Geometria Analitica - 02

Geometria Analítica: Profª Ieda Pinheiro Oliveira

GEOMETRIA ANALÍTICA

(GA)


Vetores :Tratamento algébrico


Vetores no espaço


Vetor definido por dois pontos



O vetor OP é dado por:

(6,1,2) (5,0, 2)

(6 5,1 0,2 ( 2))

(1,1,4)

P O

P O

P O



O vetor OP é dado por:

(5,0, 2) (6,1,2)

(5 6,0 1, 2 2)

( 1, 1, 4)

O P

O P

O P


Versor


VersorOu seja: O versor de um vetor ,diferente do vetor nulo, denotado por , é um vetor unitário, ou seja, , com mesma direção e sentido do vetor , definido por .


Ponto médio de um vetor

1 2 1 2,2 2

x x y yM

A

B

M

AM MB��


Paralelismo de dois vetores

1 1

2 2

x y

x y

:

( 2,3) ( 4,6)

Exemplo

os vetores u e v são paralelos pois

2 3 1

4 6 2


Distância entre dois pontosA distância entre dois pontos é o comprimento (módulo) do vetor , isto é :

( , )d A B AB��

AB��

2 1 2 1( , )Como AB B A x x y y ��

2 22 1 2 1( , ) ( ) ( )temos d A B x x y y


Agora tente !Dados os pontos A(2,-1) e B(-1,4) e os vetores

( 1,3) ¨ ( 2, 1) determinar :u e v

) ) ) 2 3 ) ( , )a u b u v c u v d d A B ��

Re .:

) 10 ) 13 ) 97 ) 34

sp

a b c d


Agora tente!!


Operações com Vetores

Soma de um ponto com um vetor:Intuitivamente, podemos entender como o resultado do deslocamento de umponto material, inicialmente na origem dovetor, até sua extremidade.


Propriedades :P1.

P2. Lei do Cancelamento de Ponto

P3. Lei do Cancelamento de Vetor

P4.


Ângulo entre dois vetoresO ângulo entre dois vetores , não nulos, é o ângulo entre os segmentos orientados que representam osvetores, com a restrição , quando os vetores são transportados para um pontoP, de tal forma que suas origens coincidamcom este ponto P.


Lei dos Co-SenosA geometria plana nos dá queonde é o ângulo entre os vetores u e v.Essa é a chamada de lei dos co-senos, onde u,v e w são os lados de um triângulo qualquere é um ângulo interno ao triângulo,oposto ao lado w.w2 = u 2 + v2 − 2uv cos


Lei dos Co-SenosVetorialmente temos que Note que o ângulo entre os vetores u e v é e não o . Temos que + = 180° e quecos() = - cos(Logo, a lei dos co-senos

ficará:

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