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Geometria analitica: curve e superfici Coniche

©2006 Politecnico di Torino 1

Geometria analitica: curve e superfici

2

Coniche

Coniche geometriche Coniche algebriche Coniche e matrici Coniche e isometrie Riduzione InvariantiStudio di coniche Intersezione con rette e tangentiConiche in forma parametrica



Coniche

4

Coniche come luoghi geometrici

Ellisse: insieme dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti F1 e F2, detti fuochi, ècostante. Il caso F1 = F2 corrisponde alla circonferenza.

Iperbole: insieme dei punti del piano la cui differenza delle distanze da due punti F1 e F2, detti fuochi, è costante.

Parabola: insieme dei punti del piano equidistanti da una retta d, detta direttrice e da un punto F, F ∉ d, detto fuoco.



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Coniche in forma canonica (1/3)

Sia C una conica. Scegliamo un sistema di riferimento Oxy nel piano in modo che:

Se C è una ellisse o una iperbole, allora F1 = (c, 0) e F2 = (-c, 0) con c ≥ 0;

Se C è una parabola, F = (0, c ) e d : y = -ccon c > 0.

6


Nei sistemi di riferimento del tipo descritto le coniche sono rappresentate da equazioni di forma particolarmente semplice. Si dice in tal caso che le coniche sono in forma canonica.



7


8

Ellisse in forma canonica (1/2)

Se C è una ellisse, C è rappresentata in Oxy da un’equazione del tipo:

dove a ≥ b > 0 sono i semiassi e .

Per a = b C è la circonferenza di raggio ae centro O.

2 2

2 21+ =

x ya b

2 2= −c a b



9

Ellisse in forma canonica (2/2)

C ha un centro di simmetria (l’origine) e due assi di simmetria (gli assi coordinati).

Le intersezioni di C con gli assi, dette i vertici di C, sono i punti (a, 0), (-a, 0), (0, b ), (0, -b ).

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Iperbole in forma canonica (1/2)

Se C è un’iperbole, C è rappresentata in Oxy da un’equazione del tipo:

dove a >0, b > 0 sono i semiassi e

Per a = b C è una iperbole equilatera.

2 2

2 21− =

x ya b

2 2 .= +c a b



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Iperbole in forma canonica (2/2)

C ha un centro di simmetria (l’origine) e due assi di simmetria (gli assi coordinati).

I vertici di C sono i punti (a, 0), (-a, 0).Le rette bx ± ay = 0 sono gli asintoti di C.

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Parabola in forma canonica

Se C è una parabola, C è rappresentata in Oxy da un’equazione del tipo:

dove a > 0 è la concavità e c = 1/4a.

C ha un asse di simmetria (asse delle ordinate) e un vertice (l’origine).

2=y ax



Coniche

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Premessa

Le coniche si possono rappresentare come luoghi di zeri di particolari polinomi di secondo grado in due variabili.

Invertendo tale procedimento, studieremo i luoghi di zeri dei generici polinomi di secondo grado in due variabili. Chiameremo tali luoghi di zeri coniche algebriche.



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Polinomi a due variabili

Il generico polinomio di grado 2 in due variabili a coefficienti reali ha forma

con i coefficienti ai,j non tutti nulli.

( ) 2 21,1 1,2 2,2 1 2, 2 2 2 ,= + + + + +p x y a x a xy a y b x b y c

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Coniche come luoghi di zeri (1/2)

Il luogo di zeri C = Z (p ) = {(x, y ) ∈ | p (x, y ) = 0}

di p si dice conica algebrica in R 2 di equazione p (x, y ) = 0. Quindi

Se k ≠ 0 il polinomio kp (x, y ) definisce la stessa conica, quindi l’equazione di C è determinata a meno di un fattore non nullo.

2 21,1 1,2 2,2 1 2: 2 2 2 0+ + + + + =C a x a xy a y b x b y c

2



17

Coniche come luoghi di zeri (2/2)

In questa lezione per “conica” intenderemo “conica algebrica in ”. Questa definizione, oltre a ellissi, iperboli o parabole, comprende altri insiemi, come si vede dai seguenti esempi.

2

18

Esempi

Se C : x 2 + y 2 + 1 = 0 o C : x 2 +1 = 0, allora C = ∅.

Se C : x 2 + y 2 = 0, allora C è il punto (0, 0).

Se C : x 2 – y 2 = 0, allora C è la coppia di rette incidenti

Se C : x 2 – 1 = 0, allora C è la coppia di rette parallele

Se C : x 2 = 0, allora C è la retta x = 0.

.= ±y x

1.= ±x



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Coniche degeneri e non degeneri

Le ellissi, iperbole e parabole si dicono coniche non degeneri mentre il ∅, i punti, le rette, le coppie di rette (incidenti o parallele) si dicono coniche degeneri.

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Coniche isometriche

Se C , C’ sono coniche e se esiste una isometria ftale che f (C’ ) = C , C e C’ si dicono isometriche(tramite f ). Essere isometriche è una relazione di equivalenza:

C è isometrica a sé stessa tramite Id ;

Se C e C’ sono isometriche tramite f , allora C’ e Csono isometriche tramite f -1;

Se C e C’ sono isometriche tramite f e se C’ e C’’sono isometriche tramite g, allora C e C’’ sono isometriche tramite f o g.



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Elementi fondamentali

Poiché le coniche non degeneri sono definite da condizioni metriche, se C e C’ sono isometriche tramite f e se C è non degenere, anche C’ lo è e gli elementi fondamentali (fuochi, assi, centro, vertici, asintoti, semiassi, concavità) di C saranno i trasformati di quelli di C’ tramite f.

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Riduzione e riconoscimento

Proveremo che ogni conica C è isometrica a una conica C’ in forma canonica tramite una isometria f detta riduzione di C a C’.

Poiché C’ può essere inserita in uno degli 8 tipi di coniche individuati (tra non degeneri e degeneri), otteniamo un procedimento di classificazione di Cdetto riconoscimento di C.



Coniche

24

Matrice associata

Sia

La matrice simmetrica 3 x 3

si dice matrice associata alla conica C.

1,1 1,2 1

1,2 2,2 2

1 2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠C

a a bM a a b

b b c

2 21,1 1,2 2,2 1 2: 2 2 2 0.+ + + + + =C a x a xy a y b y b y c



25

Equazione matriciale (1/2)

Posto

abbiamo l’equazione matriciale

1,1 1,2 1

1,2 2,2 2

, , ,⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟= = =⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

a a b xA B X

a a b y

: 2 0.t tC XAX BX c+ + =

26

Equazione matriciale (2/2)

La forma quadratica qA (X ) = tXAX si dice parte quadratica, l’applicazione lineare lB (X ) = tBX si dice parte lineare mentre c è il termine noto.

C è univocamente determinata da MC a meno di un fattore non nullo.



27

Esempio

Se

allora

e

2 2: 4 4 4 6 2 2 0,+ − + − + =C x y xy x y

31

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜−⎝ ⎠B

4 2,

2 4

⎛ ⎞− ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜−⎝ ⎠A

( ) ( )4 2

: , 2 3, 1 2 0.2 4

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜+ − + =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x xC x y

y y

28

Coniche traslate

Sia una conica. Se la matrice A è diagonale diremo che C è una conica traslata. In particolare, se A = aI2 con a ≠ 0 abbiamo

Quindi C è una circonferenza, un punto o il vuoto.

2 21 2: 2 2 0.+ + + + =C ax ay b x b y c

: 2 0t tC XAX BX c+ + =



29

Coniche a centro

Le ellissi e le iperboli in forma canonica sono coniche traslate con parte lineare nulla.In generale, le equazioni del tipo

con α, β non entrambi nulli definiscono le coniche a centro in forma canonica.

Queste coniche (se diverse da ∅) hanno l’origine come centro di simmetria e gli assi come assi di simmetria.

2 2 0+ − =x yα β γ

30

Parabole

Le parabole in forma canonica sono coniche traslate con parte quadratica dipendente solo da x, parte lineare solo da y e termine noto nullo. In generale, le equazioni del tipo

con α, γ non nulli definiscono le parabole in forma canonica.

Queste coniche hanno l’origine come vertice e l’asse delle ordinate come asse di simmetria.

2 2 0− =x yα γ



Coniche

32

Equazioni di coniche e isometrie (1/2)

Sia C : p (X ) = t XAX + 2t BX + c = 0 e sia f (X ) = NX + P una isometria di . Per ogni X ∈ esiste un unico

tale che X = f (X’ )

Allora X = NX’ + P ∈ C se e solo se

2''

'

⎛ ⎞⎟⎜= ∈⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

xX

y

2

2

( ) ( ) ( )( ) ( )

' ' 2 '

' ' 2 ' 0.

t t

t t t

NX P A NX P B NX P c

X NANX N AP B X p P

+ + + + + =

= + + + =



33

Equazioni di coniche e isometrie (2/2)

Osserviamo che p (P ) = t PAP + 2tBP + cè il valore che il polinomio p assume nel punto P.

Posto A’ = tNAN, B’ = tN (AP + B ) e c’ = p (P ), la conica

è tale che f (C’ ) = C e f -1 (C ) = C’.

' 2 ' ' 0t tXA X B X c+ + =' :C

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Matrice di riduzione (1/3)

Sia C : t XAX + 2tBX + c = 0. Poiché A èsimmetrica, esiste N ∈ O (2) tale che

dove α, β ∈ sono gli autovalori di A. Per ipotesi A ≠ O, quindi α e β non sono entrambi nulli.

0'

0

⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠tNAN A

αβ



35


Ricordiamo che:

Le colonne [N ]1 = Xα, [N ]2 = Xβ di N sono autovettori di A con autovalori α e βrispettivamente e formano una base ortonormaledi ;

D (A ) = D (A’ ) = αβ, tr (A ) = tr (A’ ) = α + β.

2

36


La matrice N si dice matrice di riduzione della conica C. Osserviamo che N non è unica ma che, se α ≠ β e se fissiamo l’ordine degli autovalori, vi sono quattro matrici di riduzione ottenute cambiando i segni di Xα e Xβ.

Se α = β, A = αI2, e ogni matrice N ∈ O (2) è di riduzione (caso delle circonferenze).



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Convenzione sugli autovalori

Adotteremo le seguenti convenzioni:

Se D (A ) > 0, allora ;

Se D (A ) < 0 e D (MC ) > 0, allora α > 0 e β < 0;

Se D (A ) < 0 e D (MC ) < 0, allora α < 0 e β > 0;

Se D (A ) = 0, allora α ≠ 0 e β = 0.

≤α β

Coniche



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Riduzione a coniche traslate

Se C : p (X ) = t XAX + 2t BX + c = 0 e se N èuna matrice di riduzione di C , dato P ∈l’isometria f (X ) = NX + P trasforma la conica traslata

in C . C’ è una conica in forma canonica a centro se tN (AP + B ) = O. Ciò equivale a AP + B = Oin quanto N è invertibile.

( ) ( ) ( )' : 2 0t t tC X NAN X N AP B X p P+ + + =

2

40

Coniche a centro

La conica C : p (X ) = tXAX + 2t BX + c = 0 si dice conica a centro se il sistema

AX = -Bè risolubile. In tal caso, se P è una soluzione di AX = -B e se f (X ) = NX + P, posto γ = -p (P ) abbiamo la conica in forma canonica

Quindi f è una riduzione di C a C’.

2 2' : 0.C x yα β γ+ − =



41

Parabole (1/4)

Se C : p (X ) = t XAX + 2tBX + c = 0 e se il sistema AX = -B è impossibile, allora D (A ) = 0 e A ha autovalori α ≠ 0, β = 0.

Se B = {Xα, X0} è una base ortonormale di

autovettori per A, prendiamo come matrice di riduzione N la matrice ortogonale che ha come colonne tali versori.

42

Parabole (2/4)

Se f (X ) = NX + P è un’isometria con P qualsiasi, e se C’ = f -1 (C )

Allora si prova che esistono unici P e γ ≠ 0 tali che p (P ) = 0 e tN (AP + B ) = (0, -γ ) = -γe2.

( ) ( )2' : 2 0.t xC x N AP B p P

yα

⎛ ⎞⎟⎜+ + + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠



43

Parabole (3/4)

Siccome Ne2 = X0, tali condizioni equivalgono al sistema (non lineare!) parametrico

Si prova che esiste un solo γ ≠ 0 per cui S ha soluzione P e che tale soluzione è unica.

0

2 0:

t tXAX BX cSAX B Xγ

⎧⎪ + + =⎪⎨⎪ =− −⎪⎩

44

Parabole (4/4)

Scegliendo per definire f (X ) = NX + P il punto P e il numero γ che soddisfano alle equazioni di S otteniamo la conica in forma canonica

Quindi C è una parabola, e f è una riduzione di C a C’.

2' : 2 0.− =C x yα γ



45

Teorema di Riduzione

Se C è una conica, allora esiste una riduzione di C a una conica in forma canonica C’.

Osserviamo che questo teorema assicura che le coniche possono essere riconosciute utilizzando le coniche in forma canonica e permette di ottenere gli elementi fondamentali di una conica C come trasformati degli elementi fondamentali di una sua forma canonica C’ tramite la relativa riduzione f.

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Centro e assi di una conica a centro (1/2)

Sia C ≠ ∅ una conica a centro e sia f (X ) = NX + P una riduzione di C a una forma canonica C’. Allora f trasforma l’origine e gli assi coordinati in centro e assi di simmetria. Quindi

Se P è una soluzione del sistema AX = -B, allora P è centro di simmetria di C ;

Le rette passanti per P e con direzione gli autovettori di A sono assi di simmetria di C.



47

Centro e assi di una conica a centro (2/2)

In particolare se D (A ) ≠ 0 vi è unico centro di simmetria, detto il centro di C ; se inoltre Cnon è una circonferenza, vi sono due assi di simmetria, detti gli assi di C.

48

Vertice e asse di una parabola

Sia C una parabola e sia f (X ) = NX + P una riduzione di C a una forma canonica C’. Allora f trasforma l’origine nel vertice e l’asse delle ordinate nell’asse di simmetria. Quindi:

Se P ∈ C è soluzione di AX = -B -γX0, conX0 autovettore di A relativo a 0 e allora P è il vertice di C ;

L’asse di simmetria di C è la retta passanteper P con direzione X0.

0 1,=X



Coniche

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Teorema di Invarianza

Siano C : t XAX + 2tBX + c = 0 e C’ : t XA’ X + 2tB’ X + c’ = 0 coniche isometriche.Allora D (A ) = D (A’ ), tr (A ) = tr (A’ ), D (MC ) = D (MC’ ), r (MC ) = r (MC’ ).

I numeri D (A ), tr (A ), D (MC ), r (MC ) si dicono numeri invarianti di C.



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Matrici di forme canoniche

I numeri invarianti e i Teoremi di Riduzione e di Invarianza ci permettono di riconoscere una conica C : t XAX + 2tBX + c = 0.

Se C’ è una forma canonica di C,

o '

0 00 00 0

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠CM

αβ

γ'

0 00 0 .0 0

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠CM

αγ

γ

52

Parabole

Posto MC = M e MC’ = M’ , osserviamo che nel primo caso D (A ) = αβ = 0 ⇒ D (M ) = - αβγ = 0 mentre nel secondo D (A ) = 0 e D (M ) = - αγ 2 ≠ 0

Quindi se D (A ) = 0 e D (M ) ≠ 0, allora C è una parabola.



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Coniche a centro (1/3)

Se D (A ) > 0, α e β hanno lo stesso segno (che è il segno di tr (A ) = α + β ) mentre γ ha il segno opposto a D (M ).

Se tr (A ) D (M ) < 0, γ ha lo stesso segno di αe β e C è un’ellisse;

Se tr (A ) D (M ) > 0, γ ha segno opposto a α e β e C = ∅;

Se D (M ) = 0, γ = 0 e C è un punto (l’unica soluzione di AX = -B ).

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Coniche a centro (2/3)

Se D (A ) = αβ < 0, α e β hanno segni opposti.

Se D (M ) ≠ 0, γ ≠ 0 e C è una iperbole;

Se D (M ) = 0, γ = 0 e C è una coppia di rette incidenti.

Se D (A ) = αβ = 0, α ≠ 0, β = 0 e D (M ) = 0.

Se r (M ) = 1, allora γ = 0 e C è una retta;

Se r (M ) = 2, allora γ ≠ 0 e C è una coppia di rette parallele o il ∅ a seconda del segno di α e γ .



55

Riconoscimento e caso degenere

Riassumendo, ogni conica è classificabile in uno dei seguenti tipi:

Coniche non degeneri: ellisse, iperbole, parabola;

Coniche degeneri: punto, retta, coppia di rette incidenti, coppia di rette parallele, vuoto.

Dallo studio dei numeri invarianti otteniamo che:Se C è una conica e C ≠ ∅, allora C è non degenere se e solo se D (MC ) ≠ 0.

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Forma canonica con invarianti

Se C è una conica a centro e D (A ) ≠ 0, abbiamo

Se C è una parabola,

Quindi possiamo ottenere una forma canonica C’di C senza calcolare esplicitamente la riduzione di C a C’.

( )( )

;=−D MD A

γ

( )( )

.= ± −D Mtr A

γ



Coniche

58

Parabola (1/5)

SiaAllora

quindi C è una parabola.

( ) 2 2: , 2 2 1 0.= + + − + =C p x y x y xy x

1 1 | 11 1 | 0

,

1 0 | 1

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜−⎝ ⎠

CM M ( ) ( )0, 1,= =−D A D M



59

Parabola (2/5)

L’autospazio di A relativo a 0 ha equazione x + y = 0.

Se il vertice è soluzione di ( )01

1, 1 ,2

= −X

( )0

0:⎧⎪ =⎪⎨⎪ =− −⎪⎩

p XS

AX B Xγ

( )2 2 1 0

1: 1

212

⎧⎪⎪⎪ + − + =⎪⎪⎪⎪⎪ + = −⎨⎪⎪⎪⎪⎪ + =⎪⎪⎪⎩

x y x

S x y

x y

γ

γ

cioè

60

Parabola (3/5)

Quindi e S è equivalente a

da cui 5 1, .

8 8⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

P

12

=γ

( )2 2 1 0

12

⎧⎪ + − + =⎪⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎪⎪⎩

x y x

x y



61

Parabola (4/5)

Poiché abbiamo la forma canonicaquindi

Xα è un versore ortogonale a X0: sia

Allora una riduzione di C a C’ è

( ) 2,= =tr Aα2' : 2 2 0,C x y− = 2' : 2 .C y x=

( )11,1 .

2=X α

( )( ) 1 1 51 1, .

81 1 12

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

xf x y

y

62

Parabola (5/5)

L’asse di simmetria è la retta

Il fuoco di C’ è quindi il fuoco di Cè

Poiché la direttrice di C è

la retta

( ) ( )1: 1, 1 5, 1 .

8− + −r t

1' 0, ,

4 2

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠F

( ) 3 1' , .

4 4⎛ ⎞⎟⎜= = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

F f F

1 10, ,0 ,

24 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟− =⎟⎜ ⎟⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠f

( ) 1: 1,1 ,0 .

2⎛ ⎞⎟⎜+ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

d t



63

Iperbole (1/5)

Sia C : x 2 + y 2 + 4xy + 6x – 4 = 0. Allora

quindi C è una iperbole.

1 2 | 32 1 | 0

,

3 0 | 4

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠

CM M ( ) ( )3, 3,=− =D A D M

64

Iperbole (2/5)

Gli autovalori di A sono α = 3 e β = -1 e

quindi abbiamo la forma canonica

C’ : 3x 2 –y 2 = 1, da cui

con

( )( )

1,=− =D MD A

γ

2 2

2 2' : 1− =

x yCa b

1, 1.

3= =a b



65

Il centro P di C è l’unica soluzione di AX = -B : P = (1, -2). Scegliendo gli autovettori

e abbiamo la

riduzione di C a C’ :

Iperbole (3/5)

( )11,1

2=X α

( )( ) 1 1 11, .

1 1 22

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

xf x y

y

( )11,1

2= −X β

66

Gli assi di simmetria di C sono le rettee

I fuochi di C’ sono

quindi i fuochi di C sono

Iperbole (4/5)

( ) ( )1 : 1,1 1, 2+ −r t

( )2 21,2

1' ,0 2 ,0 ,

3

⎛ ⎞⎟⎜= ± + = ± ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠F a b

( ) ( )2 : 1,1 1, 2 .− + −r t

( )1,2 1,22 2

' 1, 2 .3 3

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= = ± + ± −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠F f F



67

Gli asintoti di C’ sono le rette

quindi gli asintoti di C

sono le rette

Iperbole (5/5)

1,2' : 3 ,= ± = ±bs y x xa

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

2 2

1' : 1 3 ,1 3 1, 2 ,

21

' : 1 3 ,1 3 1, 2 .2

= − + + −

= + − + −

s f s t

s f s t

68

Ellisse (1/4)

Sia Ck : 2x 2 + 2y 2 + 2xy + 6x + k = 0 con k ∈ . Allora

quindi Ck è una ellissi per k < 6, un punto per k = 6 e il vuoto per k > 6.

2 1 | 31 2 | 0

,

3 0 |

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

kC kM M

k

( ) ( ) ( )3, 4, 3 18,= = = −kD A tr A D M k



69

Ellisse (2/4)

Sia C = C5 : 2x 2 + 2y 2 + 2xy + 6x + 5 = 0.

Gli autovalori di A sono α = 1 e β = 3 e

quindi abbiamo la forma

canonica da cui

con

( )( )

1,=− =D MD A

γ

2 2' : 3 1,+ =C x y2 2

2 2' : 1+ =x yCa b

11, .

3= =a b

70

Ellisse (3/5)

Il centro P di C è P = (-2, 1). Scegliendo gli autovettori

abbiamo la riduzione di C a C’ :

( ) ( )1 11, 1 e 1,1

2 2= − =X Xα β

( )( ) 1 1 21, .

1 1 12

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

xf x y

y



71

Ellisse (4/5)

Gli assi di simmetria di C sono le rette r1 : t (1, -1) + (-2, 1) e r2 : t (1, 1) + (-2, 1).

I fuochi di C’ sono

quindi i fuochi di C sono

( )2 21,2

2' ,0 ,0

3

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ± − = ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠F a b

( )

( )

1 1

2 2

1 1' 2, 1 ,

3 3

1 1' 2, 1 .

3 3

F f F

F f F

⎛ ⎞⎟⎜= = − − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜= = − − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

72

Ellisse (5/5)



73

Coniche degeneri (1/2)

Sia Ck : x 2 + y 2 + 2xy - 2x – 2y + k = 0 con k ∈Allora

quindi Ck è una retta per k = 1 (r (Mk) = 1) mentre Ck è ∅ o una coppia di rette parallele per k ≠ 1.

1 1 | 11 1 | 1

,

1 1 |

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜− −⎝ ⎠

kC kM M

k

( ) ( ) 0,= =kD A D M

74

Coniche degeneri (2/2)

PoichéCk : (x + y )2 - 2(x + y ) + k = = (x + y – 1)2 + k – 1 = 0,

C1 è la retta x + y - 1 = 0;

Ck è la coppia di rette parallele x + y = per k < 1 mentre Ck = ∅ per k > 1.

1± − k



Coniche

76

Intersezione tra coniche e rette

Dallo studio precedente otteniamo che intersecando una conica C con una retta rabbiamo uno dei seguenti casi:

C ∩ r = ∅;

C ∩ r è un punto;

C ∩ r sono due punti;

C ∩ r = r (solo caso degenere).



77

Esempio

Se C : p (x, y ) = x 2 + y 2 + 2xy - 2x + 2 = 0 e se rk : Pk (t ) = t (0, 1) + (k , 0) per k ∈ , sostituendo abbiamo

che ha soluzioni

Se k > 1, C ∩ rk = {Pk (t1), Pk (t2)};

se k = 1, C ∩ r1 = {P1(-1) = (1, -1)};

se k < 1, C ∩ rk = ∅.

( )( ) 2 22 2 2 0= + + − + =kp P t t kt k k

1,2 2 2 .=− ± −t k k

78

Tangente a una conica

Sia C : p (x, y ) = 0 una conica non degenere e sia P ∈ C . Una retta r : P (t ) passante per P si dice tangente a C in P se l’equazione in t p (P (t )) = 0 è di secondo grado con due soluzioni coincidenti.

Per ogni punto di C passa una e una sola retta tangente a C in P, che indichiamo con tgP (C ).



79

Equazione della tangente (1/3)

Se C : p (x, y ) = tXAX + 2tBX + c = 0, P ∈ C e r : P (t ) = tL + P si verifica che l’equazione p (P (t )) = 0 diventa

in quanto p (P ) = 0. Allora r = tgP (C ) se e solo se tLAL ≠ O e t (AP + B )L = (AP + B ) . L = 0.

( )( ) ( ) ( )2 2 0= + + =t tp P t LAL t AP B Lt

80


Quindi tgP (C ) è la retta per P di direzione ortogonale a AP + B. Poiché p (P ) = 0 implica -t PAP – tBP = tBP + c , abbiamo l’equazione

( ) ( )( ) ( ): 0.+ − = + + + =t t tPtg C AP B X P AP B X BP c



81


Se P = (x0, y0), l’equazione della tangente si può scrivere in modo esplicito:

Per esempio, se C : 2x 2 + y 2 – 4xy – 4x + 2y – 1 = 0, il punto P = (-1, -1) ∈ C e tgP (C ) : -x + y = 0.

( ) ( )( )

1,1 0 1,2 0 1

1,2 0 2,2 0 2 1 0 2 0

:

0

+ + +

+ + + + + + =

Ptg C a x a y b x

a x a y b y b x b y c

82

Tangenti nei vertici

Sia C una conica non degenere e sia P un vertice di C. Per il Teorema di Riduzione abbiamo:

Se C è una conica a centro, tgP (C ) è la rettaper P parallela all’asse di simmetria non contenente P ;

Se C è una parabola, tgP (C ) è la retta per Pparallela alla direttrice.



Coniche

84

Ellisse in forma canonica

Se posto e

abbiamo la parametrizzazione

2 2

2 2: 1,+ =x yCa b

( )cos

, 0, 2 . sen

⎧ =⎪⎪ ⎡ ⎤= ∈⎨ ⎣ ⎦⎪ =⎪⎩

x aP

y bθ

θ θ πθ

cos=xa

θ sen ,=yb

θ



85

Iperbole in forma canonica

Se posto e

abbiamo le parametrizzazioni

L’iperbole è unione di due curve in forma parametrica, dette i rami di C.

2 2

2 2: 1,− =x yCa b

( )( )( )

cosh, .

senh

⎧⎪ = ±⎪= ∈⎨⎪ =⎪⎩

x a tP t t R

y b t

( )cosh=x ta

( )senh=y tb

86

Parabola in forma canonica

Se posto x = t , abbiamo la parametrizzazione

2: ,=C y ax

( ) 2, .

⎧ =⎪⎪= ∈⎨⎪ =⎪⎩

x tP t t R

y at



87

Caso generale

Sia C una conica qualsiasi e sia f (X ) = NX + Puna riduzione di C a una forma canonica C’. Se Q (t ) è una parametrizzazione di C’, allora P (t ) = NQ (t ) + P è una parametrizzazionedi C.

88

Esempio (1/2)

Sia C : 2x 2 + 2y 2 + 2xy + 6x + 5 = 0. C è una ellisse e

sono rispettivamente una forma canonica di C e una riduzione di C a C’.

( )( )2 2 1 1 21' : 3 1, ,

1 1 12

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜+ = = +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

xC x y f x y

y



89

Esempio (2/2)

Poiché

abbiamo la parametrizzazione di C :

( ) 1' : cos , sen ,

3

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠C Q θ θ θ

( ) ( )( )

1 1cos sen 2

2 61 1

cos sen 12 6

⎧⎪⎪ = + −⎪⎪⎪= = ⎨⎪⎪ =− + +⎪⎪⎪⎩

xP f Q

y

θ θθ θ

θ θ

Geometria analitica: curve e superfici - Politecnico di...

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