SISTEMI A TEMPO DISCRETO - Automazione@ingre · Lineari Tempo Invarianti (LTI). Se il sistema che...

Cristian Secchi Pag. 1

CONTROLLI DIGITALILaurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica

SISTEMI A TEMPO DISCRETOSISTEMI A TEMPO DISCRETO

Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522235

e-mail: [email protected]://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi

Richiami di Controlli AutomaticiRichiami di Controlli Automatici

Il comportamento ingresso-uscita dei sistemi a tempo continuo può essere descritto da equazioni differenziali, che in generale hanno la forma:

Molti sistemi di interesse possono essere descritti da equazioni differenziali lineari a parametri concentrati caratterizzate dalla seguente forma semplificata.

CD02 -- 2Cristian Secchi

I sistemi descritti da queste equazioni sono detti sistemi Lineari Tempo Invarianti (LTI).

Se il sistema che si sta modellando è caratterizzato da un solo ingresso e una sola uscita, si parlerà di sistemi single input single output (SISO).



Nel corso di Controlli Automatici sono stati trattati sistemi LTI SISO.

E’ possibile passare da una rappresentazione nel dominio dei tempi a una nel dominio complesso e viceversa tramite le operazioni di Trasformata e Antitrasformata di LaplaceTrasformata e Antitrasformata di Laplace.


Il vantaggio principale nel passare al dominio complesso è che un’equazione differenziale viene trasformata in un’equazione algebrica più semplice da gestire.


Un sistema LTI-SISO può essere descritto nel dominio complesso tramite una Funzione di Trasferimento.


La rappresentazione mediante funzione di trasferimento è molto “comoda” e ha consentito di sviluppare un’analisi approfondita del comportamento del sistema, un’analisi delle specifiche e svariate tecniche per il progetto di controllori.



Lo schema di controllo finale è:

-Gc(s) Gp(s)

r(t) e(t) y(t)u(t)

Sia il plant che il controllore sono rappresentati da funzioni di trasferimento e, quindi, sono sistemi a tempo continuo. Ma l’azione di controllo deve essere implementata su un calcolatore che è un sistema a tempo discreto


discreto…

Occorre sviluppare un framework per la modellazione dei sistemi discreti in modo da poter costruire un’azione di controllo che sia implementabile su di un sistema a microprocessore.

Descrizione di Sistemi a tempo discretoDescrizione di Sistemi a tempo discreto

Equazioni

SISTEMI SISTEMI TEMPOTEMPO--CONTINUICONTINUI

Equazioni alle

SISTEMI SISTEMI TEMPOTEMPO--DISCRETIDISCRETI

Equazioni differenziali

Trasformata di

Equazioni alle differenze

Trasformata ZDD//AA

AA//DD


Laplace Trasformata Z


Equazioni alle differenzeEquazioni alle differenze

El b i

Si supponga di voler elaborare una sequenza di dati discreti ek=e(kT), con k=0,1,2,…, per ottenere una sequenza uk=u(kT).

Elaborazione

In generale:

Se la funzione f() è lineare e dipendente solo da un valore finito di valori i di d l’ l b i ò d


equazione lineare alle differenze di ordine n

passati di uk ed ek, l’elaborazione può essere rappresentata da:

Equazioni alle differenzeEquazioni alle differenze

Come per le equazioni differenziali lineari, esiste un metodo per trovare la soluzione in forma chiusa di un’equazione alle differenze lineare. Tuttavia, nell’ambito dei controlli digitali, ci interesserà molto di più ottenere unaforma ricorsiva :

ek uk

pμ

uk-1 uk-2 uk-3 … uk-n

e e e u

Memoria


ek-1 ek-2 ek-3 … uk-m

Ad ogni istante k, dato un ingresso ek è possibile calcolare, usando i dati in memoria, l’uscita uk.


La trasformata ZLa trasformata Z

La trasformata Z è un metodo utilizzato per studiare i sistemi discreti. Essa rappresenta essenzialmente l'analogo della trasformata di Laplace per i sistemi continui.

DEFINIZIONE: Sia data una sequenza di valori x ∈ R definita per k =DEFINIZIONE: Sia data una sequenza di valori xk ∈ R, definita per k = 0, 1, 2,… e nulla per k < 0. La Z-trasformata (unilatera) della sequenza xk è la funzione di variabile complessa z definita come:


La Z-trasformata è definita in una regione del piano complesso zdetta dominio di convergenza, cioè nell'insieme dei punti z per i quali la serie converge.

La trasformata ZetaLa trasformata Zeta

Nel caso in cui la sequenza di valori xk sia ottenuta campionando uniformemente con periodo T un segnale continuo descritto dalla funzione x(t), t ¸ 0, si avrà che xk = x(kT) (o più semplicemente xk = x(k), k = t/T = 0, 1, 2, … ) e corrispondentemente si scriverà

DIPENDE DAL PERIODO (T)DIPENDE DAL PERIODO (T) DIDI


DIPENDE DAL PERIODO (T) DIPENDE DAL PERIODO (T) DIDICAMPIONAMENTOCAMPIONAMENTO


La ZLa Z--trasformatatrasformata

Nell’ambito dei controlli digitali, X(z) avrà spesso un’espressione razionale fratta:

p1 p2 p sono i poli di X(z) mentre z1 z2 z sono gli zeri di X(z)


p1, p2, …, pn sono i poli di X(z) mentre z1,z2,…,zm sono gli zeri di X(z)


Raccogliendo zn sia al numeratore che al denominatore si ottiene una rappresentazione più utilizzata nelle applicazioni controllistiche in cui compaiono solo potenze di z-1:



La ZLa Z--trasformata trasformata –– Funzioni elementariFunzioni elementari

• Impulso discreto unitario. Sia data la funzione, detta anche funzione delta di Kronecker δ0(t):

• Gradino unitario. Sia data la funzione


Serie convergente per |z| > 1


• Rampa unitaria. Si consideri la funzione rampa unitaria:

Poichè x(kT) = kT, k = 0, 1, 2, …, la Z-trasformata è


Serie convergente per |z| > 1



• Funzione potenza ak. Sia data la funzione:

a costante reale o complessa

Dalla definizione si ha


Serie convergente per |z| > a


Le trasformate delle funzioni di maggior interesse sono solitamente riportate in tabelle che vengono consultate per la determinazione di Z-trasformate di funzione generiche, in modo analogo a quanto avviene per le tabelle delle trasformate di Laplace.

Tramite le tabelle si possono determinare le Z-trasformate di funzioni di maggior complessità, scomponendo tali funzioni in somme di funzioni più semplici e ricomponendo successivamente le corrispondenti Z-trasformate.

Esempio: Determinare la Z-trasformata di



Tabelle delle ZTabelle delle Z--TrasformateTrasformate


Tabelle delle ZTabelle delle Z--TrasformateTrasformate




• Dato un segnale x(t) e il periodo di campionamento T, si ottiene una unica X(z)

• A una X(z) possono corrispondere molte funzioni continue x(t)• Questa ambiguità non sussiste se sono verificate le condizioni

est itti e s T del teo ema di Shannonrestrittive su T del teorema di Shannon

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0,

y1

x x x x x x


0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

y0

t (s)

TeoremiTeoremi e e proprietproprietàà principaliprincipali

• Linearità: La Z trasformata è un operatore lineare




• Teorema della traslazione nel tempo: Sia dato un segnale x(t), nullo per t<0, e sia X(z) = Z[x(t)]. Per n = 0, 1, 2, … si ha che:

ritardo

anticipo

In pratica spesso si scrive, con un certo abuso di notazione:

CD02 -- 21Cristian SecchiIngegneria e Tecnologie dei

Sistemi di Controllo


Teorema del valore iniziale: Se X(z) = Z[x(t)] ed esiste

allora il valore iniziale x(0) di x(t) è dato da:



Infatti si ha che:



Teorema del valore finale: Sia X(z) = Z[x(t)] e siano tutti i poli di X(z) entro al cerchio unitario, con al più un polo semplice in z =1. Allora il valore finale di x(k), cioè il valore di x(k) per k!1 è dato da:



• Esempio: Si consideri il segnale descritto da


X(kT) = 0, 0.5000, 1.2500, 1.6250, 1.8125, 1.9063, 1.9531, 1.9766, 1.9883,1.9941, 1.9971, 1.9985, 1.9993, 1.9996, 1.9998, 1.9999, 2.0000, 2.0000, ….

(T = 1 sec)



• Differenziazione complessa

Da cui si deduce che:


Questa relazione permette di calcolare Z-trasformate di funzioni a partire da Z-trasformate già note.


Esempio: Gradino unitario. La Z-trasformata del gradino unitario è

Si può usare il teorema della differenziazione complessa per calcolare la Z-trasformata della rampa unitaria x(kT) = kT:




Integrazione complessa: Si consideri la sequenza

dove x(k)/k è finito per k=0 e sia Z[x(k)]=X(z). La Z-trasformata di x(k)/k è data da:



Teorema della convoluzione reale: Siano date due funzioni x1(t) e x2(t), con x1(t) = x2(t) = 0 per t< 0, e siano X1(z) e X2(z) le corrispondenti Z-trasformate. Allora:



La antitrasformata ZLa antitrasformata Z

X(z) x(k)

La relazione tra X(z) e x(k) è biunivoca: è possibile ottenere la sequenza di dati x(k) a partire dalla X(z) e viceversa.

L’antitrasformata Z permette di passare da una Z-trasformata X(z) alla corrispondente sequenza x(k).

Esistono diversi metodi per antitrasformare una funzione X(z)

Metodo della lunga divisione


• Metodo della lunga divisione• Metodo computazionale• Metodo della scomposizione in fratti semplici• Metodo dell’integrale di inversione

La antitrasformata ZLa antitrasformata Z

x(k) x(t)

La corrispondenza tra la sequenza campionata xk e il segnale originale

1 .4

1 .6

1 .8

2

La corrispondenza tra la sequenza campionata xk e il segnale originale x(t) NON è biunivoca. Se è soddisfatto il Teorema di Shannon sul campionamento, la funzione continua x(t) può essere determinata univocamente a partire dalla sequenza xk.


0 2 4 6 8 1 0 1 20

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

y0

, y

1

t (s )

x x x x x x


La antitrasformata Z La antitrasformata Z –– Il metodo computazionaleIl metodo computazionale

Si consideri ad esempio la seguente Z trasformata:

Essa può essere riscritta come:

D U( ) è l Z t f t d ll’i l it i di t l 1


Dove U(z) è la Z-trasformata dell’impulso unitario discreto e vale 1


Considerando l’operatore z-1 come un ritardo unitario possiamo riscrivere l’espressione precedente sotto forma di equazione alle differenze:

da cui

Le condizioni iniziali, necessarie per risolvere l’equazione alle differenze, sono:




La soluzione dell’equazione alle differenze ci dà i termini della sequenza x(kT)


Il vantaggio di questo metodo è che l’equazione alle differenze da risolvere per trovare la sequenze può essere facilmente scritta in forma ricorsiva in qualsiasi linguaggio di programmazione.

La antitrasformata Z La antitrasformata Z –– fratti semplicifratti semplici

E’ l’analogo nel discreto della tecnica della scomposizione in fratti semplici utilizzate con le trasformate di Laplace. Infatti, poichè la Z-trasformata è un operatore lineare, è possibile scomporre l'espressione di una X(z) in termini elementari, dai quali si può ricavare l'antitrasformata tramite

ìtabelle, e sommare i vari elementi così ottenuti.

In gerale, sia data una Z-trasformata:


Per prima cosa occorre calcolare i poli, le radici del polinomio A(z) e riscrivere X(z) come:



CASO 1: Tutti i poli di X(z) sono semplici

In questo caso si pone:

dove i coefficienti ci sono detti residui e sono dati da:



• Se in X(z) vi è almeno uno zero nell’origine, si usa X(z)/z:

• Quando sono presenti poli complessi coniugati, i coefficienti ci sono anch'essi complessi. In questo caso si ricorre alle formule di Eulero per ottenere funzioni trigonometriche a coefficienti reali.

L’espressione della sequenza x(k) è in forma chiusa ed è data da:




CASO 2 – Vi sono poli multipli in X(z) o in X(z)/zSiamo nella situazione in cui si ha:

Possiamo scrivere

Dove i residui si calcolano mediante la seguente formula:


Dove i residui si calcolano mediante la seguente formula:


• Esempio: Calcolare l'antitrasformata della funzione

• I due poli risultano z1 = 1 e z2 = 0.6. Inoltre, la X(z) puo` essere scritta come

• Si utilizza quindi la X(z)/z

da cui

• Dalle tabelle si ha quindi che


Dalle tabelle si ha quindi che



• Esempio: Antitrasformare la funzione

• Si ha che

e quindi


e

Funzioni di Trasferimento DiscreteFunzioni di Trasferimento Discrete

Considereremo sistemi discreti lineari con un ingresso e un’uscita

uk ykS

mknkknknkk ubububyayaya −−−− +++=+++ LL 121121

SElaborazione

Discreta

Applicando la Z trasformata ad entrambi i membri e sfruttando la linearità dell’operatore, si ottiene:


)()()()( 121

121 zUzbzbbzYzazaa m

nn

n−−−− +++=+++ LL



)()(

)()()( 1

21

121

nn

mn

zazaazbzbb

zUzYzG −−

−−

++++++

==L

L

G(z) è la funzione di trasferimento del sistema a tempo discreto. Analogamente a quanto succede per i sistemi tempo continui:quanto succede per i sistemi tempo continui:

• La sua espressione non dipende dall’ingresso, ma è data dalle proprietà del sistema

• Lega la trasformata Z dell’uscita a quella dell’ingresso tramite Y(z)=G(z)U(z)

• E’ uno strumento molto utile per l’analisi di un sistema discreto e per la sintesi di un controllore


• E’ razionale fratta e, quindi, molti degli strumenti introdotti per l’analisi dei sistemi tempo continui possono essere utilizzati, con opportune modifiche, per i sistemi discreti

•Le radici del polinomio al denominatore sono dette poli mentre quelle del polinomio al numeratore sono dette zeri. L’equazione che si ottiene ponendo uguale a zero il polinomio al denominatore è detta equazione caratteristica.

• La funzione di trasferimento può essere interpretata come la Z-trasformata della risposta impulsiva

è


)(1)()]([)()()()( zGzGkZzGzUzGzY =⋅=== δ• La risposta nel tempo discreto è data dalla sommatoria di

convoluzione tra l’ingresso e la risposta impulsiva del sistema, detta anche sequenza ponderatrice

)]()([)]([)( 11 zUzGZzYZky −− ==

Ricordando il teorema della convoluzione reale si ha che:

CD02 -- 42

• Queste proprietà sono analoghe a quelle della funzione di trasferimento nel dominio di Laplace

Cristian Secchi

∑=

−=k

hhkhugky

0)(


Funzioni di Trasferimento DiscreteFunzioni di Trasferimento DiscreteE’ possibile rappresentare un sistema a tempo discreto come un blocco con un ingresso e un’uscita.

G(z)U(z) Y(z)

Un sistema discreto può essere rappresentato dall’interconnessione di più blocchi. Le regole di riduzione per gli schemi a blocchi di sistemi discreti sono le stesse che valgono per gli schemi a blocchi di sistemi continui

U(z) C(z)

G1(z) G2(z)Y(z)

G1(z)+

+

U(z) Y(z)G1(z)

+

-

U(z) Y(z)

Serie Parallelo Retroazione


U(z)H(z)

C(z)

)()()( 21 zGzGzH =

G2(z)

H(z)U(z) Y(z)

)()()( 21 zGzGzH +=

H(z)U(z) Y(z)

)()(1)()(

21

1

zGzGzGzH

+=

G2(z)

• Analogamente al caso tempo continuo, la stabilità di un sistema tempo discreto è legata alla risposta impulsiva del sistema. Un sistema discreto si dice:• Stabile, se la risposta del sistema all’impulso discreto rimane

limitata

Stabilità nei sistemi discretiStabilità nei sistemi discreti

limitata• Asintoticamente stabile, se è stabile e la risposta del sistema

converge asintoticamente a 0• Instabile, se non è stabile

• Analogamente al caso tempo continuo, la stabilità asintotica e la stabilità ingresso-limitato uscita-limitata coincidono

CD02 -- 44

• Nelle applicazioni pratiche si è tipicamente interessati alla asintotica stabilità

Cristian Secchi


• Analogamente al caso tempo-continuo, il carattere di convergenza della risposta impulsiva dipende solamente dalla posizione dei poli della funzione di trasferimento che rappresenta il sistema tempo discreto. Se il sistema è descritto da una funzione di trasferimento del tipo:


)(zB

con A(z) e B(z) primi tra loro

• Il sistema è asintoticamente stabile se tutte le radici del polinomio A(z), cioè i poli del sistema, sono entro il cerchio unitario che ha centro nell’origine del piano z, ossia se |pi|<1 per ogni i

• Il sistema è stabile se tutti i poli con modulo unitario (|p |=1) sono semplici

)()()(

zAzBzG =

CD02 -- 45

• Il sistema è stabile se tutti i poli con modulo unitario (|pi|=1) sono semplici (ossia hanno molteplicità 1), mentre tutti i rimanenti poli sono entro il cerchio unitario

• Il sistema è instabile se almeno un polo ha modulo strettamente maggiore di uno oppure se esiste un polo con modulo unitario e molteplicità maggiore di 1

• La posizione degli zeri NON influisce sulla stabilità del sistema.

Cristian Secchi

Stabilità nei sistemi discreti Stabilità nei sistemi discreti -- EsempiEsempi

5.01)(+

=z

zG5.0

1)(−

=z

zG




11)(−

=z

zG1

1)(−

=z

zG



21)(−

=z

zG 2)1(1.0)(

−=

zzG



• L’ uscita del sistema poteva essere ottenuta direttamente antitrasformando la G(z)

• Il fatto che la regione di stabilità sia il cerchio unitario, dipende dal fatto che l’ant it asfo mata di G( ) è composta da te mini in c i


fatto che l’antritrasformata di G(z) è composta da termini in cui compaiono funzioni potenza anziché esponenziali come nel caso tempo continuo.


• Per determinare la stabilità è sufficiente verificare la posizione delle radici dell’equazione caratteristica rispetto al cerchio unitario. Se l’equazione è data da:

Determinazione della stabilitàDeterminazione della stabilità

è possibile

• trovare le radici dell’equazione mediante un programma di analisi numerica (es. Matlab roots([1 a1,…,an])

011 =+++ −

nn azaz n L

CD02 -- 50

• usare criteri che consentono di determinare la stabilità del sistema senza dover risolvere l’equazione caratteristica• Criterio di Routh e trasformazione bilineare• Criterio di Jury (vedi Bonivento-Zanasi-Melchiorri Cap. 4)

Cristian Secchi


• Data un’equazione polinomiale di grado n, il criterio di Routh consente di determinare, senza dover risolvere l’equazione, se tutte le radici hanno parte reale negativa.

• Nei sistemi contin i ciò è s fficiente pe dete mina e se n sistema è

Criterio di Criterio di RouthRouth

• Nei sistemi continui, ciò è sufficiente per determinare se un sistema è asintoticamente stabile ma questo non è più vero per i sistemi discreti.

• L’idea è quella di trasformare, mediante una trasformazione bilineare, la funzione data G(z) in un’altra funzione G(w) di variabile complessa w tale da permettere l’applicazione a quest’ultima il criterio di Routh.


• Si utilizza la seguente trasformazione bilineare


wwz +

=11

11

+−

=zzw

• La prima equazione trasforma infatti il cerchio unitario in z nel semipiano sinistro del piano w (permettendo quindi l’applicazione del criterio di Routh), mentre la seconda equazione effettua la trasformazione inversa.

w−1 1+z

CD02 -- 52

• Verificare che il sistema G(w) abbia tutti i poli a parte reale negativa equivale a verificare che il sistema G(z) abbia tutti i poli all’interno del cerchio unitario e che, quindi, sia asintoticamente stabile.

Cristian Secchi



Ponendo w=σ+jω, si può facilmente vedere che il cerchio unitario viene mappato nel semipiano sinistro tramite la trasformazione bilineare

111

11

<++

=+

=ωσωσ

jj

wwz

11 −−− ωσ jw

da cui

( )( )

111

22

22

<+−++ωσωσ

( ) ( ) 2222 11 ωσωσ +−<++ 0<σ


( ) ( )11 ωσωσ +−<++ 0<σ

In modo analogo, è possibile mostrare che i punti sul cerchio unitario vengono mappati sull’asse immaginario e che i punti esterni al cerchio unitario vengono mappati nel semipiano destro del piano di Gauss.

Per testare la stabilità di una funzione di trasferimento G(z):

• Si considera l’equazione caratteristica del sistema


• Si effettua la trasformazione bilineare per mappare il piano z nel piano w

0)( 111 =+++++= −−

nnn azazazzP n L

011

11

11

11

1

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

+++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

−

−

nn

n

awwa

wwa

ww n

L

CD02 -- 54

da cui si ottiene una nuova equazione polinomiale in w

Cristian Secchi

0)( 1101 =+++++= −−

nnn qwqwqwqwQ n L


• in virtù delle proprietà della trasformazione bilineare, radici di Q(w) a parte reale positiva, nulla, negativa corrispondono rispettivamente a radici di P(z) a modulo maggiore, uguale, minore di 1. Applicando il criterio di Routh, si determina la posizione delle radici di Q(w) e, di conseguenza, la stabilità di G(z).


conseguenza, la stabilità di G(z).


EsempioEsempio

121)( 23 +++

+=

zzzzzG

Sia dato un sistema discreto rappresentato da:

Applicando la trasformazione bilineare all’equazione caratteristica, si ottiene

111

112

11)(

23

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

=ww

ww

wwwQ

da cui


53)( 23 +++−= wwwwQ


EsempioEsempio

Applicando il criterio di Routh, si ottiene:

3 -1 1

2 3 52 3 5

1 8/3

0 5

da cui si conclude che, essendo presente una sola variazione di segno in prima colonna, il sistema ha un polo instabile.


• Sono definiti in un insieme discreto dei tempi e possono essere rappresentati da un’equazione alle differenze

• La trasformata Z è l’analogo discreto della trasformata di Laplace e consente di defini e il concetto di f n ione di t asfe imento pe i

Sistemi a tempo discretiSistemi a tempo discreti

consente di definire il concetto di funzione di trasferimento per i sistemi discreti.

• Le regole di interconnessione per i sistemi discreti sono le stesse che valgono per i sistemi continui

• La stabilità di un sistema discreto è legata alla molteplicità e alla

CD02 -- 58

posizione dei poli della sua funzione di trasferimento rispetto al cerchio unitario.

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• mettere dopo il teorema del ritardo:

Il termine z-k è interpretabile come un ritardo

• Dire quando si parla del metodo computazionale che è quella la ragione per cui le espressioni razionali fratte vengono espresse in termini di z-1

zz--kk !! ritardo di t = kTritardo di t = kT

CD02 -- 60Cristian Secchi Controlli Digitali


Soluzione delle equazioni alle differenzeSoluzione delle equazioni alle differenze

Condizioni iniziali:

Trovare la soluzione delle equazioni alle differenze è semplice. Basta conoscere le condizioni iniziali. Si consideri ad esempio:

iniziali:

15

20

25

30

35


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

5

10

Equazione caratteristicaEquazione caratteristica

L’ equazione caratteristicaequazione caratteristica (associata all’equazione) è data da



L’equazione alle differenze è instabile. Infatti la soluzione è divergente



Nel caso generale, si ipotizza che la sequenza soluzione sia nella forma:

Sostituendo la soluzione candidata nell’equazione si ottiene:q

Dividendo per czk si ottiene



Poiché l’equazione è lineare, si ha che la combinazione lineare di due soluzioni è ancora una soluzione. Quindi

è ancora una soluzione


Le costanti c1 e c2 si determinano imponendo specifiche condizioni iniziali.

da cui



da cui


Soluzione delle equazioni alle differenzeSoluzione delle equazioni alle differenzeL’equazione che si ottiene dopo la sostituzione uk=zk è detta equazione equazione caratteristicacaratteristica dell’equazione alle differenze.

Se una delle radici dell’equazione caratteristica ha modulo maggiore di 1, allora la corrispondente equazione alle differenze è instabile (cioè la sua soluzione divergerà al crescere del tempo per qualsiasi condizione iniziale finita).

Se tutte le radici dell’equazione caratteristica hanno modulo minore di 1, allora la corrispondente equazione alle differenze è stabile (cioè la sua soluzione convergerà a 0 al crescere del tempo per qualsiasi condizione iniziale finita).

instabileinstabile



1

stabilestabile

instabileinstabile


• Funzione esponenziale. Sia data la funzione:

a costante reale o complessa

Poichè x(kT) = e-akT, k = 0, 1, 2, …, si ha



Convergente per |z| > e-Re(a)T



• Funzione sinusoidale. Sia data la funzione:

Dalle formule di Eulero:



Convergente per |z| > 1


• Funzione cosinusoidale. Sia data la funzione:

Analogamente a prima, con le formule di Eulero



Convergente per |z| > 1

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