DIAGRAMMI DI BODE - Automazione@ingre · Fra questi sono di largo impiego i diagrammi di Bode o...

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Ing. Luigi Biagiotti Tel. 051 20939903 e-mail: [email protected] http://www-lar.deis.unibo.it/~lbiagiotti CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm DIAGRAMMI DI BODE DIAGRAMMI DI BODE

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Ing. Luigi BiagiottiTel. 051 20939903

e-mail: [email protected]://www-lar.deis.unibo.it/~lbiagiotti

CONTROLLI AUTOMATICIIngegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa

http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm

DIAGRAMMI DI BODEDIAGRAMMI DI BODE

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 2Controlli Automatici

DiagrammiDiagrammi didi Bode e Bode e polaripolari

• Metodi di rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica

40

50

60

70

80

Mag

nitu

de (d

B)

10-2 10-1 100 101 102 103 104 105-90

-45

0

45

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

|F(ω)|

arg{F(ω)}ω

ω

Re{F(ω)}

-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000 Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Im{F(ω)}

|F(ω)|

arg{F(ω)}

ω

-80 -60 -40 -20 0 20 4045

50

55

60

65

70

75

80 Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

arg{F(ω)}

|F(ω)|

φ(ω)

|F(ω)|

ω

Tre possibili rappresentazioni!

funzioni complessedi variabile reale

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode

• La rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica viene effettuata con speciali diagrammi, che costituiscono la base deiprocedimenti grafici per la sintesi delle reti correttrici nel dominio delle frequenze.

Fra questi sono di largo impiego i diagrammi di Bode o diagrammi logaritmici di risposta armonica.

Poiché la funzione di risposta armonica ha valori complessi, si hanno due diversi diagrammi:

• diagramma delle ampiezze o dei moduli, che riporta il logaritmo del modulo della risposta armonica;

• diagramma delle fasi o degli argomenti, che riporta l'argomento della risposta armonica.

entrambi sono in funzione del logaritmo della pulsazione ω.

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode

Vedremo che il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezza e fase) potràessere eseguito sommando i diagrammi dei fattori elementari. Questo è possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare i valori delle ampiezze in scala logaritmica

Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi

Dati quindi (a, b, c, … q) complessi e (k, …, q) interi si ha che

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode

Esempio:

-20

-10

0

10

20

30

40

Mag

nitu

de (d

B)

10-1 100 101 102 103 104 105-90

-45

0P

hase

(deg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Ampiezza espressa in decibel:

Fase espressa in gradi

Frequenze in scala logaritmica

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode

I vantaggi che si hanno impiegando la scala logaritmica sono:

• Possibilità di rappresentare col dovuto dettaglio grandezze che variano in campi notevolmente estesi;

• Possibilità di sommare i diagrammi relativi a sistemi in cascata, per ottenere il diagramma del sistema complessivo: infatti la risposta armonica complessiva si ottiene eseguendo il prodotto delle singole risposte armoniche, cioè eseguendo il prodotto delle ampiezze (che, impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la somma delle fasi;

• Possibilità di costruire i diagrammi relativi ad una funzione di risposta armonica data in forma fattorizzata come somma di diagrammi elementari, di un numero limitato di tipi fondamentali, corrispondente ciascuno ad un singolo fattore.

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode

Si prenderà in esame ora, in particolare, questo ultimo punto. Sia data

o, in forma fattorizzata:

• Il fattore sh corrisponde ad un eventuale polo nell'origine avente ordine di molteplicità h: se la funzione di trasferimento non presenta poli nell'origine, è h=0.

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode• Moltiplicando fra loro i fattori corrispondenti a coppie di zeri e poli complessi coniugati,

in modo che i coefficienti risultino tutti reali, e operando opportune posizioni, si ottiene

che equivale alla forma con costanti di tempo

in cui è

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode

Ponendo s = j ω, si ottiene la seguente espressione della funzione di risposta armonica

La costante K è detta costante di guadagno.

• Per h = 0, essa rappresenta il guadagno statico, cioè il valore della funzione di risposta armonica per ω= 0

• Per h = 1, la costante K si chiama anche costante di velocità

• Per h = 2, la costante K si chiama anche costante di accelerazione

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode

• Si è ottenuto

• Se si tracciano i diagrammi di Bode, delle ampiezze e delle fasi, corrispondenti a funzioni elementari dei tipi:

è possibile, sommandoli, ottenere il diagramma di Bode della funzione complessiva.

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode1. G(jω)=K

• Diagramma delle ampiezze

• Diagramma delle fasi

10-1

100

101

102-10

-5

0

5

10

15

|k|>1

|k|<1|K|

(db)

Diagrammi di Bode

10-1 100

101 102-250

-200

-150

-100

-50

0

k<0

k>0

arg(

K)

ln(ω) [rad/sec]

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode2. G(j ω)=(j ω)-h

Essendo:

i diagrammi di Bode hanno l'andamento rappresentato in figura (per h =1, 2).Per un generico valore di h:• il diagramma delle ampiezze è una retta passante per l'origine di inclinazione – 20 h,• il diagramma delle fasi è identicamente uguale a –h π/2.

10-1

100

101

102-40

-30-20-10

01020

|1/(jω

)| (d

b)

Diagrammi di Bode

10-1

100

101

102-300

-250-200-150-100

-500

arg(

1/(j ω

))

ln(ω) [rad/sec]

10-1

100

101

102-40

-30-20

-100

1020

|1/(jω

)2 | (d

b)

Diagrammi di Bode

10-1

100

101

102-300

-250

-200-150

-100

-500

arg(

1/(j ω

2 ))

ln(ω) [rad/sec]

Ampiezza

Fase

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode

3. G(jω)= (1+j ω τ)± 1. Diagrammi di Bode di termini del primo ordine (τ >0).

Nel caso di :

I corrispondenti diagrammi di Bode sono i seguenti:

10-1 100 101 102-60

-50-40

-30

-20

-100

|1/(1

+jωτ )

| (d

b)

Diagrammi di Bode

10-1 100 101 102-100

-80

-60

-40

-20

0

arg(

1/(1

+j ωτ )

)

ln(ω) [rad/sec]

10-1 100 101 10201020

30405060

|(1+jωτ )

| (d

b)

Diagrammi di Bode

10-1 100 101 1020

20

40

60

80

100ar

g(1+

j ωτ )

ln(ω) [rad/sec]

Ampiezza

Fase

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode –– Diagrammi approssimati a spezzataDiagrammi approssimati a spezzata

E’ molto utile, per le costruzioni grafiche, impiegare diagrammi di Bodeapprossimati a forma di spezzata.

Sia data:

Per il diagramma delle ampiezze si impiega l'approssimazione asintotica (la spezzata costituita dai due asintoti cui tende il diagramma per ω 0 e per ω∞), infatti:

• Per ω¿ 1/ |τ| (ω2 τ2 ¿ 1), si ottiene

cioè il diagramma viene a coincidere con l'asse delle ascisse.

• Per ωÀ 1/|τ| (1 ¿ ω2 τ2), si ha

• Il diagramma viene a coincidere con la retta passante per il punto log ω = log(1/|τ|) e di inclinazione -20 db/decade (o -1). L'approssimazione asintotica del diagramma delle ampiezze è pertanto costituita dalle due semirette

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 15Controlli Automatici

10-1

100

101-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

|1/(1

+jω

)| (d

b)

Diagrammi di Bode

L'errore massimo di questa approssimazione si ha per ω = 1/τ e vale

Diagrammi di Diagrammi di BodeBode –– Diagrammi approssimati a spezzataDiagrammi approssimati a spezzata

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Anche il diagramma delle fasi può essere approssimato con la spezzata che si ottiene collegando i due asintoti β = 0 e β = -π/2 con la tangente al diagramma nel punto corrispondente alla pulsazione ω0 = 1/|τ|, in cui è β = π/4.

10-1 100 101-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10fase

rad/sec

grad

i

Diagrammi di Diagrammi di BodeBode –– Diagrammi approssimati a spezzataDiagrammi approssimati a spezzata

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Da

si può scrivere

le pulsazioni ωa e ωb si determinano, in funzione della pulsazione corrispondente al “punto di rottura” del diagramma asintotico delle ampiezze, mediante la relazione

da cui

L'impiego delle approssimazioni asintotiche è vantaggioso perché, nell'eseguire la somma dei diversi diagrammi elementari, basta determinare le ordinate in corrispondenza dei vertici della spezzata, cioè in corrispondenza delle pulsazioni di rottura di ciascuno dei diagrammi elementari.

Diagrammi di Diagrammi di BodeBode –– Diagrammi approssimati a spezzataDiagrammi approssimati a spezzata

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• Ricapitolando: • Per e valori di τ positivi (poli stabili)

• Per sia il diagramma delle ampiezze che quellodelle fasi sono ribaltati rispetto all’asse delle ascisse

10-1 100 101-20-10

01020

ampiezza

db

10-1 100 101-110-90-70-50-30-1010 fase

rad/sec

grad

iPendenza -1 (-20 dB/decade)Pendenza 0

1/τ

0o

-90o

ωa = ω0 / 4.81 ωb = ω0 * 4.81

Diagrammi di Diagrammi di BodeBode –– Diagrammi approssimati a spezzataDiagrammi approssimati a spezzata

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode –– Diagrammi approssimati a spezzataDiagrammi approssimati a spezzata

Si sono visti i casi relativi alle funzioni (per valori τ > 0):

Per valori della costante di tempo τ < 0 in entrambi i casi:il diagramma delle ampiezze risulta immutato, con il punto di rottura per ω = 1/|τ|,il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse.

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBode -- EsempioEsempio

10-2

10-1

100

101

102-60

-40

-20

0

20

40ampiezza

rad/sec

db

10-2

10-1

100

101

102-100

-60

-20

20

60

100fase

rad/sec

grad

i

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 21Controlli Automatici

Diagrammi di Diagrammi di BodeBode

Diagrammi di Bode del termine del secondo ordine

• 0 5 δ < 1Se fosse δ = 1, le radici non sarebbero complesse coniugate e il termine di secondo grado sarebbe il prodotto di due termini di primo grado.Eventualmente δ < 0: caso considerato a parte.

Analogamente al caso dei termini di primo ordine, si fa riferimento in un primo tempo all'esponente -1: data la natura logaritmica dei diagrammi, se l'esponente valesse +1 basterebbe ribaltare entrambi i diagrammi di Bode attorno all'asse delle ascisse. Per tale valore dell'esponente si può scrivere

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBodeAsintoti del diagramma α:

• Per ω/ωn ¿ 1,

• Per ω/ωn À 1, prevale il termine (ω/ωn)4 e pertanto

In questo caso il diagramma effettivo può discostarsi sensibilmente da quello asintotico: in particolare, per δ = 0 e in corrispondenza della pulsazione di rottura ωn, lo scostamento è infinito.

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Diagrammi di Diagrammi di BodeBodeIl diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà:

• Per la curva presenta un massimo;

• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto ω = ωn ed è pertanto tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica;

• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto ω = ωn;

• Per la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica.

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DiagrammiDiagrammi didi BodeBode• Andamento del diagramma delle ampiezze per diversi valori di δ.

100

101

10210

-2

10-1

100

101

102

ln(ω)

|G(j ω

)|

δ = 0.5

δ = 0.001

δ = 1

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DiagrammiDiagrammi didi BodeBodePicco di risonanza, Pulsazione di risonanza

• Il picco di risonanza MR è il valore massimo assunto dal diagramma delle ampiezze.

• La pulsazione di risonanza ωR è la pulsazione alla quale esso si verifica.

100 101 10210-2

10-1

100

101

102

ln(ω)

|G(j ω )

|

δ = 0.5

δ = 0.001

δ = 1

picco di risonanza

pulsazione di risonanza

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DiagrammiDiagrammi didi BodeBode• Per il calcolo di MR e ωR conviene, per semplicità, porre u = ω/ωn.

• Il massimo dell'ampiezza corrisponde quindi ad un minimo della funzione

• Derivando e uguagliando a zero la derivata, si ottiene

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DiagrammiDiagrammi didi BodeBode• Si è ottenuto

• Noto il valore di ωR, si calcola il valore dell'ampiezza alla risonanza, cioè del picco di risonanza MR, come il modulo della funzione di risposta armonica per ω = ωR. Si ricava:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10123456789

10

δ

M RAndamento del picco di risonanza MR

in funzione del coefficiente di smorzamento δ.

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DiagrammiDiagrammi didi BodeBodeDiagramma delle fasi• Anche il diagramma delle fasi varia in funzione di δ.

100 101 102

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

ln(ω)

arg[

G(jω

)]δ = 0.5

δ = 1

δ = 0.1

δ = 0

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DiagrammiDiagrammi didi BodeBode• Per quanto riguarda l'approssimazione asintotica, si può ottenere congiungendo gli

asintoti β = 0 e β = -π con un segmento inclinato come la tangente al diagramma effettivo in corrispondenza della pulsazione di rottura.

• Si ottiene una famiglia di diagrammi, ciascuno per un diverso valore di δ.

• Per il calcolo dell'approssimazione asintotica, essendo

si deduce

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DiagrammiDiagrammi didi BodeBode• Le pulsazioni ωa e ωb sono legate alla pulsazione di rottura ωn dalla relazione

• dalla quale si ottiene

• cioè

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DiagrammiDiagrammi didi BodeBode

In pratica, per determinare sulla scala logaritmica la pulsazione omegaa (oppure la ωb) in rapporto alla ωn, basta:

• riportare su una striscia di carta la distanza, presa sulla scala stessa, fra il punto di ascissa 1 e quello di ascissa 4.81

• moltiplicare la lunghezza del segmento così ottenuto per δ (ad esempio, se è δ = 0.5, si assume una distanza paria metà del segmento ottenuto).

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DiagrammiDiagrammi didi BodeBode• La pulsazione naturale ωn, uguale al modulo delle radici complesse coniugate

cui corrisponde il termine del secondo ordine, non è mai negativa

ωn > 0 sempre

• Il coefficiente di smorzamento δ può essere invece negativo:

δ < 0

In questo caso:• il diagramma delle ampiezze è uguale a quello che si avrebbe per uno

smorzamento pari a |δ|

• il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse.

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DiagrammiDiagrammi didi BodeBode• Caso con δ < 0

Diagramma delle ampiezze:non cambia

Diagramma delle fasi:ribaltato attorno all’asse

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DiagrammiDiagrammi didi BodeBode• Diagrammi di Bode per il termine di

secondo ordine

100

101

102

10-2

10-1

100

101

ln(ω)

|G(j

ω)|

100

101

102

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

ln( ω)

arg[

G(j

ω)]

δ = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 1, 1.2, 1.5, 2

δ

δ

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DiagrammiDiagrammi didi BodeBode

100

101

10210

-1

100

101

102

ln(ω)

|G(j ω )

|

100

101

102

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

ln( ω)

arg[

G(j

ω )]

• Diagrammi di Bode per il termine disecondo ordine

Si ribaltano attorno all'asse delleascisse i diagrammi ottenuti per

δ

δ

Picco di attenuazione

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 36Controlli Automatici

DiagrammiDiagrammi didi BodeBode• Ritardo

• Essendo

la funzione di risposta armonica ha modulo identicamente unitario e fasecrescente linearmente con la frequenza.

• Per ricavare i diagrammi di Bode, si scrive

dalla quale si deduce che il diagramma delle fasi ha un andamentoesponenziale.

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 37Controlli Automatici

10-1 100 101 102-60

-40

-20

0

20

40

60

Am

piez

za

10-1 100 101 102-200

-100

0

100

200

Frequenza (rad/sec)

Fase

10-1 100 101 102-60

-40

-20

0

20

40

60

Am

piez

za

10-1 100 101 102-200

-100

0

100

200

Frequenza (rad/sec)

Fase

10-1 100 101 102-60

-40

-20

0

20

40

60

Am

piez

za

10-1 100 101 102-200

-100

0

100

200

Frequenza (rad/sec)

Fase

10-1 100 101 102-60

-40

-20

0

20

40

60

Am

piez

za

10-1 100 101 102-200

-100

0

100

200

Frequenza (rad/sec)

Fase

DiagrammiDiagrammi didi Bode Bode –– tabellatabella riassuntivariassuntiva

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 38Controlli Automatici

10-1 100 101 102-40

-20

0

20

40

Am

piez

za

10-1 100 101 102-100

-50

0

50

100

Frequenza (rad/sec)

Fase

10-1 100 101 102-40

-20

0

20

40

Am

piez

za

10-1 100 101 102-100

-50

0

50

100

Frequenza (rad/sec)

Fase

10-1 100 101 102-40

-20

0

20

40

Am

piez

za

10-1 100 101 102-100

-50

0

50

100

Frequenza (rad/sec)

Fase

10-1 100 101 102-40

-20

0

20

40

Am

piez

za

10-1 100 101 102-100

-50

0

50

100

Frequenza (rad/sec)

Fase

DiagrammiDiagrammi didi Bode Bode –– tabellatabella riassuntivariassuntiva

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 39Controlli Automatici

DiagrammiDiagrammi didi Bode Bode –– tabellatabella riassuntivariassuntiva

10-1 100 101 102

-50

0

50

Am

piez

za

10-1 100 101 102-200

-100

0

100

200

Frequenza (rad/sec)

Fase

10-1 100 101 102

-50

0

50

Am

piez

za

10-1 100 101 102-200

-100

0

100

200

Frequenza (rad/sec)

Fase

10-1 100 101 102

-50

0

50

Am

piez

za

10-1 100 101 102-200

-100

0

100

200

Frequenza (rad/sec)

Fase

10-1 100 101 102

-50

0

50

Am

piez

za

10-1 100 101 102-200

-100

0

100

200

Frequenza (rad/sec)

Fase

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 40Controlli Automatici

DiagrammiDiagrammi didi BodeBode

Andamento dei diagrammi di Bode del ritardo

100

101

102

10310

-2

100

102

ln(ω)

|G(j

ω )|

100

101

102

103-300

-200

-100

0

ln(ω)

arg[

G(j

ω )]

t0 = 0.1 sec

t0 = 0.2 sec

t0 = 0.5 sec

t0

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 41Controlli Automatici

N

N

S

Funzione di trasferimento del sistema(dall’ingresso , all’uscita ):

Mappa poli/zeri:Zero nell’origine

Poli meccanici

Polo elettrico

• Induttanza bobina• Resistenza bobina• Costante di forza bobina• Massa del cono• Costante elastica sospensione• Coefficiente attrito cono nell’aria• Costante velocità cono/

potenza acustica

Esempio: Altoparlante magneticoEsempio: Altoparlante magnetico

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• La presenza dello zero nell’origine mette in luce che le componenti continue non vengono “trasferite” (senso fisico)

• Le frequenze elevate non vengono trasferite (senso fisico)

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

104

105

106

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Esempio: Altoparlante magneticoEsempio: Altoparlante magnetico

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 43Controlli Automatici

-20

-15

-10

-5

0

5

Mag

nitu

de (d

B)

Il sistema esaminato risulta essere un “passa banda”, ovvero solo le armoniche comprese in un certo intervallo frequenziale vengono trasferite in uscita senza attenuazione in ampiezza (a meno di una costante e con sfasamenti trascurabili)

Curva normalizzata

banda passante

Classificazione sistemi

Banda passante:intervallo di frequenze in cui il diagramma di Bode delle ampiezze è compreso tra [-3, 3] dB(in generale compreso in una fascia ampia 6 dB centrata sul valore massimo)

100

101

102

103

104

-180

-135

-90

-45

0

45

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Esempio: Altoparlante magneticoEsempio: Altoparlante magnetico

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 44Controlli Automatici

Ogni sistema dinamico agisce sullo spettro delle frequenze in ingresso in modo selettivo. Molti sistemi di interesse fisico possono essere classificati in base la tipo di azione filtrante

Passa Basso

Passa Alto

Banda passante Banda passante

ProprietProprietàà filtranti dei sistemifiltranti dei sistemi

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Passa Banda Elimina Banda

Banda passanteBanda passante

ProprietProprietàà filtranti dei sistemifiltranti dei sistemi

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spettro serie di Fourier

Dalla definizione di funzione di risposta armonica, l’uscita a regime di un sistema lineare asintoticamente stabile con funzione di risposta armonica F(ω), forzato da un ingresso con spettro frequenziale UF(ω), è un segnale temporale il cui spettro YF(ω):

ha le stesse componenti frequenziali di quello in ingresso (non vengono aggiunte frequenze non presenti nello spettro di ingresso);

ha un andamento che è quello dello spettro di ingresso “modulato” dall’andamento della funzione di risposta armonica (| YF(ωi)| = |F(ωi)| |UF(ωi)|).

spettro serie di Fourier

regime

Spettri di segnali filtrati da sistemi lineariSpettri di segnali filtrati da sistemi lineari

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 47Controlli Automatici

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 48Controlli Automatici

Spettri di segnali filtrati da sistemi lineari• In realtà la proprietà dello spettro del segnale di uscita di essere quello del

segnale di ingresso “modulato” dalla funzione di risposta armonica non vale solo per il segnale a regime ma bensì per l’andamento completo.

• Ricordando le definizioni di serie di Fourier (segnale periodico) o trasformata di Fourier (segnale qualsiasi)

armoniche

peso del modulo della ka armonica sfasamento della ka armonica

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 49Controlli Automatici

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Time (sec)

100 101 1020

100

200

300

400

500

600

700

Frequency (rad/sec)

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

50

100

150

200

250

Frequency (rad/sec)

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 50Controlli Automatici

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Time (sec)

100 101 1020

100

200

300

400

500

600

700

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

50

100

150

200

250

Frequency (rad/sec)

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Luigi Biagiotti Introduzione -- 51Controlli Automatici

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Time (sec)

100 101 1020

100

200

300

400

500

600

700

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

50

100

150

200

250

Frequency (rad/sec)

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Ing. Luigi BiagiottiTel. 051 20939903

e-mail: [email protected]://www-lar.deis.unibo.it/~lbiagiotti

CONTROLLI AUTOMATICIIngegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa

http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm

Diagrammi di Diagrammi di BodeBodeFINEFINE