Fondamenti e didattica della matematica - Geometria ... · Isometrie e aree Rivedendo gli esercizi...

Fondamenti e didattica della matematica -Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienzedella Formazione - Università Milano Bicocca -

a.a. 2007-2008

10 ottobre 2007

Marina Bertolini ([email protected])

Dipartimento di Matematica F.Enriques

Università degli Studi di Milano

Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 – p. 1/33

mailto:[email protected]

Trasformazioni geometriche


Quadrati

Definizione – Chiamiamo quadrato un poligono con 4

lati uguali e 4 angoli retti.


Quadrati

Quando diamo la definizione di quadrato in realtà nondefiniamo una figura, ma tante figure.

Infatti quello che ci interessa è identificare la classe dellefigure che rispondono alla nostra definizione.La parola classe è presa in prestito dal capitolo delleRelazioni di equivalenza.

Il concetto di classe ci permette di considerare “uguali”(in altre parole equivalenti) tutte le figure che ad esempiorispondono ad una definizione o piu’ in generalesoddisfano certe proprieta’ geometriche.


Trasformazioni del piano

Queste considerazioni vengono formalizzate nel contestodella geometria delle trasformazioni.

Definizione – Una trasformazione del piano è unacorrispondenza biunivoca tra i punti del piano.

In altre parole una trasformazione del piano f associaad ogni punto P uno e un solo punto f (P) (che possiamoindicare con P′)e viceversaogni punto P′ del piano è il corrispondente di uno e unsolo punto P.


Corrispondenze biunivoche

Una corrispondenza biunivoca tra due insiemi è unalegge che permette di associare ad ogni elemento delprimo insieme uno e un solo elemento del secondoinsieme e viceversa ogni elemento del secondo insiemeproviene da uno e un solo elemento del primo insieme.

Assegnare una corrispondenza biunivoca significaassegnare la regola con cui associare gli elementi.

Nelle trasformazioni geometriche, gli insiemi dellacorrispondenza sono il piano e gli elementi sono i puntidel piano.


Esempi


Riflessione rispetto ad una retta r



Fissata una retta r, la riflessione corrispondente è quellatrasformazione che manda ogni punto del piano P in quelpunto P′ che appartiene alla perpendicolare da P a r etale che la distanza di P dalla retta r sia uguale alladistanza di P′ da r

r

P


Esempi

Se nel piano cartesiano associamo ad ogni punto la suaproiezione sull’asse delle ascisse, otteniamo unatrasformazione?

No, infatti la corrispondenza data in questo caso non èbiunivoca. Tutti i punti delle rette perpendicolari all’assedelle ascisse hanno lo stesso punto comecorrispondente.


Rotazione di angolo α attorno al

punto O

Fissato un punto O del piano e un angolo α la rotazionecorrispondente è quella trasformazione che manda ognipunto del piano P nel punto P′ individuato dal fatto che ladistanza di O da P è uguale alla distanza di O da P′ eche l’angolo POP′ sia uguale all’angolo α

OP


Rotazione di angolo α

attorno al punto O


Traslazione di vettore v

Fissato un vettore v, la traslazione corrispondente èquella trasformazione che manda ogni punto del piano P

nel punto P′ individuato dal fatto che il vettore→PP′ abbia

la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso versodi v.


Traslazione di vettore v


Isometrie del piano

Una isometria è una trasformazione f del piano chelascia invariate le distanze.

In altre parole, f è una isometria se comunque siprendano due punti P e Q del piano, allora la distanza traP e Q è uguale alla distanza tra i punti corrispondenti,P′ = f (P) e Q′ = f (Q).

Come sono fatte le isometrie del piano?

Come sono due figure piane isometriche (cioè duefigure ottenute l’una dall’altra con una isometria)?


Proprietà delle isometrie

La definizione di isometria permette di dedurne alcuneproprietà geometriche:

Le isometrie conservano gli angoli (ovvero:comunque si fissino tre punti A, B e C del piano,l’angolo da questi individuato è uguale all’angoloindividuato dai loro corrispondenti A′, B′ e C′)

se tre punti A, B e C sono allineati, allora i tre punticorrispondenti A′, B′ e C′ sono allineati

l’immagine di ogni segmento è un segmento,l’immagine di ogni retta è una retta


Gli esempi visti

Le riflessioni, le rotazioni e le traslazioni sono isometrie.Si può infatti dimostrare che, qualunque sia la scelta deipunti P e Q, si ha che la distanza tra P e Q è uguale alladistanza tra P′ e Q′, dove P′ e Q′ sono i punti ottenuti daP e Q con una rotazione o traslazione o riflessione.


Composizione di isometrie


Composizione di traformazioni

Date due trasformazioni, che chiamiamo f e g,applicando prima la f e poi la g (cioè facendone lacomposizione ) otteniamo una nuova trasformazione.

Ricordiamo che una isometria (del piano) è unatrasformazione (del piano) che lascia invariate ledistanze.

Si può dimostrare che la composizione di due isometrie èancora una isometria.


Composizione di traslazioni


Composizione di riflessioni


Composizione di isometrie

Ricapitoliamo quanto visto

La composizione di due traslazioni è ancora unatraslazione (corrispondente alla somma di vettori)

Quando faccio la composizione di due traslazioninon importa in quale ordine considero le duetraslazioni

La composizione di due riflessioni può essere unatraslazione o una rotazione (a seconda che le retterispetto a cui rifletto siano parallele o incidenti)

Quando faccio la composizione di due riflessioniottengo risultati diversi a seconda di qualeriflessione opera per prima

Che cosa succede se compongo due rotazioni?Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 – p. 25/33

Nuove isometrie?

Fino ad ora abbiamo visto che sono isometrie:

le traslazioni

le riflessioni

le rotazioni

?????

La composizione di isometrie potrebbe permettermi ditrovare nuovi tipi di isometrie da aggiungere a questalista.

Che cosa succede se compongo una traslazione e unariflessione?


Glissoriflessioni

Componendo una traslazione con una riflessionescopriamo una nuova famiglia di isometrie: leglissoriflessioni


Isometrie del piano

Si può dimostrare che con le glissoriflessioni abbiamocompletato la lista delle isometrie del piano

traslazioni

riflessioni

rotazioni

glissoriflessioni

In altre parole, ogni isometria del piano è di uno dei tipi inelenco.(Nota: si tratta di un teorema di teoria dei gruppi.)


Isometrie del piano

Vi sono isometrie che conservano l’orientamento eisometrie che non conservano l’orientamento

rotazioni e traslazioni conservano l’orientamento

riflessioni e glissoriflessioni non conservanol’orientamento


Geometria delle isometrie


Geometria delle isometrie

Due figure sono “equivalenti” se esiste una isometria ditutto il piano che manda la prima figura nella seconda.

Dalle proprieta’ viste, si ha che due poligoni isometricihanno per esempio:

la stessa area

lo stesso “perimetro”

lati e angoli uguali


Isometrie e aree

Rivedendo gli esercizi sulle aree scopriamo che di fattoabbiamo utilizzato la geometria delle isometrie

I triangolini si corrispondono tramite una traslazione.


Isometrie e aree

I trapezi si corrispondono tramite una rotazione.


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