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Ridefinizione unitaria delle coniche

1. Introduzione

Secondo lo studio tradizionale proposto nelle scuole

le coniche hanno una loro unitarietà sintetica

riconducibile alle sezioni piane di coni circolari rette

a due falde. La diversità delle loro forme sarebbe

dovuta unicamente alla mutua inclinazione tra il

piano di sezione e l’asse del cono.

Quando poi si introduce ogni conica singolarmente

come luogo piano di punti e si cercano le rispettive

equazioni algebriche, si evidenziano caratteristiche diverse, specifiche per ognuna.

Così l’Ellisse è il luogo dei punti del piano aventi costante la somma delle distanze da 2 punti fissi, detti

fuochi; la parabola è il luogo dei punti aventi la distanza da un punto fisso, detto fuoco, uguale alla distanza

da una retta fissa detta direttrice; l’iperbole, infine, è il luogo dei punti del piano aventi costante la

differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Anche l’algebra delle forme canoniche delle equazioni rispecchia queste differenze:

Ellisse

Parabola y = x2 ovvero x = y2

Iperbole

Come si vede l’unitarietà della definizione sintetica è scomparsa.

Dove va a finire il 2° fuoco nella parabola ? Non esiste la direttrice per ellissi e iperboli ?

2. Ricominciamo dall’eccentricità

Riprendiamo in esame le tre definizioni e notiamo che l’unica in cui si parla di un punto (fuoco) e una retta

(direttrice) è la parabola; nelle altre ci sono 2 fuochi.

Del resto per ognuna delle curve viene introdotto il concetto di eccentricità, come rapporto tra le distanze

focali e i semiassi, per ellisse e iperbole; come rapporto tra le distanze di un punto della curva dal fuoco e

dalla direttrice per la parabola.

Cominciamo ad unificare proprio quest’ultima definizione, la definizione di eccentricità.

L’eccentricità di una conica è il rapporto tra le distanze di un suo punto qualsiasi dal fuoco e dalla

direttrice.

Si pone dunque il problema di individuare la direttrice di ellissi e iperboli.

In analogia con la parabola possiamo pensare la direttrice come una retta perpendicolare all’asse focale.

Sia dunque una retta di equazione x = t. Se l’equazione dell’ellisse è quella canonica

, con

a>b, i fuochi hanno coordinate F ( √ e i vertici V(± a, 0).

L’eccentricità allora è definita come rapporto PF/PH. Concentriamo ora l’attenzione sul vertice del

semiasse positivo e cerchiamo il valore t della direttrice. Anche V è un punto dell’ellisse, dunque anche

il rapporto VF/VK deve valere quanto l’eccentricità.

PF = √ √ ; PH = t – x; VF = a - √ ; VK = 1 - a

2

(1)

√ √

√

Da cui, ricavando t (vedi calcoli in

appendice 1a e 1b)

si ottiene t =

√ ovvero

.

Ripetendo lo stesso procedimento per

l’altro fuoco si ricava il valore simmetrico:

t =

√

.

Dunque l’ellisse ha 2 direttrici, simmetriche rispetto al suo centro: le due rette di equazioni x =

Sostituendo nella (1) si ottiene

Possiamo allora procedere a ridefinire l’ellisse in forma analoga alla definizione della parabola.

L’ellisse è il luogo dei punti del piano che hanno rapporto delle distanze da un punto fisso detto FUOCO e

da una retta fissa detta DIRETTRICE costante e compreso tra 0 e 1.

Osservazione 1: A partire da questa nuova definizione è possibile ricavare l’equazione canonica dell’ellisse.

Calcoli in appendice 2a

Osservazione 2: Questa nuova definizione verifica la proprietà consueta dei punti dell’ellisse (somma delle

distanze dai due fuochi costante)

Dimostrazione in appendice 2b.

3

3. Iperbole

In modo del tutto analogo si procede all’individuazione delle due direttrici dell’iperbole e alla sua

ridefinizione.

In questo caso però il rapporto

è maggiore di 1.

L’iperbole è il luogo dei punti

del piano che hanno rapporto

delle distanze da un punto

fisso detto FUOCO e da una

retta fissa detta DIRETTRICE

costante e maggiore di 1.

Si possono anche ripetere le

due osservazioni fatte per

l’ellisse (calcoli in appendice 3°

e 3b).

4. Sintesi

Con i procedimenti sopra esposti abbiamo unificato la definizione di eccentricità; ciò è stato possibile dopo

aver determinato le direttrici di ellissi e iperboli.

Grazie a tale ridefinizione dell’eccentricità abbiamo potuto riunificare le definizioni delle tre coniche.

E’ così stabilita una unitarietà geometrica e algebrica che si possa affiancare alla unitarietà della

presentazione sintetica di Apollonio.

Le coniche sono il luogo dei punti del piano che hanno rapporto costante delle distanze da un punto fisso

detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice :

= costante

Tale costante è detta ECCENTRICITA’ ed è indicata con e

- Se 0 < e < 1 la conica è una ellisse

- Se e =1 una parabola

- Se e > 1 una iperbole.

- Nota. Etimologia dei termini “Ellisse” e “Iperbole”

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5. Keplero e il principio di continuità

“Keplero formulò per le coniche (nel 1604) quello che chiamiamo il principio di continuità. Dalla sezione conica formata semplicemente da 2 rette intersecantisi, nella quale i due fuochi coincidono col punto di intersezione, si passa gradualmente, attraverso un numero infinito di iperboli, via via che un fuoco si allontana sempre più dall’altro. Quando un fuoco è infinitamente lontano, non si ha più l’iperbole a due rami ma la parabola. Quando un fuoco continuando a muoversi, passa oltre l’infinito, torna visibile dall’altra parte e si avvicina al fuoco mantenuto fisso. Attraverso un numero infinito di ellissi i due fuochi si avvicinano sempre più. Quando tornano a coincidere si ha una circonferenza. L’idea della parabola come una conica con uno dei due fuochi all’infinito è dovuta a Keplero, così come suo è anche il termine “fuoco”. Questa ardita e feconda speculazione sui punti all’infinito verrà generalizzata una ventina d’anni più tardi, nella geometria di Desargues.”

Carl B. Boyer – Storia della matematica

6. Una nuova interpretazione proiettiva

5

Appendice 1a

6

- Appendice 1b

Ricerca della direttrice, 2° metodo

7

- Appendice 2a

Verifica che anche con la nuova definizione si giunge all’equazione canonica dell’ellisse.

8

- Appendice 2b