LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi 1

Appunti ed esercizi su:

Le coniche. Elementi caratteristici erappresentazione cartesiana

11 novembre 2011

1 Per altri materiali didattici o per informazioni:

Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/Indirizzo email: fra.marchi@yahoo.it

Leggi qui! “Istruzioni per l’uso” di questi appunti

Questi appunti sono in fase di bozza

Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, percio puo capitare che: un paragrafo sia lasciato ameta, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; inumeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano esseredi una qualche utilita: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il piu che puoi da questimateriali!

Come usare questi appunti

L’approccio seguito in queste “dispense” e un po’ diverso da quello tipico dei libri tradizionali.Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui il lettore dovrebbe cercare dirispondere prima di proseguire nella lettura (anche in modo personale: non sempre c’e una sola risposta“giusta”!).Per quanto riguarda gli esercizi, viene richiesto al lettore uno sforzo supplementare: spesso e lasciatoproprio a lui il compito di “costruirsi gli esercizi”, dal momento che molti esercizi rimandano ad un archiviofinale, dove sono presenti una serie di equazioni, grafici . . . Ad esempio, in una sezione dell’archivio, sonopresenti dei grafici di curve sotto i quali sono indicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere unesercizio di abbinamento grafico-equazione, il lettore puo annotarsi su un foglio a parte le equazioni, inmodo sparso, e poi, guardando i soli grafici, procedere all’abbinamento.In questo modo, separando la richiesta dell’esercizio dal singolo esempio su cui “applicare tale richiesta”,si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettaglinumerici specifici di ogni esercizio.

Nota dell’autore

Le lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnantenella scuola secondaria. Laddove si e tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fontioriginali.Puoi riutilizzare i materiali presenti in questo file, citandone la fonte e/o il mio blog M@T&FiS (http://francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica chedi fisica.Per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori, suggerimenti equant’altro, scrivimi a fra.marchi@yahoo.it.

Ringraziamenti

Rivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per glistimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (sia pure indirettamente) alla creazione di appunti semprepiu completi.

Versione finale

11 novembre 2011.

1

2 INDICE

Indice

I Teoria 5

1 Equazioni delle coniche e formule 71.1 Equazioni delle coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Equazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Determinazione di elementi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II Esercizi 9

2 Introduzione: punti, curve, regioni nel piano 112.1 Curve nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Dato, il grafico determinare l’equazione della curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Abbinamento equazione-curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.3 Tracciare il grafico per punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.4 Esercizi di tipo algebrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Regioni di piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Equazioni delle coniche e formule 133.1 Equazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Riduzione in forma canonica e determinazione tipo di conica . . . . . . . . . . . . 133.1.2 Determinazione di punti che appartengono o meno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.3 Un esercizio “di tipo teorico” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.4 Generalizzazione dell’esercizio precedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Elementi caratteristici delle coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.1 Determinazione di elementi caratteristici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.2 Significato geometrico dei parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Rappresentazione cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.1 Abbinamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.2 Rappresentazione tramite elementi notevoli delle coniche . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.3 GeoGebra e i grafici delle coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

III Il software GeoGebra 19

A Il software Geogebra: guida all’uso 21A.1 Funzionalita di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

A.1.1 Cos’e e come scaricarlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21A.1.2 Riga di comando: inserire funzioni, equazioni, disequazioni . . . . . . . . . . . . . 21

A.2 Applicazioni all’analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22A.2.1 Derivare una funzione e altre operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

INDICE 3

IV Archivio per esercizi 25

B Equazioni 27B.1 In due incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

B.1.1 Algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

C Sistemi 31C.1 Sistemi algebrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

C.1.1 Sistemi di equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31C.1.2 Sistemi misti (equazioni e disequazioni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

D Grafici 33D.1 Funzioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

D.1.1 Coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33D.1.2 Curve non coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34D.1.3 Curve miste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 INDICE

Parte I

Teoria

5

Capitolo 1

Equazioni delle coniche e formule

Obiettivi

1. Saper definire

(a) Conica

2. Conoscere

(a) Le equazioni canoniche delle coniche

(b) Gli elementi caratteristici delle coniche: coefficiente angolare, vertice, fuochi . . .

(c) Formule per la determinazione degli elementi caratteristici delle coniche

3. Saper fare

(a) Data un’equazione

i. Stabilire se si tratta di una conica o meno

ii. Stabilire di che tipo di conica si tratta

iii. Portare l’equazione in forma canonica per quella conica

(b) Data l’equazione rappresentativa di una conica

i. Determinarne gli elementi caratteristici (vertici, centro . . . )

ii. Rappresentarla nel piano cartesiano, sfruttando gli elementi caratteristici trovati

(c) Dato un sistema misto di equazioni e disequazioni, una o piu delle quali rappresentino conicheo regioni da esse delimitate

i. Rappresentare graficamente la regione di piano cartesiano ad esso corrispondente

1.1 Equazioni delle coniche

1.1.1 Introduzione

Definizione 1. Le coniche sono le curve che si ottengono dall’intersezione di un piano con una superficiedoppio-conica. (vedi Sasso, pag. 531-532)

Puoi provare a immaginare le figure che vengono fuori e ti convincerai che, a seconda della posizionereciproca del piano e della superficie, vengono fuori solo pochi tipi di curva.Di queste curve si puo dare anche una definizione geometrica, ma rimandiamo questo ad un capitolosuccessivo.

7

8 CAPITOLO 1. EQUAZIONI DELLE CONICHE E FORMULE

1.1.2 Equazioni canoniche

Prendi per buone le cose di questo paragrafo, la spiegazione la daremo piu avanti.

Circonferenza, ellisse, iperbole

Il caso piu complicato e quando entrambe le variabili hanno grado 2. In tal caso, si puo sempre portarel’equazione nella seguente forma:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

e procedere secondo l’algoritmo illustrato in figura 3.1

Figura 1.1: Metodo per “scegliere” tra circonferenza, ellisse, iperbole. Le lettere fanno riferimento all’equazione canonicaax2 + by2 + cx + dy + e = 0. Completa lo schema come esercizio. Nel primo dei rombi vuoti, devi inserire una condizionerelativa al raggio della circonferenza. Se vuoi, puoi lasciare le lettere - e l’equazione - come scritto sopra; se preferisci, puoi

far riferimento all’equazione canonica della circonferenza, x2 + y2 + Ax + By + c = 0.

1.2 Determinazione di elementi notevoli

Le coniche hanno degli elementi notevoli, indicati qui di seguito:

• retta: coefficiente angolare; ordinata all’origine

• circonferenza: centro; ragigo

• parabola: vertice, fuoco, asse, direttrice

• ellisse: vertici, fuochi, eccentricita

• iperbole: vertici, fuochi, eccentricita, asintoti

Parte II

Esercizi

9

Capitolo 2

Introduzione: punti, curve, regioninel piano

2.1 Curve nel piano

2.1.1 Dato, il grafico determinare l’equazione della curva

Considera i grafici proposti in archivio, nella figura D.5.Basandoti sulle informazioni deducibili da tale grafico, determina l’equazione della curva rappresentata(la risposta e scritta sotto la figura: fai in modo di non guardarla prima di risolvere l’esercizio!).

2.1.2 Abbinamento equazione-curva

Considera i grafici proposti nella sezione D.1. Annotando su un foglio a parte, in ordine sparso, leequazioni corrispondenti, cerca poi di ricostruire i corretti abbinamenti.

2.1.3 Tracciare il grafico per punti

Considera le equazioni proposte nella sezione B.1.1 dell’archivio.Per ciascuna di esse, se ci riesci, traccia il grafico cartesiano della curva corrispondente all’equazione data.

2.1.4 Esercizi di tipo algebrico

Considera le equazioni proposte nell’archivio.Per ciascuna di esse, se ci riesci:

1. Proponi le coordinate di un punto che appartiene

2. Proponi le coordinate di un punto che non appartiene

2.2 Regioni di piano

Considera i sistemi proposti nell’archivio C.1.2.Rappresenta su un piano cartesiano le regioni di piano che tali sistemi individuano.

11

12 CAPITOLO 2. INTRODUZIONE: PUNTI, CURVE, REGIONI NEL PIANO

Capitolo 3

Equazioni delle coniche e formule

3.1 Equazioni canoniche

3.1.1 Riduzione in forma canonica e determinazione tipo di conica

Considerate le equazioni proposte in B.1.1:

1. Stabilisci quali di esse rappresentano delle coniche

2. Riduci tali coniche in forma canonica

3. Stabilisci di quale tipo di conica si tratta

3.1.2 Determinazione di punti che appartengono o meno

Per quanto riguarda la tabella 3.1, proporre due punti che appartengano alla conica (P1 e P2) due puntiche non appartengano (P3 e P4).

Tabella 3.1: Tabella relativa all’esercizio della sezione 1.2.

N. Punto P1 Punto P2 Punto P3 Punto P4

1

2

3

4

3.1.3 Un esercizio “di tipo teorico”

Considera un’equazione di II grado nelle due incognite x e y. Essa puo rappresentare una circonferenza,un’ellisse, un’iperbole). Per stabilire di quale conica si tratta fra queste tre, si puo seguire un algoritmo.Nella figura 3.1, ti proponiamo l’inizio di questo algoritmo; completalo tu come esercizio.

13

14 CAPITOLO 3. EQUAZIONI DELLE CONICHE E FORMULE

Figura 3.1: Metodo per “scegliere” tra circonferenza, ellisse, iperbole. Le lettere fanno riferimento all’equazione canonicaax2 + by2 + cx + dy + e = 0. Completa lo schema come esercizio. Nel primo dei rombi vuoti, devi inserire una condizionerelativa al raggio della circonferenza. Se vuoi, puoi lasciare le lettere - e l’equazione - come scritto sopra; se preferisci, puoi

far riferimento all’equazione canonica della circonferenza, x2 + y2 + Ax + By + C = 0.

3.1.4 Generalizzazione dell’esercizio precedente

Nell’esercizio precedente, abbiamo considerato solo equazioni di II grado in entrambe le incognite. Con-sideriamo adesso il caso piu generale, che include anche la possibilita che l’equazione considerata abbiagrado zero o uno nelle sue incognite. Per essere piu chiari, consideriamo di nuovo l’equazione precedente:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

Adesso, diversamente da prima, ammettiamo che possa risultare, ad esempio, a = b = d = 0, in modoche l’equazione si riduce ad una di primo grado nella x e grado zero nella y, rappresentando cosı unaretta parallela all’asse y.Amplia l’algoritmo proposto nell’esercizio precedente, fino a considerare tutti i casi possibili.Suggerimento: per “salvare” quanto gia fatto nell’esercizio precedente, ti consiglio di cominciare aconsiderare, come primi casi dell’algoritmo, quelli in cui “scompaiono” i termini di secondo grado;successivamente, potrai “inserire” la parte di algoritmo dell’esercizio precedente in questo nuovo, piuampio.

3.2 Elementi caratteristici delle coniche

3.2.1 Determinazione di elementi caratteristici

Relativamente alle equazioni della sezione B.1.1, compila la tabella 3.2.

Una riflessione su questo esercizio

La tabella puo anche essere compilata all’inverso: dati, ad esempio, il vertice e il fuoco, determinarel’equazione della parabola verticale che ha tali vertice e fuoco e determinare gli elementi caratteristicirimanenti: direttrice e asse.Tale esercizio, pero, come tutti gli esercizi inversi, e concettualmente piu difficile; sara l’argomento di uncapitolo successivo.

3.2. ELEMENTI CARATTERISTICI DELLE CONICHE 15

Tabella

3.2:

Tab

ella

rela

tiva

all’e

serc

izio

del

lase

zion

e3.2

.1.

N.

Coeff

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Vert

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Fu

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sse

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rice

Asi

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tiE

ccentr

icit

a

B.1−

7 10

−7 80

B.2

B.3

...

16 CAPITOLO 3. EQUAZIONI DELLE CONICHE E FORMULE

3.2.2 Significato geometrico dei parametri

Per gli esercizi di questa sezione, usa il software GeoGebra. Puoi fare riferimento alla guida nella sezioneA.

La retta

1. Inserisci due slider, chiamati m, q; i valori di default che essi possono assumere (generalmente tra-5 e +5) possono andare bene, per cominciare.

2. Scrivi l’equazione della generica retta in forma esplicita: y = mx + q.

3. Fai variare il parametro q: qual’e l’effetto sulla retta?

4. Nel caso in cui venga variato solo q, puo essere individuato un invariante geometrico per la retta?Quale?

5. Fai variare adesso il parametro m. Cosa distingue le varie rette che ottieni? Cosa le accomuna?

6. Facendo variare il parametro m, e possibile ottenere tutte le rette del piano? Prova a modificarel’intervallo di valori di m e vedi se ci riesci. Quali dovrebbe essere l’intervallo di variabilita di questoparametro per ottenere tutte le rette del piano?

7. Seleziona, per la retta, l’opzione traccia attiva e fai variare il parametro m: quanto discusso alpunto precedente dovrebbe esserti ancora piu chiaro.

La parabola

1. Inserisci tre slider, chiamati a, b, c; i valori di default che essi possono assumere (generalmente tra-5 e +5) possono andare bene.

2. Scrivi l’equazione della generica parabola verticale: y = ax2 + bx + c.

3. Fai variare il parametro a: qual’e l’effetto sulla parabola? Qual e il luogo geometrico descritto dalvertice? Riesci a dimostrarlo analiticamente?

4. Stessa cosa per il parametro b e il parametro c

5. Nel caso in cui venga variato solo c, puo essere individuato un invariante geometrico per la parabola?

Le altre coniche

Analogamente a quanto fatto negli esercizi precedenti, esplora le trasformazioni delle coniche restanti(circonferenza, ellisse, iperbole) al variare dei parametri che compaiono nelle loro equazioni generali.

3.3 Rappresentazione cartesiana

3.3.1 Abbinamenti

Adesso hai qualche strumento in piu per svolgere gli esercizi proposti nella sezione 2.1.2 del capitoloprecedente. Ad esempio, data l’equazione di una parabola, puoi velocemente intuire se il vertice haascissa negativa e, con questa informazione, scartare alcuni fra i grafici proposti. Procedendo in questomodo, puoi arrivare a determinare tutte le corrispondenze.Svolgi nuovamente gli esercizi della sezione 2.1.2

3.3. RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA 17

3.3.2 Rappresentazione tramite elementi notevoli delle coniche

Il modo in un certo senso piu sistematico per rappresentare una conica consiste nel determinarne dapprimagli elementi notevoli (centro, raggio, vertici . . . ) e successivamente, basandosi su tali elementi, tracciarneil grafico.Rappresenta graficamente le coniche proposte nell’appendice B.1.1 usando questo metodo.Abbi cura di scegliere in modo ottimale il piano cartesiano; in particolare, se lo ritieni opportuno, puoiusare anche un sistema non monometrico.

3.3.3 GeoGebra e i grafici delle coniche

Grafici inseriti da linea di comando

Verifica la correttezza dei grafici che hai tracciato nell’esercizio precedente usando il software GeoGebra:inserisci l’equazione della conica (non importa che sia in forma canonica) nella linea di comando e premiinvio.Per l’utilizzo del software, puoi far riferimento all’appendice A.

Costruzione dei grafici mediante elementi notevoli

In GeoGebra, e anche possibile costruire i grafici delle coniche partendo dai loro elementi caratteristici.Ad esempio, inserisci il punto F = (−3, 5) e la retta y = −1. Dalla barra degli strumenti rapidi,seleziona l’opzione che ti permette di tracciare una parabola; come richiesto, clicca prima sul punto che nerappresenta il fuoco (F ) e poi sulla retta che ne e la direttrice (r). GeoGebra costruisce automaticamentela parabola in questione.Considera adesso gli esercizi della sezione 3.2.1 e la tabella che hai compilato e svolgi il seguente esercizio.

1. Immetti nella linea di comando i valori trovati per gli elementi caratteristici (vertice, fuoco...)

2. Fai costruire a GeoGebra la conica in questione

3. Controlla che l’equazione ottenuta, e che ti viene proposta nella vista algebra, coincida con quelladell’esercizio

18 CAPITOLO 3. EQUAZIONI DELLE CONICHE E FORMULE

Parte III

Il software GeoGebra

19

Appendice A

Il software Geogebra: guida all’uso

In questa breve guida, ti vengono illustrate le principali funzionalita del software GeoGebra. Sul sito esul web sono disponibili numerose guide e tutorial, assai piu dettagliati della presente.

A.1 Funzionalita di base

In questa sezione dovresti imparare le seguenti cose.

Obiettivi

1. Conoscere

(a)

2. Saper fare

(a) Data un’equazione scritta in modo classico, portarla nella forma in linea e viceversa

A.1.1 Cos’e e come scaricarlo

Un programma molto utile nello studio di funzioni (e non solo) e il software Geogebra, liberamente sca-ricabile dal sito internet:

http://www.geogebra.org/cms/index.php?option=com_content&task=blogcategory&id=71&Itemid=

55

Con tale programma potrete disegnare funzioni qualsiasi, calcolarne la derivata, determinare le coordinatedi punti di intersezione fra curve e molto altro ancora.

A.1.2 Riga di comando: inserire funzioni, equazioni, disequazioni

Un po’ di attenzione (e di pratica) e richiesta nell’inserimento di funzioni nell’apposita casella nella partebassa dello schermo; in particolare, bisogna stare attenti nell’inserire frazioni, potenze e alcune funzioni;vediamo alcuni esempi.Per inserire:

f(x) =3x3 − 5

x− 4

si dovra scrivere:

21

22 APPENDICE A. IL SOFTWARE GEOGEBRA: GUIDA ALL’USO

y=(3x^3-5)/(x-4)

e non:

y=3x^3-5/x-4

che indicherebbe la funzione:

f(x) = 3x3 − 5

x− 4

Per inserire:

f(x) = 4√

(x− 2)3

Sara sufficiente ricordare le proprieta delle potenze e digitare:

y=(x-2)^(3/4)

Per inserire le principali funzioni elementari (seno, logaritmo etc.), si possono usare i comandi subito afianco della barra di inserimento, avendo cura di sostituire alla x l’espressione che interessa.

Esercizio 1: dalla forma in linea alla forma normale

Date le seguenti espressioni in linea, trascrivi il loro equivalente in forma normale.

(2*x^2)/5=3*y^2-4; 6/(7*x)-(x^2+3)/(8x^(6/5)+1); (6*x-8/3)^(1/2)=4/(9*x)+(3*y)/(2*x+1);

2*x+3/4*y>(6*x-sqrt(7))/(y+2)+1/(sqrt(3))

Esercizio 2: dalla forma normale forma in linea

Date le seguenti espressioni in forma normale, trascrivi il loro equivalente in linea.Puoi esercitarti anche sulle funzioni proposte nell’appendice B.1.1.

2x2

5= 3y2 − 4; y − 7 =

x + 3

4− x2(A.1)

y +22

7x =

22

7x; y − 7 =

(x + 3

4− x

)2(A.2)

x2 + y2 − 5 < 0; 5√

(x + 3)2 − 4 = y +3√x2 + 1 (A.3)

4 +√

3 +√x + 2

2 + 5x=(y +

1

3

)(x + y)2 (A.4)

A.2 Applicazioni all’analisi

A.2.1 Derivare una funzione e altre operazioni

Geogebra permette di eseguire una gran varieta di operazioni sulle funzioni e sui loro grafici.Di particolare interesse sono per noi le derivate e gli integrali: entrambe queste funzioni si attivanoscorrendo il menu “Comando” sull’estrema destra nella parte bassa dello schermo.Scegliendo, ad esempio, la voce “derivata”, nella casella “inserimento” comparira la scritta “Derivata”, acui dobbiamo far seguire l’espressione da derivare; allora e possibile scegliere fra due opzioni:

A.2. APPLICAZIONI ALL’ANALISI 23

• Inserire “manualmente” l’espressione di cui vogliamo calcolare la derivata;

• Scegliere tale espressione fra quelle gia presenti nella nostra sessione.

Premendo invio, otterremo sia l’espressione analitica della derivata (nella parte in alto a sx), sia il suografico (nella parte principale dello schermo).

24 APPENDICE A. IL SOFTWARE GEOGEBRA: GUIDA ALL’USO

Parte IV

Archivio per esercizi

25

Appendice B

Equazioni

B.1 In due incognite

B.1.1 Algebriche

Secondo grado, non coniche

Coniche

Rette:

8

7y − 4y = 2x +

1

4(B.1)

27

28 APPENDICE B. EQUAZIONI

Parabole:

y = 3x2 − 2x + 1 (B.2)

6

5y = 2 +

7

9x2 (B.3)

2y + x− 3x2 + 5 = 0 (B.4)

y = −x2 + 6x− 5 (B.5)

y = x2 − 2x (B.6)

y = −x2 +3

2(B.7)

y =1

2x2 − 3x + 2 (B.8)

x = −1

2y2 (B.9)

x = 4− y2 (B.10)

x = −y2 + 2y − 1 (B.11)

x = 2y2 − 3y (B.12)

x + 2y + 2 =7

3− 4y2 (B.13)

Circonferenze:

x2 + y2 − 6y = 0 (B.14)

x2 + y2 + 6x = 12 (B.15)

Ellissi:

x2 + 2y2 = 1 (B.16)

7x2 = 2− 3y2 (B.17)

B.1. IN DUE INCOGNITE 29

Iperboli:

x2

3− y2

9= −1 (B.18)

x2

4= 2 +

3

5y2 (B.19)

(2x

5

)2= 3y2 − 4 (B.20)

y2

6− x2

9= 2 +

y2

4(B.21)

Miste:

y + 2y2 − 3 = 4x + 2y2 + 7 (B.22)

x + y + 9 =4

5x− 8 (B.23)

8

7y − 4y = 2x +

1

4(B.24)

x + 7y − 12 = 3y2 +1

4x (B.25)

x +3

7x2 + 2y − 4 = y (B.26)

1

6x2 + 4x2 − 3 = x− 25

6y2 − 2y (B.27)

y =1

5x4 − x3 + 2x (B.28)

y =x + 3

4− x2(B.29)

30 APPENDICE B. EQUAZIONI

Appendice C

Sistemi

C.1 Sistemi algebrici

C.1.1 Sistemi di equazioni

C.1.2 Sistemi misti (equazioni e disequazioni)

S1 =

{y > x2 − 2x 6 −y2 + 6

S2 =

{y = x(x− 4)2 + (y − 2)2 > 16

S3 =

{x2 + y2 6 1y 6 −x2 + 4

S4 =

{y > −x− 4x 6 0

S5 = S3 ∪ S4

31

32 APPENDICE C. SISTEMI

Appendice D

Grafici

D.1 Funzioni algebriche

D.1.1 Coniche

Rette

(a) Grafico della retta di equazione 87y −

4y = 2x + 14

.

(b) Grafico della retta di equazione y+ 13x+5 = 0.

(c) Grafico della retta di equazione x + 2 =√

67. (d) Grafico della retta di equazione −2 = y − x.

Figura D.1: Grafici di rette.

33

34 APPENDICE D. GRAFICI

Parabole

Circonferenze

D.1.2 Curve non coniche

D.1.3 Curve miste

D.1. FUNZIONI ALGEBRICHE 35

(a) Grafico della retta di equazione y = −3x + 4.

(b) Grafico della retta di equazione 13x + y = 4.

(c) Grafico della retta di equazione 2y +√

5x = 5−√

5x + y.

Figura D.2: Grafici di rette (parte 2).

36 APPENDICE D. GRAFICI

(a) Grafico della parabola di equazione3x2 = y − 10x− 12.

(b) Grafico della parabola di equazione y = 120

x2 − 12x + 12.

(c) Grafico della parabola di equazione 3x2 +12 = −10x−y. (d) Grafico della parabola di equazione 12 =10x + y − 3x2.

(e) Grafico della parabola di equazione x−y2 − 5 = 0.

(f) Grafico della parabola di equazione y2 = x + 5.

Figura D.3: Grafici di parabole.

D.1. FUNZIONI ALGEBRICHE 37

(a) Grafico della circonferenza di equazione x2 + y2 −8y = 0.

(b) Grafico della circonferenza diequazione x2 + y2 − 4x + 5y = 0.

(c) Grafico della circonferenza di equazio-ne x2 + y2 + 8x + 4 = 0.

(d) Grafico della circonferenza di equazione x2+y2 − 8x + 6y − 1 = 0.

(e) Grafico della circonferenza di equazione x2 +y2 +6y = 0. (f) Grafico della circonferenza di equazione x2 + y2 −8x− 6y − 1 = 0.

Figura D.4: Grafici di circonferenze.

38 APPENDICE D. GRAFICI

(a) Grafico della curva di equazione y = −2x− 5.

(b) Grafico della curva di equazione y = x2 − 4.

(c) Grafico della curva di equazione y = x + 6.

(d) Grafico della curva di equazione xy = 12.

Figura D.5: Grafici di curve varie.