Geometria Analitica - 05

Slide 1Johnnes Kepler.
Geometria Analítica:
Observação:
Distância de ponto plano;
Áreas e volumes;
Avaliação:

Será calculada a média aritmética das 4 (quatro) notas obtidas nas avaliações e será considerado aprovado o aluno que obtiver no mínimo média igual a 7,0 (Sete).
Básica:
BOULOS, P.; OLIVEIRA, I. C. Introdução a Geometria Analítica no espaço. São Paulo, Pearson do Brasil, 1997.
CAROLI, A. J.; FEITOSA, M. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica – Teoria e Exercício. São Paulo, Nobel, 1984.
STEINBRUCH, ALFREDO. Geometria Analítica. São Paulo, Pearson Makron Books, 1987.
Complementar:
LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica – Vol 1. São Paulo, Habras,1994.
SWOKOWSKI, EARL WILLIAN. Cálculo com Geometria Analítica – Vol 1. São Paulo, Makron Books, 1994.
LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica – Vol 2. São Paulo, Habras,1994.
STEINBRUCH &WINTERLE. Geometria Analítica. Ed. Pearson Makron Books.
WINTERLE. Vetores e Geometria Analítica. Ed. Pearson Makron Books.
Complementar:
IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar, 07: Geometria Analítica. Ed. Atual.
Geometria Analítica
1 - Introdução
A Geometria Analítica é uma parte da Matemática , que através de processos particulares , estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo , uma reta , uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos .
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja:
"Penso, logo existo".
aplicações.
natureza, se apresentarem 2 tipo de
grandezas, as escalares e as vetoriais.
Trabalharemos inicialmente com os vetores
no plano e no espaço (local onde vivemos).
Grandeza Escalar
É aquela que necessita em sua definição explicitar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida.
Exemplos:
1) Massa: um corpo com 24 kg de massa 24
é o módulo da grandeza e kg (quilograma) é a
unidade de medida.
34oC 34 é o módulo da grandeza e oC (grau
Celsius) a unidade de medida.
módulo (quantidade) e uma unidade de medida,
direção e sentido.
uma intensidade (módulo), numa direção e num
sentido.
direção horizontal com sentido para direita, está
representada na figura a seguir:
*
diferente de zero, este corpo está se deslocando com
uma certa velocidade, numa determinada direção e num determinado sentido. Por exemplo: Uma bola sendo lançada para o alto com uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), assim a direção é vertical com sentido para cima e módulo igual a 12.
qual se atribui 3 características: módulo, direção e
sentido.
Notação:
Módulo: é o tamanho do vetor (seu comprimento) e será
denotado por :
Direção: é dada pela reta suporte que sustenta o vetor.
Sentido: é indicado pela seta do vetor.|
Módulo
sentido
Direção
Notação:
Definição: Um segmento orientado é um par ordenado
(A,B) de pontos do espaço. O ponto A é a origem e B é a
extremidade. Um segmento orientado do tipo (A,A) é
chamado segmento orientado nulo.
de equipolência de segmentos orientado.
2) Vetores paralelos têm a mesma direção.
um método chamado "método da poligonal“.
Para isso considere o ponto O um ponto qualquer no plano (ou
espaço), transportamos um dos vetores fazendo coincidir a origem do vetor com o ponto O (sem mudar as características do vetor pois o movimento é rígido),. Em seguida transportamos o outro vetor, fazendo coincidir a extremidade do primeiro com a origem do segundo. Então, fechamos a poligonal (que no caso de somente dois vetores a poligonal será um triângulo) obtendo a soma, como na figura abaixo.
Adição: Dados os vetores , o
vetor soma é o vetor de origem no ponto A e
extremidade no ponto D.
OBS: Uma variação do método da poligonal é o que
chamamos de "método do paralelogramo" (muito usado
na soma de dois vetores).
propriedade importante, assim é
direção do mesmo seja alterada. Quanto ao
sentido do vetor resultante, pode ser alterado ou
não (conforme o sinal do escalar).
Lista GA_N1
1)A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
RESP: a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V
k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V
diferente do vetor nulo, denotado por ,
é um vetor unitário, ou seja, , com
mesma direção e sentido do vetor ,
definido por .
Profª Ieda Pinheiro Oliveira
Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos é o comprimento (módulo) do vetor , isto é :
Aplicações vetores ortogonais
Determinar as coordenadas do vetor v sabendo-se que v é ortogonal aos vetores
v1 = (2,3,-1) e v2 = (1,-2,3) e que satisfaz a condição: v.(2i -j +k) = 6
Considere v = (a, b, c)
as coordenadas do vetor v = (3, -3, -3)
a) u = (1,-2,3) e v = (4,5,2)
b) i . j
2)Provar que um triângulo de vértices A(2,3,1), B(2,1,-1) e C(2,2,-2) é um triângulo retângulo.
Dica: Provar que o produto escalar entre 2 vetores seja igual a zero
Aplicações do produto vetorial
Cálculo do vetores ortogonais a dois vetores dados u e v...
Determine um vetor ortogonal a ¯u = (1, 2, 3) e ¯v = (2, 1, 1).
Ângulo de dois vetores;
Distância de dois pontos;
Cálculo da área de um paralelogramo
Determine a área do paralelogramo de vetores (1, 2, 3) e (2, 1, 1).
Dica: A área é igual ao módulo do produto vetorial dos vetores (1, 2, 3) e (2, 1, 1).
Então temos que ...
área é √35.
vetorial dos vetores (1, 2, 3) e (2, 1, 1).
Agora tente!!
Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores u = (3, 1, 2) e v =(4 , -1 , 0).
área = √117
A(2,1,-1), B(1.-1,0) e C(-1,1,2).
Dica:
A área desse triângulo é a metade da área do paralelogramo formado por 2 vetores que saem do mesmo ponto para outro.
Agora tente!!
Calcule a área do triângulo de vértices P, Q e R onde P = (1, -1, 2), Q = (0, 3, 4) e R = (6, 1, 8)
produto vetorial vamos obter o vetor (20,16,-22)
Dica:
A área desse triângulo é a metade da área do paralelogramo formado por 2 vetores que saem do mesmo ponto para outro.
ll PQxPR ll = 2√ 285
sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6).
RESP: x=2
)
)
)
)
)
u e v
produto escalar deles é .
tem-se
uv
rr
rur
REGRA DA MÃO DIREITA
os, então:
e u é o ângulo
θ
mesma origem.
º.
r
v
q
r
u
B
O
A
rrrr
Se v // u e v e u tem o mesmo sentid
o, então
θ=0
Se v // u e v e u tem sentido contrá
rio, então
v u = v u cos
θ ,
ângulo entre os vetores
u=(1,1,4) e v =(-1,2,2).
uv
cos
θ=
uv
3
cos
θ=
45º
æö
gulo ABC, sendo
A (3,-3,3); B (2, -1, 2) e C ( 1, 0, 2)
e seus lados são respectivamente AC, AB
e BC.
×
ulo ABC, sendo
A (3,-3,3); B (2, -1, 2) e C ( 1, 0, 2)
e BC.
CBBC( 2, 1, 2) (1, 0, 2)=(1,1,0)
=-=---
=-=---
BCCB( 1, 0, 2) (2, 1, 2)=(1,1,0)
=-=----
=-=---
ACCA( 1, 0, 2) (3,3,3)=(2,3,1)
=-=----
=-=----
ulo ABC, sendo
A (2,1,3); B (1, 0, -1) e C ( -1, 2, 1)
e BC.
Dica: Calcular
vetor e os eixos coordenados.
Ouseja,
ângulosdiretoresde
formacomosvetores
,erespectiamente
abg
r
r
rurur
e60º.
Determine
coscoscos1
a
a
abg
Um vetor do espaço com os vetores i e j
ângulos 60º e 120º
endoquev2
Sejam os vetores u e v não-nulos e o â
ngulo entre eles.
teremos:
q
q
de v sobre u e
indicado por
,4 sobre u =1,-1,0
decompor v
--
é retângulo em A?
lativa ao vértice A?

Geometria Analitica - 05

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