LE CONICHELE CONICHE

                                      

                                                                  

CIRCONFERENZA ELLISSE PARABOLA IPERBOLE

Le coniche come intersezione fra un piano ed un cono matematico

Equazione generale della retta

ax + by + c = 0

In forma esplicita y = mx+q

dove m è il coefficiente angolare

asse x asse x y = 0y = 0

asse y asse y x = 0x = 0

retta parallela all’asse x retta parallela all’asse x y = ky = k

retta parallela all’asse y retta parallela all’asse y x = kx = k

retta passante per l’origine retta passante per l’origine ax + by ax + by = 0= 0

RICHIAMI SULLA RETTA

La Circonferenza

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso chiamato CENTRO.

r

C

La sua equazione è

022 cbyaxyx

Le coordinate del centro e la lunghezza del raggio sono date

da:

C( α, β) dove α = -a/2 e β= -b/2

cr 22

le coordinate del centro sono sempre calcolabili, il valore invece del raggio dipende dal fatto che il radicando sia positivo.

Nel caso in cui sia nullo, si ha una circonferenza ridotta ad un punto e raggio zero.

Se il radicando è negativo, si tratta teoricamente di una circonferenza non reale

Circonferenza e retta

Retta secante

Retta tangente

Retta esterna

Circonferenza e retta

Per trovare, nel piano cartesiano, le coordinate degli eventuali punti di intersezione di una circonferenza con una retta, si risolve un sistema di secondo grado con le equazioni assegnate

022 cbyaxyx

0''' cybxa

retta secante

se >0

retta tangente

se =0

retta esterna

se <0

L’Ellisse

Si chiama ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti  fissi  F1 e F2

(detti fuochi).

F1F2

P

Se F1 e F2 sono i fuochi dell’ellisse

per ogni punto P dell’ellissesi ha che:

PF1 + PF2 = costante

F1 F2

P

Consideriamo un’ellisse con centro nell’originee fuochi sull’asse delle ascisse.

F1 F2

A1 A2

B2

B1

I punti A1, A2, B1, B2

sono detti “vertici”dell’ellisse.

A1A2 è l’ “asse maggiore” B1B2 è l’ “asse minore”

F1F2 è l’ “asse focale”

A1(-a,0) A2(a,0)

B1(0,-b) B2(0,b)

F1(-c,0) F2(c,0)

dove: 22 bac

L’equazione di un’ellisse con il centro nell’origine e i fuochi sull’asse delle ascisse è: 1

2

2

2

2

b

y

a

x

con a > b misure dei semiassi

b

ax

y

Se i fuochi sonosull’asse delle ordinatesi avrà un’ellisse simile a quella in figura.

Evidentemente, l’asse maggiore è il segmento B1B2

A1 A2

B1

B2

F1

F2

L’equazione di un’ellisse con il centro nell’origine e i fuochi sull’asse delle ordinate è:

12

2

2

2

b

y

a

x

con b > a misure dei semiassi

22 abc

Viene chiamata eccentricità“e” di un’ellisse il rapportotra la semidistanza focale “c” e la lunghezza delsemiasse maggiore:

a

ce

0 ≤ e ≤ 1

LA PARABOLA

cbxaxy 2

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti fa un punto fisso detto FUOCO e da una retta fissa detta DIRETTRICE

Se a >0 la parabola volge la concavità verso l’alto

Se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso

V è IL VERTICE DELLA PARABOLA

a

acb

a

bV

4

4

2

2

,

a

acb

aa

bF

4

4

4

1

2

2

,

Nb.in alternativa per ricavare la y del vertice basta sostituire la x nella equazione della parabola

Per tracciare con sufficiente precisione il grafico di una parabola è necessario

determinarne:

•Concavità

•Vertice

•Intersezioni con gli assi cartesiani

IPERBOLE

Si chiama iperbole il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti  fissiF1

eF2 detti fuochi.

12

2

2

2

b

y

a

x

• Equazione:

• Lunghezze degli assi: 2a asse trasverso 2b asse non trasverso

• Coordinate dei vertici: ( -a, 0 ) , ( a, 0 )

• Coordinate dei fuochi: ( -c, 0 ) , ( c, 0 )

12

2

2

2

b

y

a

x

FINE PRESENTAZIONE

G. Barbaro