Sistemi lineari tempo invariantidi Alberto Cella & Luca Fallabrino

Sistema: qualsiasi oggetto di studio che, pur essendo costituito dadiversi elementireciprocamente interconnessi e interagenti tra loro o con l’ambiente esterno, reagisce o evolvecome un tutt’uno, con proprie leggi generali.

L’ingegneria studia fenomeniorientati in cui sono definite a priori relazioni dicausa-effetto.Se vale tale relazione si dice che il sistema è orientato. L’insieme delle cause che provocanodegli effetti nel sistema viene chiamatoingresso, mentre l’insieme degli effetti viene dettouscita.

Un sistema si dicedinamico se per ogni fissata causa possono corrispondere diverse uscitepossibili.

Un sistema si dicecausalese l’uscita al tempo t dipende dall’ingresso passato, fino al più dalsuo valore al tempo t stesso e non dal futuro.

Le variabili usate per descrivere un dato fenomeno non sono soltanto gli ingressi e le uscite, maè necessario adottare delle variabili ausiliarie che contengono in un dato istante tutte leinformazioni utili per comprendere l’evoluzione del sistema.Tali variabili vengono dettevariabili di stato .Fissato un insieme di ingressi e un insieme di variabili di stato, l’uscita che si ottiene dalsistema è univocamente determinato.

Un sistema orientato dinamico causale sarà caratterizzatodalle seguenti variabili espressi informa di vettori colonna:

⋅ variabili in ingresso : ut ∈ Rp , p ∈ N+

⋅ variabili in uscita : yt ∈ Rq , q ∈ N+

⋅ variabili di stato : xt ∈ Rn , n ∈ N+

Il sistema èlineare se dato in ingresso una combinazione lineare di ingressiu1 , u2, la rispostain uscita è anch’essa combinazione lineare delle rispettive rispostey1 , y2 attraverso gli stessicoefficienti lineariα1,α2 (principio di sovrapposizione degli effetti).

u1S y1 ; u2

S y2 α1u1 + α2u2

S α1y1 + α2y2

Il sistema èstazionarioo tempo invariante se anticipando o ritardando il segnale in ingressoanche il segnale in uscita verrà anticipato o ritardato del medesimo intervalloΔT di tempo.

utS yt ut − ΔT

S yt − ΔT

Un sistema lineare stazionario verrà indicato con la sigla LTI.Naturalmente non tutti i sistemi godono di queste proprietàe comunque in generale la linearitàe l’invarianza temporale sono proprietà valide solo entro certi limiti strutturali al sistema stesso.

Sistemi a tempo continuo

Sia t la variabiletempocompresa nell’intervallot0,+∞.

Il modello matematico di un sistema LTI atempo continuoè dato dal sistema di equazionidifferenziali :

⋅x t = A ⋅ xt + B ⋅ ut

yt = C ⋅ xt + D ⋅ ut

xt0 = x0

doveA,B,C,D sono 4 matrici a coefficienti costanti del tipo

A ∈ Rn×n

B ∈ Rn×p

C ∈ Rq×n

D ∈ Rq×p

e x0 ∈ Rn è il dato iniziale dello stato del sistema.

Sistemi a tempo discreto

Il modello matematico di un sistema LTI atempo discretoè dato dal sistema di equazionidiscrete :

xk + 1 = A ⋅ xk + B ⋅ uk

yk = C ⋅ xk + D ⋅ uk

xk0 = x0

doveu,y,x sono i vettori colonna definiti precedentemente al caso continuo , assieme alle 4matrici costantiA,B,C,D e il tempok può assumere soltanto valori discreti nell’insieme deinumeri relativiZ.

Risoluzione dei sistemi LTI continui

Partiamo dalcaso elementarep = q = n = 1 , assegnando la seguente rappresentazioneimplicita al modello:

⋅x t = axt + but , a,b ∈ R

yt = cxt + dut , c,d ∈ R

xt0 = x0 ∈ R

La soluzione esplicita della variabile di statox è :

xt = eat−t0x0 + ∫t0

teat−τbuτdτ

mentre la soluzione in uscitay è:

yt = ceat−t0x0 + ∫t0

tceat−τbuτdτ + dut

Consideriamo adesso ilcaso generalein cui p,q,n ∈ N+.Grazie al potente simbolismo delle matrici esponenziali larappresentazione esplicita dellevariabili di statox diventa :

xt = eAt−t0x0 + ∫t0

teAt−τBuτdτ

mentre quella delle variabili in uscitay è:

yt = CeAt−t0x0 + ∫t0

tCeAt−τBuτdτ + Dut

Tutto il calcolo si riduce alla valutazione della matrice esponenzialeeAt, pertanto si introducela seguente simbologia:

⋅ MATRICE DI TRANSIZIONE NELLO STATO:

Φt = eAt

⋅ MATRICE DELLE RISPOSTE IMPULSIVE NELLO STATO:

Ht = eAtB

⋅ MATRICE DI TRASFORMAZIONE IN USCITA:

Ψt = CeAt

⋅ MATRICE DELLE RISPOSTE IMPULSIVE IN USCITA:

Wt = CeAtB

In realtà la vera espressione diW sarebbeCeAtB +δD dove conδ intendiamo laδ di Dirac inmodo da tener conto anche l’influenza della matriceD, però all’atto pratico abbiamo preferitotener separate le due cose.Riguardo alla definizione della delta di Dirac rimandiamo il lettore alla consultazione di testipiù avanzati e suggeriamo di approfondire la teoria delle distribuzioni.

Risoluzione dei sistemi LTI discreti

La rappresentazione esplicita della variabile di statox è:

xk = A k−k0x0 +k−1

i=k0

∑ A k−i−1Bui , k > k0

mentre quella relativa all’uscitay è data da:

yk = CA k−k0x0 +k−1

i=k0

∑ CA k−i−1Bui + Duk , k > k0

Si introduce la seguente simbologia:

⋅ MATRICE DI TRANSIZIONE NELLO STATO:

Φk = A k

⋅ MATRICE DELLE RISPOSTE IMPULSIVE NELLO STATO:

Hk = A k−1B

⋅ MATRICE DI TRASFORMAZIONE IN USCITA:

Ψk = CA k

⋅ MATRICE DELLE RISPOSTE IMPULSIVE IN USCITA:

Wk = CA k−1B , k > 0

= D , k = 0

Dimostrazione

Partiamo dalcaso elementarep = q = n = 1 a tempo continuo:⋅x t = axt + but , a,b ∈ R

xt0 = x0 ∈ Rmoltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione differenziale pere−at :

⋅x te−at − axte−at = bute−at

applichiamo quindi la regola di Leibniz al primo membroddt

xte−at = bute−at

e integriamo rispetto al tempo tra l’istantet0 e t

xte−at − xt0e−at0 = ∫t0

tbuτe−aτdτ

infine isoliamo la funzione di statoxt ricavando la formula già nota

xt = x0eat−t0 + ∫t0

tbuτeat−τdτ

L’uscita yt si determina di conseguenza, inoltre la condizione iniziale è banalmente verificata.Naturalmente si può verificare direttamente la formula perderivazione fatta rispetto al tempo:

⋅x t = x0aeat−t0 + d

dt∫

t0

tbuτeat−τdτ

La derivata dell’integrale è uguale per il teorema di derivazione sotto il segno di integraleall’integrale della derivata più la funzione integranda calcolata al tempoτ = t :

⋅x t = x0aeat−t0 + ∫

t0

tbuτaeat−τdτ + but0eat−t0 =

= a x0eat−t0 + ∫t0

tbuτeat−τdτ + but =

= axt + but

La stessa identica procedura può essere eseguita al caso generale ricordando le sempliciproprietà che governano le matrici esponenziali :

e−At = eAt−1

ddt

eAt = AeAt

Dimostriamo ora la formula di rappresentazione esplicita al caso discreto.Consideriamo il sistema di equazioni discrete :

xk + 1 = Axk + Buk

xk0 = x0

e ricaviamo esplicitamente la soluzione per ricorrenza sulla variabilek :

xk0 + 1 = A x 0 + B uk0

xk0 + 2 = A xk0 + 1 + B uk0 + 1 =

= A2 x0 + AB uk0 + B uk0 + 1

xk0 + 3 = A xk0 + 2 + B uk0 + 2 =

= A3 x0 + A2B uk0 + AB uk0 + 1 + B uk0 + 2

e così via.In definitiva si ha

xk0 + k − k0 = A k−k0 x0 +

j=0

k−k0−1

∑ A k−k0−1−jB uk0 + j

e chiamandoi = k0 + j si ritrova agevolmente la nota formula

xk = A k−k0 x0 +

i=k0

k−1

∑ A k−i−1B ui , k > k0

Un modo alternativo utilizzato nella dimostrazione è quello di verificarne la proprietà induttiva.La base perk = k0 + 1 è facilmente dimostrabile.Al passo induttivo supponiamo che la formula sia vera per un certok, allora mostriamo che èvera anche per ilk successivo.

xk + 1 = Axk + Buk =

= A k+1−k0 x0 + Ai=k0

k−1

∑ A k−i−1B ui + Buk =

= A k+1−k0 x0 +

i=k0

k

∑ A k−iB ui

e la dimostrazione è così terminata.

La risposta libera e forzata

Una proprietà peculiare dei sistemi lineari consiste nellapossibilità di scindere la risposta dellostatoxt e la risposta in uscitayt in due parti complementari, una dettalibera e l’altra dettaforzata.

xt = xLt + xFt

yt = yLt + yFt

⋅ Sistemi continui:

Risposta Libera allo stato : x0,ut0,+∞ ≡ 0 xLt = eAt−t0x0

Risposta Forzata allo stato: x0 ≡ 0,ut0,+∞ xFt = ∫t0

teAt−τBuτdτ

Uscita Libera : x0,ut0,+∞ ≡ 0 yLt = CeAt−t0x0

Uscita Forzata : x0 ≡ 0,ut0,+∞ yFt = ∫t0

tCeAt−τBuτdτ + Dut

⋅ Sistemi discreti:

Risposta Libera allo stato : x0,ut0,+∞ ≡ 0 xLt = A k−k0x0

Risposta Forzata allo stato: x0 ≡ 0,ut0,+∞ xFt =k−1

i=k0

∑ A k−i−1Bui

Uscita Libera : x0,ut0,+∞ ≡ 0 yLt = CA k−k0x0

Uscita Forzata : x0 ≡ 0,ut0,+∞ yFt =k−1

i=k0

∑ CA k−i−1Bui + Duk

In ogni caso si noti chexLt e yLt sonofunzioni lineari del datox0 , mentrexFt e yFtsonofunzionali lineari di ut nell’intervallo t0, t.

Nuova rappresentazione esplicita

Dato un sistema LTI continuo o discreto si possono riscrivere le due formule dellarappresentazione esplicita per mezzo della nuova simbologia matriciale, cioè facendo uso dellamatrice di transizione dello statoΦ , delle risposte impulsive dello statoH, di trasformazionein uscitaΨ e delle risposte impulsive in uscitaW.

⋅ Caso continuo

xt = Φt − t0x0 + ∫t0

tHt − τuτdτ

yt = Ψt − t0x0 + ∫t0

tWt−τuτdτ + Dut

⋅ Caso discreto

xk = Φk − k0x0 +k−1

i=k0

∑ Hk − iui , k > k0

yk = Ψk − k0x0 +k

i=k0

∑ Wk − iui , k > k0

Calcolo della matrice di transizione

Supponiamo di avere una matrice quadrataD di cui sappiamo calcolare l’esponenzialeassociatoeDt (ad esempio per una matrice diagonale è sufficiente calcolare gli esponenzialidegli elementi che si trovano sulla diagonale). Se la matrice D in questione è in relazione disimilitudine con un’altra matricereale e sempliceA tramite la formula

D = TAT−1

doveT rappresenta naturalmente una matrice invertibile, alloraè semplice calcolare anchel’esponenziale diA:

eAt = T−1eDtT

Ricordiamo al lettore che una matrice si dice semplice (o regolare) quando la molteplicitàalgebrica di ciascun suo autovalore eguaglia quella geometrica. Partendo dalla relazionesuindicata, bisogna ovviamente trovare un metodo per costruire la forma corretta della matriceT e dare un senso all’esponenzialeeDt.In estrema sintesi ecco i passaggi da effettuare:

1. Determino gli autovalori della matriceA cercandoli tra le soluzioni del polinomiocaratteristico associato

pλ = detA − λI = 0

In generale avremomautovalorireali λ1,λ2, ...λm e v coppie di autovaloricomplessiconiugati λ1,λ1, ...λv,λv non necessariamente distinti.

2. Agli autovalori realiλ1,λ2, ...λm associo i corrispondenti autovettoriu1,u2, ...um, agliautovalori complessiλ1,λ1, ...λv,λv associov coppie di autovettoriua1,ub1, ...,uav,ubv doveuaj,ubj rappresentano la parte reale e immaginaria dell’autovettore. Per determinarli risolvoper ogni autovalore il sistema di equazioni

A − λkIuk = 0e scelgo un particolare autovettore. L’esistenza di ciascun autovettore è garantita dall’ipotesicheA sia una matrice semplice. Naturalmente se due autovalori coincidono bisogneràcomunque cercare due autovettori diversi.

3. Costruisco la matriceT−1 nel modo seguente

T−1 =↑

↓u1,

↑

↓u2, ...

↑

↓um,

↑

↓ua1,

↑

↓ub1, ...,

↑

↓uav,

↑

↓ubv

e calcolo la sua inversaT avvalendomi della nota formula

Tij =−1 i+j det T−1 ji

detT−1

o tramite procedure alternative.4. Per ogni coppia di autovalori complessi coniugatiλ i = α i + jω i , λ i = α i − jω i i = 1,2...v,

costruiscov blocchetti 2×2 del tipo

Λ i =α i ω i

−ω i α i

Si può dimostrare che il prodottoTAT−1 dà origine ad una matrice diagonale a blocchiD epiù precisamente

D = TAT−1 =

λ1 .. 0

.. .. ..

0 .. λm

0

0

Λ1 .. 0

.. .. ..

0 .. Λv

5. La matrice esponenziale si calcola ricordando la formula

eAt = T−1eDtT

dove

eDt =

eλ1t .. 0

.. .. ..

0 .. eλmt

0

0

eΛ1t .. 0

.. .. ..

0 .. eΛvt

e la matrice esponenziale di ogni blocchetto 2×2 si calcola applicando la formula

eΛ i t = e

α i ω i

−ω i α i

t

= eα i tcosω i t sinω i t

−sinω i t cosω i t

Nel caso discreto, sappiamo che la matrice di transizione è del tipoAk; per calcolarla saràsufficiente agire come prescritto nei 5 punti precedenti (caso continuo), però ogni volta chetroveremo un autovalore complessoα + jω (e di conseguenza il suo coniugato) lo metteremo informa polareα + jω = σejθ e ciascun blocchetto 2×2 seguirà la regola

Λk =σcosθ σsinθ

−σsinθ σcosθ

k

=σk cosθk σk sinθk

−σk sinθk σk cosθk

quindi la matrice di transizione potrà essere calcolata conla formula

Ak = T−1

λ1k .. 0

.. .. ..

0 .. λmk

0

0

Λ1k .. 0

.. .. ..

0 .. Λvk

T

Schemi di simulazione

Sono rappresentazioni grafiche che illustrano il funzionamento in tempo reale del sistema.Alcuni software sono in grado di gestire i blocchetti degli schemi simulativi come vere eproprie funzioni matematiche e simulare l’evoluzione del sistema nel tempo.

Caso continuo

Caso discreto

Trasformazione di stato

La scelta delle variabili di stato non è univoca, infatti perdescrivere il modello matematico delsistema si può effettuare il cambio di variabile

zt = T ⋅ xtdoveT è una matrice quadratan × n non singolare a coefficienti costanti.In questo caso la nuova rappresentazione del sistema rispetto alle nuove coordinate ha la formaseguente:

⋅z t = TAT −1 zt + TB ut⋅y t = CT−1 zt + Dut

Rappresentazioni approssimate

Le approssimazioni possono derivare da ipotesi semplificative introdotte nel modello. Nelseguito prenderemo in considerazione un modello non-lineare e lo approssimeremo con unmodello lineare.

La rappresentazione implicita stazionaria a tempo continuo di un modello non-lineare è ingenerale del tipo:

⋅x t = fxt,ut, xt0 = x0

yt = hxt,utdovef edh sono funzioni non lineari dix,u.La rappresentazione implicita stazionaria a tempo discreto di un modello non-lineare è invecedel tipo:

xk + 1 = fxk,uk, xk0 = x0

yk = hxk,ukdovef edh sono ancora funzioni non lineari dix,u.Una rappresentazione (ad una dimensione) continua o discreta del tipo:

fx,u = Ax+ Bu+ Nxu

hx,u = Cx+ Du

si dicebilineare.Una rappresentazione (ad una dimensione) continua o discreta del tipo:

fx,u = fx + gxu

hx,u = hx + lxu

si diceaffine rispetto all’ ingresso.

Consideriamo allora un modello continuo a rappresentazione non-lineare⋅x = fx,u, xt0 = x0

y = hx,ue andiamo ad approssimarlo linearmente.

Si dice che la coppia stato-ingressoxe,ue è di equilibrio se

fxe,ue = 0

hxe,ue = ye

cioè se si annulla la parte dinamica del sistema in modo tale che non vi sia evoluzione.Eseguendo lo sviluppo di Taylor al primo ordine della funzione f centrato nel punto diequilibrio abbiamo:

fx,u = fxe,ue + dfdx xe,ue

x − xe + dfdu xe,ue

u − ue + ...

dove

dfdx xe,ue

:=

∂f1

∂x1... ∂f1

∂xn

... ... ...∂fn

∂x1... ∂fn

∂xnxe,ue

= A

è la matrice jacobiana dif rispetto alle variabilix calcolata inxe,ue, mentre

dfdu xe,ue

:=

∂f1

∂u1... ∂f1

∂un

... ... ...∂fn

∂u1... ∂fn

∂unxe,ue

= B

è la matrice jacobiana dif rispetto alle variabiliu calcolata sempre inxe,ue.Eseguiamo quindi lo sviluppo di Taylor al primo ordine dellafunzioneh centrato nel punto diequilibrio

hx,u = hxe,ue + dhdx xe,ue

x − xe + dhdu xe,ue

u − ue + ...

dove le matrici jacobiane questa volta hannoq × n e q × p componenti:

dhdx xe,ue

:=

∂h1

∂x1... ∂h1

∂xn

... ... ...∂hq

∂x1... ∂hq

∂xnxe,ue

= C ; dhdu xe,ue

:=

∂h1

∂u1... ∂h1

∂up

... ... ...∂hq

∂u1... ∂hq

∂upxe,ue

= D

Indicando con

Δx = x − xe ; Δu = u − ue ; Δy = y − ye

la rappresentazione approssimata lineare in definitiva diventa

Δx = A ⋅Δx + B ⋅Δu

Δy = C ⋅Δx + D ⋅Δu

Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è un potente strumento matematicoche consente di operare su di unsistema LTIdi tipo continuo nel dominio della variabile complessasanzichè nel dominiotemporalet.La sua immensa utilità che ha determinato il suo largo impiego trae origine dal fatto che graziealla trasformata è possibile ricondurre vantaggiosamentenumerosi problemi alle equazionidifferenziali in problemi di tipo algebrico.

La definizione è la seguente :

Data una funzione ft con t ∈ 0. + ∞ si definisce trasformata di Laplace la nuova funzioneLf nella variabile s(complessa)

Lft := ∫0

+∞fte−stdt

Nel seguito indicheremo la trasformata con il simboloFs.Per quanto riguarda il campo di applicabilità della trasformata di Laplace giova notare che essaè ben definita per una vasta classe di funzioni, nel senso cheesiste un certo valoreα per unadata funzione tale che se la parte reale disè non minore di questoα allora la trasformata esisteed è un numero reale.Alcune trasformate di funzioni semplici e proprietà:

Trasformata dell’ impulso di Dirac

ft = δt Fs = 1

Trasformata del gradino unitario

ft = ut Fs = 1s

Trasformata degli ingressi canonici

L tk

k!= 1

sk+1

Trasformata del senoft = sinωt Fs = ω

s2 + ω2

Trasformata del cosenoft = cosωt Fs = s

s2 + ω2

Trasformata dell’esponenziale

ft = eat Fs = 1s− a

Proprietà di linearità

Lλft + μgt = λLft + μLgt

Proprietà di modulazione

Leatft = Fs− α

Proprietà di traslazione

Lft − T = Fse−sT

Proprietà di derivazione in t

L⋅f t = sFs − f0

Proprietà di derivazione in s

L−t ⋅ ft =⋅F s

Proprietà di convoluzione

Lft ∗ gt = FsGs

Concludiamo il paragrafo enunciando due teoremi che spessosi rivelano utili nel calcolo dellaTdL.

Theorem — Teorema del Valore Iniziale.

Sia Fs la trasformata di Laplace della funzione ft, derivabile e dotata di ascissadi convergenza(è possibile quindi calcolare la TdL sua e della sua derivata). Se esiste, finito, illims→∞ sFs, allora

lims→∞

sFs = limt→0+

ft

Infatti:

Lf ′t = sFs − f0− = ∫0−

∞f ′te−stdt = ∫

0−

0+

f ′te−stdt + ∫0+

∞f ′te−stdt

L’integrale con estremi 0− e 0+ comportae−st = 1, e allora:

sFs − f0− = f0+ − f0− + ∫0+

∞f ′te−stdt

Consideriamo ora il limite pers → ∞ di ambo i membri. Se portiamo il limite all’internodell’integrale, la funzione integranda si annulla.Segue allora che lims→∞ sFs = f0+, c.v.d.

Theorem – Teorema del Valore Finale.

Se esistono e sono entrambi finiti i limt→∞ ft e lims→0 sFs, essi sono uguali.

Per dimostrarlo, ricorriamo ai risultati che abbiamo dedotto dal teorema precedente. Possiamoscrivere che

sFs = f0+ + limt→∞

∫0+

tf ′τe−sτdτ

Ora si immagini di applicare il limite pers → 0 ad entrambi i membri. Per quanto riguarda ilsecondo, portando il limite dentro l’integrale il termine esponenziale tende a 1. Si ottiene allora

lims→0

sFs = f0+ + limt→∞

ft − f0+

Da cui segue la tesi.

Trasformata di Laplace ai sistemi continui

Finora l’analisi di un sistema è stato effettuato nel dominio reale del tempo, ora però faremovedere come sia possibile condurre lo studio del sistema anche nella variabile complessa grazieall’uso della trasformata di Laplace.

Il modello implicito è governato come sappiamo dal sistema di equazioni ingresso-stato:

⋅x t = A ⋅ xt + B ⋅ ut , x0 = x0

dove per semplicità e senza perdita di generalità si è postot0 = 0, ora applichiamo latrasformata:

L⋅x t = LA ⋅ xt + LB ⋅ ut

e sfruttiamo le proprietà di derivazione e linearità:

sXs − x0 = A ⋅ Xs + B ⋅ Us

dove naturalmenteXs è il vettore trasformata di Laplace dello stato xt e Us è il vettoretrasformata di Laplace dell’ ingresso ut.L’equazione matriciale fornisce esplicitamente come soluzione

Xs = sI n−A−1x0 + B ⋅ Us =

= sI n−A−1x0 + sI n−A−1BUs

in cui l’esponente−1 serve ad indicare l’inversa di matrice (quandosè diverso dagli autovaloridi A), mentreI n è la matrice identità di ordinen.Questo risultato mostra chiaramente chela trasformata dello stato dipende essenzialmentedallo stato iniziale e dalla trasformata dell’ ingresso.Fatta questa importante precisazione, mettiamo a confronto la trasformata dello stato con larappresentazione esplicita del modello:

Xs = sI n−A−1x0 + sI n−A−1BUs

xt = eAtx0 + ∫0

teAt−τBuτdτ

Annullando l’ingresso e applicando la linearità si ha finalmente un primo importante risultato

Φt = eAt L Φs = sI n−A−1

La trasformata di Laplace della matrice di transizione nello stato eAt è la matrice inversa disI n − A e verrà indicata conΦs.D’altra parte per la linearità segue

Ht = eAtBL Hs = sI n−A−1B

e così abbiamo calcolato indirettamente anche la trasformata della matrice delle risposteimpulsive dello stato che verrà indicata conHs.Dal confronto se mettiamo a zero lo stato iniziale si ottieneimmediatamente la trasformata deltermine forzante

L ∫0

teAt−τBuτdτ = HsUs

Abbiamo così ritrovato la nota regola:la trasformata di una convoluzione è il prodotto delletrasformate.Adesso trasformiamo anche l’uscita del sistema

yt = C ⋅ xt + D ⋅ utottenendo

Ys = C ⋅ Xs + D ⋅ Us =

= CsI n−A−1x0 + CsI n−A−1B + D Us =

= Ψsx0 + WsUs + DUs

doveΨs è la trasformata della matrice di trasformazione in uscita

Ψt = CeAt L Ψs = CΦs

mentreWs è la trasformata della matrice delle risposte impulsive. Sevogliamo inglobareanche il termine matricialeD nellaWs avremo più semplicemente

Wt = CeAtB +δDL Ws = CΦsB + D

Riassumendo tutti i risultati ottenuti possiamo sintetizzare scrivendo:

Xs = Φsx0 + HsUs

Ys = Ψsx0 + WsUs

Φs = sI n−A−1; Hs = ΦsB

Ψs = CΦs; Ws = CΦsB + D

Ws si chiamafunzione di trasferimento.

E’ chiaro ormai che per calcolare l’uscita e lo stato di un sistema si può lavorare nel dominiocomplesso, salvo poi antitrasformare i vettoriXs e Ys.

Struttura della matrice Φs nel continuo

Φs = sI n−A−1 = sI n−AaT

detsI n−A

Φs è dunque una matrice di funzioni razionali strettamente proprie.Può accadere che il polinomio caratteristico a denominatore si possa semplificare con ipolinomi della matrice superiore, in tal caso però tutti glizeri del polinomio caratteristicopermangono, però nella sua fattorizzazione bisognerà abbassare la molteplicità algebricarelativa di qualche autovalore fino a farla coincidere con la sua molteplicità geometrica.Se il polinomio a denominatore (o il suo equivalente semplificato) ha solo zeri semplici, cioè èdel tipo detsI n−A = s− λ1...s− λr conr < n, allora si puòespandere in fratti semplicila matriceΦs :

Φs = ∑i=1

rR i

s− λ i

per mezzo di opportune matricin × n R i da determinare detteresidui.Antitrasformando questa espressione si ricava facilmentela matrice di transizione nel dominiodel tempo

Φt = ∑i=1

r

R ieλ i t , t > 0

La risposta a regime permanente

Spesso si pone il problema di valutare il comportamento in risposta di una sollecitazionepersistente in ingresso avente determinate caratteristiche.In effetti può succedere che la risposta tenda ad assumere l’andamento dello stesso tipodell’ingresso.Chiameremo allorarisposta a regime permanentequella funzioneyrt verso la quale tendead assestarsi la rispostaindipendentemente dallo stato inizialeper effetto di una sollecitazionepersistente all’ingresso.L’esistenza di una risposta a regime permanente viene descritta formalmente dall’implicazione

∀ > 0 ∀x0 ∈ Rn ∃tax0 ∈ R : t ≥ tax0 |yrt − yt| <

il cui significato dice in altri termini che la risposta tende a non discostarsi più dalla rispostapermanente entro una prefissata tolleranza allorquando il sistema supera un certo istantetemporale dettotempo di assestamentotax0 che dipende sostanzialmente dallo stato iniziale.Affinchè possa esistere una risposta a regime permanente indipendente dallo stato inizialex0 ècondizione necessaria che la risposta in evoluzione liberain uscita tenda a zero per ognipossibile stato iniziale.Inoltre si richiede che l’evoluzione dello stato sia limitata in ampiezza , il che può accaderesoltanto a condizione che

Reλ i < 0 conλ i autovalori diADefiniamo la risposta a regime permanente in questo modo

yrt =t0 −∞lim CeAt−t0x0 + ∫

t0

tWt − τuτdτ

L’idea di base parte dalla constatazione che il sistema è stazionario nel tempo, quindi pergenerare la risposta a regime permanente si può idealmente concepire di iniziare l’esperimentosempre più indietro nel tempo.Per quanto riguarda il calcolo del limite, è facile accorgersi che il primo termine tende adannullarsi perchè la matrice esponenziale contiene sommatorie di esponenziali (eventualmentecomplessi) a parte reale negativa che tendono zero al tendere di t all’infinito.Dunque la risposta in regime permanente dipende solo dalla parte in evoluzione forzata

yrt =t0 −∞lim ∫

t0

tWt − τuτdτ

Adesso poniamoξ = t − τ e calcoliamo il limite

yrt =t0 −∞lim −∫

t−t0

0Wξut − ξdξ =

=t0 −∞lim ∫

0

t−t0

Wξut − ξdξ =

= ∫0

+∞Wξut − ξdξ

In tal modo siamo finalmente giunti a scoprire la formula definitiva che permette di calcolare la

risposta a regime permanente

yrt = ∫0

+∞Wξut − ξdξ

Precisiamo naturalmente che se laWξ non contiene il termineδD allora bisogneràaggiungereDut all’integrale.Sotto opportune condizioni sull’ingressout, la risposta a regime permanente esiste ed èlimitata in ampiezza.Vediamo allora qualche esempio di ingresso ammissibile.Per semplicità supponiamo che il sistema abbia un unico ingresso e una unica uscitap = q = 1 e supponiamo cheut = est.

yrt = ∫0

+∞Wξest−ξdξ =

= est ∫0

+∞Wξe−sξdξ =

= estLWξ =

= estWs

In sostanza il calcolo mostra che in questo caso la risposta aregime permanente è dello stessotipo dell’ingresso perchè l’esponenziale viene modificato soltanto per un coefficientecomplesso.Vediamo ora che cosa accade se viene immesso nel sistema un segnale di tipo sinusoidale

ut = sinωt = ejωt − e−jωt

2jDunque eseguiamo il calcolo sulla risposta a regime permanente

yrt = ∫0

+∞Wξ ejωt−ξ − e−jωt−ξ

2jdξ =

= ejωt

2j∫

0

+∞Wξe−jωξdξ − e−jωt

2j∫

0

+∞Wξe−−jωξdξ =

= ejωt

2jWjω − e−jωt

2jW−jω

Siccome

Wjω = ∫0

+∞Wte−jωtdt =

= ∫0

+∞Wtcosωt − j sinωtdt

si vede benissimo che la parte reale diWjω è pari (inω, mentre la parte immaginaria diWjω è dispari e questo comporta che la funzione moduloMω sia pari e la funzione faseφω sia dispari:

Mω = |Wjω| , Mω = M−ω

φω = argWjω , φ−ω = −φωAdesso possiamo scrivere la trasformata diWt per mezzo del modulo e dell’argomento

Wjω = Mωejφω

e risulta quindi che

W−jω = Mωe−jφω

L’espressione complessiva diyrt diventa allora

yrt = ejωt

2jMωejφω − e−jωt

2jMωe−jφω =

= Mω ejωt+φω − e−jωt+φω

2j=

= Mωsinωt + φωIl risultato ottenuto è molto importante perchè stabilisceinequivocabilmente che quando iningresso si ha una funzione sinusoidale, in uscita il segnale tende ad assestarsi ancora ad unafunzione sinusoidalecon la stessa pulsazione, eventualmente modificata in ampiezza e modulo.

La risposta armonica e transitoria

Abbiamo detto quindi che un segnale periodico puro di pulsazioneω viene modificato inampiezza e fase quando transita in un sistema LTI.Si chiamarisposta armonica la funzione di trasferimento calcolata per valori puramenteimmaginari

Wjω

ed è una funzione ben definita quando la parte reale degli autovalori della matrice ditransizione sono negativi.Per quanto visto precedentemente la risposta armonica è in grado di fornire la funzioneampiezzaMω e la funzione faseφω del segnale uscente dal sistema.

Mω = |Wjω|

φω = argWjωQuando esiste la risposta a regime permanente i grafici diMω eφω rendono conto delcomportamento dinamicoforzatodel sistemanel tempo, infatti se si conoscono modulo e fasedel segnale modificato allora si conosce la funzione di trasferimento e quindi perantitrasformazione si ha pure la matrice delle risposte impulsive in uscita

Mω,φω Wjω = Mωeiφω

WsL−1

Wt

Spesso nella realtà capita di non conoscere a priori la formamatematica della rispostaimpulsiva (o della funzione di trasferimento) di un sistemadi cui si sa con sicurezza che èlineare e permanente.Allora vengono eseguite numerose prove con ingressi sinusoidali differenti in pulsazione e simettono a grafico i valori ottenuti in ampiezza e fase della risposta a regime permanente,dopodichè si interpolano i dati con apposite funzioni matematiche (ad esempio polinomi) percostruire l’appropriato modello matematico del sistema.Si noti che

ω ∞ Wjω cost

in particolare seD = 0 , la costante è nulla.Si dicerisposta transitoria la differenza

ytt = yt − yrtquando esiste la risposta armonica.In altre parole la risposta complessiva può essere scissa nella componente che permane pertempi indefinitamente lunghi e nella componente che si estingue.In definitiva si tratta di un altro modo di scomporre il segnale in uscita, dato che sapevamo chela risposta del sistema poteva essere scissa nella componente libera più quella forzata.Seytt = 0 abbiamo un sistemaistantaneo, cioè la sua risposta diventa immediatamente

armonica; infatti la sua funzione di trasferimento è del tipo Mω = cost ,φω = 0.

La risposta ad ingressi canonici

Consideriamo per semplicità sistemi ad un ingresso e una uscita.Una classe molto particolare di ingressi è costituita dai cosiddetti ‘ingressi canonici’:

δkt = tk

k!δ0t , k ∈ N

doveδ0t è la ben nota funzione a gradino che vale 1 inR+ mentre è nulla inR−.Perk = 0 otteniamo di nuovo la funzione gradino, perk = 1 la funzione viene detta ‘rampaunitaria’, perk = 2 si ha invece la ‘rampa parabolica’.Se indichiamo conWkt la risposta forzata all’ingresso canonicok −esimoδkt, allora valequesta proprietà

yft = ∫0

tWkt − τ dkuτ

dτkdτ

doveuτ è l’ingresso del sistema.Si dimostra inoltre che la trasformata di Laplace dell’ingresso canonico è

Lδkt = L tk

k!δ1t = 1

sk+1

Quindi la trasformata della risposta forzata all’ingressocanonico di ordinek è uguale a

Yfs = WsUs = Wssk+1

Struttura della matrice W s nel continuo

La matrice di transizioneWs è definita

Ws = CΦsB + Ddove

Φs = sI n−A−1

Ogni elemento della matrice di transizione è una funzione razionale strettamente propria seD = 0, altrimenti avremo cheWs è il rapporto tra due polinomi di grado identico.La rappresentazione più utilizzata e conveniente per la matrice di transizione è la notarappresentazionepoli-zeri:

Wαβs = k′

m

i=1

∏ s− zi

n

j=1

∏ s− pj

dove izi sono gli zeri della funzione di trasferimento, ipj sono i poli della funzione ditrasferimento ek′ è una costante opportuna.Ribadiamo naturalmente che vale la condizionem ≤ n con l’effettiva uguaglianza solo nel casoD ≠ 0.La forma di Bode della matrice di transizione consiste nel rappresentare lamedesima matriceancora per mezzo della fattorizzazione, effettuando però queste semplici trasformazionialgebriche

Wαβs = k′ i

∏ s− zi k

∏ s2 + ak′ s+ bk

′

sr

j

∏ s− pj m

∏ s2 + ams+ bm=

= k′ i

∏ zi1 − szi

k

∏ bk′ 1 + ak

′

bk′ s+ 1

bk′ s2

sr

j

∏ pj 1 − spj

m

∏ bm 1 + am

bms+ 1

bms2

=

= K i

∏ 1 + τ i′s

k

∏ 1 + 2ξk′

ωk′ s+ 1

ωk′2 s2

sr

j

∏ 1 + τ jsm

∏ 1 + 2 ξkωk

s+ 1ωk

2 s2

doveτ i′ = −1/zi , τ j = −1/pj , ωk è detta pulsazione naturale,ξk è detto smorzamento, mentreK

è una nuova costante che viene dettaguadagno.I diagrammi di Bode sono rappresentazioni grafiche in scalalogaritmica del moduloMω edella faseφω della funzione di trasferimento rispetto al parametroω che è la frequenza di uningresso sinusoidale al sistema.Sull’asse delle ascisse si riporta convenzionalmente la frequenzaω in scala logaritmica conbase 10 (cioè ad es. 1 0, 10 1, 100 2..., sull’asse delle ordinate non si riporta ilmodulo proprioMω della funzione di trasferimento, bensì il suo equivalente in decibel (db):

Mdbω = 20 log10Mωmentre la faseφω può essere rappresentata in gradi o radianti.Il motivo per cui il modulo è rappresentato in decibel consiste nel fatto che spesso capita didover collegare due sistemi la cui funzione di trasferimento è data dal prodotto delle rispettivefunzioni di trasferimento, sicchè per rappresentare graficamente il modulo si dovrebbe eseguireil prodotto dei rispetti moduli per ogni frequenzaω e cio’ sarebbe causa di spiacevoliinconvenienti grafici, dunque si preferisce adottare la scala logaritmica poichè in tal caso ilmodulo (in db) del prodotto è dato semplicemente dalla sommadei moduli (in db).

Trasformata Z

Anche nei sistemi a tempo discreto è possibile condurre uno studio nel dominio complessograzie all’uso della trasformata zeta.Si definisce trasformata Z di una funzionef : N R definita nei numeri naturali a valori realila sommatoria

Zfk =+∞

i=0

∑ fizi

, k ∈ N

Per una data funzione la convergenza è assicurata all’esterno di un cerchio di raggioα(dipendente dalla funzione stessa) centrato nell’originedel piano complesso.

Trasformata Z di potenza

Zak = 11 − a

z, |z| > |a|

Trasformata Z di esponenziale

Zeak = 11 − ea

z

, |z| > |ea|

Trasformata Z del seno

Zsinθk = zsinθz2 − 2zcosθ + 1

, |z| > |1|

Proprietà di linearità

Zλfk + μgk = λZfk + μLgk

Proprietà di traslazione a sinistra

Zfk + 1 = zFz − zf0

Proprietà di traslazione a destra

Zfk − 1 = Fzz

Trasformata Z applicata ai sistemi discreti

Ripartiamo dallo schema implicito supponendo senza perdita di generalità che l’istante inizialein cui avviene il transito di un segnale in ingresso siak0 = 0

xk + 1 = A ⋅ xk + B ⋅ uk

yk = C ⋅ xk + D ⋅ uk

x0 = x0

Eseguiamo la Z-trasformata sull’equazione di stato

zXz − zx0 = A ⋅ Xz + B ⋅ Uz

e con pochi passaggi algebrici si trova

Xz = zI − A−1zx0 + zI − A−1BUz

Questa espressione va confrontata con la soluzione esplicita dello stato

xk = A kx0 +k−1

i=0

∑ A k−i−1Bui , k > 0

perchè effettivamente esse sono legate tramite la trasformata Z.Grazie alla linearità si scopre quindi che

Z A k = zI − A−1z = Φz

doveΦk = A k è naturalmente la funzione di transizione del sistema discreto.Applicando ancora il teorema della traslazione a destra si trova inoltre

Z A k−1B = zI − A−1B = Hz

dove ricordiamo cheHk = A k−1B è la matrice delle risposte impulsive nello stato.Dunque la trasformata Z applicata al prodotto di convoluzione discreto tra la matrice dellerisposte impulsive e l’ingresso fornisce

Zk−1

i=0

∑ A k−i−1Bui = HzUz

e si riscopre così la nota proprietà secondo la qualela trasformata zeta di una convoluzione

discreta è uguale al prodotto delle singole trasformate zeta.Adesso eseguiamo la trasformata zeta della risposta in uscita

Yz = C ⋅ Xz + D ⋅ Uz =

= CzI − A−1zx0 + CzI − A−1BUz + DUz =

= CzI − A−1zx0 + CzI − A−1B + D Uz =

= Ψzx0 + WzUz

In definitiva tutte le operazioni da effettuare nel dominiodella variabile complessa per unsistema discreto si condensano nel seguente schema

Xz = Φzx0 + HzUz

Yz = Ψzx0 + WzUz

Φz = zI n−A−1z; Hz = Φzz B

Ψz = CΦz; Wz = CHz + DLa matriceWz viene detta funzione di trasferimento.

Struttura della matrice Φz nel discreto

La trasformataΦz della matrice di transizione nello statoΦk è una funzione razionalepropria, ma non necessariamente strettamente propria perchè soltantoz−1Φz è del primo tipo.Svolgendo in dettaglio i calcoli si trova

z−1Φz = zI − A−1 = zI − AaT

dz= Ez

mzdovedz è il polinomio caratteristico della matriceA e la notazione in alto a destra nelnumeratore indica che bisogna fare l’aggiunta e poi la trasposta della matricezI − A.In genere può capitare che tale rapporto si possa ancora semplificare, per cui a conti fatti sitrova a numeratore una matriceEz di polinomi complessidi grado al più inferiore ad unorispetto al grado del denominatore, mentre a denominatore si trova un polinomiomz dettopolinomio minimo che ha sicuramente tra i suoi zeri tutti gli zeri che hadz, cioè tutti i suoiautovalori ma con molteplicità inferiore o tuttalpiù uguale a quella didz.Come sappiamo, la molteplicità degli autovalori nel polinomio minimo si chiamamolteplicitàgeometrica, mentre quella del polinomio caratteristico viene dettamolteplicità algebrica.Per semplicità prendiamo in considerazione il caso in cuimz ha degli zeri semplici

z−1Φz =

i=1

m

∑ R i

z− λ i

Φz =

i=1

m

∑ R iz

z− λ i

da cui antitrasformando si ricava la forma della matrice di transizione

Φk =

i=1

m

∑ R iλ ik

Le matriciR i sono in generale quadrate di ordinen.Supponiamo adesso che nello sviluppo in fratti semplici della Φ vi siano autovalori complessiconiugati e procediamo come avevamo fatto nel caso del modello continuo

z−1Φz = ... + Rz− λ + R∗

z− λ∗ =

= ... + Ra+jRb

z− σejθ + Ra−jRb

z− σe−jθ

doveRa e Rb sono parte reale e complessa associata al residuoR (idem per il residuoconiugato), poi si sviluppano i conti facendo il denominatore comune e si ottiene

Φz = ... +2Raz/σ2 − z/σcosθ − 2Rbz/σsinθ

z/σ2 − 2z/σcosθ + 1Se la trasformata dell’ingressoUz è una funzione razionale propria, allora anche latrasformata della risposta forzataY fz sarà una funzione razionale propria che potrà essereespansa in fratti semplici e quindi potrà essere facilmenteantitrasformata.

Analisi dei sistemi discreti in C

La risposta a regime permanentedi un sistema LTI discreto è quella funzioneyrk verso laquale tende ad assestarsi la risposta indipendentemente dallo stato iniziale.Perchè esiste e sia indipendente dax0 è necessario che l’evoluzione libera in uscita tenda a zeroper ogni possibile stato inizialex0.Inoltre l’evoluzione nello stato dovrà essere limitata, cioè deve accadere che

|δ i | < 1

Formalmente la risposta a regime permanente si definisce come

yrk =k0 −∞

lim CA k−k0x0 +k

k0

∑ Wk − τuτ

in quanto per la stazionarietà del sistema è possibile fingere di iniziare l’esperimento in untempo infinitamente lontano nel tempo.Però d’altra parte sappiamo che

k0 −∞lim CA k−k0x0 = 0

perchè inA vi sono degli esponenziali che tendono ad annullarsi all’infinito, per cui possiamodire con certezza che la parte libera al limite diventa nulla.Quindi solo il termine forzante sopravvive al limite per tempi iniziali infinitamente lontani nelpassato

yrk =k0 −∞

limk

k0

∑ Wk − τuτ

Eseguiamo un cambiamento di variabile del tipoξ = k − τ e cio’ che rimane è quindi

yrk =+∞

0

∑ Wξuk − ξ

La risposta a regime permanente esiste per una classe opportuna di funzioni in ingresso.Consideriamo adesso per semplicità il caso scalarep = q = 1 (un ingresso e una uscita) confunzione di ingresso

uk = esk

dovesè un numero complesso fissato a priori.Il calcolo diretto mostra

yrk =+∞

0

∑ Wξesk−ξ =

= esk

+∞

0

∑ Wξe−sξ =

= eskWes

doveWes è proprio la trasformata Z dellaWk calcolata in corrispondenza dies.La zona di convergenza è data da tutti i numeri complessiz tali che|z| > ρw doveρw è il piu’piccolo raggio ammissibile perW.Notiamo soprattutto che la risposta a regime permanente è dello stesso tipo dell’ingresso ameno di un fattore di amplificazione.Vediamo adesso qual’è il tipo di risposta a regime permanente con ingressi di tipo sinusoidali.Consideriamo un segnale del tipo

uk = sinθk = ejθk − e−jθk

2j

per la linearità la risposta diventa uguale a

yrk =+∞

0

∑ Wξ ejθk−ξ − e−jθk−ξ

2j=

= ejθkWjθ − e−jθkW−jθ2j

Ricordando però che deve valere la condizione|ejθ | > ρw notiamo subito che il raggioρw èsicuramente inferiore a uno in quanto tutti gli autovalori del sistema hanno modulo inferioreall’unità (cioè sono interni al cerchio di raggio 1), anzi sipotrebbe dimostrare cheρw coincideproprio con il modulo più grande fra tutti gli autovalori.Dunque la condizione è rispettata perchèejθ appartiene alla circonferenza di raggio unitario cheè conglobata evidentemente nella regione di convergenza.Come al solito adesso indichiamo il modulo e la fase della trasformata Z diWk

Mθ = |Wejθ| , Φθ = argWejθ

e scopriamo ancora una volta che la funzione modulo è pari , mentre la funzione fase è dispari.Infatti basta riutilizzare ancora una volta la formula di Eulero per sviluppareWejθ

Wejθ =+∞

k=0

∑ Wke−jθk =

=+∞

k=0

∑ Wkcosθk − j+∞

k=0

∑ Wksinθk

e vedere facilmente che la parte reale è una funzione pari inθ, mentre la parte immaginaria èdispari.In conclusione con un po’ di calcoli abbiamo finalmente

yrk = Mθsinθk + ΦθQuando in ingresso si ha una funzione sinusoidale, in uscitail segnale tende ad assestarsiancora ad una funzione sinusoidalecon la stessa pulsazione, eventualmente modificata inampiezza e modulo.In parallelo al caso continuo, anche questa volta la funzione di trasferimentoWejθ calcolatasulla circonferenza complessa unitaria viene dettarisposta armonica.Quando esiste la risposta a regime permanente i grafici diMθ eΦθ rendono conto delcomportamento dinamico ink del sistema.Anche in questo caso l’esistenza della risposta a regime permanente produce una differente

scomposizione della risposta (rispetto a quella libera e forzata) in cui viene identificata lacosiddettarisposta transitoria ytk che si ottiene dalla differenza

ytk = yk − yrk

Analisi completa in C

Abbiamo trattato in passato il caso di matriceA semplice con polinomio caratteristicofattorizzato

dλ = λ − λ1μ1λ − λ2μ2...λ − λmμm

dove iλ i sono gli autovalori associati adA con molteplicità algebricaμ i .In corrispondenza di ciascun autovalore andiamo a risolvere l’equazione vettoriale

A −λhI uh = 0cercando tutti quei vettoriuh detti autovettori che formano la soluzione.Se esistonoμh autovettori linearmente indipendentiuh,1, uh,2, ...,uh,μh associati aλh alloraA sidice semplice.Ricordiamo infatti che non sempre accade che la molteplicità algebrica coincida con quellageometrica.Quando andiamo a calcolare la matricesI − A−1, essa sarà costituita da una certa matriceEs a numeratore di tipon × n i cui elementi sono polinomi di grado al piùn − 1 e unpolinomioms a denominatore della forma

ms = λ − λ1λ − λ2...λ − λm

sI − A−1 = Esms

in modo tale che la molteplicità di tutti gli zeri dims sia unitaria.In effetti si potrebbe dimostrare che la condizione di semplicità sulla matriceA è perfettamenteequivalente alla molteplicità unitaria del polinomio a denominatore disI − A−1.La condizione di semplicità perA si traduce poi nel fatto che esiste una seconda matriceT talecheTAT −1 è diagonale a coefficienti reali, dove gli autovalori realistanno sulla diagonalementre gli autovalori complessi occupano blocchetti 2×2 sempre sulla diagonale principale.

Adesso ci occuperemo del caso generale in cui la matriceA non è semplice, prima tratteremo ilcaso continuo e poi il caso discreto.

Caso continuo

La matrice di transizione è data da

Φs = sI − A−1 = Esms

dove in generale il polinomio minimo ha la forma del tipo

ms = s− λ1p1s− λ2p2...s− λmpm , pi ≥ 1

ed esiste sicuramente unpi strettamente maggiore di uno.I valori pi si chiamano molteplicità geometriche associate all’autovalore i-esimo.Questa volta la matrice di transizione si dovrà espandere infratti compostisecondo la forma

Φs =m

i=1

∑ R i,1

s− λ i+ ... +

R i,pi

s− λ i pi

doveR i,1 , ... ,R i,pi sono le matrici residue associate all’autovalore i-esimo che competono al

grado 1 fino al gradopi .Si può dimostrare che il residuoR i,k è dato da

R i,k =sλ i

lim 1pi − k!

dpi−k

dspi−k sI − A−1s− λ i pi

Ora dobbiamo cercare di antitrasformare la matrice di transizione già ridotta in fratti composti.Ricordiamo la trasformata di Laplace di un esponenziale premoltiplicato per un monomio

Lteλt = 1s− λ2

Procedendo con termini di grado superiore si può dimostrare(ad esempio per induzione) chevale la seguente proprietà generale

L tk−1

k − 1!eλt = 1

s− λk

In conclusione possiamo scrivere

Φt =m

i=1

∑pi

k=1

∑ R i,ktk−1

k − 1!eλ i t

La differenza rispetto al caso semplice è evidente poichè ora compare una doppia sommatoria egli esponenziali sono premoltiplicati per coefficienti ditipo polinomiale con grado minorestrettamente della molteplicità geometrica associata.

Caso discreto

Valgono quasi le stesse considerazioni al caso continuo, lamatrice di transizione ora è data da

Φz = zI − A−1z =m

i=1

∑pi

j=1

∑ zR i,j

z− λ i j

doveR i,1 , ... ,R i,pi sono le matrici residue associate all’autovalore i-esimo che competono dalgrado 1 fino al gradopi .Ora dobbiamo cercare di antitrasformare la matrice di transizione già ridotta in fratti composti.Vale la seguente proprietà di trasformazione

Z−1 zz− λ i k

= λ ik−j+1 kj−1

j − 1!

dove abbiamo indicato conkj = kk − 1...k − j + 1 il polinomio fattoriale di ordinej.Pertanto

Φk =m

i=1

∑pi

j=1

∑ R i,jλ ik−j+1 kj−1

j − 1!

Dal modello ingresso /uscita alla rappresentazione con lo stato

Spesso il calcolo del modello per via diretta o sperimentaleconduce al calcolo della funzione ditrasferimento, oppure ad una relazione differenziale tra l’ingressou e l’uscitay superiore alprimo ordine.In questo contesto esamineremo due tipi di problemi fondamentali:

⋅ Il problema della realizzazione⋅ Dal modello implicito ingresso-uscita alla rappresentazione con lo stato

Nel problema della realizzazione si cerca di passare dalla funzione di trasferimento alla

rappresentazione con lo stato.Tecnicamente ciò si traduce nel seguente quesito:

assegnata una matrice di funzioniK s (detta nucleo) di variabile complessa determinare ladimensione n del sistema e quattro matriciA, B, C, D tali che

CsI − A−1B + D = K s

Affinchè il problema sia ben posto e risolubile è necessarioche il nucleo sia una matricecostituita da funzioni razionali proprie; ciò comporta cheK s si possa scindere in una matriceK 0 costante più un’altra matrice di funzioni razionalistrettamenteproprieK ′s, dunquel’identificazione della matriceD avviene subito

D = K 0

CsI − A−1B = K ′s

La risolubilità del problema è affidata ora unicamente allamatriceK ′s, che essendo razionalestrettamente propria ammette in generale sempre delle soluzioni.Per semplicità esaminiamo il caso scalarep = q = 1 e supponiamo che

K′s = b0 + ... + bn−1sn−1

a0 + ... + an−1sn−1 + sn

dove i vari coefficientiai e bi sono fissati.Si noti che il coefficiente di gradon a denominatore è stato posto uguale a uno per motivitecnici.A partire dalla forma algebrica diK′s si possono scrivere diverse realizzazioni:

A =

0 1 .. 0

.. .. .. ..

0 .. .. 1

−a0 .. .. −an−1

; B =

0

..

0

1

; C = b0 .. .. bn−1

La matrice A viene detta forma compagna.Vale la proprietà

|λI − A | = a0 + a1λ + ... + an−1λn−1 + λn

che è proprio il polinomio a denominatore del nucleo K.Una seconda realizzazione è data da

A =

0 .. 0 −a0

1 .. .. ..

.. .. .. ..

0 .. 1 −an−1

; B =

b0

..

..

bn−1

; C = 0 .. 0 1

Vediamo adesso come si procede quando si parte dal modello implicito ingresso-uscita perapprodare ad una rappresentazione con lo stato.

Dato un legame differenziale(non causale m≤ n) nel continuo del tipo

ynt + an−1yn−1t + ... + a0yt = b0ut + ... + bmumt

se si trasforma secondo Laplace ponendo queste condizioni

y0 = ... = yn−10 = 0 , u0 = ... = um−10 = 0

si ottiene

dsYs = nsUs

dove ds ed ns sono rispettivamente il polinomio di grado n associato allatrasformatadell’uscita e il polinomio di grado m associato alla trasformata dell’ ingresso.

Quindi il legame ingresso-uscita si può scrivere concisamente come

Ys = nsds

Us

Dato un legame alle differenze finite nel discreto del tipo

yk + n + an−1yk + n − 1 + ... + a0yk = b0uk + ... + bmuk + m

se si trasforma in Z ponendo

y−1 = ... = y−n + 1 = 0 , u−1 = ... = u−m+ 1 = 0

per il teorema della traslazione a sinistra si ottiene

dzYz = nzUz

dove dz ed nz sono ancora due polinomi di grado n e m rispettivamente.

Quindi ancora una volta si trova la funzione di trasferimento responsabile del legameingresso-uscita al caso discreto

Yz = nzdz

Uz

La stabilità

La stabilità è una proprietà relativa all’effetto delle perturbazioni, ovvero in termini più intuitivipossiamo immaginare che un sistema sia stabile quando riesce a contenere l’effetto provocatodalle perturbazioni.Le perturbazioni possono riguardare la struttura stessa del sistema ed agire direttamente suiparametri, in tal caso allora si parlerà distabilità strutturale, possono anche riguardare lo statoiniziale del sistema e allora si parlerà distabilità interna, oppure possono manifestarsi propriosul segnale di ingresso e dunque si parlerà distabilità ingresso-uscita.

Stabilità interna

Sia⋅x t = fxt, t , fxe, t = 0 ∀t ≥ 0

dovexe è uno stato di equilibrio per la funzionef.Diremo che lo statoxe è stabile se

∀ > 0 ∃δt0 > 0 : ‖x0 − xe‖ < δt0 ‖xt − xe‖ < , ∀t > t0

Se inoltre il valoreδ non dipendedall’istantet0 allora lo stato si diràuniformemente stabile.

Lo statoxe è detto attrattivo se

∃δt0 : ‖x0 − xe‖ < δt0 t∞lim ‖xt − xe‖ = 0

Se inoltre il valoreδ non dipendedall’istantet0 allora lo stato si diràuniformementeattrattivo .

Lo statoxe verrà dettoasintoticamente stabilese valgono le due proprietà precedenti, cioè se èsia stabile che attrattivo.Lo statoxe verrà dettoasintoticamente uniformemente stabilese la proprietà è uniformerispetto at0.Lo statoxe verrà dettoglobalmente asintoticamente stabileseδ = ∞.

Diremo che lo statoxe è esponenzialmente stabilese

∃a > 0 ∃λ > 0 : ‖xe − x0‖ < δ ‖xt − xe‖ ≤ aδeλt−t0

Se il sistema è stazionario le proprietà sono sempre uniformi.La stabilità esponenziale è naturalmente solo un caso particolare della stabilità uniforme.Per la stabilità asintotica,xe deve essere necessariamente isolato, per la stabilità asintoticaglobalexe deve essere invece necessariamente unico.

Fissatox0,ut0,∞ si definiscemoto l’insieme

M = t,x0t in T × Rn

Esso è univocamente determinato quando è stato fissato uno stato iniziale e un ingresso.Il moto t,x0t si dice stabile se

∀ > 0 ∃δt0 : ‖x0p − x0‖ < δt0 ‖xpt − x0t‖ < ∀t > t0

dovex0p è uno stato iniziale perturbato expt ne è la sua evoluzione.

Lo studio della stabilità di un moto si può ricondurre allo studio della stabilità di uno stato diequilibrio.Supponiamo infatti di avere un sistema del tipo

⋅x= fxt,ut

e un moto fissato del tipo⋅x0 t = fx0t,u0t

Partendo da uno stato iniziale perturbatox0pt si genererà un moto perturbatoxpt chesoddisfa naturalmente all’equazione

⋅xp t = fxpt,u0t

Se adesso inidichiamo

ξt = xpt − x0t

allora⋅ξ t = fxpt,u0t − fx0t,u0t =

= x0t + ξt,u0t − fx0t,u0t =

= gt,ξt

doveg è una funzione introdotta ad hoc.Inoltre

ξ0 = ξ0 = 0

è uno stato di equilibrio per la funzioneg.

In particolare se

fx,u = Ax+ Bu

allora⋅ξ t = Axpt + Bu0t − Ax0t + Bu0t =

= Axpt − x0t =

= Aξt

ξ0 = 0

Abbiamo così dimostrato che in un sistema lineare la stabilità di un qualsiasi moto si riconducealla stabilità dell’origine del sistema stesso.

Parliamo adesso di stabilità interna ai sistemi continui. Supponiamo di avere un sistema linearestazionario

⋅

x = Ax

conxe stato di equilibrioAxe = 0.L’insieme degli stati di equilibrio formano naturalmente un sottospazio dello spazio di stato el’origine è chiaramente uno stato di equilibrio.Una prima proprietà importante è chela stabilità di uno stato di equilibrio è equivalente allastabilità del solo stato nullo.Inoltre se vale la proprietà di attrattività allora è globale.

Nel caso dei sistemi discreti valgono le stesse considerazioni, soltanto che questa volta gli statidi equilibrio si trovano con la condizione

Axe = xe

Quindi possiamo ancora affermare le due proprietà precedenti.

In base alle considerazioni svolte possiamo concludere chela stabilità interna si attua studiandosoltanto la stabilità dell’origine.Sappiamo anche che la stabilità interna implica la stabilità di tutti i moti possibili.

Condizione alla stabilità

Per i sistemi a tempo continuo lo stato di equilibrio xe = 0 è stabile se e soltanto se

‖Φt‖ ≤ k

doveΦt è la matrice delle risposte impulsive.

La condizione è sufficiente in quanto se‖Φt‖ ≤ k allora per le relazioni fondamentali sullenorme

‖xLt‖ = ‖Φtx0‖ ≤ k‖x0‖ <

e dunque basta scegliere

‖x0‖ < k = δ

Sappiamo però cheΦt = eAt e quindi la condizione di sopra si trasferisce in una condizioneequivalente sugli autovalori diA :

‖Φt‖ ≤ k Reλ i ≤ 0 semg

i = 1

Reλ i < 0 semgi > 1

dove abbiamo indicato conmgi la molteplicità geometrica dell’autovalore corrispondente.

Lo statoxe è asintoticamente stabile se e soltanto se

Reλ i < 0 ∀i

La stabilità asintotica è ovviamente globale ed anche esponenziale nel caso lineare.

Anche per i sistemi a tempo discreto lo stato di equilibrio xe = 0 è stabile se e soltanto se

‖Φt‖ ≤ k

Quello che conta adesso però è il modulo dell’autovalore, sicchè avremo

‖Φt‖ ≤ k ‖λ i‖ ≤ 1 semg

i = 1

‖λ i‖ < 1 semgi > 1

Lo statoxe è asintoticamente stabile se e soltanto se

‖λ i‖ < 1 ∀i

La stabilità asintotica è ovviamente globale ed anche esponenziale nel caso lineare.

Stabilità esterna

Un sistema S si dicestabile esternamentein qualsiasi stato se, comunque fissatox0 ed uningresso

‖ut‖ < M ∃NMx0 : ‖yt‖ < NMx0 ∀t > t0

Il sistema S è stabile esternamente nello stato zero se la proprietà sussiste inx0 = 0 (proprietàBIBO= bound input, bound output).Le condizioni necessarie e sufficienti affinchè cio’ accada sono espresse dalle seguentidisuguaglianze

∫0

∞‖Wt‖dt < k1

‖Ψt‖ < k2 ∀t

dovek1 e k2 sono due particolari costanti.Inoltre la prima condizione è necessaria e sufficiente per la stabilità esterna nello stato zero.La condizione sull’integrale è equivalente al fatto che la parte reale degli autovalori che sonosimultaneamente osservabili ed eccitabili sia strettamente negativa

Reλ ie,o < 0

cioè i poli di Ws siano a parte reale strettamente negativa.La condizione sulla norma diΨt è equivalente invece

‖Reλ io‖

≤ 0 semgi = 1

< 0 semgi > 1

cioè i poli diΨs abbiano tutti quanti parte reale non positiva.

Il metodo di Lyapunov

Per lo studio della stabilità di un sistema non lineare si ricorre spesso al metodo di Lyapunov.Il metodo puo’ essere interpretato di fatto come un estensione di un risultato di meccanica

classica che già Lagrange aveva enunciato nel 1788 in cui si diceva che i punti a energiapotenziale minima sono punti di equilibrio stabili locali.Lyapunov generalizzò questo approccio ai sistemi di equazioni differenziali.

Supponiamo in generale di avere un sistema non lineare⋅x= fx , fxe = 0

conxe uno stato di equilibrio e lo jacobiano non nullo

Jfxe ≠ 0

Sappiamo che la condizione di non nullità per lo jacobiano implica il fatto che il punto diequilibrio sia isolato, cioè esiste un intorno dixe in cui non si trovano altri punti di equilibrio.Questo fatto poi, è indispensabile per poter avere stabilità asintotica, in quanto si esclude lapossibilità che lo stato non possa ritornare nella sua posizione originaria dopo un grande lassodi tempo.

Diremo cheV : Rn R è una funzionedefinita positiva in un intornoSxe,r di raggiorcentrato inxe se

Vxe = 0 & Vx > 0 , x ∈ Sxe,r

Parimenti diremo cheV : Rn R è una funzionesemidefinita positiva in un intornoSxe,rdi raggior centrato inxe se

Vxe = 0 & Vx ≥ 0 , x ∈ Sxe,r

Diremo poi cheVx è definita negativao semidefinita negativase la funzione opposta−Vxè rispettivamente definita positiva o semidefinita positiva.

Una classe importante di funzioni che si prestano a questo tipo di analisi sono le funzioniquadratiche (scalari) del tipo

Vx = x − xeTQx − xedoveQ è una matrice quadratan × n.QuandoQ è uguale all’identità si ottiene il classico prodotto scalare.Diremo che la matriceQ è definita positiva se lo è la corrispondente funzione quadraticaVx.

Criterio di Sylvester

Una matrice quadrata Q simmetrica è definita positiva se e solo se tutti i suoi minori principalisono positivi.

In generale data una forma quadratica ad essa non è associatauna matrice simmetrica, tuttaviaè facile mostrare che vi si può ricondurci semplicemente eseguendo la semisomma con latrasposta

x − xeTQx − xe = x − xeT Q + QT

2 x − xe

Si definisce laderivata lungo il moto la quantità:

∂Vx∂x

⋅x =

i=1

n

∑ ∂Vx∂xi

f ix,u

Inoltre Vx si dicefunzione di Lyapunov in Sxe,r seVx è definita positiva nell’intorno e

se⋅V x è semidefinita negativa.

Diremo che la funzione di Lyapunov è asintotica se⋅V x è proprio definita negativa.

Criterio di Lyapunov

Se Vx è una funzione di Lyapunov in Sxe,r allora xe è localmente stabile.Se poi Vx è una funzione di Lyapunov asintotica in Sxe,r allora xe è localmenteasintoticamente stabile.Se r= ∞ e

‖x‖→∞lim Vx = ∞

allora xe è globalmente asintoticamente stabile.

L’esistenza di una funzione di Lyapunov è anche condizione necessaria per la stabilità per isistemi differenziali a dimensione finita.

Il caso dei sistemi LTI continui

Consideriamo un sistema del tipo⋅x = Ax

Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità asintotica è che comunque fissata P unamatrice quadrata simmetrica e definita positiva esista e sia unica, simmetrica e definitapositiva la soluzione Q del’equazione matriciale

ATQ + QA = −P

Usualmente si fissa comeP la matrice identità. Dimostriamo solo la sufficienza dellaproposizione.SupponiamoP simmetrica definita positiva e consideriamo la funzione diLyapunovVx = xTQxLa sua derivata diventa

⋅V x =

⋅x

TQx+ xTQ

⋅x =

= xTAQx+ xTQAx =

= xTAQ+ QAx =

= −xTPx < 0

Il caso dei sistemi LTI discretii

Consideriamo un sistema del tipo

xk + 1 = Axk

Si definisce laderivata lungo il moto la quantità:

ΔVx = Vxk + 1 − Vxk

Vx si dicefunzione di Lyapunov in Sxe,r seVx è definita positiva nell’intorno e seΔVx è semidefinita negativa.Diremo che la funzione di Lyapunov è asintotica seΔVx è proprio definita negativa.

Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità asintotica è che comunque fissata P unamatrice quadrata simmetrica e definita positiva esista e sia unica, simmetrica e definitapositiva la soluzione Q del’equazione matriciale

ATQA− Q = −P

Usualmente si fissa comeP la matrice identità.

La raggiungibilità

Uno stato x è raggiungibile al tempo t a partire dallo stato x0 se esiste un istante di tempo t0 edun ingresso u che porta lo stato x al tempo t.

Nel caso dei sistemi lineari ha interesse partire dallo stato x0 = 0 perchè è lo stato privilegiatoin cui si assume il sistema quando si trova in condizione di riposo.In tal caso l’evoluzione forzata dello stato è rappresentata dalle ben note formule

xk =k−1

i=k0

∑ A k−i−1Bui (caso discreto)

xt = ∫t0

teAt−τBuτdτ (caso continuo)

Nel primo caso l’insieme degli stati che si possono raggiungere sono tutti quelli che si possonoottenere variando lauk e l’ingresso inizialek0, rispettando naturalmente sempre la condizionek > k0.Analogamente nel caso continuo, l’insieme degli stati raggiungibili si ottiene facendo variare intutti i modi possibili l’ingressouτ e l’istante inizialet0.

Lo statox è raggiungibile dax0= 0 se e soltanto se

x ∈ IM B | AB | A2B |...|An−1B

La matrice collezione di cui sopra viene dettamatrice di raggiungibilità associata alle matriciA , B.Ricordiamo inoltre che l’immagine di una matrice è l’insieme di tutte le combinazioni linearidelle sue colonne linearmente indipendenti e forma uno spazio vettoriale.

Proveremo a dimostrare il risultato limitatamente al caso discreto.Allora supponiamo di voler scrivere tutti gli stati raggiungibili di un LTI discreto all’istantekimmaginando però che al tempok − 1 lo stato sia nullo:

xk = Axk − 1 + Buk − 1 =

= Buk − 1 = IMBAdesso supponiamo di voler scrivere tutti gli stati raggiungibili di un LTI discreto all’istantekimmaginando però che al tempok − 2 lo stato sia nullo:

xk = Axk − 1 + Buk − 1 =

= A2xk − 2 + ABuk − 2 + Buk − 1 =

= ABuk − 2 + Buk − 1 =

= IM B | AB

Andando avanti con questo ragionamento fino al tempo iniziale k − n ritrovo il risultatoscoperto.Insistere però nel tornare a ritroso nel tempo non è assolutamente necessario in quanto grazie alteorema di Cayley - Hamilton è facile dimostrare che le due matrici di sotto hanno la stessaimmagine

IM B | AB | A2B |...|An−1B = IM B | AB | A2B |...|AnB

Infatti sappiamo che la matriceAn (quadrata di ordinen) è combinazione lineare delle potenzedi A attraverso il polinomio caratteristico.Una dimostrazione analoga si potrebbe dare al caso continuo, ma preferiamo ometterla.

L’ insieme degli stati raggiungibili è un sottospazio dello spazio di stato.Se il rango della matrice di raggiungibilità è uguale a n allora tutti gli stati sono raggiungibili.

Supponiamo adesso che il sistema non sia tutto raggiungibile, cioè

ρIM B | AB | A2B |...|An−1B = m < n

allora effettuando il cambio di coordinate

z = Txdove la forma diT è costituita damvettori-colonna che formano una base nel sottospazio degliinsiemi di stato raggiungibili e le restantin − mcolonne sono formate da vettori checompletano tutto lo spazioRn, si può quindi dimostrare che le matrici rappresentative diA,B,C nel sistema di coordinatez hanno forma:

TAT −1 =A11 A12

0 A21

, TB =B1

0, CT−1 = C1 C2

dimA11 = m× m , dimB1 = m× p , dimC1 = q × m

All’atto pratico il sistema viene scisso in due sottosistemi: vediamo come.Suddividiamo il nuovo vettore di statoz in due parti

z = z1|z2

dimz1 = m , dimz2 = n − m

e calcoliamo la nuova rappresentazione di stato⋅z1 = A11z1 + A12z2 + B1u⋅z2 = A22z2

y = C1z1 + C2z2

Queste equazioni mettono in luce i due sottosistemi che si formano.Il secondo sistema non è raggiungibile perchè è evidente chel’ingressou non può influenzareaffatto il suo stato.Tuttavia appare chiaro invece che il secondo sistema può influenzare lo stato del primo sistemaed entrambi possono influenzare l’uscita finale.Inoltre il primo sistema è completamente raggiungibile (dimostrazione omessa).

Osservabilità

Di notevole interesse nello studio dei sistemi è la capacitàdi ricostruire lo stato del sistemaosservando la risposta in uscita.

Diremo che lo stato xa è indistinguibile dallo stato xb al tempo t0 se le evoluzioni in uscita adesso associate sono le stesse.

Questo significa che deve sussistere uguaglianza perfettatra le risposte libere

CeAt−t0xa= CeAt−t0xb

perchè le risposte forzate si possono elidere in quanto identiche.Equivalentemente deve valere che

CeAt−t0xa − xb = 0

Alcune applicazioni di interesse ingegneristico

A conclusione di questa rassegna dei principali risultati della teoria dei sistemi linearipresentiamo l’ultima sezione in cui andiamo ad esporre due particolari esempi scelti tra gliinnumerevoli esistenti nel campo ingegnerestico.Lo scopo è quello di far vedere al lettore l’approccio analitico dal punto di vista di un ingegnereper modellizzare un sistema fisico.

Risposta in frequenza di un circuito RL

Quando un sistema lineare caratterizzato da una certaTs avente poli con parte reale negativariceve in ingresso un segnale del tipo sinωt, questo risponde, una volta esauriti i transitoridovuti ai poli dellaTs, con un altro segnale sinusoidale della stessa frequenzaω, ma conampiezza e fase modificati in base alla caratteristiche della funzione di trasferimento stessa.Questo ragionamento è la base dello studio della Risposta inFrequenza, che ci permette dicalcolare rapidamente come laTs modifica la sinusoide in ingresso.Esaminiamo il seguente circuito elettrico:

con i seguenti dati:

vt = 50sin10t, R = 10Ω, L = 1 H.

L’obiettivo è quello di calcolare la correnteit che scorre nella maglia. Senza perdere ingeneralità, ragioniamo nel dominio della variabile di Laplace. Si ha:

Vs = ZsIs, da cui Is = VsZs

dove conZs è stata indicata l’impedenza totale del circuito, che in questo caso si ricavafacilmente dalla serie di R e L:

Zs = R+ sL = 10+ s

Inoltre sappiamo che la L-trasformata di sinωt èω2/s2 + ω2, quindi si ricavaimmediatamente:

Vs = 500s2 + 100

Is = 500s2 + 100s+ 10

I poli di Is sonos = −10,s = j10 es = −j10, tutti di molteplicità unitaria. Se ne ricava laseguente espansione in fratti semplici:

Is = As+ 10

+ P1ss2 + 100

+ P2ss2 + 100

Ci sono due fratti che hanno lo stesso denominatore. Perchè?Ricordiamoci due trasformate diLaplace molto importanti:

eat cosωt s− as− a2 + ω2

, eat sinωt ωs− a2 + ω2

Sea = 0 eω = 10, le trasformate scritte hanno denominatores2 + 100 che è lo stesso dei duefratti semplici. Ciò significa che a priori le antitrasformate di funzioni aventi comedenominatores2 + 100 potrebbero essere sia seni che coseni. Dobbiamo considerareentrambele funzioni. Quindi al posto diP1 e P2 sostituiremoB e Cs. Allora

Is = As+ 10

+ Bs2 + 100

+ Css2 + 100

Il residuo del polo in−10 si trova immediatamente col teorema dei Residui:

A = lims→−10

s+ 10 500s2 + 100s+ 10

= 500200

= 52

Sfruttiamo la conoscenza di questo fratto per ricavare gli altri. Abbiamo:

B + Css2 + 100

= 500s2 + 100s+ 10

− 52s+ 10

= 1000− 500− 5s2

2s2 + 100s+ 10= 510− ss+ 10

2s2 + 100s+ 10I due fattoris+ 10 si elidono. Allora abbiamo finalmente ricavato laIs:

Is = 52

1s+ 10

+ 52

10s2 + 100

− 52

ss2 + 100

che risulta facile da antitrasformare:

it = 52

e−10t + 52sin10t − cos10t

= 52

e−10t + 52

sin10t − 45°

Il secondo addendo è la risposta a regime permanente del sistema una volta esaurito iltransitorio dovuto al polo in−10.La funzione di trasferimento del sistema1/Zs ha quindi influito sulla risposta solomodificando ampiezza e fase della sinusoide di ingresso. Ora verifichiamo se il metodo della

Risposta in Frequenza ci porta agli stessi risultati. Si calcolano modulo e argomento diTjωperω = 10:

|Tj10| = 110+ j10

= 1200

= 110 2

∠Tj10 = −∠10+ j10 = −45°

La parte permanente della risposta è allora, come previsto:

it = 50∗ |Tj10|sin10t + ∠Tj10

= 52

sin10t − 45°

Vasche idrauliche comunicanti

Consideriamo un semplice sistema idraulico, costituito daun rubinetto e due serbatoi collegaticome in figura:

La vasca in alto presenta un buco attraverso cui l’acqua può cadere nella sottostante.Ipotizziamo che questa condotta lasci passare l’acqua proporzionalmente al livelloh1, secondouna certa costante di proporzionalitàk. La portata della condotta sarà quindi uguale akh1.Il rubinetto, che svolge il ruolo di generare l’ingresso, fornisce acqua con la seguente legge:

ut = 1t − 1t − 10

Dove 1t è la funzione gradino unitario. Una rappresentazione grafica dellaut viene mostratanella figura seguente:

I serbatoi sono entrambi vuoti pert < 0. Si è interessati a studiare l’andamento dih2.Per la prima vaschetta varrà la relazioneh1

′ = u − kh1 (flusso entrante meno flusso uscente),mentre la variazione del livello del secondo contenitore è governato dalla relazioneh2

′ = kh1.Derivando quest’ultima relazione e sostituendola nella prima abbiamo:

h2′′ = kh1

′ = ku− k2h1

Ma h1 = h2′ /k e allora:

h2′′ + kh2

′ = ku.

Risolviamo questa equazione differenziale, aiutandoci con l’uso della Trasformata di Laplace.Innanzitutto valutiamo facilmente la L-Trasformata dell’ingresso:

Us = 1s − e−10s

sOra si trasformano entrambi i membri dell’equazione, ricordandoci che la vasca non contienenulla all’istante 0:

s2Hs + ksHs = kUs

Hsss+ k = kUs

Hs = kss+ k

1s − e−10s

s = ks2s+ k

1 − e−10s

Applichiamo il metodo della Scomposizione in Fratti Semplici al solo termine ks2s+k

,

osservando che è moltiplicato per 1 e poi pere−10s, dando luogo alla stessa antitrasformata matraslata nel tempo. Un semplice calcolo dei residui relativi ai termini s,s2,s+ k ci fa pervenire aiseguenti risultati, rispettivamente:−1/k,1,1/k. L’espressione diHs è allora:

Hs = − 1k

1s + 1

s2 + 1k

1s+ k

1 − e−10s

Ora è possibile anti-trasformare, tenendo presenti le considerazioni appena fatte:

h2t = − 1k

1t + t1t + 1k

e−kt1t − 1k

1t − 10 + t − 101t − 10 + 1k

e−kt−101t − 10

Pert < 10, la quantità dentro le parentesi quadre è nulla. Invece quandot > 10, la soluzione siriduce a:

h2t = 10+ 1k

e−kt − 1k

e−kt−10

E’ semplice osservare che, pert → ∞, h2t → 10. Questo risultato, che potevamo aspettarci, ci

conferma che dopo un certo tempo tutta l’acqua sarà defluitanella seconda vasca. Comeesercizio, cerchiamo di arrivare alla stessa conclusione,ma utilizzando ilteorema del valorefinale. Si ha:

h2∞ = lims→0

sHs = lims→0

kss+ k

1 − e−10s = lims→0

k − ke−10s

s2 + ksQuesto limite dà luogo a una forma indeterminata. Utilizziamo il Teorema di De L’Hopital:

lims→0

k − ke−10s

s2 + ks= lim

s→0

10ke−10s

2s+ k= 10

da cui la conclusione.Usiamo ora lo strumento delle equazioni di stato per formalizzare il medesimo problema.Scelgo il vettore di statox composto dai livelli di acqua delle vaschette:

x =h1

h2

L’evoluzione dinamica dello stato la scriviamo sfruttandole relazioni differenziali già ricavate:

h1′

h2′

=−k 0

k 0

h1

h2

+1

0u

Poiché ci siamo interessati all’andamento del tempo solo dih2, l’uscita che andiamo aconsiderare coincide proprio con questa variabile di stato. Di conseguenza l’equazione dellaysarà semplicemente:

y = 0 1h1

h2

Se fossimo stati interessati all’andamento dih1 + h2, allora ci sarebbe bastato scrivere

y = 1 1h1

h2

Se invece fossimo stati interessati alla solah1, avremmo potuto scoprire il suo andamento sullabase di una equazione differenziale di primo grado, che necessitava di una sola condizioneiniziale. Tuttavia, il sistema esiste indipendentemente dal tipo di variabile che si vuolemisurare, e le variabili di stato devono essere necessarie esufficienti per descriverel’andamento diqualsiasiuscita del sistema. Infatti soltanto usandoh1 e h2 come variabilidescrittive possiamo determinare qualsiasi uscita legataal sistema.Applichiamo quanto visto per determinare la soluzione di questo sistema di equazionidifferenziali:

xt = eAtx0− + ∫0−

teAt−τBuτdτ

Ricaviamo dunqueeAt.Diagonalizziamo, se possibile, la matrice A. Essa è triangolare inferiore e i suoi autovalori sonoλ = 0 eλ = −k, entrambi di molteplicità unitaria.A quindi è diagonalizzabile e si può scrivere nella formaTLT−1, dove

T =0 1

1 −1

è la matrice degli autovettori; siamo allora in grado di calcolareeAt, infatti:

eAt =0 1

1 −1eΛt

1 1

1 0

e in conclusione:

eAt =0 1

1 −1

1t 0

0 e−kt

1 1

1 0=

e−kt 0

1t − e−kt 1t

Sostituiamo quanto appena trovato nell’espressione dellasoluzione; ricordandoci che si stalavorando con condizioni iniziali nulle.

xt = 0 + ∫0−

t e−kt−τ 0

1t − τ − e−kt−τ 1t − τ

1

0uτdτ

Svolgendo il prodotto tra le due matrici si ha:

xt = ∫0−

t e−kt−τ

1t − τ − e−kt−τuτdτ

L’ingresso era 1t − 1t − 10. Dobbiamo allora spezzare la soluzione: pert < 10 avremo ilcontributo dell’ingresso, dopo di che il sistema evolverà da solo (niente risposta forzata).Pertanto, pert < 10:

xt =e−kt 1

kekτ

0−

t

τ|0t − e−kt 1k

ekτ0−

t =1k− 1

ke−kt

t − 1k+ 1

ke−kt

Pert > 10, ut = 0, cioè l’integrale si azzera. Allora si ha la seguente soluzione:

xt =e−kt 1

ke10k − 1

k

10− e−kt 1k

e10k − 1k

Non dobbiamo sostituire 10 ovunque appaia la variabilet, ma solo laddove è il fruttodell’integrazione di cui sopra.

Alessandria, 12/12/2009