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1 Autoinduzione Un circuito percorso da corrente genera un B (legge di Ampere-Laplace): 2 0 4 r u s d i B r Produce un flusso attraverso il circuito stesso (così come attraverso una qualunque S che abbia come contorno) iL dS n r u s d i S r 2 0 4 L: coefficiente di autoinduzione o induttanza Dipende dalla forma del circuito ed è costante se esso è indeformabile. [L] = /i = weber/Ampere = s = Henry [H] Esempio: calcolo di L x un solenoide rettilineo indefinito
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Autoinduzione
Un circuito percorso da corrente genera un B
(legge di Ampere-Laplace):
2
0
4 r
usdiB r
Produce un flusso attraverso il circuito stesso (così come
attraverso una qualunque S che abbia come contorno)
iLdSnr
usdi
S
r
2
0
4 L: coefficiente di autoinduzione o
induttanza
Dipende dalla forma del circuito ed è
costante se esso è indeformabile.
[L] = /i = weber/Ampere = s = Henry [H]
Esempio: calcolo di L x un solenoide rettilineo indefinito
2
f.e.m. di autoinduzione
Se la i non è costante o cambia la forma del circuito
il flusso concatenato cambia
nel circuito compare una f.e.m indotta di autoinduzione
cost.) è L (se
)(
dt
diL
Lidt
d
dt
dL
La L è tale da opporsi alla variazione della corrente stessa
Un circuito con induttanza non nulla si dice
induttivo e lo si indica
iL
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Circuito RL serie: chiusura
Quando l’interruttore S chiude o (apre) il circuito:
l’L impedisce alla corrente di aumentare (o
diminuire) istantaneamente, perché la variazione
di i genera una f.e.m. indotta che si oppone alla
variazione della corrente stessa.
RiL Ridt
diL
)1( LRt
eR
i
1) Consideriamo il caso in cui il circuito venga chiuso
Ossia: t= 0 i = 0
L
dt
Ri
di
ti
L
dt
Ri
di
00
tL
RRi
ln
4
)1( LRt
eR
i
Circuito RL serie: chiusura
RLL / La costante di tempo induttiva H/ = s
LRt
L edt
diL
La f.e.m di autoinduzione
LLL
Rt
iRetii
/)(
Durante la fase transitoria si ha un altracorrente, detta extracorrente di chiusura
>0
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Dove i0=/R La resistenza passa da R ad R’ (>> R) costante durante il transitorio
L
tL
tR
eR
eR
i
t
Circuito RL serie: apertura
LtR
L eR
R
dt
diL
)(tiR
i LL
f.e.m di autoinduzione
extracorrente di apertura, diversa da zero x un tempo molto breve
t
iL
dt
iR
di
0
0
'
0
'' / RLL
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Energia Magnetica
Ridt
diL
dtRiLidiidt 2
Energia fornita dal generatore
Energia dissipata x effetto Joule da R
Lavoro speso contro la f.e.m. di autoinduzione
x far aumentare la corrente da i a i+di
2Ridt
diLii
Energia Magnetica
7
2
0 2
1LiLidiW
i
Nell’intervallo di tempo in cui la corrente passa da 0
ad i, il generatore oltre a spendere energia x effetto
joule, spende un lavoro:
Non dipende dal modo in cui avviene la variazione di corrente.
Energia intrinseca della corrrente: 2
2
1LiUL
La cui variazione dà il lavoro fatto dal generatore contro la f.e.m. di autoinduzione
Energia Magnetica
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Se si apre il circuito LtR
eR
i
Nel resistore viene speso il lavoro:
2
2
2
00
/2
2
22
2
1
2
1Li
R
Ldte
RRdtiR LtR
L’energia immagazzinata nell’induttanza si ritrova alla fine dissipata sotto forma di calore nella resistenza.
Si consideri un tratto d centrale di solenoide molto lungo, di sezione A: all’interno B
uniforme- esterno B=0. La densità di energia:
Densità di energia immagazzinata in un qualunque punto in cui sia presente un B
Densità di energia di un campo B
Ad
Uu L
m
22
0
22
0
22
2
1
222in
A
iAn
A
i
d
L
Ad
Lium
0
2
2
Bum
niB 0
9
magnetica energia 2 0
2
dB
Um
Carica del Condensatore: circuito RC
10
il condensatore si carica
C
tqtRiVV CR
)()(
dt
tdqti
)()(
RC
dt
Cq
tdq
dt
tdqR
C
tq
)()()(
tq
dtRCCq
tdq
00
1)(
)1( RC
t
eCq
Carica del Condensatore: circuito RC
11
)1( RCt
eCq
RCt
eR
i
)1()(
RCt
C eC
tqV
RCt
R eiRV
sA
C
V
C
RC
A
VFRC
tempodi costante
Scarica del Condensatore: circuito RC
12
C
qVC
0 tempo)nel diminuisce carica (la )(
dt
tdqi
Viene chiuso il circuito
dt
dq
CR
qRi
C
qVV RC
tq
qCR
dt
q
dq
00
RCt
eqq
0
Scarica del Condensatore: circuito RC
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RCt
eqq
0
RCt
RCt
C eVeC
q
C
qV
0
0
R
Ve
R
Ve
RC
q
dt
dqti CRC
tRC
t
00)(
Processo di carica
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RCt
gen eR
iP /2
La potenza erogata dal generatore viene in parte dissipata sullaresistenza ed in parte consumata per aumentare l’energia elettrostaticadel condensatore.
RCt
R eR
RiP /22
2
Rgen
RCtRCt
CC PPeR
eR
iVP /22
/2
la potenza istantanea erogata dalgeneratore:
Quella spesa nel resistore
Il lavoro di carica del condensatore
Processo di carica: conservazione energia
15
2
0
/2
0
CdteR
dtPW RCt
gengen
2
02
1CdtPW RR
2
02
1CdtPU Ce
Il lavoro fornito dal generatore, quello consumato nella resistenza e l’energia elettrostatica del condensatore:
Processo di scarica: conservazione energia
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C
qCdte
RdtPW RCt
Rgen22
1 02
2
0
/22
0
Ne processo di scarica viene dissipata energia, pari
all’energia elettrostatica iniziale del condensatore:
Densità di energia di un campo E
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Si consideri un condensatore piano: all’interno E uniforme. La capacità
La densità di energia:
Densità di energia immagazzinata in un qualunque punto in cui sia presente un E
d
SC 0
SSd
dq
CSd
q
V
Uu E
E
0
22
22
0
2
2
0
2
22
S
quE
0
E
2
02
1EuE
Mutua induzione
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dt
diM
dt
d2
1,2
1,2
1
12,112,12
iMdSnBS
21,21,2 iM2,11,2 MM
M costante, i variabile..
dt
diM 1
2
