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L’insegnamento della geometria dello spazio e il software di geometria dinamica CABRI 3D

Luigi Tomasi Liceo Scientifico “Galileo Galilei”, Adria (Ro)

SSIS Università di Ferrara

Sunto. In questo articolo si esaminano le caratteristiche principali del

software di geometria dinamica Cabri 3D (la prima versione è uscita nel

2004), ideato per l’insegnamento della geometria dello spazio. Si descrivono

inoltre i possibili vantaggi della visualizzazione dinamica e dell'interattività,

permesse in modo del tutto innovativo dal software Cabri 3D, per

l'insegnamento di questo importante tema del curricolo matematico, spesso

trascurato nella scuola secondaria.

1. Insegnamento della geometria dello spazio e software di geometria dinamica

Nell’ultimo decennio i sistemi di geometria dinamica, come Cabri

Géomètre, si sono diffusi nella pratica didattica della scuola secondaria prevalentemente per l’insegnamento della geometria piana. Facendo uso di un metodo di rappresentazione –per esempio l’assonometria cavaliera- questi software possono anche essere usati per ottenere delle figure di geometria dello spazio. In questo modo, tuttavia, non si può ottenere la stessa dinamicità e facilità di interazione che si ha per le figure del piano. Le figure tridimensionali sono più difficili da realizzare e richiedono una buona conoscenza delle tecniche del disegno, non presente in genere negli allievi di scuola secondaria. Uno dei problemi dell’insegnamento e dell’apprendimento della geometria dello spazio è quindi legato alla difficoltà di eseguire delle buone figure sia con gli strumenti tradizionali che con il software. La nostra concreta esperienza delle figure geometriche avviene nello spazio, ma la rappresentazione deve essere fatta nel piano, anche se si lavora sullo schermo di un computer. Per questo è necessario sapere rappresentare nel piano un oggetto tridimensionale, scegliendo uno dei metodi di rappresentazione, che si studiano nel disegno, come le proiezioni ortogonali, l’assonometria o la prospettiva. Si cerca di

La matematica e la sua didattica • Anno 20, n. 2, 2006

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superare a volte questa difficoltà ricorrendo a modelli fisici delle figure dello spazio, ma questi oggetti sono quasi tutti statici e a scuola non è sempre facile ritrovarli o farli costruire agli allievi stessi. Anche per la geometria dello spazio prevale –quando viene svolta- uno studio su figure rappresentate sul quaderno o sul libro di testo, con le difficoltà di visualizzazione e di rappresentazione che sono state richiamate in precedenza. È quindi particolarmente interessante avere oggi a disposizione un software come Cabri 3D, che permette di superare queste difficoltà iniziali e di costruire una figura 3D senza il problema di conoscere –almeno come prerequisito iniziale- uno dei sistemi di rappresentazione di una figura solida forniti dalla geometria descrittiva. Con l’uso di questo software, un allievo può forse operare con una figura dello spazio con più spontaneità e concentrarsi maggiormente sulle proprietà geometriche della figura nello spazio, senza farsi bloccare dalla mancata conoscenza di una particolare tecnica di rappresentazione.

2. Analisi delle caratteristiche di Cabri 3D

In questo paragrafo e nel prossimo presentiamo sinteticamente il software Cabri 3D e alcuni esempi di figure che illustrano le sue potenzialità per l’insegnamento della geometria dello spazio nella scuola secondaria. La prima versione del software Cabri 3D è uscita in occasione del Convegno internazionale “CabriWorld 2004”, tenutosi a Roma nel settembre 2004. Cabri 3D è stato prodotto da Cabrilog, Grenoble (Francia), una società di produzione di software matematico fondata nel 2000 da Jean-Marie Laborde, direttore di ricerca al CNRS - Centre National de la Recherche Scientifique, Università di Grenoble, autore principale del software di geometria dinamica Cabri Géomètre. Cabri 3D è stato ideato specificamente per l’insegnamento della geometria dello spazio. È il risultato di un lavoro di alcuni anni condotto a Cabrilog da un gruppo coordinato da Eric Bainville e fa parte di un progetto più vasto per arrivare a creare dei software di “terza generazione” –dopo Cabri 1 e Cabri II - che conservino e sviluppino la stessa “filosofia” di Cabri Géomètre, basata sull’interattività, la facilità d’uso e il forte orientamento alla didattica della matematica. In questi anni c’è stata una crescente influenza della grafica computerizzata 3D e del CAD (Computer Aided Design) su tutti i mezzi

L. Tomasi • Insegnamento della geometria dello spazio e software di geometria…

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di comunicazione multimediali. La presenza di questi tecnologie è ormai consolidata e particolarmente evidente nei media che fanno uso della cosiddetta “realtà virtuale”, nei videogiochi e nei film di animazione, oltre che nel disegno tecnico. Gli autori di Cabri 3D hanno pensato di utilizzare queste recenti caratteristiche hardware e software della “computer graphics” per ideare e realizzare un programma per la geometria solida. Nel seguito ci riferiamo all’ultima versione 1.2 (2006) di Cabri 3D. La finestra iniziale del software presenta i seguenti elementi: -La barra del titolo: contiene l’icona del programma e il nome del documento aperto “Cabri 3D - [Documento1]” -La barra dei menu, che contiene le sei voci principali: File, Edita, Visualizza, Documento, Finestra, ?(Aiuto).

Figura 1 – La finestra di lavoro di Cabri 3D.

-La barra degli strumenti, che contiene nove caselle; da sinistra verso


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destra sono: Puntatore, Punti, Linee, Superfici, Costruzioni, Trasformazioni, Poligoni regolari, Poliedri, Poliedri regolari. -Un documento aperto con una sola pagina contenente una vista su un piano in prospettiva, e il sistema di riferimento indicato da tre vettori unitari (vettore di colore rosso=asse x, verde=asse y, blu=asse z). Il software è stato progettato con la stessa “filosofia” di Cabri Géomètre, anche se un’analisi più approfondita permette di rilevare molte differenze. La barra degli strumenti di Cabri 3D è visualizzata sotto la barra dei menu. Ogni icona della barra degli strumenti permette di accedere a una casella contenente diversi strumenti (primitive geometriche e di costruzione). L’icona dello strumento selezionato rimane visibile –su uno sfondo più chiaro- sulla barra fino a che non si cambia strumento. Cabri 3D permette di creare e manipolare i seguenti tipi di oggetti nello spazio: - Punti, rette, semirette, segmenti, vettori. - Circonferenze e coniche. - Piani, semipiani, angoli convessi, triangoli, poligoni, poligoni

regolari. - Sfere, cilindri, coni. - Tetraedri, prismi, piramidi, poliedri convessi, parallelepipedi

rettangoli, sviluppi di poliedri, sezioni di poliedri, poliedri regolari.

Figura 2 – La barra degli strumenti di Cabri 3D.

Le costruzioni sono effettuate grazie agli strumenti contenuti nelle caselle e in particolare nella casella “Costruzioni” (Perpendicolare,


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Parallelo/a, Piano assiale, Punto medio, Somma di vettori), che si selezionano prima di creare o di agire su un oggetto. Gli strumenti di costruzione accettano in ingresso oggetti esistenti oppure oggetti creati implicitamente nel momento stesso della costruzione. Cabri 3D presenta inoltre la casella di strumenti “Trasformazioni” dedicata alle isometrie dello spazio (Simmetria centrale, Simmetria assiale, Simmetria rispetto a un piano, Traslazione, Rotazione). I colori delle icone degli strumenti seguono la stessa convenzione di Cabri Géomètre II: in blu sono indicati gli oggetti in ingresso e in rosso gli oggetti che saranno costruiti. Fanno eccezione le icone delle trasformazioni dove sono rappresentati in verde gli oggetti che definiscono la trasformazione stessa (ad esempio, una retta per definire una simmetria assiale). Al fine di ridurre il numero degli strumenti e di aumentare la facilità d’uso del software, la maggior parte degli strumenti di Cabri 3D permette di realizzare più di una costruzione; gli oggetti costruiti in uscita sono in relazione agli oggetti selezionati in ingresso. Ad esempio, lo strumento “Perpendicolare” (casella Costruzioni), permette di ottenere una retta perpendicolare a un piano (se si indica in ingresso un piano e un punto), un piano perpendicolare a una retta (se si indica una retta e un punto) oppure ancora una retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data. A differenza di Cabri Géomètre, con Cabri 3D si può tornare indietro di più passi nella costruzione di una figura. Gli stili e le proprietà degli oggetti, oltre che tramite i menu, possono essere cambiati velocemente tramite il menu contestuale dei singoli oggetti. Con Cabri 3D è possibile: • Costruire una figura nello spazio e illustrarla con l’aiuto delle opzioni grafiche disponibili (colori, stili, textures); questo permette di ottenere, con facilità, figure di geometria solida didatticamente efficaci per la loro dinamicità oltre che attraenti. • Spostare liberamente il punto di vista dal quale osservare, costruire e modificare una figura nello spazio. • Aggiungere ad una figura delle viste 3D, dette anche proiezioni, scelte tra più di quindici tipi di rappresentazioni disponibili (in assonometria, in prospettiva o in proiezione ortogonale). • Disporre liberamente le viste 3D in una o più pagine, aggiungendo eventuali didascalie, commenti e testi.


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• Stampare le figure ottenute in alta risoluzione o incollarle, con un’ottima resa grafica, in documenti creati con altri programmi (ad esempio Word). Ovviamente, più alta è la risoluzione delle figure e maggiore sarà la dimensione del file che viene creato (si può scegliere tra tre tipi di risoluzione: alta, media e bozza). • Esportare figure, in forma interattiva, inserendole in documenti di programmi per Windows (Word, Power Point,…) per Macintosh o in pagine Internet (tramite un plug-in). Perché una figura sia visibile in una pagina web da un altro utente occorre però che nel suo computer sia installato il programma Cabri 3D, anche in versione dimostrativa. Cabri 3D richiede risorse hardware “robuste”, in particolare delle schede grafiche molto recenti. Del software esistono due versioni, per i sistemi Windows e Macintosh. I file di Cabri 3D sono salvati in formato Cabri-ML, derivato dal linguaggio XML-Extensible Markup Language, e sono leggibili ed editabili da un utente - che comunque deve essere abbastanza esperto - a differenza dei file di Cabri Géomètre. Nell’ultima versione del software sono state introdotte altre caratteristiche, come la ridefinizione di un punto, l’animazione di punti e –molto interessante dal punto di vista didattico- la possibilità di ottenere lo sviluppo piano di un poliedro, tramite lo strumento “Apri poliedro”. Cabri 3D può essere utile nella scuola secondaria - all’insegnante e agli allievi - quando si affrontano argomenti di geometria dello spazio, perché consente di costruire e interagire facilmente con figure tridimensionali, offrendo un supporto notevole per la visualizzazione dinamica di proprietà geometriche. Può anche essere utile a studenti universitari, per visualizzare certe configurazioni spaziali che sono alla base dello studio della geometria analitica nello spazio. Nella versione attuale tuttavia il software non contiene strumenti di misura e di geometria analitica dello spazio. Nella rappresentazione di una figura tridimensionale Cabri 3D usa come modello predefinito un tipo di prospettiva, chiamato dagli autori “prospettiva naturale”. Questa rappresentazione, infatti, corrisponde alla visione naturale degli oggetti tridimensionali. Nella “prospettiva naturale” si immagina di osservare gli oggetti da un punto di vista che si trova a distanza finita dall’oggetto (proiezione conica), al contrario della rappresentazione in assonometria nella quale si suppone di osservare l’oggetto dall’infinito (proiezione parallela). Nella figura 3 si vede un cubo rappresentato in prospettiva naturale, disposto con una faccia sul


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piano di base proposto inizialmente da Cabri 3D.

Figura 3. Un cubo in “prospettiva naturale”.

Cabri 3D consente di spostare liberamente il punto di vista dal quale è possibile osservare le figure ed eventualmente modificarle. Questo equivale a muovere una sorta di telecamera virtuale puntata sulla figura. Lo spostamento della “camera” avviene premendo il tasto destro del mouse e trascinando. La possibilità di cambiare il punto di vista è indubbiamente una delle caratteristiche più interessanti di Cabri 3D, perché rende la costruzione di figure di geometria dello spazio al computer di una valenza incomparabile, dal punto di vista didattico, rispetto alla costruzione che si può fare alla lavagna o su un foglio da disegno usando gli strumenti tradizionali. Molte delle concezioni distorte legate alle figure di geometria dello spazio dipendono infatti dall’uso di figure statiche presenti nel libro di testo e soprattutto di quelle realizzate dagli allievi o dall’insegnante alla lavagna. In genere è molto difficile eseguire, per l’allievo e per l’insegnante, delle buone figure di geometria solida. Spesso inoltre, ciò che appare nella figura non corrisponde alle proprietà reali della figura. Ad esempio, quando si rappresenta una circonferenza in assonometria o in prospettiva, quello che si osserva realmente non è una circonferenza, ma un’ellisse. Nel disegno si vede un’ellisse, ma si deve pensare ad una circonferenza. Si verifica la stessa situazione di contrasto tra quel che viene rappresentato e l’oggetto reale, così ben descritto da René Magritte nel suo quadro Ceci n’est pas une

pipe. Nel quadro viene rappresentata una pipa, ma questa ovviamente non è un oggetto con cui si possa fumare.


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Figura 4 – Ceci n’est pas une… ellipse!

Con Cabri 3D è quindi possibile interagire dinamicamente con una figura nello spazio con la stessa facilità permessa da Cabri Géomètre per le figure del piano. In particolare, con Cabri 3D, il concetto di “costruzione con riga e compasso” viene esteso allo spazio. Si può, ad esempio, risolvere il problema di costruire “con riga e compasso” un tetraedro regolare a partire dal suo spigolo. Questo problema non significa semplicemente costruire lo sviluppo piano del tetraedro regolare, ma acquista un significato del tutto nuovo, di vera e propria costruzione con riga e compasso nello spazio, come può essere la costruzione, in un piano, di un triangolo equilatero a partire dal lato (Proposizione 1 degli Elementi di Euclide). La rappresentazione spaziale viene automaticamente “presa in carico” dal software. Lo studente deve unicamente concentrarsi sulle proprietà geometriche della costruzione. Un software come Cabri 3D colma quindi una lacuna per quanto riguarda gli strumenti che si possono utilizzare per l’insegnamento interattivo della geometria dello spazio. Nell’ideazione, nella struttura e nel suo funzionamento Cabri 3D è modellato sulle relazioni esistenti tra gli oggetti geometrici dello spazio tridimensionale. Gli assiomi e i teoremi della geometria dello spazio corrispondono agli strumenti presenti nel software. Ad esempio, per tre punti non allineati è possibile costruire un piano, per un punto è possibile condurre una ed una sola retta perpendicolare a un piano, ecc. Queste caratteristiche differenziano Cabri 3D da altri software, che pure permettono di costruire figure nello spazio, ma che sono orientati al disegno tecnico o alla grafica computerizzata.


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3. Alcuni esempi di geometria dello spazio con Cabri 3D

Nel seguito presentiamo sinteticamente alcuni esempi di geometria dello spazio che si possono proporre nella scuola secondaria con l’uso di Cabri 3D. Il software Cabri 3D può essere particolarmente efficace nell’analisi e nella visualizzazione di proprietà che mettono in gioco unicamente punti, rette e piani dello spazio e le loro relazioni.

Figura 5 – Distanza tra due rette

sghembe Figura 6 – Teorema delle tre

perpendicolari

Si possono così visualizzare in modo interattivo proprietà riguardanti le reciproche posizioni di rette e piani, il parallelismo e la perpendicolarità nello spazio. Nelle figure 5 e 6 si presentano due esempi: nella prima si visualizza la costruzione per determinare la distanza tra due rette sghembe; nella seconda figura viene illustrato il “teorema delle tre perpendicolari”. Cabri 3D è un ottimo strumento per la costruzione dei poliedri ed esplorare dinamicamente le loro proprietà. Possiamo, ad esempio, esaminare le proprietà del tetraedro, il più semplice dei poliedri. Nella figura 7 è stato costruito un tetraedro non regolare e sono state tracciate le sue altezze, intese come rette. Con Cabri 3D è facile rendersi conto che in generale le altezze di un tetraedro non si incontrano in un unico punto, al contrario di quello che si verifica per le altezze di un triangolo. Si può esplorare il problema in modo interattivo e chiedersi: quali sono le condizioni affinché le altezze di un tetraedro si incontrino in un unico


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punto? Questo problema è particolarmente interessante e si presta ad analisi e scoperte che mostrano come non si possa sempre stabilire un’analogia tra le proprietà delle figure nel piano e quelle delle figure nello spazio. Ad esempio, le mediane di un tetraedro si incontrano in un punto che è il baricentro del tetraedro. Si possono quindi proporre agli allievi le seguenti domande, alle quali è possibile rispondere tramite un’esplorazione di una figura: - Esiste per un tetraedro l’analogo del circocentro di un triangolo,

ossia un punto che sia il centro della sfera circoscritta al tetraedro? - Ed esiste, in un tetraedro, l’analogo dell’incentro di un triangolo?

Figura 7 – Altezze di un tetraedro.

Un altro tema che si affronta nello studio della geometria dello spazio è quello delle sezioni piane dei solidi; è importante perché permette di passare dallo spazio al piano, e viceversa, oltre a rafforzare l’intuizione spaziale. Con Cabri 3D si può ad esempio sezionare un poliedro con un piano e studiare le intersezioni al variare del piano. Nella figura 8 è visualizzata l’intersezione tra un cubo e un piano, in modo da ottenere una sezione a forma di esagono regolare.


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Figura 8 – Sezione di un cubo a forma di esagono regolare

Oltre alla possibilità di costruire i poliedri con “riga e compasso”, in cui la costruzione è fatta “a mano”, Cabri 3D mette a disposizione una casella di strumenti dedicata ai poliedri regolari, Con questi strumenti, un solido platonico può essere costruito in modo rapido, con tre clic del mouse oppure “incollandolo” a un poligono regolare.

Figura 9 - I cinque solidi platonici


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Nella figura 9 sono rappresentati i cinque solidi platonici ottenuti usando gli strumenti di questa casella (tetraedro regolare, cubo, ottaedro regolare, dodecaedro regolare e icosaedro regolare). La casella di strumenti dedicata alle trasformazioni geometriche nello spazio permette un studio interattivo delle isometrie e delle proprietà di simmetria e uguaglianza nello spazio. Un tema classico che si può proporre nella scuola secondaria, a vari livelli di approfondimento, è quello dello studio delle isometrie dei poliedri regolari più semplici: tetraedro, cubo (figura 10) e ottaedro.

Figura 10 – Assi di rotazione di un cubo.

Nella figura 11 viene proposta la costruzione dello sviluppo piano di un dodecaedro regolare. Per ottenere tale sviluppo si disegna un dodecaedro regolare e poi si usa lo strumento “Apri poliedro”. Lo sviluppo ottenuto può anche essere stampato su cartoncino, in modo da ritagliarlo e incollarlo, ottenendo così un modello fisico del poliedro. In Cabri 3D inoltre è possibile costruire le coniche (passanti per cinque punti complanari oppure, per dualità, tangenti a cinque rette complanari) e le superfici quadriche elementari: cono, cilindro e sfera. La possibilità di ottenere le coniche come intersezioni tra un piano e la superficie di un cono circolare retto a due falde (figura 12) è forse l’applicazione didattica più interessante di Cabri 3D riguardo alle coniche.


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Figura 11 – Sviluppo di un poliedro

Con Cabri 3D si può inoltre proporre una bella costruzione dello spazio che permette di passare dalla definizione delle coniche come sezioni (data da Apollonio di Perga, 262-190 a.C.) alla definizione in cui le coniche sono presentate come luoghi geometrici del piano. Occorre quindi passare dalla definizione delle coniche come sezioni alla determinazione dei loro fuochi e delle direttrici (fuoco e direttrice nel caso della parabola). Questa costruzione è stata proposta nel 1822 dal matematico belga G.P. Dandelin (1794-1847) e afferma che i fuochi delle coniche sono i punti di tangenza tra il piano secante e le sfere tangenti a questo piano e al cono (figura 13). Le sfere tangenti sono due nel caso dell’ellisse e dell’iperbole e una nel caso della parabola.


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Figura 12 – Sezione conica (iperbole) Figura 13 – Teorema di Dandelin Con Cabri 3D si può presentare nella scuola secondaria superiore qualche elemento riguardante la geometria della sfera. Prima di tutto si può visualizzare l’intersezione tra un piano e una sfera (figura 14) e introdurre la definizione di circonferenza massima sulla superficie di una sfera. Nella figura 15, usando anche la simmetria centrale, sono state disegnate tre circonferenze massime sulla sfera, per dare l’idea di un triangolo sferico.

Figura 14 – Sfera, piani e circonferenze massime

Figura 15 – Triangolo sferico


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4. Conclusioni

In questa recensione sono state illustrate le caratteristiche principali di Cabri 3D e proposte alcune riflessioni sulla sua utilizzazione nell’insegnamento della geometria dello spazio. Anche la geometria solida è un tema che dall’uso delle tecnologie e del software di geometria dinamica ha tutto da guadagnare, così come negli ultimi dieci anni l’insegnamento e apprendimento della geometria hanno tratto vantaggio dal diffondersi nelle scuole di software di geometria dinamica come Cabri Géomètre. Su Cabri 3D occorre quindi un lavoro di sperimentazione e di ricerca in classe degli insegnanti per verificare quanto è stato descritto in questa recensione. Possiamo in conclusione affermare che Cabri 3D è un software che merita di essere conosciuto e sperimentato in classe dagli insegnanti per le seguenti motivazioni e per verificare le seguenti ipotesi: - è stato progettato appositamente per l’insegnamento della geometria dello spazio; - permette di esplorare e costruire una figura tridimensionale con la stessa spontaneità con cui in Cabri Géomètre è possibile operare sulle figure piane; - può permettere di insegnare a “vedere nello spazio”, senza l’ostacolo iniziale di dovere conoscere, come prerequisito, un metodo di rappresentazione della geometria descrittiva; - consente di visualizzare idee, fare congetture e trovare dimostrazioni di fatti geometrici nello spazio; - permette di progettare attività in laboratorio che portino a formulare congetture in situazioni geometriche dello spazio; - consente di unificare maggiormente lo svolgimento della geometria dello spazio con quello della geometria piana, vedendo quest’ultima in un contesto più vasto. Con l’uso di Cabri 3D, e più in generale del software di geometria dinamica, è possibile affrontare l’insegnamento della geometria dello spazio disponendo di uno strumento di notevole valenza didattica che può permettere, se ben utilizzato, di presentare questo tema –a torto trascurato- del curricolo matematico in modo più vivace e attraente.

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Siti web

Il sito ufficiale su Cabri 3D è quello di Cabrilog, Grenoble (Francia). In questo sito si possono scaricare gli aggiornamenti del software, i manuali e le versioni di valutazione: http://www.cabri.com Nel seguente sito è possibile scaricare altri materiali su Cabri 3D: http://www.chartwellyorke.com/cabri3d/introtocabri3d.htm In questo sito si possono trovare alcune figure di geometria dello spazio realizzate con Cabri 3D: http://www.matematica.it/tomasi/figure3d/

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