ELENA TARANTINO 3°E MARZO 2011 1. 1. LE CONICHE ANALITICHE Curve nel piano cartesiano 2. LE CONICHE...
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ELENA TARANTINO 3°E MARZO 2011 1 Le coniche
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E L E N A TA R A N T I N O 3 ° E M A R Z O 2 0 1 1
Le coniche
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1. LE CONICHE ANALITICHECurve nel piano cartesiano
2. LE CONICHE GEOMETRICHEConiche nel piano
Le coniche
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Le Coniche analitiche…
Le coniche possono essere costruite nel modo seguente:
sia data una retta l ed un punto F non appartenente alla retta l. Ciascuna conica può essere descritta come il luogo dei punti P tali che il rapporto tra la distanza di P da F con la distanza di P da l sia costante.
Ovvero detto il punto D di intersezione tra la retta e la perpendicolare ad l passante per il punto P si ha:
dove la costante e viene detta eccentricità, F fuoco e l direttrice della conica.
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Primo caso: 0< e <1 Ellisse
Il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi;
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Applicazioni delle coniche
alla FisicaPremessa: Eudosso di Cnido fu il primo astronomo greco del 5°-4°a.C. secolo a scoprire che il moto dei pianeti non era circolare. Duemila anni dopo…
Keplero dimostrò nel 1609 che i pianeti descrivevano un’orbita intorno alla stella solare di forma ellittica, di cui uno dei fuochi era proprio il Sole. (Leggi di Keplero)
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Curiosità… alcune nozioni sull'ellisse
Keplero scoprì che, ovunque fosse il pianeta (P) nella sua orbita, si poteva ottenere in ogni momento la sua distanza dal Sole (F) per mezzo della seguente relazione:
Ora, questa è la relazione per un punto di una ellisse avente il Sole in uno dei due fuochi. Il valore e rappresenta l'eccentricità dell'orbita cioè il rapporto FO/OL.
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L’ellisse rinascimentale
Ètienne Dupérac nel 1569 progettò questa particolare piazza ellittica decorata in modo minuzioso.
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L’ellisse nell’arte scultorea
Domenico Rambelli, 1925.
La scultura del viso è perfettamente contornata da una linea ellittica.
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Secondo caso: e=1 Parabola
la parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto F detto fuoco e da una retta L detta direttrice della parabola, ossia FP = PQ
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Moto uniformemente accelerato
Se assumiamo i tempi come ascisse, e i corrispondenti spazi come ordinate, il moto naturalmente accelerato è rappresentato graficamente da un ramo di parabola avente il vertice nell’origine degli assi.
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Moto Parabolico o di caduta
Il moto parabolico è un tipo di moto esprimibile attraverso la combinazione di due moti diversi:
Moto uniformemente decellerato (verticale)
Moto rettilineo uniforme (orizziontale)
La Gittata è lo spazio percorso dall’oggetto prima di toccare terra.
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La Quadratura della parabolaArchimede nell'opera Quadratura della parabola è calcolata l'area di un segmento di parabola, ossia la figura delimitata da una parabola e una linea secante.
Trovò che valeva i 4/3 dell'area del massimo triangolo in esso inscritto.
A
BC
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La parabola nella pittura
Modigliani dipinse Donna con cravatta nera.
la figura della donna ha la testa leggermente inclinata a sinistra in perfetta linea col viso il quale ha come contorno , sicuramente, la forma di una parabola.
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La parabola nell’architettura
Il tetto di una deposito di sale a Tortona, in Piemonte.
Dalla sezione si nota come la struttura portante e la copertura hanno come profilo una parabola.
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Terzo caso: e>1 Iperbole
Il luogo dei punti del piano in cui è costante la differenza delle distanze dai fuochi.
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Nell’architettura: città di Sabari
Possiamo osservare come il complesso architettonico si sviluppa dai due rami di iperbole a cui si innestano due archi di circonferenza, due testate terminali della piazza strutturate a forma di teatro greco all’aperto.
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L’iperbole nell’arte
In una delle 28 formelle che Lorenzo Ghilberti creò per il prtale al battistero di Firenze, notiamo che la Maddalena e l’Angelo annunciatore creano due rami di un’iperbole…
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La superficie conica si ottiene facendo ruotare una retta r, detta Generatrice, con un angolo b, detto angolo del cono, attorno ad un’altra retta g, detta Asse del cono.
Le coniche geometriche…
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Caso generale
Le sezioni coniche, o semplicemente coniche, sono il risultato di un’ intersezione tra la superficie conica e un piano inclinato.
A seconda dell’inclinazione del piano rispetto all’asse del cono avremo coniche differenti.
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L’apertura del cono è minore dell’inclinazione del piano.
Se il piano è perpendicolare alla retta avremo una circonferenza, un particolare ellisse.
Caso ellittico
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L’inclinazione del piano è esattamente uguale all’apertura del cono.
Caso parabolico
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L’apertura del cono è maggiore dell’inclinazione del piano.
Caso iperbolico
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Il piano può anche passare per V e creare Coniche degeneri:
Un puntoUna rettaUna coppia di rette
Coniche degeneri
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Le coniche furono scoperte e studiate per la prima volta da Menecmo di Apeconesso, vissuto nel 4° secolo a.C.. Purtroppo non ci è pervenuto nulla direttamente, ma solo testimonianze da altri intellettuali greci come Platone.
Due secoli dopo Menecmo, un’altro grande geometra greco s’impadronì dell’argomento facendone uno dei campi più sottili della geometria…
Un po’ di storia…
25Apollonio di Perga, vissuto nel
3° secolo a.C., riprese le ricerche che aveva condotto Menecmo perfezionandole. Scrisse tutto ciò che scoprì in una vera e propria enciclopedia: Le Coniche.
Si devono a lui i nomi delle coniche:
Hyper = Troppo (iperbole)Para = Uguale (parabola)Ekléipein = lasciare (ellisse)
Apollonio di Perga
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Le coniche di Apollonio
L’opera è divisa in 8 libri: Nei primi cinque libri il Geometra
studia le coniche, tratta e risolve il problema di Pappo, trova le tangenti e le normali alle coniche.
Nel settimo libro tratta diverse questioni trascurate da coloro che sono venuti prima di lui.
L’ottavo libro purtroppo è andato perduto, ne conosciamo solo alcuni cenni tramite testimonianze.
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Renato Cartesio
Cartesio e prima di lui Fermat, nell’opera Géométrie, dalla risoluzione del problema di Pappo nella sua generalità, derivò l’equazione generica di una conica passante per l’origine, che rappresentava il punto di vista più unitario che fosse mai stato applicato all’analisi delle sezioni coniche.
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Sitografia…
www.progettomatematica.dm.unibo.itwww.electroyou.itwww.liceartcs.itwww.wikipedia.it
