=0 due rette distinte passanti per Po e consideriamo l’equazione

(*)dove e sono due numeri non entrambi nulli. L’equazione

precedente rappresenta una retta per Po, qualunque siano i valori di e purchè non entrambi nulli, e viceversa, ogni retta per Po ha un’equazione del tipo precedente per una scelta opportuna dei parametri e . L’equazione (*) si chiama equazione omogenea del fascio di rette di centro Po.

0)'''()( cybxacbyax

Equazione non omogenea del fascio

Per semplificare l’equazione (*) se e scegliendo come nuovo parametro l’equazione (*) diventa

ax+by+c+k(a’x+b’y+c’)=0 (*’).Al variare di k la (*’) rappresenta tutte le rette per

Po esclusa la retta r’: a’x+b’y+c’=0 che si otterrebbe per =0 e si chiama equazione non omogenea del fascio.

0

k

Distanze

Distanza di un punto da una rettaSia r di equazione ax+by+c=0, la distanza da un punto Po(xo,yo) è data da:

La distanza tra due rette parallele si può calcolare considerando la distanza tra un punto di una retta e l’altra retta, usando pertanto la formula precedente.

.),(22

000

ba

cbyaxrPd