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Percorsi didattici di geometria Percorsi didattici di geometria dello spazio:dello spazio:lavorando con lavorando con CABRI 3DCABRI 3D……

Luigi TomasiL.S. “G. Galilei” Adria – SSIS Ferrara

luigi.tomasi@unife.it

Roma, 6-7 giugno 2007

Incontro su “Ricerche in didattica della matematica con l’uso dei DGS”

Uso delle tecnologie informatiche al fine di facilitare l’insegnamento di argomenti di geometria 3D che si ritengono fondamentali nel curricolo di matematica.Elaborazione di percorsi didattici di geometria dello spazio per la scuola secondaria, per gli studenti della SSIS e per insegnanti di scuola secondaria.Analisi delle difficoltà (non solo degli studenti) nella rappresentazione di oggetti 3D.Ruolo della visualizzazione dinamica permessa dai DGS nell’apprendimento insegnamento della geometria dello spazio.

Motivazioni del lavoro svoltoMotivazioni del lavoro svolto(cosa si ricerca?)(cosa si ricerca?)

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E’ possibile anche per la geometria dello spazio progettare delle attività che portino a formulare congetture, come avviene per la geometria del piano ad esempio con un software come Cabri II Plus ?Si può intraprendere qualche strada nuova per l’insegnamento della geometria dello spazio e affrontare l’argomento in modo più motivante e nello stesso tempo più efficace?E’ possibile collegare nell’insegnamento la geometria del piano e la geometria dello spazio?

Motivazioni del lavoro svoltoMotivazioni del lavoro svolto(perch(perchéé della della ricercaricerca……))

Le tecnologie software sono utili solo per la geometria del piano o anche per quella dello spazio?Si può fare per lo spazio quello che si è fatto con i DGS per la geometria del piano?Strumenti software e percorsi didattici, ovvero: èpossibile fare dei percorsi di insegnamento –apprendimento di geometria dello spazio, piùrapidi, ma efficaci, usando i software 3D?Vantaggi della visualizzazione dinamica (in 3D): esistono? Come si possono verificare?

““Idee guidaIdee guida”” presenti nel lavoro presenti nel lavoro svolto (corsi, seminari, svolto (corsi, seminari, conferenze, articoli,...)conferenze, articoli,...)

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Cosa può fare un insegnante con un DGS?Quali problemi di insegnamento e apprendimento della geometria dello spazio si posso risolvere?Esplorare alcune delle enormi potenzialità delle tecnologie informatiche, ma inserire questo in un quadro preciso e verificato…Nello stesso tempo esaminare le difficoltà, i problemi, le concezioni sbagliate che possono insorgere quando si usano le tecnologie (questo è un problema piùgenerale, che si pone anche se non si usano le tecnologie…)

Il lavoro Il lavoro èè stato svolto con stato svolto con obiettivi finalizzati obiettivi finalizzati allall’’insegnamentoinsegnamento--apprendimentoapprendimento

Difficoltà con il disegno di oggetti 3D (questo riguarda quasi tutti, anche gli insegnanti…)Conoscenze non adeguate di geometria del pianoPoca intuizione spaziale… ; difficoltà di visualizzazione e a “vedere nello spazio”.

DifficoltDifficoltàà degli studenti nello degli studenti nello studio della geometria 3Dstudio della geometria 3D

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Alcune delle difficoltà degli allievi sono unaconseguenza di come la geometria solida viene insegnata:

Insegnamento prevalentemente “cartaceo” (libro di testo, quaderno, disegni “carta e matita”,…)basato su disegni alla lavagna (difficili da realizzare dalla maggior parte degli insegnanti)mancanza di visualizzazione (al massimo si usano dei modelli statici)La rappresentazione viene fatta in un piano (questo èvero anche per i DGS…); soprattutto nella geometria dello spazio una figura fatta male può provocare idee sbagliate (al contrario di quel che succede per il piano, se seguiamo la famosa battuta di Polya sulla geometria).

DifficoltDifficoltàà degli studenti nella degli studenti nella geometria 3D e insegnamentogeometria 3D e insegnamento

Rappresentazione degli oggetti 3D e software di geometria dinamica

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Il problema della rappresentazioneIl problema della rappresentazioneassonometria o prospettiva?assonometria o prospettiva?Un problema di “Flatlandia”, rubrica di problemi (febbraio 2006) e il disegno di un’allieva di III mediaCongiungendo i centri delle facce (con uno spigolo in comune) di un cubo si ottengono gli spigoli di un poliedro.1) Di quale poliedro si tratta? E' regolare?2) Determinare il rapporto fra il suo volume e quello del cubo.Motivare le risposte.

Il problema della rappresentazioneIl problema della rappresentazioneassonometria o prospettiva?assonometria o prospettiva?

la stessa figura con Cabri 3D

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Con Cabri 3Dsi possono costruire figure di geometria 3D senza conoscere i metodi di rappresentazione come l’assonometria o la prospettivasi può imparare a “disegnare nello spazio” in poco tempo

ma soprattutto:Le figure ottenute sono facilmente manipolabili mediante il trascinamento o cambiando il punto di vista

Gli strumenti di Gli strumenti di Cabri 3D Cabri 3D versvers.2.2

PuntatoreLinee Misura

PuntiSuperfici

Costruzioni

Trasformazioni

Poligoni regolari

Poliedri regolari

Poliedri

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Il piano di riferimento e la Il piano di riferimento e la rappresentazione in prospettivarappresentazione in prospettiva

Rappresentazione di un Rappresentazione di un cubocubo……

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Questa Questa èè una circonferenza!una circonferenza!

Percorsi didattici di geometria dello spazio che si possonoproporre con l’uso di un DGS(qui Cabri 3D)

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Rette e piani nello spazioPoliedri (prismi, piramidi, poliedri regolari)Costruzioni “con riga e compasso” nello spazioSezioni di un cuboPoliedri regolariSimmetrie dei poliedri regolariEquiscomponibilità ed equiestesione tra poliedriTrasformazioni geometriche dello spazio (isometrie e omotetie)Poliedri archimedeiSezioni di un (doppio) conoUn po’ di geometria sulla sfera.

Percorsi di geometria dello Percorsi di geometria dello spazio: esempispazio: esempi

Rette e piani nello spazio

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Angolo tra una retta e un pianoAngolo tra una retta e un pianoDomande: Domande: cosa si deve sapere prima?cosa si deve sapere prima?ee’’ la stessa cosa usare Cabri 3D oppure soltanto il libro di la stessa cosa usare Cabri 3D oppure soltanto il libro di testo?testo?

Distanza tra due rette sghembeDistanza tra due rette sghembeStesse domande di prima: Stesse domande di prima: cosa si deve sapere prima?cosa si deve sapere prima?EE’’ la stessa cosa usare la stessa cosa usare Cabri 3DCabri 3D per fare questa per fare questa costruzione oppure usare soltanto il libro di testo o la costruzione oppure usare soltanto il libro di testo o la lavagna?lavagna?

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Teorema delle tre perpendicolariTeorema delle tre perpendicolaricosa si deve saper prima per dimostrare questo teorema?cosa si deve saper prima per dimostrare questo teorema?

Poliedri con l’uso di Cabri 3D(cenno a Poly)

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Altezze di un tetraedroAltezze di un tetraedro

Mediane di un tetraedroMediane di un tetraedro

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Dallo spazio al piano: sezioni di un Dallo spazio al piano: sezioni di un poliedropoliedro

Dallo spazio al piano: sezioni Dallo spazio al piano: sezioni particolari di un cuboparticolari di un cubo

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Le costruzioni dipendono dagli Le costruzioni dipendono dagli strumenti del softwarestrumenti del software-->percorsi >percorsi didattici diversi e diverse definizioni!didattici diversi e diverse definizioni!

prismi

piramidi

I poliedri regolari (solidi platonici): I poliedri regolari (solidi platonici): problema della definizioneproblema della definizione

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Diverse possibilitDiverse possibilitàà di costruire un di costruire un poliedro regolare: costruzioni con poliedro regolare: costruzioni con ““riga e compasso nello spazioriga e compasso nello spazio””

DualitDualitàà tra i poliedri regolaritra i poliedri regolari

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Costruzioni: alcuni poliedri archimedeiCostruzioni: alcuni poliedri archimedei

Relazione di (Cartesio) Relazione di (Cartesio) EuleroEulero

2=−+ SFV

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Sviluppo di un poliedro e Sviluppo di un poliedro e costruzione di un modello costruzione di un modello dal piano allo spazio; difficoltdal piano allo spazio; difficoltàà: : Cabri 3DCabri 3D fornisce fornisce un soloun solosviluppo di un poliedrosviluppo di un poliedro

Questo Questo èè lo sviluppo di un tetraedro lo sviluppo di un tetraedro regolare?regolare?

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Questo Questo èè lo sviluppo di un tetraedro?lo sviluppo di un tetraedro?Dal piano allo spazio e viceversaDal piano allo spazio e viceversa

Questo Questo èè lo sviluppo di un cubo?lo sviluppo di un cubo?Dal piano allo spazio e viceversaDal piano allo spazio e viceversa

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Un solido piUn solido piùù complicato da complicato da svilupparesviluppare…… (dallo spazio al piano)(dallo spazio al piano)

Cilindro, cono e sferaCilindro, cono e sfera

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Sezioni coniche Sezioni coniche (dallo spazio al piano)(dallo spazio al piano)

Un poUn po’’ di geometria della sferadi geometria della sfera

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Assi di rotazione di un cuboAssi di rotazione di un cubo

Piani di simmetria di un cuboPiani di simmetria di un cubo

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Animazione e traccia Animazione e traccia (strumenti per la (strumenti per la scoperta di proprietscoperta di proprietàà))

EquiestensioneEquiestensione nello spazio: nello spazio: prisma e piramide triangolariprisma e piramide triangolari

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Misura nello spazioMisura nello spazio

Altra “domanda guida”

Si può fare geometria analitica dello spazio senza conoscere quella sintetica?

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L’algebra lineare è uno strumento molto potente.

Ma si può fare solo algebra lineare, come spesso succede all’università?

Cosa apprende uno studente di geometria dello spazio se impara soltantol’algebra lineare?

Dal punto di vista didattico (ma occorre verificare anche questo), forse si può dire:

Abbasso Dieudonné!

Coordinate e vettori nello spazioCoordinate e vettori nello spazioin forma interattivain forma interattiva

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Geometria analitica dello Geometria analitica dello spazio in forma interattivaspazio in forma interattiva

Sperimentare dei percorsi didattici di geometria dello spazio e osservare gli allievi alle prese con il software in situazioni controllate.Produrre dei percorsi didattici che siano alla portata dei docenti di scuola secondaria e facilmente trasferibili in classe.Usare diversi software utili per insegnare la geometria dello spazio per studiarne e confrontarne le potenzialità e i limiti.Esaminare l’approccio analitico integrato con quello sintetico.

Conclusioni e prospettive (da Conclusioni e prospettive (da sperimentare) 1sperimentare) 1

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Studio delle false opinioni su alcuni nodi cruciali della geometria dello spazio (ad esempio il problema delle sezione di un cubo, sezioni di un diedro,…)Esaminare percorsi che integrino la geometria piana con quella solida (ad esempio usando Cabri II Plus e Cabri 3D).Sperimentare, usando il software di geometria 3D percorsi che facciano maggiormente uso dei vettori per la risoluzione dei problemi.Produrre dei percorsi didattici che integrino maggiormente la geometria solida con l’architettura, il disegno e l’arte.

Conclusioni e prospettive (da Conclusioni e prospettive (da sperimentare) 2sperimentare) 2

Accascina G., Rogora E (2005), Using Cabri 3D: First impressions, Proceedings of the 7th International Conference on Technology inMathematics Teaching, Bristol, 26-29 July 2005, ed. Olivero F., Sutherland R., pp. 53-60.Bainville E. (2004), Alcune costruzioni con Cabri 3D, in Cabri World 2004, Percorsi di geometria dinamica, Media Direct, pp. 199-208.Tomasi L. (2003), Geometria dello spazio e visualizzazione: considerazioni su insegnamento e uso del software, in L’insegnamento della Matematica e delle scienze integrate, Vol. 26 A-B N. 6, Novembre-Dicembre 2003, pp. 781-798. Tomasi L. (2004), Geometria dello spazio, da Cabri II a Cabri 3D: rappresentazione e visualizzazione dinamica, in Cabri World 2004, Percorsi di geometria dinamica, Media Direct, pp. 187-198.Tomasi L., Bainville E. (2006), Introduzione e a Cabri 3D. Un software per esplorare la geometria dello spazio, Media Direct, Bassano del Grappa.

Riferimenti bibliograficiRiferimenti bibliografici