La trasformata di Laplace

Elettronica e Telecomunicazioni

Classe Quinta

ELETTRONICA E TELECOMUNICAZIONI CLASSE QUINTA A INFORMATICA

INDICE

• Segnali canonici

• Trasformata di Laplace

• Teoremi sulla trasformata di Laplace

• Funzione di Trasferimento

• Anti-trasformata di Laplace

• Esempio del circuito RC

• Disegno del grafico nel dominio del tempo del segnale

Segnali canonici I segnali canonici sono utili per analizzare il comportamento di un sistema lineare. Potremmo definirli come i segnali di uso più comune per valutare la risposta del sistema. Ecco alcuni dei segnali canonici più usati:

Segnali canonici

Segnali canonici

Segnali canonici

Segnali canonici

Segnali canonici

Trasformata di Laplace

Si constata che data una rete elettrica, noto il segnale d’ingresso e(t), per ottenere l’uscita u(t), bisogna risolvere una equazione differenziale che è in genere di non facile soluzione. La trasformata di Laplace è un operatore matematico che consente di semplificare lo studio di un sistema. Questo studio avviene nel dominio complesso; successivamente si torna nel dominio del tempo attraverso l’operatore inverso: antitrasformata di Laplace.

Applicando la trasformata di Laplace ad un sistema, a prima vista sembra di allungare il procedimento per la risoluzione dell’uscita. In effetti occorre trasformare ogni elemento del circuito iniziale ed ogni segnale applicato nel suo equivalente con Laplace.

Vantaggi della Trasformata di Laplace

I principali vantaggi che si ottengono con l’introduzione della T.d.L. sono: • Le equazioni differenziali sono tramutate in equazioni

algebriche; • Nota l’uscita nel dominio di s U(s) anti-trasformando si

può risalire alla u(t); • il sistema può essere rappresentato mediante la sua

funzione di trasferimento (F.d.T.);

La trasformata di Laplace dei segnali canonici

• Gradino unitario:

u(t) 1 / s

• Impulso unitario (delta di Dirac)

(t) 1

La trasformata di Laplace dei segnali canonici

• Rampa unitaria:

r(t) 1 / s2

• Parabola unitaria

p(t) 1 / s3

• Segnale sinusoidale

s(t) 𝝎

𝒔𝟐+𝝎𝟐

• Segnale cosinusoidale

s(t) 𝒔

𝒔𝟐+𝝎𝟐

Teoremi sulle trasformate di Laplace

Teoremi sulle trasformate di Laplace

La trasformata di Laplace per la resistenza, l’induttanza e la capacità

Nel caso in cui il condensatore e/o l’induttore siano inizialmente scarichi:

La trasformata di Laplace per la resistenza, l’induttanza e la capacità

Nel caso invece in cui il condensatore e/o l’induttore siano inizialmente carichi ad un valore Vc(0) per il condensatore e iL(0) per l’induttore:

Un esempio: il circuito RC

Determinare la tensione di uscita ai capi del condensatore C:

Laplace

1/sC Vi(s)

I(s)

Vc(s)

Passo 1: si trasforma il circuito, i suoi elementi ed i segnali ad esso applicati

Il circuito trasformato adesso è lineare e per esso vale la legge di Ohm.

Passo 2: si ricava la corrente I(s)

Passo 3: si ricava la tensione di uscita Vout(s)

Passo 4: definiamo una nuova grandezza data dal rapporto fra Vout(s) e Vi(s)

La funzione di trasferimento

La F(s) determinata appena adesso prende il nome di FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (F.d.T) del circuito.

Essa è il rapporto tra la L-Trasformata della risposta di un sistema e la L-Trasformata della

corrispondente sollecitazione d'ingresso.

= G(s)

Poli e zeri della F.d.T

Prendono il nome di ZERI gli n valori finiti di s che annullano il Numeratore della F.d.T.

Prendono il nome di POLI gli m valori finiti di s che annullano il Denominatore della F.d.T.

La F.d.T. è sempre data dal rapporto di due polinomi: Se chiamiamo z1,… zn gli n ZERI e p1,…, pm gli m POLI, la F.d.T. si potrà scrivere come:

ANTITRASFORMATA DI LAPLACE

ESEMPI DI ANTITRASFORMATA

c

Antitrasformata di Laplace (esempio del circuito RC visto prima)

Da quanto visto prima, al punto 3 dell’esercizio precedente, avevamo trovato che:

Passo 5: Utilizzando la formula di antitrasformazione: 𝑲

𝒔+𝒂 → 𝒌 ∙ 𝒆−𝒂𝒕

dove a = 1/RC e K=1/RC, si ottiene:

𝑽𝒐𝒖𝒕 𝒕 = 𝑲 ∙ 𝒆−𝒂𝒕 = 𝟏

𝑹𝑪 ∙ 𝒆−

𝟏𝑹𝑪 ∙ 𝒕

Da cui: =

1

𝑅𝐶

𝑠 + 1

𝑅𝐶 ∙ 𝑉𝑖𝑛(𝑠)

Disegno del grafico della tensione di uscita Vout(t)

Passo 6: si determinano i limiti della Vout(t) per t 0 e per t

Per t 0 𝑉𝑜𝑢𝑡 0 = 𝟏

𝑹𝑪 ∙ 𝒆−

𝟏

𝑹𝑪 ∙𝟎 =

𝟏

𝑹𝑪

Per t 𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝟏

𝑹𝑪 ∙ 𝒆−

𝟏

𝑹𝑪 ∙ =

𝟏

𝑹𝑪 1

𝑒= 0

Passo 7: si disegna il grafico

t

Vout(t)

1/RC

Curva esponenziale descrescente