Fondamenti di Geometria nello spazio 3D -...

Corso di Robotica

Prof. Davide Brugali

Università degli Studi di Bergamo

Fondamenti di Geometria

nello spazio 3D

Geometria delle traslazioni

11

0

0QTQ

Semplice traslazione

00

1

1QTQ

x0

y0

z0

x1

y1

z1

Q

T

1

1

1

0

0

0

qz

qy

qx

c

b

a

qz

qy

qx

1

0

0

1TT

2 Robotica - UNIBG - Prof. Brugali

Geometria delle rotazioni

Rotazione rispetto all’asse z

x

y

(Px,Py)

θ ρ

Px = ρ cos(θ)

Py = ρ sin(θ)

22pypx

px

pyarctan

Qx = ρ cos(θ+φ)

Qy = ρ sin(θ+φ)

Qx = ρ cos(θ)cos(φ) - ρ sen(θ)sen(φ)

Qy = ρ cos(θ)sin(φ) + ρ sen(θ)cos(φ)

Qx = Px cos(φ) – Py sen(φ)

Qy = Px sin(φ) + Py cos(φ)

φ (Qx,Qy)

(Px,Py)

x

y

θ ρ



y

x

y

x

P

P

Q

Q*

cossin

sincos

01

0

0PRQ

φ (Qx,Qy)

(Px,Py)

x

y

θ ρ

Qx = Px cos(φ) – Py sen(φ)

Qy = Px sin(φ) + Py cos(φ)

Q = R * P

x0

y0

P

φ

x1

Q

y1

01PQ

11

0

0QRQ

00

1

1QRQ

4

Rotazione rispetto all’asse z

Robotica - UNIBG - Prof. Brugali


Fornisce l’orientamento di una terna di coordinate rispetto ad

un’altra. I vettori colonna sono i coseni direttori degli assi della terna

ruotata rispetto alla terna di riferimento.

Rappresenta una trasformazione di coordinate che mette in relazione

le coordinate di un punto in due terne differenti con origine comune

p = Rp. Inoltre in virtù della proprietà di ortogonalità della matrice

R, la trasformazione inversa si scrive

p = RTp

La matrice di rotazione R rappresenta l’operatore che permette di

ruotare un vettore (nella stessa terna), di un angolo prefissato, attorno

ad un generico asse di rotazione nello spazio.



Rotazione dirette e inverse rispetto agli assi x,y,z

100

0cossin

0sincos

1

0

Rz

100

0cossin

0sincos

0

1

Rz

cos0sin

010

sin0cos

0

1Ry

cos0sin

010

sin0cos

1

0Ry

cossin0

sincos0

001

1

0Rx

cossin0

sincos0

001

0

1Rx

T

RR1

0

0

1 Se R-1 = RT allora R è ortogonale

det(R) = 1



Regola della mano destra


Importanza dell’ordine delle rotazioni


Rotazioni successive rispetto alla terna corrente

La rotazione complessiva è espressa come successione di rotazioni

parziali, ciascuna delle quali è definita rispetto alla rotazione

precedente. La terna rispetto alla quale avviene la rotazione in atto è

definita terna corrente.

La composizione di rotazioni successive rispetto alla terna corrente si

ottiene per moltiplicazione da sinistra verso destra le matrici delle

singole rotazioni, nell’ordine della rotazione.

9

1

2

0

1

0

2RRR


Importanza dell’ordine delle rotazioni


Rotazioni successive rispetto ad una terna fissa

0

1

1

2

0

2RRR

La composizione di rotazioni successive rispetto ad una terna

fissa si ottiene moltiplicando da destra verso sinistra le

singole matrici di rotazione nell’ordine delle rotazioni.


Angoli di Roll / Pitch / Yaw

12

X

Y

Z

yaw

pitch

roll


Angoli RPY

Tale rappresentazione trae origine da una descrizione delle rotazioni usate

frequentemente in aeronautica.

In particolare RPY indicano rispettivamente il rollio (Roll) il beccheggio (Pitch)

e l’imbardata (Yaw) di uno scafo.

In questo caso la terna di parametri rappresenta rotazioni definite rispetto ad una

terna fissa solidale al baricentro dello scafo.


Angoli RPY

Si ruota la terna origine dell’angolo

intorno all’asse x (imbardata); tale

rotazione è descritta dalla matrice di

rotazione

Si ruota la terna originale

dell’angolo intorno all’asse y

(beccheggio); tale rotazione è

rappresentata dalla matrice

Si ruota la terna originale

dell’angolo intorno all’asse z

(rollio); tale rotazione è

rappresentata dalla matrice:

cos0sen0

sencos0

001

)(x

R

cos0sen

010

sen0cos

)(y

R

100

0cossen

0sencos

)(

z

R


Angoli RPY

La rotazione globale della terna, essendo ottenuta per composizione rispetto ad una

terna fissa è:

ccscs

sccssccssscs

sscsccsssccc

RRRRxyzRPY

)()()(

Problema inverso

333231

232221

131211

rrr

rrr

rrr

R

3332

2

33

2

3231

1121

,2tan

,2tan

,2tan

rrA

rrrA

rrA

appartenete all’intervallo (/2, 3/2)

3332

2

33

2

3231

1121

,2tan

,2tan

,2tan

rrA

rrrA

rrA


Rappresentazione con angoli di Eulero

T ,,

Relazione di ortogonalità R RT = I

solo 3 parametri indipendenti

R fornisce una rappresentazione ridondante

Rappresentazione minima

16

Euler Angle I Euler Angle II Roll-Pitch-Yaw

Sequence about OZ axis about OZ axis about OX axis

of about OX’ axis about OY’ axis about OY axis

Rotations about OZ’’ axis about OZ’’ axis about OZ axis



'''

1

0 zxzRRRR

Metodo di Eulero I:

si ruota la terna origine dell'angolo φ intorno all'asse z: tale rotazione è descritta

dalla matrice di rotazione Rz(φ)

si ruota la terna dell'angolo θ intorno all'asse x’ corrente: tale rotazione è

descritta dalla matrice di rotazione Rx1(θ).

si ruota la terna dell'angolo ψ attorno all'asse z’’ corrente: tale rotazione è

descritta dalla matrice di rotazione Rz’’ (ψ)


Angoli di Eulero I

x

y

z

u'

v'

v "

w"

w'=

=u"

v'"

u'"

w'"=


Angoli di Eulero I

cossin0

sincos0

001

,

100

0cossin

0sincos

'xzRR

100

0cossin

0sincos

''

zR

cossincossinsin

sincos

coscoscos

sinsin

cossincos

cossin

sinsincoscossin

sincos

cossinsin

coscos

''' zxzRRRR



'''

1

0 zyzRRRR

Metodo di Eulero II:

si ruota la terna origine dell'angolo φ intorno all'asse z: tale rotazione è descritta

dalla matrice di rotazione Rz(φ)

si ruota la terna dell'angolo θ intorno all'asse y’ corrente: tale rotazione è

descritta dalla matrice di rotazione Ry1(θ).

si ruota la terna dell'angolo ψ attorno all'asse z’’ corrente: tale rotazione è

descritta dalla matrice di rotazione Rz’’ (ψ)


Angoli di Eulero II

x

y

z

u'

v' =v"

w"

w'=

u"

v"'

u"'

w"'=


Angoli di Eulero II

cossinsincossin

sinsin

coscos

sincossin

sincos

coscossin

sincoscossin

sincoscos

sinsin

coscoscos


Angoli di Eulero: Problema inverso

333231

232221

131211

rrr

rrr

rrr

R

csscs

ssccscsscccs

sccssccssccc

REUL

3132

33

2

23

2

13

1323

,2tan

,2tan

,2tan

rrA

rrrA

rrA

Si possono ricavare due soluzioni,

equivalenti (per gli effetti prodotti),

scegliendo appartenente all’intervallo

(0, ) oppure (-, 0)

Le due soluzioni ricavate degenerano

quando s = 0; in questo caso è

possibile determinare soltanto la

somma o la differenza di e . Infatti,

se = 0, , le rotazioni successive di

e sono effettuate intorno ad assi di

terna corrente paralleli fra di loro,

fornendo così effetti di rotazione

equivalenti.

3132

33

2

23

2

13

1323

,2tan

,2tan

,2tan

rrA

rrrA

rrA


Coordinate omogenee

1

0

11

0

0TQRQ

Rototraslazione

1

*10

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

qz

qy

qx

TR

qz

qy

qxx0

y0

z0

x1

y1

z1 Q

T

11

0

0QHQ


Coordinate omogenee

11000

100

010

001

1

1

1

1

0

0

0

qz

qy

qx

c

b

a

qz

qy

qx Pura traslazione

11000

0

0

0

1

1

1

1

222120

121110

020100

0

0

0

qz

qy

qx

rrr

rrr

rrr

qz

qy

qx

Pura rotazione

Attenzione: La matrice di trasformazione omogenea non gode della

proprietà di ortogonalità!


Traslazione lungo l’asse z

x

y

z

P

u

v

w

O, O’

x

y

z P

u

v

w

O, O’ h

1000

100

0010

0001

),(h

hzTrans

11

*

1000

100

0010

0001

1

hp

p

p

p

p

p

hz

y

x

w

v

u

w

v

u


Rotazione attorno all’asse x

1000

00

00

0001

),(

CS

SCxRot

x

z

y

v

w

P

u

11000

00

00

0001

1

w

v

u

p

p

p

CS

SC

z

y

x


Composizione di rototraslazioni

x

z

y

v

w

P

u

Una sequenza di trasformazioni

regole:

Se il sistema di riferimento O-U-V-W ruota

attorno ad un asse principale del sistema di

riferimento O-X-Y-Z, allora usare la Pre-

moltiplicazione

Se il sistema di riferimento O-X-Y-Z ruota

attorno ad un asse principale del sistema di

riferimento O-U-V-W, allora usare la Post-

moltiplicazione


Esempio

Rotazione di attorno all’asse OX

Traslazione di a lungo all’asse OX

Traslazione di d lungo all’asse OZ

Rotazione di attorno all’asse OZ

,,,, xaxdzzRTTRH

1000

00

00

0001

*

1000

0100

0010

001

*

1000

100

0010

0001

*

1000

0100

00

00

CS

SC

a

d

CS

SC


Composizione di trasformazioni

2

1

1

0

2

0HHH

0x

0z

0y

1

0H

2

1H

1x

1z

1y 2

x

2z

2y

?


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